3.1 第1课时 函数的概念 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦函数的概念及三要素，通过课前预习衔接初中函数定义与教材问题，课堂探究以具体对应关系分析为支架，引导学生从实例抽象出高中函数定义，构建从具体到抽象的知识脉络。 特色在于注重概念形成过程，通过“四查”判断法、必错题分析培养数学思维，结合实际情境构建问题发展模型意识，帮助学生用数学眼光观察、用数学语言表达，提升逻辑推理与应用能力，适合自主学习与课堂教学结合。

3.1　函数的概念及其表示（第1课时） 函数的概念·学案（附参考答案）　人教A版　必修第一册　本节共4课时，本课时是第1课时 班级：＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿ 一、课前预习（阅读教材第60—63页） 1．初中的函数定义：在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的＿＿＿＿＿＿确定的值，y都有＿＿＿＿＿＿确定的值与它对应，就说y是x的函数。 2．教材问题1中，t的变化范围是数集A₁＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，s的变化范围是数集B₁＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 3．函数的定义：设A，B是＿＿＿＿＿＿＿＿的实数集，如果对于集合A中的＿＿＿＿＿＿一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有＿＿＿＿＿＿确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 4．x叫做＿＿＿＿＿＿，x的取值范围A叫做函数的＿＿＿＿＿＿；函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的＿＿＿＿＿＿，它是集合B的＿＿＿＿＿＿。 5．函数的三要素是＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿，其中由前两个决定第三个。 6．一次函数y＝ax＋b（a0）的定义域是＿＿＿＿，值域是＿＿＿＿；反比例函数y＝（k0）的定义域是＿＿＿＿＿＿＿＿，值域是＿＿＿＿＿＿＿＿。 二、课堂探究 探究一　四个问题的共同特征 教材问题1—问题4中，对应关系分别是用什么方式表达的？ 问题1：＿＿＿＿＿＿　问题2：＿＿＿＿＿＿　问题3：＿＿＿＿＿＿　问题4：＿＿＿＿＿＿ 把问题2写精确：对应关系＿＿＿＿＿＿，A₂＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，B₂＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 我归纳的共同特征（三条）： 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 探究二　问题1与问题2是同一个函数吗 两个问题的对应关系都可以写成y＝350x，它们是同一个函数吗？为什么？ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 探究三　判断是不是函数 判断下列对应f是不是从集合A到集合B的函数，写出理由。 （1）A＝N，B＝N₊，f：对A中的元素取绝对值。（　　） 理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （2）A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，4}，f：x→y＝x²。（　　） 理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （3）A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，2，4}，f：x→y＝x²。（　　） 理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （4）A＝{三角形}，B＝{x|x＞0}，f：对A中元素求面积。（　　） 理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 我总结的判断方法（四查）：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 探究四　例1（教材第63页） 试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝x(10－x)来描述。（写出情境、定义域和值域） 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 探究五　必错题 判断y＝x与y＝是不是同一个函数，写出过程。 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、当堂检测（限时3分钟） 1．下列对应中，能构成从A到B的函数的是（　　） 　A．A＝R，B＝R，f：x→y＝　　B．A＝R，B＝R，f：x→y＝x² 　C．A＝R，B＝R，f：x→y＝±x　　D．A＝N，B＝N，f：x→y＝ 2．已知f(x)＝2x²－1，则f(－1)＝＿＿＿＿，f(a＋1)＝＿＿＿＿＿＿＿＿。 3．函数y＝3x＋1（x{0，1，2}）的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿。 4．判断：f(x)中的f表示f与x的乘积。（　　） 四、课堂小结（自我梳理） 函数是两个＿＿＿＿＿＿＿＿之间的一种对应，要求A中的＿＿＿＿一个数，在B中都有＿＿＿＿确定的数与之对应。三要素是＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿。判断是不是函数，四查：一查A、B是不是＿＿＿＿＿＿，二查A中元素是否＿＿＿＿＿＿，三查像是否＿＿＿＿，四查像是否＿＿＿＿＿＿。 附：参考答案与解析 课前预习 1．每一、唯一。 2．A₁＝{t|0≤t≤0.5}、B₁＝{s|0≤s≤175}。 3．非空、任意、唯一、y＝f(x)（xA）。 4．自变量、定义域、值域、子集。 5．定义域、对应关系、值域。 6．R、R；{x|x0}、{y|y0}。 课堂探究 探究一：解析式、解析式、图象、表格。问题2：w＝350d，A₂＝{1，2，3，4，5，6}，B₂＝{350，700，1050，1400，1750，2100}。共同特征三条——都有两个非空数集A、B；都有一个对应关系；对A中的任意一个数x，按对应关系在B中都有唯一确定的数y和它对应。 探究二：不是。式子一样，能取的数不一样：问题1中自变量跑遍0到0.5之间的每一个实数，问题2中只取1到6这六个整数，定义域不同。 探究三：（1）不是。0A，取绝对值仍是0，而0N₊，A中的元素0在B中没有像。（2）是。四个元素的像依次是1、1、4、4，都在B中且唯一。（3）是。像的集合{1，4}是B的真子集，值域可以比B小。（4）不是。A的元素是三角形，不是实数。四查：一查A、B是不是非空数集，二查A中元素是否都有像，三查像是否唯一，四查像是否落在B中。 探究四：把y＝x(10－x)看成二次函数，定义域是R，值域是{y|y≤25}。若限制x{x|0＜x＜10}，可构建情境——长方形周长为20，一边长为x，面积为y，则y＝x(10－x)，此时定义域A＝{x|0＜x＜10}，值域B＝{y|0＜y≤25}。 探究五：y＝x的定义域是R；y＝的分母不为0，定义域是{x|x0}；定义域不同，不是同一个函数。（不能先约分再求定义域。） 当堂检测 1．B。A项x＝0时无意义，A中的0没有像；C项x＝1时y＝±1，违反“唯一确定”；D项x＝1时y＝N。 2．f(－1)＝1；f(a＋1)＝2(a＋1)²－1＝2a²＋4a＋1。（“a＋1”要整体加括号再平方。） 3．{1，4，7}。定义域只有三个数，值域也只有三个数，不要写成区间。 4．错误。f是对应关系的代号，f(x)是x对应的函数值。 课堂小结 非空实数集；任意；唯一；定义域、对应关系、值域；非空数集、都有像、唯一、落在B中。 易错提醒 1．A、B必须是非空实数集，集合A里装的必须是数。 2．一对一、多对一都是函数，一对多不是。 3．值域是B的子集，未必等于B。 4．f(x)不是f乘x，f(a＋b)与f(a)＋f(b)一般没有关系。 5．求定义域不许先化简，y＝的定义域是{x|x0}。 学科网（北京）股份有限公司 $