3.1函数的概念及其表示（第1课时　函数的概念）·教案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该教案聚焦函数概念及三要素，通过“复兴号”运行时间与路程的矛盾问题导入，暴露初中变量定义不足，衔接初中变量依赖关系与高中集合对应关系，搭建学习支架。 以问题串驱动概念生成，四个问题各有功能，如问题1逼出定义域必要性，体现用数学眼光观察现实。通过实例抽象定义培养数学思维，符号辨析用反例助理解提升数学语言表达。分层设计帮助教师因材施教，学生深化概念理解与逻辑推理。

3.1　函数的概念及其表示（第1课时） 函数的概念·教案　人教A版　必修第一册　本节共4课时，本课时是第1课时 一、教材分析 本节是人教A版必修第一册第60—73页的内容，处在第三章的开头，是整个高中函数学习的地基。初中已经用“变量的依赖关系”说过一次函数，这里要用集合语言和对应关系重新说一次，把定义域从背景推到台前，再引进符号f(x)。全节共4课时：第一课时建立函数概念与三要素，第二课时学区间、求定义域、判断同一函数，第三课时学三种表示法与求解析式，第四课时学分段函数及其应用。本课时是全节的第一课时，任务是把初中的变量说法换成集合说法，建立函数的定义与三要素，引进符号y＝f(x)。最值得教的是教材问题1那个反问——“加速到350km/h后运行1h就前进了350km”为什么不对，这一问把定义域的必要性逼了出来。四个问题分别承担四项功能：问题1逼出取值范围，问题2逼出“对应关系相同、定义域不同就不是同一个函数”，问题3、4逼出“对应关系不止解析式”。高频考点是判断一个对应是不是函数、求函数值、由三要素辨析，月考选择题必出。 二、学情分析 学生初中学过一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数，会画图象，会用“y有唯一的值与x对应”作判断，第一章刚学完集合，具备用集合语言表述的基本工具。本课时预计的困难有三处：其一，学生看不出为什么要换一套说法，觉得初中的定义已经够用，如果直接抛定义，这一课就变成了背诵；其二，判断“A＝N，B＝N₊，f：取绝对值”这类对应时只看对应关系，不检查A中的元素是否个个有像；其三，符号f(x)会被读成f乘x，进而写出f(a＋b)＝f(a)＋f(b)。对策分别是：用问题1的反问引入，让学生自己撞上“说不清”；把0单独提出来当场追问“0的绝对值在B里吗”；并排写f(x)与f·x，用f(x)＝x²举反例。优生班可在例1之后追加“同一解析式配不同定义域”的追问；普通班把重心放在定义的默写与四查上。 三、教学目标 1．能用集合语言和对应关系说出函数的定义，写出y＝f(x)（xA）。 2．能指出一个具体函数的定义域、对应关系和值域。 3．会用“四查”判断一个对应关系是不是函数。 4．知道f(x)表示函数值，不是f与x的乘积。 四、教学重难点 重点　用集合语言和对应关系刻画的函数概念、函数的三要素。 难点　对函数概念的理解与符号y＝f(x)的理解。 五、教学方法与教具准备 以问题串驱动，讲练结合。本课时配课件22页，问答同页，答案单击浮入；学案附参考答案，学生课后自批；课时作业（一）A组8题全体必做，B组3题标★，优生班必做、普通班选做。板书主张一条：例题的解题过程一律在黑板上一步步写，不用课件翻页代替演算。教具：多媒体课件、直尺、彩色粉笔（红笔专用于标错解）。 六、教学过程 环节一　情境引入（约5分钟） 问题1　初中我们说“y是x的函数”，这句话是怎么定义的？你学过哪几类函数？ 师生活动：　指名两生回答，教师板书初中定义的关键词“每一个”“唯一”，并在旁边列出一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数四类。 明确：　在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，就说y是x的函数。 问题2　某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时，路程s与时间t的关系是s＝350t。有人说：“根据这个关系，这趟列车运行1h就前进了350km。”这个说法对吗？ 师生活动：　多媒体出示教材问题1的原文与情境图，学生独立思考半分钟，指名回答。教师追问：“题目哪一句话让你觉得不对？” 预设：　多数学生能说出“只跑了半小时”，但说不清这属于函数的哪一部分。教师顺势追问：“初中的定义里，有哪一句话管住了t只能取0到0.5？”学生语塞。 明确：　初中的定义没有把自变量的取值范围说出来。要把这句话说清楚，就得先把t、s各自的范围写成集合。这就是今天要做的事。 设计意图：　不从定义讲起，从一个说不清的说法讲起。让学生自己撞上“范围没交代”，概念才是被需要出来的。 环节二　概念的生成（约15分钟） 讲授并板书：　把问题1写精确——对应关系s＝350t，t的变化范围是数集A₁＝{t|0≤t≤0.5}，s的变化范围是数集B₁＝{s|0≤s≤175}。对于A₁中的任一时刻t，按照对应关系，在B₁中都有唯一确定的路程s和它对应。 问题3　（教材问题2）某电气维修公司要求工人每周工作至少1天、至多6天，日工资350元。工资w是工作天数d的函数吗？请照着刚才的格式写出两个数集和对应关系。 师生活动：　限时2分钟独立完成，一生板演，全班订正。 明确：　w＝350d，A₂＝{1，2，3，4，5，6}，B₂＝{350，700，1050，1400，1750，2100}。 问题4　问题1和问题2的对应关系都可以写成y＝350x，它们是同一个函数吗？ 师生活动：　让学生举手表态，请一名认为“是”的和一名认为“不是”的各说理由。 预设：　不少学生认为是同一个，理由是“式子一样”。教师不急着否定，追问：“问题1里t可以取0.3吗？问题2里d可以取0.3吗？”学生自己发现不行。 明确：　式子一样，能取的数不一样，就不是同一个函数。这一条今天先记住，第二课时专门讲。 问题5　（教材问题3、问题4）空气质量指数变化图上没有式子，恩格尔系数表里也没有式子，它们还是函数吗？ 师生活动：　多媒体依次出示教材图3.1—1与表3.1—1。教师引导学生指着图说：“在t＝12这个位置，能不能找到唯一的I？”指名两生分别在图上、表上各找一个值。 明确：　都是函数。对应关系不一定是式子，可以是一条曲线，也可以是一张表。这里I的范围是B₃＝{I|0＜I＜150}，r的范围是B₄＝{r|0＜r≤1}。 问题6　四个问题有哪些共同特征？ 师生活动：　小组讨论2分钟，教师巡视，请一组汇报，其余补充。 明确：　三条——都有两个非空数集A、B；都有一个对应关系；对于A中的任意一个数x，按照对应关系，在B中都有唯一确定的数y和它对应。为了表示方便，引进符号f统一表示对应关系。 讲授并板书：　（函数的定义，一字不改地板书，学生同步抄写）设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，xA。x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域。 设计意图：　定义是四问的自然收口，不是外来的。四个问题各承担一项功能，一个都不能跳过。 环节三　概念辨析与符号（约10分钟） 问题7　定义里有四个词特别要紧：“非空实数集”“任意一个”“唯一确定”“f：A→B”。各管什么？ 师生活动：　教师逐词点，学生口答，教师在定义下方用红笔圈出这四处。 明确：　“非空实数集”管A、B里装的必须是数；“任意一个”管A中元素一个不漏；“唯一确定”管一个x只配一个y——一对一是函数，多对一也是函数，一对多不是；“f”是对应关系本身。值域是B的子集，未必等于B。 练习1：　判断下列对应是不是从A到B的函数：（1）A＝N，B＝N₊，f：取绝对值；（2）A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，4}，f：x→y＝x²；（3）A＝{三角形}，B＝{x|x＞0}，f：求面积。 师生活动：　学生完成学案探究三，限时2分钟，同桌互批，指名三生说理由。 明确：　（1）不是，0A而0N₊，A中的0没有像；（2）是，四个元素的像都在B中且唯一；（3）不是，A的元素是三角形，不是数。 预设：　（1）多数学生会判“是”，因为只看了对应关系。教师把0单独写在黑板上，问“0的绝对值是几？在B里吗？” 问题8　f(x)是f乘x吗？ 师生活动：　教师在黑板上并排写“f(x)”与“f·x”，指名回答。 明确：　f(x)表示x对应的函数值，是一个数；f是对应关系的代号，不能单独参与运算，更不能约掉。反例：f(x)＝x²时，f(1＋2)＝9，而f(1)＋f(2)＝5，所以一般来说f(a＋b)与f(a)＋f(b)没有关系。 环节四　例题（约10分钟） 例1　（教材第63页）试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝x(10－x)来描述。 师生活动：　先问一句“x(10－x)让你想到什么图形的面积”，学生答长方形。然后小组讨论1分钟，指名一生说情境，教师板书。 解： 　　把y＝x(10－x)看成二次函数，定义域是R，值域是B＝{y|y≤25}。 　　若限制x{x|0＜x＜10}，可构建情境：长方形的周长为20，一边长为x，面积为y，则y＝x(10－x)。 　　此时x的取值范围是A＝{x|0＜x＜10}，y的取值范围是B＝{y|0＜y≤25}。 明确：　同一个解析式，配不同的定义域，就是不同的函数。加上0＜x＜10这个限制，值域也跟着从{y|y≤25}缩成{y|0＜y≤25}。 例2（必错题）　判断y＝x与y＝是不是同一个函数。 师生活动：　学生独立判断，教师故意先请一位判“是”的学生说完整理由，再请另一位反驳。 解： 　　y＝x的定义域是R； 　　y＝中分母不为0，定义域是{x|x0}； 　　两者定义域不同，不是同一个函数。 预设：　一定有学生先把约成x再判断。教师用红笔把错解上板，立一条纪律：先定域，后化简——化简只能在求出定义域之后做。 环节五　当堂检测与小结（约5分钟） 检测：　学案“当堂检测”四小题，限时3分钟，教师巡视，公布答案后只讲错得多的那一题。 归纳：　今天记三件事——函数是两个非空数集之间的一种对应；三要素是定义域、对应关系、值域，其中定义域和对应关系一定就定了；f(x)是函数值，不是乘积。 布置：　课时作业（一）A组全体必做，B组★优生班必做、普通班选做；预习教材第64页区间部分。 七、板书设计 3.1.1　函数的概念（第1课时） 一、定义　　　　　　　　　　　　　　二、三要素 A、B非空实数集　　　　　　　　　　定义域A 任意xA　→　唯一yB　　　　　　对应关系f 记作 y＝f(x)，xA　　　　　　　　值域{f(x)|xA}B 三、f(x)f·x　　　　　　　　　　　［副板面：演算区］ 　错解 y＝x²/x → 约成x（红笔）　　　纪律：先定域，后化简 八、附：课堂预设 1．学生认为初中的函数定义已经够用，对重新定义提不起兴趣。——不解释必要性，直接用问题1的反问逼一下：“运行1h就前进350km，错在哪？”学生说不清的那一刻，就是新定义该出场的时候。 2．判断“A＝N，B＝N₊，f：取绝对值”时判成“是”。——把0单独写在黑板上，问“0的绝对值是几？在B里吗？”一句话解决。 3．把f(x)当成f乘x，写出f(a＋b)＝f(a)＋f(b)。——并排写“f(x)”与“f·x”，举反例：f(x)＝x²时f(1＋2)＝9，而f(1)＋f(2)＝5。 4．认为“式子一样就是同一个函数”。——追问“问题1里t能取0.3吗，问题2里d能取0.3吗”，让学生自己发现定义域不同。 5．把集合B当成值域。——回到问题3：I的范围是{I|0＜I＜150}，而实际取到的值只是其中一部分，值域是B的子集。 6．求定义域时先把式子化简。——错解上黑板，用红笔标出，立纪律“先定域，后化简”，后面三个课时反复引用这句话。 7．优生班提前问“怎么求值域”。——答：今天只求几类简单的，系统的方法要等学完3.2的单调性。不展开。 九、备教手记（课后填写） 这一课时上完，我要回头核对三件事。第一，函数定义的默写通过率，下节课开头那两分钟能看出来，不到八成就要在第三课时再补一次。第二，练习1那道“取绝对值”的题，当堂有多少人判对，作业第7题同类的四小题错误率是多少。第三，“先定域后化简”这句话有没有真的进到学生脑子里——看作业里求函数值和判断同一函数那几题，还有多少人先约分。另外记一下：环节二安排了15分钟，四个问题实际讲下来够不够，如果不够，下次把问题4挪到第二课时开头。 学科网（北京）股份有限公司 $