3.1 函数的概念及其表示 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数的概念及其表示，涵盖集合对应语言定义、三要素、区间表示、三种表示法及分段函数。通过复习初中变量定义，以“正方形面积与边长关系”引发认知冲突，衔接高中严谨定义，搭建学习支架。 特色在于以问题驱动实现认知跨越，借生活实例（如出租车计费）抽象函数概念培养数学眼光，通过“唯一确定”辨析和同一函数判定发展数学思维，规范区间与分段函数表述提升数学语言能力。启发式讲授结合实例与变式练习，助学生夯实基础，为教师提供清晰教学路径。

人教A版 数学 高一 必修第一册 3.1 函数的概念及其表示 教学设计-2026-2027学年 案例名称 案例名称 3.1 函数的概念及其表示 提供者 — 教材分析 人教A版必修第一册第三章3.1节 课时 1课时 教材分析 本节课选自人教A版高中数学必修第一册第三章3.1节。在此之前，学生在初中已学习了变量语言描述的函数概念，并接触了一次函数、二次函数和反比例函数。高中阶段则需在集合与对应语言的基础上，重新建立更加严谨的函数概念。本节课是整个高中函数学习的基石，涵盖函数的定义、三要素、区间表示法以及函数的三种表示方法与分段函数。通过本节学习，学生将完成从初中的变量说到高中的集合对应说的认知跨越，为后续研究函数的单调性、奇偶性等性质奠定基础。 教学目标 （1）语言：能用集合与对应的数学语言准确表述函数的定义，理解并读出区间符号的规范表述。 （2）思维：经历从初中的变量语言到高中的集合对应语言的抽象过程，体会由具体实例概括出一般概念的思维方法，提升逻辑推理与抽象概括能力。 （3）能力与知识：掌握函数的三要素及同一函数的判定方法，能正确求解简单函数的定义域，会用区间表示数集，并掌握解析法、列表法、图象法三种表示法及分段函数的初步认识。 教学重难点 重点：用集合与对应语言刻画的函数概念、定义域的求法、区间的表示、函数的三种表示法与分段函数。 难点：对“唯一确定”的理解与函数图象的判据、同一函数的判定（定义域与对应关系都要相同）、分段函数及其图象的建立。 教学方法 本节课主要采用启发式讲授与问题驱动相结合的教学方式。通过列举生活中的实例引入，引导学生观察共性，抽象概括出函数的严谨定义。在概念深化环节辅以辨析与变式练习，帮助学生在具体计算与判断中巩固对函数三要素的理解。 教学准备 教师准备多媒体课件，包含生活中的函数实例数据表、函数图象展示及区间数轴表示的动态演示。学生准备好教材、练习本与直尺，以便在课堂上进行随堂演算和绘制数轴区间图。 一、复习导入 教师在黑板上写出初中对函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数。 教师提问：初中我们学过哪些具体的函数？它们的定义域和值域分别是什么？ 预设学生回答：学过一次函数y=ax+b(a≠0)，定义域和值域都是R；二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)，定义域是R；反比例函数y=(k≠0)，定义域和值域都是{x|x≠0}。 教师追问：正方形的面积S与边长x的关系是S=x²，这里S是x的函数吗？如果用初中的变量定义来衡量，这个关系没有“变化过程”，还能叫函数吗？ 预设学生回答：应该是函数，因为边长x确定了，面积S就唯一确定了。但初中的定义好像强调变化过程，这里感觉不太够用。 教师总结：初中的变量定义有其局限性，无法涵盖某些静态的对应关系。为了更严谨地描述函数，我们需要引入集合与对应的语言，重新建立函数的概念。 教学过程 （1）函数的概念 教师给出教材中的严谨定义：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。 教师强调：这里的A，B必须是非空实数集。x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域。与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集。 教师提问：定义中“唯一确定”是什么含义？能否举例说明？ 预设学生回答：就是给一个x，只能算出一个y。比如y=x²，x=2时y只能是4，不能同时是4和别的数。 教师追问：如果给定一个x，对应出两个不同的y值，这样的对应关系还是函数吗？ 预设学生回答：不是函数，因为不满足“唯一确定”。 教师指出：函数符号f(x)表示x对应的函数值，而不是f乘x，这一点在后续学习中要特别注意。一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数就是同一个函数。 （2）区间的概念 教师讲解：设a，b是两个实数，而且a<b。我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]；满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)；满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b]。这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。在数轴上表示时，用实心点表示包含的端点，用空心点表示不包含的端点。 教师补充无穷区间的表示：实数集R可以用区间表示为(−∞，+∞)。满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，可以用区间分别表示为[a，+∞)，(a，+∞)，(−∞，b]，(−∞，b)。其中“∞”读作“无穷大”，它不是一个具体的实数。 （3）函数的表示法与分段函数 教师介绍函数的三种表示法：解析法，就是用解析式表示两个变量之间的对应关系；列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系。函数图象既可以是光滑的曲线，也可以是直线、折线或离散的点等。判断一个图形是不是函数图象的依据是函数的定义，即每一个x只能对应唯一y。 教师讲解分段函数：像y={−x，x<0；x，x≥0}这样的函数称为分段函数。分段函数在定义域的不同部分用不同的解析式表示，它是一个函数，而不是几个函数。生活中如出租车计费、个人所得税等都是分段函数的实际例子。 （4）例题与巩固 例1：已知函数f(x)=+，求该函数的定义域。 解析：要使解析式有意义，需满足两个条件：偶次根式的被开方数非负，即x+3≥0，解得x≥−3；分母不为零，即x−2≠0，解得x≠2。取两者的交集，得定义域为{x|x≥−3且x≠2}。用区间表示为[−3，2)∪(2，+∞)。 答案：定义域为[−3，2)∪(2，+∞)。 例2：判断下列各组函数是否为同一个函数，并说明理由。 ① f(x)=x²，g(t)=t²；② f(x)=x，g(x)=；③ f(x)=，g(x)=1。 解析： ① f(x)=x²与g(t)=t²的定义域都是R，对应关系完全一致，只是自变量字母不同，不影响函数实质。因此它们是同一个函数。 ② f(x)=x的定义域为R；g(x)==|x|，定义域也是R。但f(x)的值域为R，g(x)的值域为{y|y≥0}，对应关系不完全一致（如x=−1时，f(−1)=−1，g(−1)=1）。因此它们不是同一个函数。 ③ f(x)=化简后为1，但定义域为{x|x≠0}；g(x)=1的定义域为R。两者的定义域不同，因此它们不是同一个函数。 答案：①是同一个函数；②不是同一个函数，因为对应关系不同；③不是同一个函数，因为定义域不同。 课堂练习：已知函数f(x)=x²−2x，求f(2)和f(a+1)的值。 解析：f(2)=2²−2×2=4−4=0；f(a+1)=(a+1)²−2(a+1)=a²+2a+1−2a−2=a²−1。 答案：f(2)=0，f(a+1)=a²−1。 （5）课堂小结 教师引导学生回顾本节课的核心内容：函数是用集合与对应语言刻画的，要求A，B是非空实数集，且A中任意x在B中都有唯一确定的y与之对应。函数的三要素是定义域、对应关系和值域。区间是表示连续数集的简便方法，分为有限区间和无穷区间。函数有解析法、列表法、图象法三种表示方式，分段函数也是函数的重要表示形式。 教师提问：判断两个函数是否相同，需要考察哪些要素？ 预设学生回答：需要考察定义域和对应关系是否都相同。如果这两点都一致，就是同一个函数。 作业布置 1. 阅读教材3.1节正文内容，梳理函数概念的形成过程，并完成课后练习第1、2题。 2. 求下列函数的定义域，并用区间表示： （1）f(x)=+； （2）f(x)=+。 解析与答案： （1）由x−1≥0且x+2≠0，解得x≥1且x≠−2。因为x≥1已经排除了x=−2，所以定义域为[1，+∞)。 （2）由3−x≥0且x+2>0，解得x≤3且x>−2。取交集得定义域为(−2，3]。 3. 判断函数f(x)=x²与g(x)=是否为同一个函数，并简述理由。 解析与答案：f(x)=x²的定义域为R；g(x)==x²，定义域也是R。两者的定义域和对应关系都完全一致，因此它们是同一个函数。 学科网（北京）股份有限公司 $