3.1 函数的概念及其表示题型总结讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教版A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦函数概念及表示，系统梳理定义域（含整式、分式、根式及抽象函数定义域求法）、值域（观察法、分离常数法、换元法）、解析式（待定系数法、配凑换元法、消元法）、函数相等判断及分段函数等核心内容，构建从基础概念到抽象应用的完整学习支架。 资料以知识梳理与题型训练结合为特色，通过抽象函数定义域“对应关系范围相同”的逻辑推理培养数学思维，分段函数绝对值化简强化几何直观，答案详解规范符号表达提升数学语言能力。课中助力教师系统授课，课后方便学生查漏补缺，深化知识理解。

3.1函数的概念及其表示 ●知识梳理 一、常考查的定义域 (1)若fx是整式，则定义域为R; (2)若fx是分式，则分母不为0， (3)若y=2fxn∈N,则要求fx≥0： (4若fx=x°，则定义域为{xx≠0l): (⑤)若出现上述几种情况，则分别找出各自的定义域，再求交集 二、抽象函数的定义域 1.抽象函数：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数. 2.理解抽象函数的定义域时，要明确以下几点： (1)函数fx)的定义域是指x的取值范围所组成的集合： (2函数fgx的定义域是指x的取值范围，而不是gx的范围； 3ft,fgx,fhx三个函数中的t,gx,hx)在对应关系f下的范围相同. 3.求抽象函数定义域的方法： 〔1)已知函数fx的定义域为a,b),求函数fgx的定义域：设gx=t,解不等 式a≤t≤b即可； (2)已知fgx的定义域为la,b),求函数fx的定义域：设gx=t,求t在 x∈a,b)内的值域即可； (3)已知fgx的定义域为a,b,求函数fhx的定义域：设gx=t1,hx=t ,t1在x∈a,b内的值域等于t2,解t2的不等式即可. ●题型训练 1.函数y=V2x+3+1-x的定义域是？ 2.函数y=X2(X-3的定义域为 3函数x=(x-1P+x1的定义域为？ 4.若函数y=f(x)的定义域为[1,5]，则函数y=f(4x-3)的定义域为？ 5.若函数f(4x-3)的定义域为[1,5]，则函数y=f(x)的定义域为？ 6.若函数f(4x-3的定义域为[1,5]，则函数y=f3x-4)的定义域为？ 7若函数y=川x的定义线是-1,21，则函数gx=2的定义城为？ 8已知x的定义域为-2,21.函数9xF2X++fx-1,则gx的定义城 为？ 9.函数y=Vkx2-4x+k+6的定义域为R,则k的取值范围为？ 10.若函数y=a+1 aX+2ax+3的定义域为R,则实数a的取值范围为？ 函数的值域 ●知识梳理 求函数值域的常用方法 1.观察法：对于一些简单的函数，可通过定义域及对应关系用观察的方法来确定函数的值域： 2.分离常数法：对于一些分子和分母都是关于自变量的一次式，常采用分离常数法求值域： 3.换元法：对于一些无理函数，常通过换元的方法将其化为有理函数，然后利用有理函数求 值域的方法求出原函数的值域： ●题型训练 1.求函数f(x)=x+1的最值. 2.求函数fx3,×∈2,81的值域 3.函数y=2x-6x+1当0≤x≤2时的最小值是？最大值是？ 4.求函数y=X+,x∈0,3U3,4的值域 5.求函数y=2x+1 x-3的值域. 6.函数y=2x+Vx+1的值域是？ 7.函数f(x)=x-Vx+1的值域为？ 8.求下列函数的值域： (1)y=2x-1 x+2,x∈[5,10]： (2y-2xe-3,-21u-21, (3)y=-x2+2x+8: (4)y=x+1-2x: 函数解析式 ●知识梳理 求解析式的常用方法： ①待定系数法 1.待定系数法 如果已知函数类型，可设出函数解析式，再代入已知条件建立方程（组）求解，得到系数的 值，从而使问题得以解决，这种方法叫待定系数法 2.待定系数法求函数解析式的两种类型： (1)已知函数类型，满足两个解析式恒相等，要把两个解析式整理成相同的一般形式，由对 应项系数相等求出待定系数，从而的解； (2)解析式中的系数满足一些关系，利用这些关系列出方程（组），解方程（组）进而得解. ②配凑法或换元法 1.配凑法：已知条件fgx=Fx可将Fx改写成关于gx的解析式，然后以x替 代gx,便得到fx的解析式，要注意此时fx的定义域为gx的值域： 2.换元法：对于形如y=fgx的函数解析式，令t=gx从中求出x=φt)然后代入解 析式求出ft)，再将t换成x，即可得到fx的解析式，换元后要注意新元的取 值范围，如果新元t的取值范围不是全体实数，要标明所求函数的定义域： ③消元法或解方程组法 已知关于fx与f是 或f引-x的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组 成方程组，通过解方程组的方法求出fx的解析式.注意：此类问题要注意构造特点，通 常将原式中的X换成又或-×然后看成以1K与日 或f-x为未知数的方 程组. ●题型训练 1.已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x)=4x+8,求f(x)的解析式. 2.已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9,求fx)的解析式. 3.已知fx)为二次函数，且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,试求f(x)的解析式. 4.已知f(x+2)=x+4x+5,则f(x)的表达式是？ 5.已知函数fxx+之，则0=？ 6.已知f(Vx)=x+1,则函数f(x)的解析式为？ 7.若fx满足关系式x)+2日=3x,则fx的解析式为？ 8.已知f(x)+3f(-x)=2x+1,则f(x)的解析式为？ 9.若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(1)=? 10.已知二次函数f2x+1)=4x2-6x-15,求f(x)的解析式. 1.已知2fx)+f=3x+1,求fx)的解析式. 2已加引。求x的解折式 13.已知fx+1)=x+1,求fx)的解析式： 14.已知y=f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,(x+1)-fx)=2x,求fx)的解析 式. 15.若f(-2x)+2f2x=3x-2,求f(x)的解析式. 1+x=1+x+1 16已知f大义+女求fx的解析式. 函数相等 ·知识梳理 1.函数相等的定义 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等. 2.相等函数的判断 (1)一般要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数：若定义域相同，则化简函数的 解析式，看对应关系是否相同，若对应关系也相同，则是同一函数： (2)因为函数的值域是由定义域和对应关系决定的，所以只要两个函数的定义域和对应关系 都分别相同，值域就一定相同. ●题型训练 1.下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数() A.y=(x)2 B.y=x C.y=x D.y=Vx 2.下列各组中的两个函数是同一个函数的为() A.fx)=x+3x-5) x+3,9(x)=x-5 B.f(x)=x,g(x)=x C.f(x)=12x-51,g(x)=2x-5 D.f(x)=x,g(t)= 分段函数 ·知识梳理 绝对值的化简：正数直接去绝对值符号，负数去绝对值符号取相反数. ●题型训练 1.化简下列函数的解析式： (1)y=x2+2Ix-1;(2)y=x2-2|x-1;(3)y=|x2-2x-1;(4) y=x2-2x-3. x2+2x-3(x≥0) 2.求函数y= -x2+2x-3(x<0) 的值域： 3.函数y=|2x-1+x-3的值域是. 答案 ● 题型训练 1.函数y=2x+3+1-x的定义域是？ 。答案： 2x+3≥0 。详解：要使根式有意义，需满足1-X之0· 解2x+320得x2-2；解1-X20得x≤1。 取文年得定义城为昌 2.函数y= 1 x-2(x-3)°的定义域为？ ·答案：(2,3)U(3,+o∞ ● 详解：分式分母不为0，根式被开方数非负，零次幂底数不为0，需满足 x-2>0 X-3≠0解得x>2且x≠3，即定义域为(2,3)U(3,+o)。 3.函数fx)=(x-1P+x1的定义域为？ ·答案：（-∞，-1)U(-1,1)U(1,+∞) x-1≠0 。详解：零次幂底数不为0，分式分母不为0，需满足x+1≠0。 解得x≠1且 x≠-1，即定义域为(-∞，-1)U(-1,1)U(1,+0)。 4.若函数y=f(x)的定义域为[1,5]，则函数y=f(4x-3)的定义域为？ 。答案：[1,2] ·详解：由f(x)定义域为[1,5]，定义域指的是x的范围，即1≤x≤5 因为)里的范围是一样的，所以1≤4x-3≤5 4≤4x≤8， 1≤x≤2， 故函数y=f(4x-3)的定义域为[1,2]。 5.若函数f(4x-3)的定义域为[1,5]，则函数y=f(x)的定义域为？ 。答案：[1,17] 。详解：f(4x-3)的定义域是x的范围，即1≤x≤5， 则4≤4x≤20 1≤4x 因为 )里的范围是一样的， 所以f4x-3)里4x-3的范围和f(x)里x的范围一样， 故1≤x≤17，y=f(x)的定义域为[1,17]。 6.若函数f4x-3)的定义域为[1,5]，则函数y=f(3x-4)的定义域为？ 答案： 5 。详解：f(4x-3)的定义域是x的范围，即1≤x≤5， 则4≤4x≤20 1≤4x 因为里的范围是一样的， 所以f(4x-3)里4x-3的范围和f3x-4)里3x-4的范围一样， 故1≤3x-4≤17， 5≤3x≤21 号x7 y=f(x)的定义域为 7.若函数y=fx的定义域是[-1,2]，则函数gx=f2x x-1 的定义域为？ 。答案： -1≤2X≤2 。详解：需满足 X-1≠0° 解-12xs2得x≤1， 解x-1≠0得x≠1。 取交集得定义域为 Qd加fx俏定义线刻-2.2L函数9F2fx-1,则gx修定义线为？ 答案： 2x+1>0 。详解：需满足 -2≤x-1≤2° 解2x+1>≥0得x>- 2 解-2≤x-1≤2得-1≤x≤3 取交集得定义域为-3。 9.函数y=Vkx2-4k+k+6的定义域为R,则k的取值范围为？ ·答案：[0,6] 。详解：定义域为R即kx2-4x+k+6≥0对任意x∈R恒成立。 当k=0时，6≥0恒成立： 当k>0时，判别式△=(-4k2-4k(k+6)≤0，即16k-4k2-24k≤0,12k2-24k≤0 ,解得0≤k≤6，结合k>0得0<k≤6： 当k<0时，二次函数开口向下，无法恒非负。 综上，k∈[0,6]。 10.若函数y ax+1 ax+2ax+3的定义域为R,则实数a的取值范围为？ ·答案：[0,3 ·详解：定义域为R即ax+2ax+3≠0对任意x∈R恒成立。 当a=0时，分母为3≠0，成立： 当a>0时，判别式△=(2a2.12a<0,即4a2-12a<0,解得0<a<3: 当a<0时，二次函数开口向下，必存在x使分母为0，不成立。综上，a∈[0,3)。 函数的值域 ●知识梳理 求函数值域的常用方法 1.观察法：对于一些简单的函数，可通过定义域及对应关系用观察的方法来确定函数的值域： 2.分离常数法：对于一些分子和分母都是关于自变量的一次式，常采用分离常数法求值域： 3.换元法：对于一些无理函数，常通过换元的方法将其化为有理函数，然后利用有理函数求 值域的方法求出原函数的值域： ·题型训练 1.求函数f(x)=x+1的最值. ·答案：最小值为0，无最大值 。详解：由x+1≥0得定义域为[-1，+∞)，√x+1≥0，故最小值为0，无最大值。 2求函数x=,xe2,8的值域 312 。答案 25 。详解：用分离常数法，fx)=3x+2)-6=3-6 X+2 X+29 x∈[2,8]时，x+2∈[4,101,6 3 312 +2∈ 52 则3-6 +2 2'5 即值域为 312 2’5 3.函数y=2x2-6x+1当0≤x≤2时的最小值是？最大值是？ 7 ·答案：最小值为)，最大值为1 。详解：三次函数对称轴为x=-6=6=3 品2开口向上.x号在到0,2内，代入得y 2得 -6×2+1- (最小值)： 。端点x=0时，y=1;x=2时，y=-3,故最大值为1。 4.求函数y=X X+1 ,x∈[0,3)U(3,4]的值域. 答案： 24 ·详解：分离常数得y=X+1-3=1-3 X+1 X+1 xeo,f,x1el,4.∈层31品=-2 xe34时.x1e45,品e层引1引 合并得值坡为-2，合引 5.求函数y=2x+1 x-3的值域。 ·答案：(-∞，2)U(2,+o) 。详解：分离常数得y=2x-3+7=2+7 X-3 X-3° -30,故y≠2，值域为-o,2U(2,+o。 7 6.函数y=2x+Vx+1的值域是？ ·答案：[-2，+oo】 。详解：令t=x+1(t≥0)，则x=t-1, 代入得y=2(t-1)+t=2t2+t-2。 二次函数开口向上，对称轴为=-子，在t≥0时单调递增，t=0时y=-2, 故值域为[-2，+o)。 7.函数f(x)=x-Vx+1的值域为？ ·答案 * 。详解：令t=x+1(t≥0)，则x=-1,fx=-1-t=-t-1。对称轴为=2 ,开口向上， 8.求下列函数的值域： (1)y=2x-1 x+2,x∈[5,10]： 答案： 器引即子》 ·详解：分离常数得y=2x+2+3 -2+3 X+2 +2。 e5m时.42e.24引做y2分2+引子- =0+2xe(-3,21u2,1g (2)y=x-1 ·答案：（-0,2)U(4,+∞) 。详解：分离常数得y=XX+23=1-3 X+2X+2 火+20 &∈-3，-2时，x+2E-1,0X年2e=0,-3,y13 x+2∈(4，+0： xe-2.1,x+2e0,32e1,+m,y=1-2ei-0, 值域为(-∞，2)U(4,+oo】 (3)y=-x2+2x+8; ·答案：[0,3] ·详解：先求内层二次函数值域，-x2+2x+8=-(x2-2x-8)=-(x-12+9,最大 值为9，最小值为0（因根号下非负），故y=√-x+2x+8的值域为[0,3]。 (4)y=x+V1-2x: ·答案：(-0,1] ·详解：=1-2x(0,则x-,号，代入符 y141=+13-1+1.最大值为，故值域为-. 函数解析式 ·知识梳理 求解析式的常用方法： ①待定系数法 1.待定系数法 如果已知函数类型，可设出函数解析式，再代入已知条件建立方程组)求解，得到系数的 值，从而使问题得以解决，这种方法叫待定系数法 2.待定系数法求函数解析式的两种类型： 〔1)已知函数类型，满足两个解析式恒相等，要把两个解析式整理成相同的一般形式，由对 应项系数相等求出待定系数，从而的解； (2)解析式中的系数满足一些关系，利用这些关系列出方程（组），解方程（组）进而得解. ②配凑法或换元法 1.配凑法：已知条件fgx=Fx可将Fx改写成关于gx的解析式，然后以x替 代gx,便得到fx)的解析式，要注意此时fx的定义域为gx的值域： 2.换元法：对于形如y=fgx的函数解析式，令t=gx从中求出x=ot然后代入解 析式求出ft,再将t换成x,即可得到fx的解析式，换元后要注意新元的取 值范围，如果新元t的取值范围不是全体实数，要标明所求函数的定义域： ③消元法或解方程组法 已如关于fx与f日或-x的关系式，可根据已如条件再构造出另外一个等式组 成方程组，通过解方程组的方法求出fx的解析式.注意：此类问题要注意构造特点，通 常将原式中的×换成文或-×，然后看成以与f仅 或f-x为未知数的方 程组. ●题型训练 1.已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x)=4x+8,求f(x)的解析式. 。答案：fx=2x+号或fx)=-2x-8 。详解：设f(x)=kx+b(k≠0)， 则f(f(x)=k(+b)+b=k2x+kb+b=4x+8。 k2=4 k=2 k=-2 列方程组b+b=8解得b=或6=-8 3 枚解折式为f×=2x+号或f(x=-2x-8. 2.已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-fx)=2x+9,求f(x)的解析式. 。答案：fx)=x+3 ·详解：设f(x)=kx+b, 则3fx+1)-f(x)=3[k(x+1)+b]-(k+b)=2kx+3k+2b=2x+9。 「2k=2 2k=1 列方程组3k+2b=9解得6=3，f(x=x+3。 3.已知f(x)为二次函数，且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,试求f(x)的解析式. ·答案：fx)=x-x+3 ·详解：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由f(0)=3得c=3。 f(x+2)-fx)=a(x+22+b(x+2)+3-(ax+bx+3)=4ax+4a+2b=4x+2。 刘方程42解得62 故f(x)=x2-x+3。 4.已知f(x+2)=x2+4x+5,则f(x)的表达式是？ ·答案：fx)=x2+1 ·详解：换元法：令t=x+2,则x=t-2 f(t)=t-22+4t-2+5=t+1 故fx)=x2+1。 5.已知函数fx×+克，则f0=? X 。答案：2 令t=x-1 X 则f(t)=t2+2,故f(0)=02+2=2。 6.已知f(x)=x+1,则函数f(x)的解析式为？ ·答案：f(x)=x2+1(x≥0) 。详解：换元法：令t=Vx(t≥0)，则x=t,f(t)=t+1,故f(x)=x2+1(x≥0 ）。 7若fx满足关系式(x+2f=3x,则fx)的解析式为？ ·答案：fx)=-x+ X 。详解：令x名得f日+2=是 x+23x 解方程组 f+2fx=是 解得f(x)=-x+2 8.已知f(x)+3f(-x=2x+1,则f(x)的解析式为？ 。答案：fx)=-x+4 ·详解：令x=-x得f(-x)+3f(x)=-2x+1。 fx)+3f(-x)=2x+1 解方程组3rx+-x=-2x+1 消去f(-x)得8f(x)=-8x+2, 故f(x)=-x 4。 9.若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(1)=? ·答案：2 ·详解：令x=1,得2f1)-f(-1=4: 令x=-1,得2f(-1)-f1)=-2。 |2f(1)-f(-1)=4 解方程组-1+2-1)=-2解得f(1)=2。 10.已知二次函数f(2x+1)=4x2-6x-15,求f(x)的解析式. ·答案：fx)=x2-5x-12 ·详解：换元法：令t=2x+1,则x=,1 代入得0=4d15--51-2=-5x2. 1已知2fx+f3x+1,求fx的解析式。 。容案：八x)-2x号 。详解：原式为2x+=3x+1,将挨为得2x是+1.解方程组 r( =3x+1 fx2221 消去f安将3x刘=6x-是+1，放x刘=2x-片 x 3 12.已知f 求f(x)的解析式. ·答案：fx)=2x 1+2 (x≠-1) 。详解：换元法：令=(-1，则x 1- 1-t12 代入得f(t)= 1+t (1+t2-(1-t24t=2t +X2(x≠-1 1+ 1-t (1+t+1-2+2r1,故fx)=2 1+t )。 13.已知f(x+1)=x+1,求f(x)的解析式： ·答案：f(x)=x 。详解：换元法：令t=x+1,则x=t-1,f(t)=(t-1)+1=t,故fx)=x。 14.已知y=f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析 式 ·答案：f(x)=x2-x+1 。详解：设f(x)=ax2+bx+c,由f0)=1得c=1。 f(x+1)-f(x)=a(x+12+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2ax+a+b=2x。列方程组 2a=2 a=1 Q+b=0解得6=-1故f(x=X-x+1。 15.若f(-2x)+2f(2x)=3x-2,求f(x)的解析式. 。答案：f1x=登号 ·详解：令t=2x,则x=克，原式变为f(-t+2ft)=-2: 将换为得ft+2f-t)=--2 f-t*2fe要-2 解方程组 2f(-t)+f(t)=-3t-2 消去f(-得t=-登子 故fx=兰导 16已加兰解式 ·答案：f(x)=x2-x+1(x≠1) 。详解：令t=+X(t≠1)， 则t=1+X→t-X=1→X-1=1=X=吉 1+1 ++1=t-1+1+t-1=-t+1, 1 t-1 故f(x)=x2-x+1(x≠1)。 函数相等 ·知识梳理 1.函数相等的定义 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等. 2.相等函数的判断 (1)一般要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数：若定义域相同，则化简函数的 解析式，看对应关系是否相同，若对应关系也相同，则是同一函数： (2)因为函数的值域是由定义域和对应关系决定的，所以只要两个函数的定义域和对应关系 都分别相同，值域就一定相同. ●题型训练 1.下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数() A.y=(x)2 B.y=x C.y= X D.y=V只 ·答案：B 。详解：A选项定义域为[0，+o),与y=x(定义域R)不同； B选项定义域为R,y=x=x,与函数y=x是同一个函数： C选项定义域x≠O,排除： D选项y=|x,对应关系不同： 故选B。 2.下列各组中的两个函数是同一个函数的为() A.fx)=x+3(x-5) x+3 ,gx)=x-5 B.f(x)=x,g(x)=x C.f(x)=|2x-5l,gx)=2x-5 D.f(x)=x,g(t)= ·答案：D ·详解：A选项fx)定义域x≠-3，g(x)定义域R,不同： B选项g(x)=|x,对应关系不同： C选项对应关系不同(f(x)是绝对值，g(x)是一次函数)： D选项g(t)=F=t,与f(x)=x定义域和对应关系一致，故为同一函数。 分段函数 ●知识梳理 绝对值的化简：正数直接去绝对值符号，负数去绝对值符号取相反数. ●题型训练 1.化简下列函数的解析式： (1)y=x2+2x|-1;(2)y=x2-2|x-1;(3)y=|x2-2x-1;(4) y=|x2-2x-3. 。详解： x2+2x-1(x≥0) (1)y= x2-2x-1(x<0)9 x2-2x-1(x≥0)} (2)y= x2+2x-1(x<0)9 (3)y= x2-2x-1(x≤0或x≥2)} -x2+2x-1(0<x<2) x2-2x-3x≤-1或x≥3)》 (4)y= -x2+2x+3(-1<x<3） x2+2x-3x≥0) 2.求函数y= -x2+2x-3(x<0) 的值域， ·答案：[-3，+∞) 。详解：x≥0时，y=x2+2x-3=(x+12-4,单调递增，最小值为-3；x<0时， y=-x2+2x-3=-(x-1)2-2,最大值为-2。 综上，值域为[-3，+∞)。 3.函数y=|2x-1+x-3的值域是. ,答案： ·详解：分段讨论： 当x≥3时，y=2x-1+x-3=3x-4,单调递增，最小值为5： 3时，y=2x-1+3-x=x+2,单调递增，最乙 当x≤2时，y=1-2x+3-x=4-3x,单调递减，最小值为2。 故值域为 2 ,+00