3.1 函数的概念及其表示讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学函数的概念与表示，系统梳理函数定义（非空性、任意性、单值性）、三要素（定义域、对应关系、值域）、区间表示，以及抽象与复合函数概念，构建从基础概念到应用的学习支架。 资料通过分层题型（如函数关系判断、定义域值域求解）培养数学思维，结合图像变换与分段函数训练数学语言表达，课中辅助教师教学互动，课后助力学生查漏补缺，提升函数学习的系统性与应用能力。

第三章 函数的概念和性质 3.1 函数的概念及其表示 3.1.1 函数的概念 知识点一、函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确 定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y＝f(x)，x∈A. 函数特性： （1）非空性：函数定义中的集合A，B必须是两个非空的实数集. （2）任意性：A的每一个实数在B中都有函数值与之对应. （3）单值性：每一个自变量有唯一的函数值与之对应. 知识点二、函数的三要素 1.定义域：自变量的取值范围，是使得函数关系式有意义的实数构成的集合. 2.对应关系. 3.值域：函数的值域是函数值的集合. 知识点三、同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数是同一个函数. 知识点四、区间 1.区间的概念 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] 2.含“∞”的区间表示 定义 符号 数轴表示 {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 知识点五、抽象函数与复合函数 1.抽象函数和复合函数的概念 （1）没有给出具体解析式的函数称为抽象函数. （2）若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当，称函 数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函 数，y=f(t)叫做外层函数. 2.抽象函数或复合函数的定义域 （1）函数f(x)的定义域是指x的取值所组成的集合. （2）函数f(g(x))的定义域是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围. （3）f(t)，f(g(x))，f(h(x))三个函数中的t,g(x),h(x)在对应关系f下的取值范围相同. 题型一：函数关系的判断 例1.(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　) A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方 B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值 例2.下列对应关系中，能构成从集合到集合的函数的是（ ） A.，对应法则 B.，对应法则 C.，对应法则 D.，对应法则 跟踪训练： 1.已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系： ①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|， 其中能构成从M到N的函数的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 2.在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是(　　) ①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝； ②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x； ③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→x2＋y2＝25； ④A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y＝x2； ⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝{s|s∈R}，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y； ⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0. A．①⑤⑥ B．②④⑤⑥ C．②③④ D．①②③⑤ 题型二：求函数定义域 例1.求下列函数的定义域 （1）. （2）. （3）. 跟踪训练： 1.求下列函数的定义域 (1)y＝3－x； (2)y＝； (3)y＝； (4)f(x)＝. 题型三：求抽象函数、复合函数定义域 例1.已知函数的定义域为，则的定义域为 . 例2.已知定义域为，则的定义域为 . 跟踪训练： 1.已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 2.已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 3.已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 4.已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 5.若函数的定义域为,则函数的定义域为 . 题型四：求函数值域 例1.（1）求y＝x2－4x＋6的值域. （2）求函数的值域.（分离常数法） （3）求函数的值域.（换元法） （4）函数的值域是__________.（判别式法） 跟踪训练： 1.函数的值域为 . 2.函数的值域为 ． 3.函数的值域是__________. 4.函数的值域（）为 . 题型五：同一个函数的判定 例1.已知四组函数： ①f(x)＝x，g(x)＝()2；②f(x)＝x，g(x)＝；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1. 其中是同一个函数的是(　　) A．没有 B．仅有② C．②④ D．②③④ 跟踪训练： 1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A.， B.， C.， D.， 例2.下列各组函数： ①f(x)＝，g(x)＝x－1； ②f(x)＝，g(x)＝； ③f(x)＝，g(x)＝； ④f(x)＝，g(x)＝x＋3； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)． 其中表示同一个函数的是________(填上所有正确的序号)． 1.下列函数中定义域为R的是(　　) A． y＝x2＋3 B．y＝ C．y＝(x－1)0 D．y＝ 2.函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为(　　) A．{0,1,2,3} B．{－1,0,3} C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3} 3.函数f(x)＝(x∈R)的值域是(　　) A．[0,1) B．[0,1] C．(0,1) D．(0,1] 4.(多选)下列各组函数为同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x，g(x)＝ B．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0 C．f(x)＝ ，g(x)＝ D．f(t)＝，g(t)＝t＋4(t≠4) 5.(多选)下列四种说法中，正确的有(　　) A．函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应 B．函数的定义域和值域一定是无限集合 C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了 D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素 6.函数y＝的定义域是 ． 7.若f(x)＝，则f(3)＝ ，f(f(－2))＝ ． 8.求下列函数的值域： (1)y＝； (2)y＝2x－. 1.设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是(　　) A． 6a2－2 B．3a2－1 C．6a2 D．0 2.函数y＝的值域为(　　) A．[0，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，0] D．[－1，＋∞) 3.函数f(x)＝的定义域为(　　) A.（-∞，] B.（-∞，0)∪（0，] C.（-∞，) D.（0，] 4.已知函数f(x)的值域为，则函数g(x)＝f(x)＋的值域为(　　) A. B. C. D.(0，]∪[，+∞） 5.下列四组函数中表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝，g(x)＝x B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2 C．f(x)＝，g(x)＝|x| D．f(x)＝0，g(x)＝＋ 6.下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为(　　) A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝－x2 C．f(x)＝ D．f(x)＝|x| 7.若函数f(x)的定义域为[2a－1，a＋1]，值域为[a＋3,4a]，则a的取值范围为 ． 8.若f(x)＝ ，则f(1)＝ ． 9.若函数f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为R，则a的值是 ． 10.已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝＋f(x－1)的定义域是 ． 11.函数的值域为 . 12.若函数f(x)＝的定义域为R，则m的取值范围为 . 13.求下列函数的定义域： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝. 14.求下列函数的值域. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 15.已知函数f(x)＝. (1)求f(2)与，f(3)与； (2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与有什么关系吗？证明你的发现； (3)求f(2)＋＋f(3)＋＋…＋f(2 020)＋的值． 3.1.2 函数的表示法 知识点一、函数的三种表示方法 1.函数的三种表达式 （1）解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的关系. （2）列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系. （3）图像法：就是用图像表示两个变量之间的对应关系. 2.三种表示法的优缺点 （1）解析法 优点：①对应关系简明、全面；②可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值. 缺点：不够形象、直观，而且并不是所有的函数都能用解析式来表示. （2）列表法 优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. 缺点：只能表示出自变量取较少的有限值的对应关系. （3）图像法 优点：①能直观表示随着自变量的变化相应函数值的变化趋势.②便于研究函数的某些性质. 缺点：只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时候误差较大. 知识点二、分段函数 1.定义：在定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同对应关系的函数称为分段函数. 2.分段函数的图像：分段函数的图像由几段曲线或“离散”的点组成，在同一直角坐标系中， 根据每段的定义范围和解析式依次画出图像，要注意每段图像的端点是空心点还是实心点. 知识点三、函数的图像 1.描点法画函数图像 步骤：（1）列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与之相对应的函数值f(x)， 并用表格的形式表示出来. （2）描点：把表格中的点（x，f(x)）在平面直角坐标系中描出来. （3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来. 2.函数图像的平移变换 图像平移口诀：对x变化，左加右减；对y变化，上加下减. 3.函数的图像的对称变换 图像对称口诀；关于谁对称，谁不变，关于原点对称全都变. 4.函数图像的翻折变换 （1）y=f(x)保留x轴及其上方的图像，把x轴下方的图像翻折到x轴上方可得到|y=f(x)| 的图像. （2）y=f(x)去掉y轴左侧图像，保留y轴及其右侧的图像，作y轴右侧的图像关于y轴对 称的图像可得到y=f(|x|)的图像. 题型一：求函数的解析式 1.待定系数法 例1.（1）已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，则函数的解析式f(x) . （2）已知，且为一次函数，求的解析式. 跟踪训练： 1.已知一次函数满足，则的解析式为 . 2.已知二次函数满足，则该二次函数的解析式为 . 2.换元法或配凑法 例1.（1）已知函数，则的解析式为 . （2）已知，则的解析式为 . 跟踪训练： 1.已知函数，则 . 2.已知，则的解析式为 . 3.方程组法 例1.已知函数满足，则函数的解析式为 . 跟踪训练： 1.已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 2.已知，其中，则函数的解析式为 . 3.已知的定义域为，满足，则函数 . 题型二：分段函数及其应用 例1.已知函数f(x)＝， (1)求f(－5)，f(1)，； (2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围． 跟踪训练： 1.已知函数，若，则  . 2.已知函数，若，则的取值范围是  . 题型三：函数图像的识别及应用 例1.设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为________． 例2.画出y=|x2-3x+2|的图像. 跟踪训练： 1.画出y=|x-2|的图像. 2.画出y=|x2+5x-6|的图像. 3.画出y=x2-3|x|+2的图像. 4.画出函数y＝|x＋1|－|x－2|图像． 1.已知函数f(2x－1)＝4x＋6，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝4x＋2 C．f(x)＝2x＋2 D．f(x)＝2x＋8 2.已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为(　　) x 1 2 3 f(x) 2 3 0 A．0 B．1 C．2 D．3 3.函数f(x)＝|x－1|的图象是(　　) A B C D 4.李强在放学回家的路上，开始时和同学边走边讨论问题，走得比较慢，后来他们索性停下来将问题彻底解决，再后来他加快速度回到了家．下列图象中与这一过程吻合得最好的是(　　) A B C D 5.已知函数f(x)＝，则f(2)＝ . 6.已知二次函数f(x)的图象经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则函数f(x)的解析式为 . 7.函数f(x)＝，若f(x)＝3，则x的值是 . 8.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是 . 1.已知f(1－2x)＝，则的值为(　　) A. B.4 C. D.16 2.设函数f(x)＝，则f(f(3))等于(　　) A. B．3 C. D. 3.已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝x2＋8x＋7 B．f(x)＝x2＋6x－10 C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x 4.一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是(　　) A B C D 5.已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝2，则a的值为(　　) A．－1 B．1 C．5 D．8 6.已知函数f(x)＝，若f(1－x)＝2，则x的取值范围是(　　) A．∅ B．[0,2] C．[－2,0] D．{－1}∪[0,2] 7.函数y＝的大致图象是(　　) A B C D 8.设f(x)＝，则f(5)的值是(　　) A．16 B．18 C．21 D．24 9.已知函数f(x)＝x－，且此函数图象过点(5,4)，则实数m的值为 ． 10.函数f(x)＝的定义域为 ，值域为 ． 11.已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝ ． 12.已知函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且＝16，F(1)＝8，则F(x)的解析式为________________． 13.(1)已知函数f(x＋1)＝3x＋2，求f(x)； (2)已知＝x2＋，求f(x)； (3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求f(x)． 14.已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示函数f(x)； (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域． 15.画出函数的图象，并根据图象指出函数的值域. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念和性质 3.1 函数的概念及其表示 3.1.1 函数的概念 知识点一、函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确 定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y＝f(x)，x∈A. 函数特性： （1）非空性：函数定义中的集合A，B必须是两个非空的实数集. （2）任意性：A的每一个实数在B中都有函数值与之对应. （3）单值性：每一个自变量有唯一的函数值与之对应. 知识点二、函数的三要素 1.定义域：自变量的取值范围，是使得函数关系式有意义的实数构成的集合. 2.对应关系. 3.值域：函数的值域是函数值的集合. 知识点三、同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数是同一个函数. 知识点四、区间 1.区间的概念 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] 2.含“∞”的区间表示 定义 符号 数轴表示 {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 知识点五、抽象函数与复合函数 1.抽象函数和复合函数的概念 （1）没有给出具体解析式的函数称为抽象函数. （2）若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当，称函 数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函 数，y=f(t)叫做外层函数. 2.抽象函数或复合函数的定义域 （1）函数f(x)的定义域是指x的取值所组成的集合. （2）函数f(g(x))的定义域是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围. （3）f(t)，f(g(x))，f(h(x))三个函数中的t,g(x),h(x)在对应关系f下的取值范围相同. 题型一：函数关系的判断 例1.(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　) A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方 B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值 解：按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义．故选：AD. 例2.下列对应关系中，能构成从集合到集合的函数的是（ ） A.，对应法则 B.，对应法则 C.，对应法则 D.，对应法则 解：函数要求集合中每一个元素在中有唯一元素对应 B中时，；C中时分式无意义； D中时分式无意义，均不满足只有A符合函数定义 故选：A. 跟踪训练： 1.已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系： ①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|， 其中能构成从M到N的函数的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 解：由题可知：D正确.故选：D. 2.在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是(　　) ①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝； ②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x； ③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→x2＋y2＝25； ④A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y＝x2； ⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝{s|s∈R}，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y； ⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0. A．①⑤⑥ B．②④⑤⑥ C．②③④ D．①②③⑤ 解：①在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数． ②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数． ③在对应关系f下，A中的数(除去5与－5外)在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数． ⑤A不是数集，所以不能确定y是x的函数．④⑥显然满足函数的特征，y是x的函数．故选：D. 题型二：求函数定义域 例1.求下列函数的定义域 （1）. （2）. （3）. 解：（1）由题意得：，解得：-3≤x≤1故答案为：. （2）联立条件，解得且故答案为：. （3）联立，得且，即故答案为：. 跟踪训练： 1.求下列函数的定义域 (1)y＝3－x； (2)y＝； (3)y＝； (4)f(x)＝. 解　(1)函数y＝3－x的定义域为R. (2)由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，即x≠－1. 又x＋2>0，即x>－2， 所以函数y＝的定义域为{x|x>－2且x≠－1}． (3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足，解得x≤5，且x≠±3. 所以函数y＝的定义域为{x|x≤5且x≠±3}． (4)要使函数f(x)有意义，则，解得－1≤x<1. 因此函数f(x)的定义域为{x|－1≤x<1}． 题型三：求抽象函数、复合函数定义域 例1.已知函数的定义域为，则的定义域为 . 解：，即定义域为；由，解得.故答案为： 例2.已知定义域为，则的定义域为 . 解：联立，得，交集只有故答案为：. 跟踪训练： 1.已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 解：同一对应法则，括号内代数式取值范围一致由，解得 故答案为： 2.已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 解：由，解得故答案为： 3.已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 解：，则，故定义域为故答案为： 4.已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 解：，即定义域为再由，解得故答案为： 5.若函数的定义域为,则函数的定义域为 . 解：根据已知可得函数的定义域需满足：，解得：,即函数定义域为.故答案为：. 题型四：求函数值域 例1.（1）求y＝x2－4x＋6的值域. 解：配方得y＝(x－2)2＋2≥2，故函数值域为：[2，+∞). （2）求函数的值域.（分离常数法） 解：分离常数：， 因为，所以.故答案为：. （3）求函数的值域.（换元法） 解：令，则，且. 代入原函数得：， 这是开口向上的二次函数，对称轴，在上单调递增. 当时，，故值域为. （4）函数的值域是__________.（判别式法） 解：由，得(y－3)x2＋(y－3)x－(y＋1)＝0， 当y＝3时，上式无解． 当y≠3时，要使方程有解，需满足Δ＝(y－3)2＋4(y－3)(y＋1)≥0. 即5y2－14y－3≥0，解得y≤－或y>3. ∴的值域为∪(3，＋∞).故答案为：∪(3，＋∞). 跟踪训练： 1.函数的值域为 . 解：， 因为，所以.故答案为：. 2.函数的值域为 ． 解：令，则，代入得：， 当时，，值域为.故答案为：. 3.函数的值域是__________. 解：定义域为R，去分母得：， 整理为：， ①当，即时，方程为，无解，故； ②当时，判别式：， 解得.结合，值域为.故答案为：. 4.函数的值域（）为 . 解：先化简：， 再分离常数：， 因为，所以，故.故答案为：. 题型五：同一个函数的判定 例1.已知四组函数： ①f(x)＝x，g(x)＝()2；②f(x)＝x，g(x)＝；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1. 其中是同一个函数的是(　　) A．没有 B．仅有② C．②④ D．②③④ 解：对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应关系不同；对于第二、四组，定义域与对应关系都相同．故选：C. 跟踪训练： 1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A.， B.， C.， D.， 解：同一函数需定义域、对应法则完全相同A定义域不同；B对应法则不同；D定义域不 同；C定义域均为R，化简后解析式一致，是同一函数故选：C. 例2.下列各组函数： ①f(x)＝，g(x)＝x－1； ②f(x)＝，g(x)＝； ③f(x)＝，g(x)＝； ④f(x)＝，g(x)＝x＋3； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)． 其中表示同一个函数的是________(填上所有正确的序号)． 解：①不是同一个函数，定义域不同，f(x)定义域为{x|x≠0}，g(x)定义域为R. ②不是同一个函数，对应关系不同，f(x)＝，g(x)＝. ③是同一个函数，定义域、对应关系都相同． ④不是同一个函数，值域不同，f(x)≥0，g(x)∈R. ⑤是同一个函数，定义域、对应关系都相同．故答案为：③⑤. 1.下列函数中定义域为R的是(　　) A． y＝x2＋3 B．y＝ C．y＝(x－1)0 D．y＝ 解：B中x≥0，C中要求x≠1，D中x≠0.故选：A. 2.函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为(　　) A．{0,1,2,3} B．{－1,0,3} C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3} 解：由对应关系y＝x2－2x得，0→0,1→－1,2→0,3→3，所以值域为{－1,0,3}．故选：B. 3.函数f(x)＝(x∈R)的值域是(　　) A．[0,1) B．[0,1] C．(0,1) D．(0,1] 解：因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<≤1，所以函数的值域为(0,1]．故选：D. 4.(多选)下列各组函数为同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x，g(x)＝ B．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0 C．f(x)＝ ，g(x)＝ D．f(t)＝，g(t)＝t＋4(t≠4) 解：A．因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数； B．这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数； C．这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一个函数； D．这两个函数的定义域和对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数． 故选：CD. 5.(多选)下列四种说法中，正确的有(　　) A．函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应 B．函数的定义域和值域一定是无限集合 C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了 D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素 解：由函数定义知，A，C，D正确，B不正确．故选：ACD. 6.函数y＝的定义域是 ． 解：由题意可得 ，所以x≥－1且x≠1， 故函数y＝的定义域为{x|x≥－1且x≠1}．故答案为：{x|x≥－1且x≠1}. 7.若f(x)＝，则f(3)＝ ，f(f(－2))＝ ． 解：f(3)＝，f(f(－2))＝＝.故答案为：，. 8.求下列函数的值域： (1)y＝； (2)y＝2x－. 解：(1)y＝，显然≠0，所以y≠2， 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． (2)设t＝，则t≥0，且x＝t2＋1， 所以y＝2(t2＋1)－t＝， 由t≥0，结合函数的图象可得原函数的值域为[,+∞）. 1.设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是(　　) A． 6a2－2 B．3a2－1 C．6a2 D．0 解：f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2－1]＝0.故选：D. 2.函数y＝的值域为(　　) A．[0，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，0] D．[－1，＋∞) 解：由题意得，x＋1≥0，则有y≥0，所以A正确．故选：A. 3.函数f(x)＝的定义域为(　　) A.（-∞，] B.（-∞，0)∪（0，] C.（-∞，) D.（0，] 解：要使f(x)有意义，只需满足，解得：x≤且x≠0.故选：B. 4.已知函数f(x)的值域为，则函数g(x)＝f(x)＋的值域为(　　) A. B. C. D.(0，]∪[，+∞） 解：设t＝(t≥0)，∵f(x)∈，∴≤t≤2.∴设h(t)＝＋t＝－(t－1)2＋1， ∵h(t)＝－(t－1)2＋1图象的对称轴为直线t＝1，∴当t＝1时，h(t)取得最大值1，当t＝2时，h(t)取得最小值，∴函数g(x)的值域是.故选：A. 5.下列四组函数中表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝，g(x)＝x B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2 C．f(x)＝，g(x)＝|x| D．f(x)＝0，g(x)＝＋ 解：∵f(x)＝－x，g(x)＝x，对应关系不同，∴A中两个函数不表示同一个函数； ∵f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2两个函数的对应关系不一致，∴B中两个函数不表示同一个函数； ∵f(x)＝＝|x|与g(x)＝|x|，两个函数的定义域均为R，∴C中两个函数表示同一个函数；f(x)＝0，g(x)＝＋＝0(x＝1)两个函数的定义域不一致，∴D中两个函数不表示同一个函数．故选：C. 6.下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为(　　) A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝－x2 C．f(x)＝ D．f(x)＝|x| 解：对于A选项，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立． 对于B选项，f(x＋1)＝－(x＋1)2≠f(x)＋1，不成立． 对于C选项，f(x＋1)＝，f(x)＋1＝＋1，不成立． 对于D选项，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|＋1，不成立．故选：A. 7.若函数f(x)的定义域为[2a－1，a＋1]，值域为[a＋3,4a]，则a的取值范围为 ． 解：由区间的定义知，解得：1<a<2.故答案为：(1,2). 8.若f(x)＝ ，则f(1)＝ ． 解：f(1)＝.故答案为：. 9.若函数f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为R，则a的值是 ． 解：由题意知f(x)为一次函数，则满足，解得：a＝－1.故答案为：－1. 10.已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝＋f(x－1)的定义域是 ． 解：由题意知,即，解得0<x<2，于是函数g(x)的定义域为(0,2)． 故答案为：(0,2). 11.函数的值域为 . 解：定义域为R，去分母得：， 整理为：， 当，即时，方程为，解得，存在解，故可取； 当时，判别式：， 解得.综上，值域为. 故答案：. 12.若函数f(x)＝的定义域为R，则m的取值范围为 . 解：要使原函数有意义，必须满足mx2＋x＋3≠0， 由于函数的定义域是R，故mx2＋x＋3≠0对一切实数x恒成立． 当m＝0时，x＋3≠0，即x≠－3，与f(x)的定义域为R矛盾，所以m＝0不合题意． 当m≠0时，有Δ＝12－12m<0，解得m>.故答案为：（，+∞）. 13.求下列函数的定义域： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝. 解：(1)要使函数式有意义，必须满足，解得：≤x≤， 即函数的定义域为[，]. (2)要使函数式有意义，必须满足，解得：x<0且x≠－3. 所以函数的定义域为（－∞，－3）∪（－3,0）． 14.求下列函数的值域. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 解：(1)因为，所以， 所以函数的值域为. （2）因为， 所以函数的值域为. （3）. 因为，所以，所以的值域为. （4）方法1：因为，又因为，所以，所以， 所以.故函数的值域为. 方法2：因为， :所以，即. 当时，，解得； 当时，不成立. 故函数的值域为. 方法3：由，得，所以，所以，故函数的值域为. （5）令，则且，所以. 因为，所以.所以函数的值域为. 15.已知函数f(x)＝. (1)求f(2)与，f(3)与； (2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与有什么关系吗？证明你的发现； (3)求f(2)＋＋f(3)＋＋…＋f(2 020)＋的值． 解：(1)由f(x)＝＝1－， 所以f(2)＝，. f(3)＝，＝. (2)由(1)中求得的结果发现f(x)＋＝1. 证明如下：f(x)＋＝ ＝＋＝1. (3)由(2)知f(x)＋＝1， ∴f(2)＋＝1，f(3)＋＝1， f(4)＋＝1，…，f(2 020)＋＝1. ∴f(2)＋＋f(3)＋＋…＋f(2 020)＋＝2 019. 3.1.2 函数的表示法 知识点一、函数的三种表示方法 1.函数的三种表达式 （1）解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的关系. （2）列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系. （3）图像法：就是用图像表示两个变量之间的对应关系. 2.三种表示法的优缺点 （1）解析法 优点：①对应关系简明、全面；②可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值. 缺点：不够形象、直观，而且并不是所有的函数都能用解析式来表示. （2）列表法 优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. 缺点：只能表示出自变量取较少的有限值的对应关系. （3）图像法 优点：①能直观表示随着自变量的变化相应函数值的变化趋势.②便于研究函数的某些性质. 缺点：只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时候误差较大. 知识点二、分段函数 1.定义：在定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同对应关系的函数称为分段函数. 2.分段函数的图像：分段函数的图像由几段曲线或“离散”的点组成，在同一直角坐标系中， 根据每段的定义范围和解析式依次画出图像，要注意每段图像的端点是空心点还是实心点. 知识点三、函数的图像 1.描点法画函数图像 步骤：（1）列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与之相对应的函数值f(x)， 并用表格的形式表示出来. （2）描点：把表格中的点（x，f(x)）在平面直角坐标系中描出来. （3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来. 2.函数图像的平移变换 图像平移口诀：对x变化，左加右减；对y变化，上加下减. 3.函数的图像的对称变换 图像对称口诀；关于谁对称，谁不变，关于原点对称全都变. 4.函数图像的翻折变换 （1）y=f(x)保留x轴及其上方的图像，把x轴下方的图像翻折到x轴上方可得到|y=f(x)| 的图像. （2）y=f(x)去掉y轴左侧图像，保留y轴及其右侧的图像，作y轴右侧的图像关于y轴对 称的图像可得到y=f(|x|)的图像. 题型一：求函数的解析式 1.待定系数法 例1.（1）已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，则函数的解析式f(x) . （2）已知，且为一次函数，求的解析式. 解：（1）设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(x＋1)＋f(x－1) ＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c ＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x， ∴,解得：. ∴f(x)＝x2－2x－1. （2）设，则； 与对比得：，解得或. 当-时，，故； 当-时，，故. 跟踪训练： 1.已知一次函数满足，则的解析式为 . 解：设， 则， 所以，解得或， 所以或. 2.已知二次函数满足，则该二次函数的解析式为 . 解：设二次函数的解析式为， 由题意得，解得，所以. 2.换元法或配凑法 例1.（1）已知函数，则的解析式为 . （2）已知，则的解析式为 . 解：（1）方法1换元法：令，则， 所以， 即. 方法2配凑法：因为 ， 所以. （1）方法1换元法：令，则， 所以， 所以函数的解析式为. 方法2配凑法：. 因为，所以. 跟踪训练： 1.已知函数，则 . 解: 根据题意,令,则,且,则, 可得所以 2.已知，则的解析式为 . 解：. 因为，所以. 3.方程组法 例1.已知函数满足，则函数的解析式为 . 解：在已知等式中，用替换，得. 联立方程得：， 消去，得. 故答案为：. 跟踪训练： 1.已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 解：由,得, 即 ①, 将换为,得 ②, 由① ②, 得 ,故. 2.已知，其中，则函数的解析式为 . 解：在原式中用替换，得. 联立方程得：， 消去，得. 故的解析式为. 故答案为：. 3.已知的定义域为，满足，则函数 . 解：因为① 将替换为 ，得到:② ① - ② ，得:， 所以. 题型二：分段函数及其应用 例1.已知函数f(x)＝， (1)求f(－5)，f(1)，； (2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围． 解：(1)由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2,2)，∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4， f(1)＝3×1＋5＝8，＝＝＝3×＋5＝. (2)因为a2＋2≥2，所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3， 所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0，解得a≥1或a≤－， 即实数a的取值范围是 (－∞，－]∪[1，＋∞)． 跟踪训练： 1.已知函数，若，则  . 解：若，由，得（舍去）. 若，由，得. 因为应舍去，所以. 综上所述，.故答案为：. 2.已知函数，若，则的取值范围是  . 解：当时，，此时的取值范围是； 当时，，此时无解； 当时，，此时无解. 故的取值范围是.故答案为：. 题型三：函数图像的识别及应用 例1.设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为________． 解：当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2； 当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2. 故y＝， 根据函数解析式作出函数图象，如图所示． 由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}． 例2.画出y=|x2-3x+2|的图像. 解：结合y=f(x)保留x轴及其上方的图像，把x轴下方的图像翻折到x轴上方可得到|y=f(x)| 的图像，（图像略）. 跟踪训练： 1.画出y=|x-2|的图像. 解：结合y=f(x)保留x轴及其上方的图像，把x轴下方的图像翻折到x轴上方可得到|y=f(x)| 的图像，（图像略）. 2.画出y=|x2+5x-6|的图像. 解：结合y=f(x)保留x轴及其上方的图像，把x轴下方的图像翻折到x轴上方可得到|y=f(x)| 的图像，（图像略）. 3.画出y=x2-3|x|+2的图像. 解：分段y=，然后根据分段画出每一段图像（图像略）. 4.画出函数y＝|x＋1|－|x－2|图像． 解：y＝|x＋1|－|x－2|＝, 作出函数的图象， 1.已知函数f(2x－1)＝4x＋6，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝4x＋2 C．f(x)＝2x＋2 D．f(x)＝2x＋8 解：因为f(2x－1)＝4x＋6＝2(2x－1)＋8，所以f(x)＝2x＋8.故选：D. 2.已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为(　　) x 1 2 3 f(x) 2 3 0 A．0 B．1 C．2 D．3 解：由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.故选：C. 3.函数f(x)＝|x－1|的图象是(　　) A B C D 解：方法一：函数的解析式可化为y＝画出此分段函数的图象，故选B. 方法二：由f(－1)＝2，知图象过点(－1,2)，排除A，C，D.故选：B. 4.李强在放学回家的路上，开始时和同学边走边讨论问题，走得比较慢，后来他们索性停下来将问题彻底解决，再后来他加快速度回到了家．下列图象中与这一过程吻合得最好的是(　　) A B C D 解：由题意可知，李强离家的距离随时间的变化先是变小，且变化得比较慢，后来保持不变，再后来继续变小，且变化得比较快，直至为0，只有D选项符合题意．故选：D. 5.已知函数f(x)＝，则f(2)＝ . 解：f(2)＝＝1.故答案为：1. 6.已知二次函数f(x)的图象经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则函数f(x)的解析式为 . 解：设f(x)＝a(x＋2)2＋3(a≠0)，由y＝f(x)过点(－3,2)，得a＝－1， ∴f(x)＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.故答案为：f(x)＝－x2－4x－1. 7.函数f(x)＝，若f(x)＝3，则x的值是 . 解：当x≤－1时，x＋2＝3，得x＝1，舍去； 当－1<x<2时，x2＝3得x＝或x＝－(舍去)．故答案为：. 8.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是 . 解：由题图可知，图象是由两条线段组成， 当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式， 则，解得：.所以 f(x)＝x＋1. 当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1. ∴f(x)＝. 1.已知f(1－2x)＝，则的值为(　　) A. B.4 C. D.16 解：根据题意知1－2x＝，解得x＝，故＝16.故选：D. 2.设函数f(x)＝，则f(f(3))等于(　　) A. B．3 C. D. 解：∵f(3)＝≤1，∴f(f(3))＝＋1＝.故选：A. 3.已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝x2＋8x＋7 B．f(x)＝x2＋6x－10 C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x 解：方法1:设t＝x－1，则x＝t＋1. ∵f(x－1)＝x2＋4x－5，∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，∴f(x)的解析式是f(x)＝x2＋6x. 方法2：∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，∴f(x)＝x2＋6x，∴f(x)的解析式是f(x)＝x2＋6x.故选：D. 4.一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是(　　) A B C D 解：根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A，D，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C.故选：B. 5.已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝2，则a的值为(　　) A．－1 B．1 C．5 D．8 解：由3x＋2＝2得x＝0，所以a＝2×0＋1＝1.故选：B. 6.已知函数f(x)＝，若f(1－x)＝2，则x的取值范围是(　　) A．∅ B．[0,2] C．[－2,0] D．{－1}∪[0,2] 解：当－1≤1－x≤1，即0≤x≤2时，f(1－x)＝2，满足条件，所以0≤x≤2， 当1－x<－1或1－x>1即x<0或x>2时，f(1－x)＝4－(1－x)＝x＋3＝2， 解得x＝－1，满足条件，综上有0≤x≤2或x＝－1.故选：D. 7.函数y＝的大致图象是(　　) A B C D 解：方法一：y＝的定义域为{x|x≠－1}，排除C，D，当x＝0时，y＝0，排除B. 方法二：y＝＝1－，由函数的平移性质可知A正确．故选：A. 8.设f(x)＝，则f(5)的值是(　　) A．16 B．18 C．21 D．24 解：f(5)＝f(f(10))，f(10)＝f(f(15))＝f(18)＝21，f(5)＝f(21)＝24.故选：D. 9.已知函数f(x)＝x－，且此函数图象过点(5,4)，则实数m的值为 ． 解：将点(5,4)代入f(x)＝x－，得m＝5.故答案为：5. 10.函数f(x)＝的定义域为 ，值域为 ． 解：定义域为各段的并集，即(0,1)∪{0}∪(－1,0)＝(－1,1)． 值域为各段的并集(0,1)∪{0}∪(－1,0)＝(－1,1)．故答案为：(－1,1)，(－1,1). 11.已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝ ． 解：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b， 依题设，3ax＋3a＋3b＝6x＋4，则，解得：a=2，b=. 则f(x)＝2x－.故答案为：f(x)＝2x－. 12.已知函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且＝16，F(1)＝8，则F(x)的解析式为________________． 解：设f(x)＝kx(k≠0)，g(x)＝(m≠0，且x≠0)，则F(x)＝kx＋. 由＝16，F(1)＝8，得，解得,所以F(x)＝3x＋(x≠0)． 故答案为：F(x)＝3x＋(x≠0)． 13.(1)已知函数f(x＋1)＝3x＋2，求f(x)； (2)已知＝x2＋，求f(x)； (3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求f(x)． 解：(1)方法一　(换元法)：令x＋1＝t，∴x＝t－1，∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1， ∴f(x)＝3x－1. 方法二　(配凑法)：f(x＋1)＝3x＋2＝3(x＋1)－1，∴f(x)＝3x－1. (2)∵＝x2＋＝＋2，令t＝，∴f(t)＝t2＋2，∴f(x)＝x2＋2. (3)由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x①中， 以－x代替x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x②, 由①②消去f(－x)可得f(x)＝x－1. 14.已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示函数f(x)； (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域． 解：(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1， 当－2<x<0时，f(x)＝1＋＝1－x.所以. (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)． 15.画出函数的图象，并根据图象指出函数的值域. 解：. 画出函数图象如图所示. 根据图象可知，该函数的值域为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $