3.1函数的概念及其表示 第1课时 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的概念及三要素，通过复兴号列车路程与时间、维修公司工资计算等四个情境导入，衔接初中函数定义并指出其不足，用集合语言精确化变量关系，构建从具体到抽象的学习支架。 其特色是以问题链驱动理解，结合数学眼光抽象函数本质特征，数学思维辨析定义域等关键要素，数学语言规范符号表达。如“四查”判断函数、例1构建长方形面积模型，帮助学生发展抽象能力和推理意识，教师可通过易错提醒和题型总结提升教学效率。

3.1　函数的概念及其表示 函数的概念 人教A版　必修第一册　·　第三章　函数的概念与性质 本节共 4 课时　·　第1课时 1 本节导览 3.1　函数的概念及其表示　共4课时 第一课时 函数的概念与三要素 第二课时 区间、定义域与同一函数 第三课时 函数的表示法与求解析式 第四课时 分段函数及其应用 本课时的位置 2 学习目标 1．能用集合语言和对应关系说出函数的定义，写出 y＝f(x)（x∈A） 2．能指出一个具体函数的定义域、对应关系和值域 3．会用“四查”判断一个对应关系是不是函数 4．知道 f(x) 表示函数值，不是 f 与 x 的乘积 3 导入·问题1 教材第60页 某“复兴号”高速列车加速到 350 km/h 后保持匀速运行半小时。 这段时间内，列车行进的路程 s（单位：km）与运行时间 t（单位：h） 的关系可以表示为 s ＝ 350t 初中我们会说：对于 t 的每一个确定的值，s 都有唯一确定的值与之对应， 所以 s 是 t 的函数。 4 想一想 问 有人说：“根据 s＝350t，这趟列车运行 1h 就前进了 350 km。”对吗？ 明确　不对。题目只说匀速运行了半小时，1h 以后的情况题目没有交代。 错在没有关注 t 的变化范围——初中的定义里，没有一句话管住 t 只能取 0 到 0.5。 要把这句话说清楚，就得先把 t、s 各自的范围写成集合。 5 把问题1写精确 对应关系：s ＝ 350t t 的变化范围是数集 A1 ＝ {t | 0≤t≤0.5} s 的变化范围是数集 B1 ＝ {s | 0≤s≤175} 对于 A1 中的任一时刻 t，按照对应关系，在 B1 中都有唯一确定的路程 s 和它对应。 6 问题2 教材第61页 某电气维修公司要求工人每周工作至少 1 天、至多 6 天，工资标准是每人 每天 350 元，每周付一次工资。工资 w 是工作天数 d 的函数吗？ 问 照着刚才的格式，写出两个数集和对应关系。 明确　w ＝ 350d A2 ＝ {1，2，3，4，5，6} B2 ＝ {350，700，1050，1400，1750，2100} 7 想一想 问 问题1与问题2的对应关系都可以写成 y＝350x，它们是同一个函数吗？ 问题1：x 可以取 0.3 吗？　　问题2：x 可以取 0.3 吗？ 明确　不是。式子一样，能取的数不一样。 问题1中 x 跑遍 0 到 0.5 之间的每一个实数，问题2中 x 只取 1 到 6 这六个整数。 定义域不同，就不是同一个函数。（这一条第二课时专门讲） 8 问题3 教材第61页　空气质量指数（AQI）变化图 图上没有式子，对应关系是一条曲线。 t 的变化范围是 A3 ＝ {t | 0≤t≤24} I 的值都在 B3 ＝ {I | 0＜I＜150} 中 对于 A3 中的任一时刻 t，按照曲线给定的对应关系，在 B3 中都有唯一确定 的 I 与之对应。所以这里的 I 是 t 的函数。 没有解析式，照样是函数。 9 问题4 教材第61—62页　我国城镇居民恩格尔系数变化情况 对应关系是一张表格。 年份 y 的取值范围是 A4 ＝ {2012，2013，…，2021} 恩格尔系数 r 的取值范围是 B4 ＝ {r | 0＜r≤1} 对于 A4 中的任意一个年份，按表中给定的对应关系，在 B4 中都有唯一确定 的恩格尔系数与之对应。所以 r 是 y 的函数。 表格也是一种对应关系。 10 归纳·四个问题的共同特征 问 四个问题的对应关系分别用什么方式表达？有哪些共同点？ 明确　表达方式：解析式（问题1、2）、图象（问题3）、表格（问题4）。 ① 都有两个非空数集，用 A、B 表示； ② 都有一个对应关系； ③ 对于 A 中的任意一个数 x，按照对应关系，在 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应。 为了表示方便，引进符号 f 统一表示对应关系。 11 函数的定义 教材第62页 设 A，B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定 的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y ＝ f(x)，x∈A x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域； 函数值的集合 {f(x) | x∈A} 叫做函数的值域，它是集合 B 的子集。 12 定义里的四个关键词 非空实数集 A、B 里装的必须是数，且都不能是空集 任意一个 管的是 A，A 中的元素一个都不能漏 唯一确定 管的是 B，一对一、多对一都是函数，一对多不是 f：A→B f 是对应关系本身，不是数，不能单独运算 值域是 B 的子集，未必等于 B。 13 函数的三要素 定义域 对应关系 值域 　　A　　　　　　　　　　　f　　　　　　　 　{f(x)|x∈A} 值域由定义域和对应关系决定，所以定义域和对应关系一定，函数就定了。 14 符号 f(x) 的三层意思 f(x) 表示 x 对应的函数值，是一个数，不是 f 与 x 的乘积 f 表示对应关系；同一题中出现 f(x) 与 g(x)，说明是两套不同的对应关系 f(a) 是自变量取 a 时的函数值，是一个确定的数 反例：f(x)＝x2 时，f(1＋2)＝9，而 f(1)＋f(2)＝5。 所以一般来说 f(a＋b) 与 f(a)＋f(b) 没有关系。 15 练一练 问 判断下列对应 f 是不是从集合 A 到集合 B 的函数。 （1）A＝N，B＝N+，f：对 A 中的元素取绝对值 （2）A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，4}，f：x→y＝x2 （3）A＝{三角形}，B＝{x | x＞0}，f：对 A 中元素求面积 答案　（1）不是。0∈A，取绝对值仍是 0，而 0∉N+，A 中的 0 在 B 中没有像。 （2）是。四个元素的像依次是 1、1、4、4，都在 B 中且唯一。 （3）不是。A 的元素是三角形，不是实数。 16 例1 教材第63页 问 试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用 y＝x(10－x) 来描述。 提示：x(10－x) 让你想到什么图形的面积？ 解　把 y＝x(10－x) 看成二次函数，定义域是 R，值域是 B＝{y | y≤25}。 若限制 x∈{x | 0＜x＜10}，可构建情境： 长方形的周长为 20，一边长为 x，面积为 y，则 y＝x(10－x)。 此时定义域 A＝{x | 0＜x＜10}，值域 B＝{y | 0＜y≤25}。 17 必错题 问 判断 y＝x 与下面的函数是不是同一个函数。 x2 x y ＝ 解　y＝x 的定义域是 R； 右边的函数中分母不为 0，定义域是 {x | x≠0}； 两者定义域不同，不是同一个函数。 规律：先定域，后化简——化简只能在求出定义域之后做。 18 当堂检测（一） 问 1．下列对应中，能构成从 A 到 B 的函数的是（　　） A．A＝B＝R，f：x→y 为 x 的倒数　　B．A＝B＝R，f：x→y＝x2 C．A＝B＝R，f：x→y＝±x　　　　　D．A＝B＝N，f：x→y 为 x 的一半 问 2．已知 f(x)＝2x2－1，求 f(－1) 与 f(a＋1)。 答案　1．B。A 项 x＝0 时无意义；C 项 x＝1 时 y＝±1，违反“唯一确定”；D 项 x＝1 时 y 不属于 N。 2．f(－1)＝1；f(a＋1)＝2(a＋1)2－1＝2a2＋4a＋1。（“a＋1”要整体加括号再平方。） 19 当堂检测（二） 问 3．函数 y＝3x＋1（x∈{0，1，2}）的值域是＿＿＿＿。 问 4．判断：f(x) 中的 f 表示 f 与 x 的乘积。（　　） 答案　3．{1，4，7}。定义域只有三个数，值域也只有三个数，不要写成区间。 4．错误。f 是对应关系的代号，f(x) 是 x 对应的函数值。 20 本课时小结 函数是两个非空实数集之间的一种对应 三要素：定义域、对应关系、值域；前两者一定，函数就定了 四查：非空数集 → 都有像 → 像唯一 → 像落在 B 中 f(x) 是函数值，不是乘积 作业：课时作业（一）；预习教材第64页区间部分。 21 题型一　判断是不是函数 四查：一查 A、B 是不是非空数集；二查 A 中元素是否个个有像； 　　　三查像是否唯一；四查像是否落在 B 中。 一对一是函数，多对一也是函数，一对多不是函数 图象题用竖线判别法：任作一条竖直线，与图象至多一个交点 值域可以比 B 小，不影响函数的成立 定义域为空集时函数不存在，例如 y＝ 22 题型二　求函数值 问 已知 f(x)＝3x2－5x＋2，求 f(－)、f(a＋3)、f(a)＋f(3)。 提示：把 f 看成一台机器，括号里放什么，解析式里每一处 x 就换成什么。 解　f(－ )＝3×2－5×(－ )＋2＝8＋5 ； f(a＋3)＝3(a＋3)2－5(a＋3)＋2＝3a2＋13a＋14； f(3)＝27－15＋2＝14，所以 f(a)＋f(3)＝3a2－5a＋16。 （f(a＋3) 与 f(a)＋f(3) 完全不同，不要混。） 23 题型三　求简单函数的值域 问 求下列函数的值域： （1）y＝3x＋1，x∈{0，1，2}；　（2）y＝x2＋2x，x∈R。 解　（1）定义域只有三个数，逐个代入得 1、4、7，值域是 {1，4，7}。 　　有限个数的值域写成集合，不能写成区间。 （2）y＝(x＋1)2－1，因为 (x＋1)2≥0，所以 y≥－1， 　　值域是 [－1，＋∞)。 24 本课时易错提醒 1．A、B 必须是非空实数集，集合里装的必须是数 2．“任意一个”管 A 中每一个元素，只验证几个特殊值不算 3．值域是 B 的子集，不一定等于 B 4．f(x) 不是 f 乘 x，f(a＋b) 与 f(a)＋f(b) 一般没有关系 5．求 f(a＋3) 时“a＋3”要整体加括号再平方 6．求定义域不许先化简，的定义域是 {x | x≠0} 25 本课时结束 下一课时　区间、定义域与同一函数 26 $