3.1.1函数的概念课件第1课时-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的概念、定义域、对应关系及值域，从初中函数旧知导入，通过正方形周长与边长关系、函数形式比较等问题引发思考，搭建从初步认知到精准理解的学习支架。 其亮点是以复兴号列车路程、工资计算等现实情境为载体，引导学生用数学眼光观察数量关系，通过问题链归纳函数概念培养数学思维，结合图形、表格等多种表示方法强化数学语言表达。教学注重情境创设与问题驱动，总结清晰，助力学生深化理解，也为教师提供结构化教学支持。

第三章函数的概念与性质 3.1.1函数的概念第1课时 人教A版 ( 2019) 必修第一册 学习目标 1.理解函数的概念与表示； 2.掌握函数的定义域、对应关系和值域. 3.了解函数的实际背景. 同学们，初中我们就初步认识了函数，知道它是用来描述两个变量 之间对应关系的数学工具.现在抛出个小问题考考大家：正方形周长l和边 长x 满足l=4x, 它和正比例函数y=4x 一样吗?还有y=x 和 ,看 着形式很接近，它们是同一个函数吗?靠初中的认知很难把这些问题说 清楚，今天我们就升级对函数的认知，深入学习函数的概念及其表示. 新 课 导 入 小时.这段时间内，列车行进的路程s ( 单位：km) 与运行时间t ( 单位 h )的关系可以表示为s=350 t. (1)这段时间内，列车行进的路程S ( 单位：km) 与运行时间t ( 单位：h) 的关系如何表示? 这里，t和s是两个变量，而且对于t的 每一个确定的值，s都有唯一确定的值与之 对应，所以s是t的函数. 探索新知 问 题 1某“复兴号”高速列车加速到350km/h 后保持匀速运行半 这是一个函数吗? 请说明理由. 思考 有人说：“根据对应关系s=350t, 这趟列车加速到350 km/h 后，运行1h 就前进了350km.”你认为这个说法正确吗? 根据问题1的条件，不能判断列车以350km/h 运行半小时后的情 况，所以上述说法不正确 .显然，其原因是没有关注到t的变化范围. 探索新知 (3)如何更加精准地表述S与t的函数关系? 下面用更精确的语言表示问题1中s与t的对应关系. 列车行进的路程s与运行时间t的对应关系是s=350t① . 其中，t的变化范围 是数集A₁={t|0≤t≤0.5},s 的变化范围是数集B₁={s|0≤s≤175}. 对于数集A₁ 中的任一时刻t, 按照对应关系①,在数集B₁ 中都有唯一确定的路程s 和它对应 探索新知 问题2某电气维修公司要求工人每周工作至少1天至多6天如 果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那 么你认为该怎样确定一个工人每周的工资?一个工人的工资w( 单位： 元)是他工作天数d的函数吗? 探索新知 显然，工资w是一周工作天数d的函数，其对应关系是w=350d② 其 中 ，d的变化范围是数集A₂={1 ,2,3,4,5,6}, w的变化范围是数集 B₂={350,700,1050,1400,1750,2100}. 对于数集A₂中的任一个工作 天数d, 按照对应关系②,在数集B₂中都有唯一确定的工资w与它对应. (3)你能仿照问题(1)中对S和t 的对应关系的精准刻画，给出这 个问题中w 与d的精准表示吗? 判断两个函数是否为同一个函数，不能只是对应关系相同，还要判 断自变量的范围是否一样(也可以引导学生用图象来区分这两个不 同的函数) (2)一个工人的工资w ( 单位：元)是他工作天数d的函数吗?请 说明理由. 工作天数/天 1 2 3 4 5 6 所得工资/元 350 700 1050 1400 1750 2100 思 考 问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同 一个函数吗?为什么? 不是，自变量的取值范围不同. 探索新知 问题3如图是某市某日的空气质量指数( AirQualityIndex, 简称 AQI) 变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻th 的空气质量指 数( AQI) 的值I? 你认为这里的I是t 的函数吗? 04:00 08:00 12:00 16:00 20:00 24:00 某市空气质量指数 探索新知 从图中的曲线可知，t的变化范围是数集A₃={t|0 ≤t≤24}, AQI的值/都在 数集B₃={II0<I<150} 中.对于数集A₃中的任一时刻t, 按照图中曲线所给定 的对应关系，在数集B₃中都有唯一确定的AQI的值1与之对应.因此，这里的I 是t的函数. 探索新知 问题4国际上常用恩格尔系数 个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是 我国城镇居民恩格尔系数变化情况. 年份y 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 恩格尔系数r(%) 32.0 30.1 30.0 29.7 29.3 28.6 27.7 27.6 29.2 28.6 思考 你认为按表给出的对应关系，恩格尔系数r 是年份y 的函数吗? 如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数? 探索新知 这里，y的取值范围是数集A₄ ={2012,2013,2014,2015,2016,2017, 2018,2019,2020,2021}; 根据恩格尔系数的定义可知，r 的取值范围是数集 B₄={rl0< r≤1}. 对于数集A₄中的任意一个年份y, 根据表中所给定的对应关 系，在数集B₄中都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应.所以，r是y的函数. 思考 归纳：上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征?由此你 能概括出函数概念的本质特征吗? 函数的共同特征 (1)都包含两个非空数集，用A,B 来表示； (2)都有一个对应关系； (3)尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对 于数集A中的任意一个数x, 按照对应关系，在数集B中都有唯一确定 的数y和它对应. 函数的对应关系 事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法.为了 表示方便，我们引进符号f 统一表示对应关系. 函数的概念 一般地，设A,B 是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个 数x, 按照某种确定的对应关系f, 在集合B中都有唯一确定的数y和 它对应，那么就称f:A→ B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y= f(x),x∈A. 注意：1.集合B 中可以存在多余“元素”. 2.f(x) 表示“x 对应的函数值”,而不是“f 乘x” 定义域和值域 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值 相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)Ix∈A}叫做函数的值域. 注意：值域是集合B 的子集 函数的传统定义与现代定义的异同点 不同点：传统定义从变量变化的角度，刻画两个变量之间的对应 关系；而现代定义，则从集合间的对应关系来刻画两个非空数集间的 对应关系. 相同点：两种对应关系满足的条件是相同的，"变量x 的每一个 值”及”集合A 中的每一个数”,都有唯——个“y 值”与之对应. 非空性 A,B必须为非空数集. 任意性 定义域中的每一个元素都有函数值. 唯一性 每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. 方向性 函数是一个从定义域到值域的对应关系. 函数的四个特征 概 念 一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x, 按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有 唯一 确定的数y和它对应， 那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 三 要 素 对应关系 y=f(x),x∈A 定义域 X 的取值范围 值域 与x的值相对应的y值的集合 {f(x) 把握概念 x ∈ A} | 特别提醒 (1)A,B 是非空的实数集，定义域是A, 值域是集合B的子集. (2)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性. (3)函数符号“y=f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f 与x的乘积， f(x) 也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系. (4)除f(x) 外，有时还用g(x),u(x),F(x), G(x)等符号表示函数. (5)函数三要素：定义域、对应关系与值域. 探 索 新 知 一次函数y=ax+b(a≠0) 的定义域是R, 值域也是R. 对应关系f 把R中的任意一个数x, 对应到R中唯一确定的数ax+b(a≠0). 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0) 的定义域是R, 值域是B. 当a>0 时 ;当a<0 时 ， .对应关系 f 把R中的任意一个数x, 对应到B中唯一确定的数ax²+bx+c(a≠0). 反比例函数 反比例函数用函数定义叙述为：对于非空数集A={x|x≠0} 中的任 意一个x 值，按照对应关系f: “ 倒数的k(k≠0 倍”,在集合 B={yly≠0} 中都有唯一确定的数 和它对应，那么此时f:A→ B 就是集合A 到集合 B的一个函数，记作 典例分析：函数概念 例 1 (1) 设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2}, 给 出 下 列 四 个 图 形 ： 其中，能表示从集合M 到集合N 的函数关系的个数是( ). B A.0 B.1 C.2 D.3 典例分析 (2) (多选题)下列对应关系是实数集R 上的函数的是( AB ). A.f: 把x 对应到3x+1 B.g: 把x对应到|x+1 C.h : 把x 对应到 D.r : 把x对应到 √x 1.根据图形判断对应关系是否为函数的方法： (1)任取一条垂直于x轴的直线l; (2)在定义域内平行移动直线l; (3)若与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点 或有两个或两个以上的交点，则不是函数. 2.判断一个对应关系是否为函数的方法 两非空实数集A,B 一对一或多对一 A中不能有剩余元素 函数的概念 作出判断 跟踪练习1 1.下列可以表示以M={(x|0≤x≤1} 为定义域，以N={(y|0≤y≤1} 为值域的函数图象是( ) D A B 解析：A 错误，x²+y²=1 可化为y=±√ 1-x², 显然对任意x∈A,y 值不 唯一.B 正确，符合函数的定义.C 错误，2∈A, 在B 中找不到与之相对 应的数.D 错误， -1∈A, 在 B 中找不到与之相对应的数.答案：B 下列对应或关系式中是A到B的函数的是 A.A=R,B=R,x²+y²=1 B. A={1,2,3,4},B={0,1}, 对应关系如图： D.A=Z,B=Z,f:x→y=√2x-1 C.A=R,B=R, ( ) 典例分析：函数的三要素 (1)已知函数y=f(x )的图象如图所示，则该函数的定义域为 ,值域为 解析：根据函数y=f(x) 的图豫知或{x|-2≤x≤4} , 值域{|-2≤y≤3}. {x|-2≤x≤4} {|—2≤y≤3} 解 析 ： 因 ,所以 则 ,所以 又因为10∈{x|x≥2}, 所以f(10)=3. 因此 X x≤1 1<x<2 x≥2 f(x) 1 2 3 (2)已知函数f(x)由下表给出，则 的值为 A.0 B.1 C.2 1.把握对应关系的关键是理解“任意一个x∈A, 都对应唯一的y∈B”. 2.对于含有多层对应关系的问题，可以尝试从里向外逐层代入或者从 外向里逐层求值的方法解决. 关键点：(1)求f(a)时，a必须是f(x)定义域内的x取值，否则无意义； (2)函数的值域井不是函数定义中的集合B. 跟踪练习2 (1)已知 , 且x≠— 1),g(x)=x²+2 解 析 ： ∵g(3)=3²+2=11, (x∈R).则 (2)若函数f(x)=x², x∈{-1,0,1}, 则函数f(x)的值域是 解 析 ： 由x∈{-1,0,1}, 且f(x)=x², ∴f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1. 因此函数f(x) 的值域是{0,1}. {0,1} 构建函数关系的问题情境 试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式 来描述. 把 看作反比例函数，那么它的定义域为 A={x|x≠0}, 值域是 B= {yy≠0}, 对应关系f 把定义域中任意一个数x, 对应到B 中唯一确定的 如果对x 的取值范围作出限制， 例如x∈{x|x>0}, 那么可以构建如下情境： 某工厂现有原材料300 t, 平均每天用去x t, 这批原材料能用y 天，则y 其中，x 的取值范围是 A={x|0<x≤300},y 的取值范围是 B= {yly≥1}, 对应关系f 把每天的使用量x, 对应到唯一确定的使用天 1.下列说法正确的是( C ) A.函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应 B函数的定义域和值域可以是空集 C.函数的定义域和值域一定是非空数集 D.函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了 当 堂 检 测 当 堂 检 测 解析： 由函数的定义知函数值域中的每一个数在定义域中可以有多个数与之对应， A错误；函数的定义域和值域都不是空集，B 错误；函数的定义域和值域一 定是非空数集，C正确；函数的定义域和值域相同，但函数的对应关系可以 不同，如定义域和值域均为{0,1}的函数，对应关系可以是x→x,x ∈{0,1}, 还可以是x→x², x∈{0,1},D 错误 当 堂 检 测 2.下列图象中，可以表示函数的为( ) A. C. B. D. 答案：B 解析：选项A,C,D 的函数图象中存在x, 对应多个不同的函数值， 故不可以表示函数，故B 正确.故选：B. 当 堂 检 测 3.判断下列对应是否为从A 到 B 的函数： (1) A={1,2,3,4,5},B={0,2,4,6,8}, 对任意的x∈A,x→2x ; (2)A={1,2,3,4},B={x|x<10,x∈N} , 对任意的x∈A,x→2x+1; (3)A=B=N*, 对任意的x∈A,x→x-1; (4) A 为正实数集，B=R, 对任意的x∈A,x→ x 的算术平方根. 当 堂 检 测 当 堂 检 测 答案：(1)不是；(2)是；(3)不是；(4)是 解析：( 1 ) 集 合A 中的数5所对应的数为10,但集合B 中没有 10, 所以不是A 到 B 的函数； ( 2 ) 集 合B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 集合A 中的数1,2,3,4 对应的数为3 ,5,7,9 ,都属于集合B, 所以是A 到 B 的函数； 当 堂 检 测 (3)集合A 中的数取1时，对应的数应为0,不属于N, 所以 不是A 到 B 的函数； (4)任何正实数的算术平方根都是实数，所以是A 到 B 的函数. 当 堂 检 测 4. 一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标炮弹的射高为845m, 且 炮弹距地面的高度h (单位：m)与时间t(单位：s)的关系为h=130t-5t² ①求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数. 解 析 ： 定义域为A={t¹0≤t≤26}, 值域为B={hl0≤h≤845}. 对应关系 h=130t-5t² 把集合A中的任意一个数t, 对应到集合B中唯一确定的 数130t-5t ². 当 堂 检 测 5. 2016年11月2日8时至次日8时(次日的时间前加0表示)北京的温度 走势如图所示. 14时 17时 20时 23时 02时 05时 08时 (1)求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域； (2)根据图象，求这一天12时所对应的温度 解析： (1)由题意及图，可设从2016年11月2日8时至次日8时内， 经过时间t 的问题为y℃.则定义域为{t|0≤t≤24}, 值域为 {yl2≤y≤12}. (2)根据图象，可知11时的温度为8℃,14时的温度为12℃ 从11时到14时为一条线段，则12时的温度约为 1.函数的概念 2.定义域和值域 3.函数的共同特征 课堂总结 $