第19课时3.1.2函数的表示法第二课时导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦分段函数的表示法与应用，课堂导入从初中绝对值代数意义切入，衔接函数概念，构建从具体到抽象的知识支架，帮助学生理解分段函数定义及本质。 导学案特色在于分层跟踪训练设计，基础、能力提升、拓展拔高满足不同学生需求，典例精析结合方法总结，通过实际问题建模培养数学建模素养，分层求值与解不等式训练提升数学运算能力，助力学生用数学思维解决问题。

3.1.2函数的表示法 第二课时分段函数 【学习目标】 ①会用解析法及图象法表示分段函数； ②能用分段函数解决生活中的一些简单问题； ③通过分段函数求值问题培养数学运算素养； ④利用分段函数好解决实际问题培养数学建模素养； 【学习重点】 ①理解分段函数定义与本质，掌握分段函数分层求值、解不等式、绘制图象的方法； ②能将含绝对值函数转化为分段函数； ③结合实际情境建立分段函数模型并求解应用问题. 【学习难点】 ①准确区分自变量所属区间代入对应解析式，会处理复合分段函数嵌套求值； ②规范绘制分段函数图象并正确区分端点空心和实心； ③能结合题意找准分界点完成实际问题建模； 一、核心知识梳理（必背必会） 1.初中所学绝对值的代数意义 ，也可合并为，或 2.分段函数 定义 像，这样的函数称为分段函数 本质 函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系 二、典例精析 题型1 分段函数求值问题 例1．已知函数， (1)求，的值； (2)若，求实数的值． 方法总结： 题型2 已知分段函数解不等式 例2（1）已知函数则的解集为（） A． B． C． D． （2）设函数，其中表示，，中的最小者．若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 方法总结： 题型3 分段函数的图象及应用 例3．已知函数 (1)在所给坐标系中，画出的图象. (2)求，的值. 例4．已知函数． （1）用分段函数的形式表示该函数； （2）画出该函数的图象； （3）写出该函数的值域（不需要解答过程）． 反思领悟：分段函数图象的画法 题型4 分段函数在实际问题中的应用 例5．我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过立方米，则水价为每立方米元；第二档，若每户每月用水超过立方米，但不超过立方米，则超过部分水价为每立方米元；第三档，若每户每月用水超过立方米，则超过部分水价为每立方米元，同时征收其全月水费的用水调节税．设某户某月用水立方米，水费为元． (1)试求关于的函数； (2)若该用户当月水费为元，试求该月的用水量； (3)设某月甲用户用水立方米，乙用户用水立方米，若之间符合函数关系：．则当两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？ 方法总结：分段函数应用建模 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．设，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 3．已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 4．已知分段函数，，则实数________． 5．已知函数的图象如图所示，则的值域是________． 6．已知函数，则函数的定义域为_________、值域为_________． 7．已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 8．某公司生产一种电子仪器的固定成本为15000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入满足函数： ，其中是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？（利润＝总收入－总成本） 【能力提升】（多数必做） 9．已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，则____________． 11．已知函数，若，则______. 12．已知两个函数，． (1)当时，求的解析式； (2)当时，求的解析式． 【拓展拔高】（学有余力选做） 13．若关于的不等式无解，则的取值范围是________. 14．设函数则________；若正实数满足，则的一个取值为________． 四、课时小结 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2函数的表示法 第二课时分段函数 【学习目标】 ①会用解析法及图象法表示分段函数； ②能用分段函数解决生活中的一些简单问题； ③通过分段函数求值问题培养数学运算素养； ④利用分段函数好解决实际问题培养数学建模素养； 【学习重点】 ①理解分段函数定义与本质，掌握分段函数分层求值、解不等式、绘制图象的方法； ②能将含绝对值函数转化为分段函数； ③结合实际情境建立分段函数模型并求解应用问题. 【学习难点】 ①准确区分自变量所属区间代入对应解析式，会处理复合分段函数嵌套求值； ②规范绘制分段函数图象并正确区分端点空心和实心； ③能结合题意找准分界点完成实际问题建模； 一、核心知识梳理（必背必会） 1.初中所学绝对值的代数意义 ，也可合并为，或 2.分段函数 定义 像，这样的函数称为分段函数 本质 函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系 二、典例精析 题型1 分段函数求值问题 例1．已知函数， (1)求，的值； (2)若，求实数的值． 思路分析： (1)先判断自变量属于哪一段定义域，代入对应解析式；复合函数由内向外逐层计算，先算内层，再将结果当作自变量求外层函数值； (2)对参数分与两类讨论，分别代入对应解析式列方程组求解. 规范解答： （1）因为，,所以； ，所以，所以； （2）由，解得；由，解得； 综上所述，或． 方法总结： （1）分段函数求函数值：先确定自变量的值属于哪个区间，再选定相应的解析式代入求解； （2）求自变量的值：对自变量的取值范围分类讨论，并代入相应的解析式构成方程组，求解方程组确定自变量取值. 题型2 已知分段函数解不等式 例2（1）已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 答案：B 思路分析：根据分段函数的定义域分和两类情况，分别求解对应不等式后取并集求解. 规范解答： ①当时，，不等式等价于：， 化简可得，解得， 因为，所以此时不等式解集为； ②当时，，不等式等价于：， 当时，得，显然不成立， 当，不等式两边同除以，得，得， 因为，所以此时不等式解集为. 综上，不等式解集为. （2）设函数，其中表示，，中的最小者．若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 答案：C 思路分析：先求出函数的解析式，然后根据，分情况讨论求出对应的的范围即可. 规范解答： 因为函数， 当且时，. 解不等式组得，； 当且时，. 解不等式组得，； 当且时，. 解不等式组得，； 所以， ①当 时，， 若 ，即 ，则 ，不等式 恒成立，故符合题意； 若，即，则 ， 不等式化为，解得 或 ，所以符合题意， 所以 符合题意； ②当 时，，此时，故， 不等式为 ，即 ，解得 ，综合可得符合题意； ③当 时，，，不等式为 ，即 ，无解． 综上所述，实数的取值范围为 ． 方法总结： 已知分段函数，解不等式时，为简化计算，将分段函数按段分开，分别求解每段对应不等式，解完和本段定义域取交集，最后全部结果取并集. 题型3 分段函数的图象及应用 例3．已知函数 (1)在所给坐标系中，画出的图象. (2)求，的值. 思路分析：（1）分段函数分两段作图，第一段是开口向下抛物线，限定；第二段是一次函数线段，限定；注意端点空心、实心. （2）先判断自变量落在哪一段定义域，代入对应解析式；嵌套函数从内层向外逐层计算. 规范解答： （1）当时，，是开口向下的抛物线，顶点为， 关键点：由时，，及时，，结合可得实心点，空心点； 当时，，是一条线段， 关键点：由时，，及时，，结合可得实心点和， 作图要点：画抛物线弧，从到空心；画直线段，从实心到实心. 作出函数的图象如图所示： （2）（2） 例4．已知函数． （1）用分段函数的形式表示该函数； （2）画出该函数的图象； （3）写出该函数的值域（不需要解答过程）． 思路分析 （1）由绝对值的代数意义，以的根为界，把定义域拆成两段：与，分别去掉绝对值符号化简解析式； （2）根据化简后的分段一次函数，取关键点坐标，在给定坐标系画图，注意端点虚实； （3）观察图像或者直接求两段函数在对应区间上取值，合并得到值域. 规范解答; （1）当时，，所以； 当时，，所以． 所以 （2）当时，，这是一条线段，且由时，，及时，可知线段不含两个端点和，需画成空心圈； 当时，是一条水平线段，且由时，，及时，，可知这条水平线段包含两个端点和； 两条线段在点处相连，故只需将端点画出空心圈即可. 函数的图象如图所示： （3）观察（2）中函数图象可知，函数在上的值域为． 反思领悟：分段函数图象的画法 （1）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可.作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏； （2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先要根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象. 题型4 分段函数在实际问题中的应用 例5．我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过立方米，则水价为每立方米元；第二档，若每户每月用水超过立方米，但不超过立方米，则超过部分水价为每立方米元；第三档，若每户每月用水超过立方米，则超过部分水价为每立方米元，同时征收其全月水费的用水调节税．设某户某月用水立方米，水费为元． (1)试求关于的函数； (2)若该用户当月水费为元，试求该月的用水量； (3)设某月甲用户用水立方米，乙用户用水立方米，若之间符合函数关系：．则当两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？ 思路分析： （1）根据题意确定分段节点，讨论各段的表达式，得到函数解析式； （2）结合（1）中的函数解析式，代入求解； （3）根据题意整理可得，结合二次函数的性质运算求解. 规范解答：（1）因为某户该月用水立方米， 按收费标准可知，当时，； 当时，； 当时，． 所以 （2）由题可得，当该用户水费为元时，处于第二档， 所以， 解得． 所以该月的用水量为立方米． （3）因为， 所以． 当时，，此时． 所以此时两户一共需要支付的水费是元． 方法总结：分段函数应用建模 （1）引入变量：读题，在理解题意的基础上，引入变量，将实际问题抽象为函数问题； （2）找分段临界点：从题目条件中找出自变量的分界点（如用水量 20、30），划分出自变量不同取值区间； （2）逐段列解析式，建立分段函数 对每一个自变量区间，根据题意写出该段的函数表达式 （3）综合写出分段函数. 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：，，则． 2．设，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 答案：C 解析：由已知，所以. 3．已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 答案：B 解析：①当时，，不等式等价于：， 化简可得，解得， 因为，所以此时不等式解集为； ②当时，，不等式等价于：， 当时，得，显然不成立， 当，不等式两边同除以，得，得， 因为，所以此时不等式解集为. 综上，不等式解集为. 4．已知分段函数，，则实数________． 答案：或2 解析：当时，，解得； 当时，，解得（舍）或， 所以或. 5．已知函数的图象如图所示，则的值域是________． 答案： 解析：由图知，当，，当，， 因为，所以的值域是. 6．已知函数，则函数的定义域为_________、值域为_________． 答案： 解析：作出分段函数的图象，由图象判断函数的定义域、值域． 作出图象如图所示． 利用数形结合易知的定义域为，值域为． 7．已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 解析：（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． （2），，， 即. （3）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 8．某公司生产一种电子仪器的固定成本为15000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入满足函数： ，其中是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？（利润＝总收入－总成本） 解析：（1）因为月产量为台，则总成本为， 所以当时，， 当时，， 综上，. （2）当时，. 所以当时，取得最大值，最大值为30000； 当时，是减函数， 所以. 综上，当时，的最大值为30000，即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为30000元． 【能力提升】（多数必做） 9．已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 答案：A 解析：由题意得，. 若，即，，解得. 若，即，，解得. 综上所述，. 10．已知函数，则____________． 答案： 解析：由题意可得：. 11．已知函数，若，则______. 答案：或 解析：当时，，解得，则； 当时，，解得， 则或； 综上：或. 12．已知两个函数，． (1)当时，求的解析式； (2)当时，求的解析式． 解析：（1）当时，，故； （2）当时，，故． 【拓展拔高】（学有余力选做） 13．若关于的不等式无解，则的取值范围是________. 答案： 解析：因为，函数如图： 的最小值为－3，所以当且仅当时，不等式无解. 14．设函数则________；若正实数满足，则的一个取值为________． 答案： （答案不唯一） 解析：①因为，根据分段函数解析式，； 又，代入的解析式得，因此. ②已知，故，得； 因为，得. 将上述结果代入不等式 ， 由题意，结合求解， 解右侧不等式，化简得，两边同乘得，解得； 解左侧不等式，两边同乘得， 二次方程的正根为，故解得. 综上的取值范围是，可取（答案不唯一）. 四、课时小结 (1) 核心概念：分段函数定义与本质；绝对值函数转分段函数；分段函数求值、解不等式、图像绘制；分段函数实际建模；复合分段函数； (2) 工具：分类讨论、数形结合思想；分层代入法；图像端点虚实区分；应用题分段临界点分析法； (3) 解题核心：求值先判断自变量区间再代对应解析式，复合函数由内向外计算；画图分段绘制，严格区分空心、实心端点；解不等式分段求解后取交集再合并；实际问题先找分界点，逐段列出解析式. 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $