3.1函数的概念及其表示（第2课时　区间、定义域与同一函数）教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数的区间表示、定义域求法及同一函数判定，通过复习函数定义与三要素衔接上一课时，以“集合能否简化表示”设问引出区间，构建从集合到区间的知识支架。 本资料特色在于以数轴直观呈现区间（数学眼光），问题串驱动逻辑辨析如“∞能否用闭区间”（数学思维），例3第（3）小题反例强化同一函数判断（数学语言），分层设计适配学情，预设详细助教师把控课堂，提升学生严谨思维与教师教学效率。

3.1　函数的概念及其表示（第2课时） 区间、定义域与同一函数·教案　人教A版　必修第一册　本节共4课时，本课时是第2课时 一、教材分析 本节是人教A版必修第一册第60—73页的内容，处在第三章的开头，是整个高中函数学习的地基。初中已经用“变量的依赖关系”说过一次函数，这里要用集合语言和对应关系重新说一次，把定义域从背景推到台前，再引进符号f(x)。全节共4课时：第一课时建立函数概念与三要素，第二课时学区间、求定义域、判断同一函数，第三课时学三种表示法与求解析式，第四课时学分段函数及其应用。本课时是第二课时，承接上一课时建立的定义与三要素，往下解决三件事：把连续的数集写成区间、求具体函数的定义域、判断两个函数是不是同一个。教材把区间安排在函数定义之后、例2之前，位置很讲究——区间只是集合的另一种写法，不是新知识，但后面所有的定义域、值域都要用它来表述。最值得教的是教材例3第（3）小题，y＝x与y＝定义域相同却不是同一个函数，这是全节唯一能打破“定义域相同就是同一个”这一错觉的反例。高频考点是求含分式、根式、零次幂的定义域和判断同一函数，月考选择填空必出。 二、学情分析 学生上一课时已经建立了函数的定义与三要素，会写{x|0≤x≤0.5}这样的集合。本课时预计的困难有三处：其一，区间的记号本身不难，难在纪律——学生会写出[2，＋∞]、会用逗号连接两段、会把{1，2，3}写成区间；其二，求定义域时先化简，把y＝的定义域写成R；其三，判断同一函数时只看定义域，一旦定义域相同就判“是”，教材例3第（3）小题会大面积做错。对策分别是：在数轴上把端点画出来，问“＋∞这个点在哪”；把“先定域后化简”立成纪律，反复引用；在例3第（3）小题处取x＝－2当场代入，让两边算出不同的值，这个反例留在黑板上整节课不擦。优生班加抽象函数定义域的双向转化；普通班只做单向转化，把“括号里的整体范围不变”这句话记住即可。 三、教学目标 1．会用四种区间记号表示相应的数集，会在数轴上标出区间，会把不等式表示的解集改写成区间。 2．知道“有意义”的五条常见约束，会求含分式、偶次根式、零次幂的具体函数的定义域。 3．（★）会由f(x)的定义域求f(g(x))的定义域，反之亦然。 4．会按“先求定义域、再比对应关系”的三步判断两个函数是不是同一个函数。 四、教学重难点 重点　区间的记号与用法；具体函数定义域的求法；同一函数的判定。 难点　抽象函数的定义域；定义域相同而对应关系不同的辨析。 五、教学方法与教具准备 以问题串驱动，讲练结合，数轴贯穿全课。本课时配课件20页，问答同页，答案单击浮入；学案附参考答案；课时作业（二）A组8题全体必做，B组3题标★。板书主张一条：例题的解题过程一律在黑板上一步步写，尤其是例2求定义域的“列不等式—求交集—写成区间”三步，一步都不能省。教具：多媒体课件、直尺（画数轴）、彩色粉笔。 六、教学过程 环节一　复习回顾（约5分钟） 问题1　默写函数的定义，并说出函数的三要素。 师生活动：　全班在学案上默写，限时2分钟，同桌互批，教师抽查两本。 明确：　设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，xA。三要素是定义域、对应关系、值域。 问题2　上节课我们说，问题1与问题2的对应关系都是y＝350x，但不是同一个函数。今天要把这件事说清楚，还要解决一个新问题：{x|0≤x≤0.5}这样的集合，有没有更省事的写法？ 环节二　区间（约10分钟） 讲授并板书：　设a、b是两个实数，且a＜b。满足a≤x≤b的实数x的集合叫闭区间，记作[a，b]；满足a＜x＜b的叫开区间，记作(a，b)；满足a≤x＜b或a＜x≤b的叫半开半闭区间，分别记作[a，b)、(a，b]。a、b叫做区间的端点。数轴上，实心点表示端点包括在内，空心点表示不包括在内。 讲授并板书：　R可以写成(－∞，＋∞)。满足x≥a、x＞a、x≤b、x＜b的集合，分别记作[a，＋∞)、(a，＋∞)、(－∞，b]、(－∞，b)。“∞”读作无穷大。 练习1：　把下列集合改写成区间：{x|－1＜x≤5}；{x|x≥2}；{x|x3}；{x|0≤x≤0.5}；{x|x≤0或x＞4}。 师生活动：　行式完成学案探究一，限时2分钟，五生依次口答，教师在黑板的数轴上同步画出前两个。 明确：　(－1，5]；[2，＋∞)；(－∞，3)∪(3，＋∞)；[0，0.5]；(－∞，0]∪(4，＋∞)。 预设：　第三个一定有学生写成一个区间，或者用逗号把两段连起来。教师在数轴上把3挖掉，指着两条射线问“这是一段还是两段”，然后立规矩：两段之间写∪，不写逗号。 问题3　写成[2，＋∞]行不行？{1，2，3}能写成区间吗？ 明确：　都不行。∞是趋势，不是数，取不到，所以这一端永远配小括号；区间只表示连续的实数集合，孤立的几个数写不成区间。教材第73页最后一道思考题问的就是这件事。 环节三　求函数的定义域（约13分钟） 问题4　如果只给解析式，不说定义域，定义域是什么？ 明确：　（教材第65页原话）如果只给出解析式y＝f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。 归纳：　“有意义”的常见约束：①分母不为0；②偶次根式的被开方数不小于0；③零次幂的底数不为0；④几个式子相加减取交集；⑤实际问题还要受实际意义限制。 例1　（教材第65页例2）已知f(x)＝＋。（1）求定义域；（2）求f(－3)、f()；（3）当a＞0时，求f(a)、f(a－1)。 师生活动：　第（1）问全班一起做，教师板书；第（2）（3）问学生独立完成，两生板演，全班订正。 解： 　　（1）使有意义的x的集合是{x|x≥－3}，使有意义的x的集合是{x|x－2}， 　　　　所以定义域是{x|x≥－3，且x－2}，即[－3，－2)∪(－2，＋∞)。 　　（2）f(－3)＝＋＝－1； 　　　　f()＝＋＝＋＝＋。 　　（3）因为a＞0，所以f(a)、f(a－1)有意义。 　　　　f(a)＝＋； 　　　　f(a－1)＝＋。 预设：　第（3）问会有学生写成f(a－1)＝f(a)－1或者只把第一处的x换成a－1。教师把f看作机器：括号里放什么，解析式里每一个x就整体换成什么，一处不漏。 ★拔高探究（优生班）　已知f(x＋1)的定义域是[－1，3]，求f(x)的定义域，再求f(2x)的定义域。 解： 　　由x[－1，3]得x＋1[0，4]，f作用的对象是x＋1，所以f的定义域是[0，4]； 　　再由0≤2x≤4，得x[0，2]。 （普通班替代）：　只做前半问——已知f(x)的定义域是[0，4]，求f(x＋1)的定义域，答案[－1，3]。方向单一，先把“括号里的整体范围不变”这句话记住。 环节四　同一个函数（约12分钟） 问题5　两个函数满足什么条件才算同一个函数？ 明确：　定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同。因为值域由这两者决定，所以只看这两条。 例2　（教材第66页例3）下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数？（1）y＝()²；（2）u＝；（3）y＝；（4）m＝。 师生活动：　学生独立完成学案探究四，限时4分钟；四生分别说结论与理由，教师板书第（3）小题的完整过程。 解： 　　（1）()²＝x，定义域是{x|x≥0}，与R不同，不是同一个函数。 　　（2）＝v，定义域是R，对应关系相同，是同一个函数。 　　（3）＝|x|，定义域是R，与y＝x相同；但当x＜0时，|x|＝－xx，对应关系不同， 　　　　所以不是同一个函数。 　　（4）＝n，定义域是{n|n0}，与R不同，不是同一个函数。 预设：　第（3）小题多数学生会判“是”，因为定义域相同。教师取x＝－2代进去：y＝x得－2，y＝得2，两个值不一样。这是本节最关键的反例，要在黑板上留着不擦。 归纳：　判断同一函数三步——先各自求定义域（不许先化简）；定义域不同，直接判否；定义域相同，再化简比对应关系。字母不同不影响判断，y＝x²（xR）与u＝t²（tR）是同一个函数。 环节五　当堂检测与小结（约5分钟） 检测：　学案“当堂检测”四小题，限时3分钟。 归纳：　区间三条纪律：前小后大、∞配小括号、两段之间用∪。定义域一句话：先定域后化简。同一函数三步：求域、比域、比关系。 布置：　课时作业（二）；预习教材第67—68页三种表示法。 七、板书设计 3.1.1　区间·定义域·同一函数（第2课时） 一、区间　[a，b]　(a，b)　[a，b)　(a，b] 　　(－∞，＋∞)　[a，＋∞)　(－∞，b] 　　三条：前小后大／∞配小括号／两段用∪ 二、定义域　分母0　偶次根式≥0　零次幂底0　取交集 三、同一函数　求域→比域→比关系 　　反例 y＝x 与 y＝（红笔，不擦）　［副板面：例1演算区］ 八、附：课堂预设 1．区间写成[2，＋∞]。——在数轴上把端点画出来，问“＋∞这个点在哪”，学生自己发现找不到。 2．用逗号连接两段区间。——把挖掉的点在数轴上圈出来，问“这是一段还是两段”，然后立规矩：两段之间写∪。 3．把{1，2，3}写成区间。——在数轴上标出三个孤立的点，问“中间那些数在不在集合里”。 4．求定义域时先把式子化简。——引用上一课时立的纪律“先定域，后化简”，并把错解上黑板用红笔标出。 5．f(a－1)写成f(a)－1，或只换一处x。——把f比作机器：括号里放什么，解析式里每一个x就整体换成什么，一处不漏。 6．判断y＝x与y＝时判成同一个函数。——取x＝－2代进去，两边分别得－2与2。这个反例留在黑板上整节课不擦。 7．判断同一函数时看到字母不同就判否。——举y＝x²（xR）与u＝t²（tR），说明字母只是名字。 8．抽象函数定义域直接照抄括号里的区间。——强调f后面括号里的东西才是f作用的对象，它的范围才是f的定义域。 九、备教手记（课后填写） 这一课时上完，我要回头核对四件事。第一，区间的三条纪律有没有落地——看作业里写定义域那几题，还有多少人写[2，＋∞]、多少人用逗号连接两段。第二，例1第（3）问f(a－1)的错误率，如果超过三成，说明“机器”这个比方讲得不够。第三，例3第（3）小题那个反例当堂有多少人转过弯，作业第5、6两题同类的错误率是多少，如果还是过半，说明我在黑板上停留的时间不够。第四，★拔高探究普通班到底做了没有，如果多数人卡住，第三课时开头不要再提抽象函数，等做完解析式再回来补。 学科网（北京）股份有限公司 $