3.1 函数的概念及其表示教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数的概念及其表示，涵盖集合对应定义、定义域值域、区间表示、三种表示法及分段函数。通过高铁行驶情境导入，从初中变量定义过渡到高中集合对应定义，搭建旧知到新知的学习支架。 特色在于以生活实例抽象对应关系，借助多媒体课件（含高铁、出租车情境）和动态动画（数轴区间、分段函数图象），培养数学眼光。通过正反例辨析（如判断同一函数）深化“唯一确定”理解，发展数学思维。区间表示与分段函数图象教学，提升数学语言表达能力。助力学生逻辑推理与抽象概括，为教师提供直观教学工具，提升课堂效率。

必修第一册 3.1 函数的概念及其表示 高一 数学 人教A版 教学设计-2026-2027学年 一、教学目标 （1）能用集合与对应的语言刻画函数概念，准确说出定义域、值域与对应关系的含义，体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型。 （2）会求简单函数的定义域，能用区间表示数集，理解闭区间、开区间、半开半闭区间及无穷区间的端点规则。 （3）掌握解析法、列表法、图象法三种表示法，能根据实际问题选择恰当方法表示函数，会画简单分段函数的图象。 （4）能依据定义域相同且对应关系一致判定两个函数是否为同一函数，提升逻辑推理与抽象概括能力。 二、教学重难点 教学重点 教学难点 用集合与对应语言刻画的函数概念、定义域的求法、区间的表示、函数的三种表示法与分段函数。 对“唯一确定”的理解与函数图象的判据、同一函数的判定（定义域与对应关系都要相同）、分段函数及其图象的建立。 教学关键 抓住“任意一个x都有唯一确定的y与之对应”这一核心，借助反例与图象辨析。 突破策略 从生活实例抽象对应关系，通过对比正反例深化理解，借助数轴直观呈现区间端点。 三、教学准备 教师准备：多媒体课件（含高铁行驶、出租车计费等情境素材）、数轴区间演示动画、分段函数图象动态生成脚本。 学生准备：复习初中函数定义，回顾一次函数、二次函数、反比例函数的基本形式，预习课本函数概念相关段落。 教具：直尺、彩色粉笔、方格黑板贴，便于学生上台绘制分段函数图象并标注端点。 四、教学流程设计 （一）创设情境，探究发现（约10分钟） 教师活动：出示情境——某高铁从甲站到乙站全程300 km，设计时速300 km/h，列车匀速行驶。教师提问：“行驶时间t与行驶路程s之间是什么关系？如果只看前半程，每一个t是否只对应一个s？” 学生活动：学生列出 s=300t（0 ≤ t ≤ 1），体会到每一个时间t都有唯一确定的路程s与之对应。 教师追问：“如果把t的取值范围扩大到全体实数，这个对应还符合实际吗？由此你能发现什么？”预设回答：不符合实际，因为行驶时间不可能为负数，说明必须明确自变量的取值范围。 教师归纳：初中我们学过函数的变量定义，高中需要用集合与对应的语言更严格地刻画。一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集。 教师强调：函数符号f(x)表示x对应的函数值，整体是一个数，而不是f乘以x。一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域，因为值域由定义域和对应关系决定，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。 思考题：对于函数y=x²，x∈{−1, 0, 1, 2}，求其定义域和值域。答案：定义域为{−1, 0, 1, 2}；当x=−1时y=1，x=0时y=0，x=1时y=1，x=2时y=4，故值域为{0, 1, 4}。 （二）概念深化，区间表示（约12分钟） 教师活动：为了简化定义域的书写，引入区间概念。设a，b是两个实数，且a<b，规定：满足a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，记为[a, b]；满足a<x<b的实数x的集合叫做开区间，记为(a, b)；满足a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记为[a, b)、(a, b]。a与b叫做相应区间的端点，数轴上用实心点表示包含的端点、空心点表示不包含的端点。 教师补充无穷区间：实数集R记为(−∞, +∞)；x≥a记为[a, +∞)，x>a记为(a, +∞)，x≤b记为(−∞, b]，x<b记为(−∞, b)。符号“∞”读作“无穷大”，它不是一个具体的数。 例1：已知函数f(x)= + ，求其定义域，并用区间表示。 解析：要使解析式有意义，需同时满足偶次根式被开方数非负且分母不为零。由x+2≥0得x≥−2，由x−3≠0得x≠3。两个条件取交集，定义域为{x|x≥−2且x≠3}，用区间表示为[−2, 3)∪(3, +∞)。答案：[−2, 3)∪(3, +∞)。 易错提醒：求定义域时常见错误有两种，一是只考虑根式而遗漏分母不为零的条件，二是求出各条件后误用“或”连接而非取交集。教师提醒：多个限制条件必须同时满足，用“且”连接再取交集。 （三）变式思考，解决问题（约15分钟） 教师活动：函数有三种表示法——解析法（用解析式表示对应关系）、列表法（列出表格表示对应关系）、图象法（用图象表示对应关系）。不同表示法各有优劣，实际问题中应根据需要灵活选择。 例2：判断下列各组函数是否为同一函数，并说明理由。 （1）f(x)=x²，x∈R 与 g(t)=t²，t∈R；（2）f(x)=x 与 g(x)=；（3）f(x)=x+1，x∈Z 与 g(x)=x+1，x∈R。 解析：（1）两函数定义域均为R，对应关系都是平方运算，自变量字母不同不影响对应关系，故是同一函数。（2）g(x)==|x|，当x<0时f(x)=x<0而g(x)=−x>0，对应关系不一致，故不是同一函数。（3）f的定义域为整数集Z，g的定义域为实数集R，定义域不同，故不是同一函数。答案：（1）是；（2）不是；（3）不是。 教师追问：“判断同一函数需要看哪几个要素？”预设回答：只需看定义域和对应关系是否都相同，值域由前两者决定。 例3：画出函数y=|x|的图象，并写出其解析式。 解析：当x≥0时y=x，当x<0时y=−x，故y=|x|可写为分段函数形式 y={−x, x<0；x, x≥0}。图象由两条射线组成，在原点处连续，呈V字形。像这样在定义域的不同部分用不同解析式表示的函数称为分段函数。答案：y={−x, x<0；x, x≥0}，图象为V字形折线。 教师提问：“分段函数是一个函数还是多个函数？”预设回答：分段函数是一个函数，只是在定义域的不同部分有不同的对应关系，定义域是各段自变量取值集合的并集。 （四）延伸拓展，巩固提升（约5分钟） 例4：已知函数 f(x)={2x+1, x≤0；x²+1, x>0}。（1）求f(−1)，f(2)的值；（2）若f(a)=5，求a的值。 解析：（1）因为−1≤0，所以f(−1)=2×(−1)+1=−1；因为2>0，所以f(2)=2²+1=5。（2）当a≤0时，f(a)=2a+1=5，解得a=2，与a≤0矛盾，舍去；当a>0时，f(a)=a²+1=5，解得a²=4，即a=2或a=−2，又a>0，故a=2。答案：（1）f(−1)=−1，f(2)=5；（2）a=2。 课堂练习： 1. 求函数f(x)= + 的定义域（用区间表示）。解析：由3−x≥0得x≤3，由x+1≠0得x≠−1，取交集得(−∞, −1)∪(−1, 3]。答案：(−∞, −1)∪(−1, 3]。 2. 判断函数y=x⁰（x≠0）与y=1（x∈R）是否为同一函数。解析：y=x⁰的定义域为{x|x≠0}，y=1的定义域为R，定义域不同，故不是同一函数。答案：不是同一函数。 （五）课堂小结（约2分钟） 教师提问：“本节课你学到了哪些核心概念？”预设回答：函数的集合对应定义、定义域与值域、区间表示法、三种表示法、同一函数的判定、分段函数。 教师总结：函数的三要素是定义域、对应关系和值域，其中值域由定义域和对应关系决定。判断同一函数只需比较定义域和对应关系。区间是表示连续数集的简洁工具，注意端点的开闭。分段函数是一个函数而非多个函数，各段定义域的并集是整个函数的定义域。 （六）课后作业（约1分钟） 1. 求下列函数的定义域（用区间表示）：（1）f(x)= + ；（2）g(x)=。答案：（1）由x−1≥0且5−x≥0得1≤x≤5，定义域为[1, 5]。（2）由x²−4≠0得x≠2且x≠−2，定义域为(−∞, −2)∪(−2, 2)∪(2, +∞)。 2. 已知f(x)={x+2, x<0；0, x=0；x−2, x>0}，求f(−3)，f(0)，f(5)的值。答案：f(−3)=−3+2=−1；f(0)=0；f(5)=5−2=3。 3. 判断f(x)=与g(x)=|x|是否为同一函数，并说明理由。答案：=|x|对一切x∈R成立，两函数定义域均为R，对应关系一致，故是同一函数。 学科网（北京）股份有限公司 $