2026-2027学年江西省抚州市高三数学上学期开学自编模拟卷

**基本信息** 高三开学一轮复习模拟卷，以基础巩固与能力提升为核心，通过统计案例、导数新定义等情境设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据观念，适配北师大版复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、向量、统计、数列、导数、立体几何、函数性质|第7题空间直角坐标系新信息题，培养数学抽象与创新意识| |填空题|3/15|不等式、二项式定理、概率|第14题“局部等比数列”新定义，考查逻辑推理| |解答题|5/77|统计案例、解三角形、立体几何、解析几何、导数应用|第15题独立性检验结合概率计算，体现数据观念；第19题导数性质P探究，层次分明，适配高考综合题命题趋势|

2026-2027学年江西省抚州市高三数学上学期开学自编模拟卷 （北师大版2019） 一、单选题 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，集合，而， 因为，所以. 2．已知向量，，，，则（   ） A． B． C．3 D．7 【答案】B 【详解】因为 ，， ， 所以 ， 所以 ， 所以. 3．某健身记录了8位用户昨日运动消耗的卡路里（单位：千卡），数据如下：，，，，，，，．则这组数据的分位数为（    ） A．150 B．165 C．180 D．200 【答案】B 【详解】，故这组数据的分位数为. 4．已知数列满足：，，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【详解】因为，所以，， ，，, ，，， . 5．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导得到导函数，代入横坐标得到切线斜率，点斜式写出切线，整理成一般式即可. 【详解】根据题意，当时，，所以切线方程为，即. 6．在菱形中，若，，则菱形的内切圆面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设结合等面积法可得内切圆半径，据此可得答案. 【详解】设菱形内切圆圆心为，内切圆半径为，菱形面积为， 则 ，由题设可得该菱形为两全等正三角形构成， 则，，从而， 则内切圆面积为. 7．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据材料求得平面的法向量和直线的方向向量，再结合空间向量的数量积求直线与平面所成角的正弦值即可. 【详解】根据材料可知平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 因为直线是两平面与的交线，设的方向向量， 则，取可得的一个方向向量， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为， 故选：A 8．已知函数（不恒为零）、其中为的导函数，对于任意的，，满足，且，，则（    ） A． B．是偶函数 C．关于直线对称 D． 【答案】C 【分析】借助赋值法令，即可得A；结合赋值法与函数奇偶性的定义计算可得B；结合复合函数导数公式与对称性可得C；借助赋值法，可逐项计算出到，即可得解. 【详解】对A：令，有，故，故A错误； 对B：令，有，又不恒为零， 故，即，又，故是奇函数，故B错误； 对C：令， ； 令， 当时，有， ； 当，有， ， 当，结合，有， ， ， 综上，，， 关于直线对称， 所以关于直线对称，故C正确； 对D：由，故， 令，有， 即，则，即， ，即，，即， 令，有， 即，则， ，， 故，故D错误. 二、多选题 9．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由，得， ∴，，，. 故ABD正确. 10．已知函数，则（   ） A．函数的值域为 B．函数的单调递增区间为， C．曲线关于直线对称，其中 D．函数有两个零点 【答案】AC 【分析】A.先求出的周期是，所以只需考虑的一个周期内求值域；B.举反例，对，取，则，但没有在上单调递增，与选项矛盾；C.验证到 ，对任意成立，则曲线关于直线对称，其中；D. 的值域为，则分四段讨论：，，，，得到对应的零点个数，从而得到只有1个零点. 【详解】选项 A，，的周期为， ， ，故的周期是，所以只需考虑函数的一个周期内求值域， 当，，， 当，，， ，，， ，，， 所以，函数的值域为，又的周期是，所以的值域为，A正确； 选项 B，举反例，对，取，则，，，此时函数在上单调递增，在上单调递减，所以没有在上单调递增，B错误； 选项 C，，， ，对任意成立，所以是的对称轴，C 正确； 选项 D，令， 的值域， 时，，, 则 无零点； 时，， 则无零点； 时，此时 故,又,所以,则无零点； 时， 先讨论，，则， ，因为，所以且等号仅在端点处成立，所以在单调递减， ，，由零点存在定理得，在内有且仅有1个零点，又因为时， 无零点，所以这个唯一零点必然落在上， 综上，有且仅有1个零点,D错误. 11．已知抛物线：的焦点为，若直线过点与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．一定为钝角 C．直线的斜率最大值为 D．若，则 【答案】ABD 【分析】先利用直线过定点确定抛物线焦点，求出的值判断A；直线与抛物线联立，写出韦达定理，利用向量数量积的符号判断B；由中点坐标得到斜率表达式，用基本不等式求最值判断C；写出中垂线方程，求出坐标，分别计算与焦点弦，把化为关于的函数，求其值域判断D. 【详解】选项A，抛物线：的焦点为， 因为直线过抛物线焦点，所以，解得， 则抛物线方程为，抛物线准线方程为，A正确； 选项B，设直线与抛物线的交点为， 联立直线与抛物线方程，消去，整理得， 因，则，， 则， 且不共线，故一定为钝角，B正确； 选项C，设弦的中点为，则， 将代入，得到，即， 于是，， 当时，，当时，， 当时，，当且仅当，即时取等， 即的最大值为，C错误； 选项D，，， 当时，，此时,则， ，可得，解得； 当时，，中垂线斜率为，， 则的中垂线方程为， 将代入上式，整理得 ，则得， 故， 因为，所以， 因为，则，即的取值范围为，D正确. 三、填空题 12．设，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 得， 当且仅当，即时取等号． 13．将二项展开式中的各项等可能地随机重新排列，观察排列中是否存在系数为负数的项相邻，若存在，则记随机变量，否则记，则___________． 【答案】/0.4 【分析】先分析二项展开式中系数为负数的项的个数，再计算排列中存在系数为负数的项相邻（即）的概率，最后即可根据期望的定义计算． 【详解】二项式的通项公式为， 显然该二项式展开共有项，且当时，即第项系数为负数， 所以存在系数为负数的项相邻的排列数为, 又排列总数为，所以， 因此． 14．若数列不是等比数列，且使得，那么称数列为“局部等比数列”．若从集合中抽取个数构成一个数列，则数列为“局部等比数列”的概率为__________． 【答案】 【分析】充分理解“局部等比数列”的概念，运用排列求总数，然后分类讨论即可 【详解】从集合中抽取个数构成一个数列，共有种情况， 若数列为“局部等比数列”，则数列中仅连续三项等比， 这三项共有四类： 第一类：2，4，8或8，4，2，此时共有6种情况， 分别是：2，4，8，32或16，2，4，8或32，2，4，8， 8，4，2，16或8，4，2，32或32，8，4，2； 第二类：4，8，16或16，8，4，此时共有4种情况， 分别是：4，8，16，2或32，4，8，16， 16，8，4，32或2，16，8，4； 第三类：8，16，32或32，16，8，此时共有6种情况， 分别是：8，16，32，2或8，16，32，4或2，8，16，32， 32，16，8，2或2，32，16，8或4，32，16，8； 第四类：2，8，32或32，8，2，此时共有8种情况， 分别是：2，8，32，4或2，8，32，16或4，2，8，32或16，2，8，32， 32，8，2，4或32，8，2，16或4，32，8，2或16，32，8，2； 所以若数列为“局部等比数列”，则共有种情况， 故数列为“局部等比数列”的概率为. 四、解答题 15．某种疾病患者通常选择药物，两种中的一种服用治疗．为了了解治疗效果，分别从服用这两种药物的病人中各随机抽出100人，对用药一段时间后的治疗效果良好与一般的结果统计如下表： 良好 一般 合计 服用 85 服用 20 合计 (1)完成上面的列联表，根据小概率值的独立性检验，是否能认为治疗效果良好与服用，药物有关联？ (2)在抽出的200名疾病患者中，随机选出1人，选到治疗效果良好的为事件，选到服用药物的为事件，求，，． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) 良好 一般 合计 服用 85 15 100 服用 80 20 100 合计 165 35 200 不能认为治疗效果良好与服用，药物有关联 (2)，， 【分析】（1）根据独立性检验的相关知识解决； （2）利用古典概型的概率公式求解. 【详解】（1） 良好 一般 合计 服用 85 15 100 服用 80 20 100 合计 165 35 200 零假设为：治疗效果良好与服用，药物无关联， 根据上表可知，， 所以根据小概率值的独立性检验，不能认为治疗效果良好与服用，药物有关联． （2）因为在200人中治疗效果良好的人数为165，所以，   在200人中服用药物的人数为100，所以，     因为在200人中有85人服用药物且治疗效果良好， 所以． 16．在中，角，，对应的边分别为，，，，． (1)若，求； (2)当为何值时，的面积最大？并求出的最大值． 【答案】(1) (2)当为时，取得最大值． 【分析】（1）根据正弦定理及三角形内角和求解即可. （2）根据余弦定理及三角形面积公式，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理，得， 因为，所以． 故． （2）由（1）可得， 由余弦定理得，即． 又，则， 所以，当且仅当时，等号成立． 则． 因此，当为时，取得最大值． 17．如图，在直四棱柱中，，，，，为棱的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：连接，由题可知四边形为正方形，所以， 因为，， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以． 取中点，连接，，因为，，， 所以， 因为四棱柱为直四棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 又， 因为平面, 所以平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以． (2)． 【分析】（1）先证，再利用直棱柱的线面垂直关系证明平面，从而得到； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的正弦公式进行计算． 【详解】（1）略． （2）如图，由（1）知三条直线，，两两垂直，以为坐标原点， 分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则：，，，，． 设平面的一个法向量为，，, 则，即，令得，， 所以，， 故， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18．已知双曲线，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，． (1)求的方程； (2)求面积的最小值． (3)过点作直线的垂线，垂足为，证明：直线QN过定点 【答案】(1) (2) (3)证明：由题知，由（1）知， 由（2）知， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得 因为，所以 而，所以，则， 所以过定点； 【分析】（1）根据题意，令，代入双曲线求参数值，即可得方程； （2）设，,,联立双曲线并应用韦达定理，应用三角形面积公式、弦长公式，结合求面积的最小值. （3）结合（2）中的韦达定理，直线，双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标； 【详解】（1）由轴时，，可令 代入双曲线得，又因为 解得，则所求方程为； （2）设，，由（1）知， 由斜率不为0，可设 联立双曲线并整理得， 则， 所以，， ， 由得，令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. （3）略 19．设函数的定义域为，其导函数为，若存在，使得成立，则称函数具有性质． (1)判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)若函数具有性质，且满足条件的恰有三个，求的取值范围； (3)证明：函数具有性质的充要条件是． 【答案】(1)具有性质，理由为： 由得，.设，， 当时，，所以在上单调递增， 又因为，， 所以存在，使得，即， 故函数具有性质. (2) (3)证明：由得，，由得，， 设， 先证充分性：当时，， 考虑函数，则， 当时，，当时，，当时，， 所以函数在上严格单调递减，在上严格单调递增，在时有极小值0， 所以，当时，，函数具有性质， 当且时，由函数的性质可得，即， 且当时，，，，则， 则存在满足，即成立，所以函数具有性质 再证必要性：即证函数具有性质，则， 由得， 若，则，与已知矛盾. 若，设，则， 即函数是严格减函数， 所以函数是严格增函数， 又，， 则存在使得，即， 当时，，即函数严格减函数， 当时，，即函数严格增函数， 所以， 先证明， 令，，则，在单调递增， 所以， 所以， 则不存在，使得成立，与具有性质矛盾. 综上，函数具有性质的充要条件为. 【分析】（1）利用定义检验即可； （2）利用定义将问题转化成三次函数问题，分离参数，利用函数有三个解即可研究参数的范围； （3）利用定义，结合逻辑关系，从充分性和必要性两个方向出发，结合导数知识即可证明. 【详解】（1）略. （2）解：.由得，， 因为函数具有性质， 所以存在实数，使得 即，即 由已知方程有三个不相等的实数根. 设，则， 令，解得或，列表如下： 0 + 0 - 0 + ↗ 极大值0 ↘ 极小值 ↗ 因为函数具有性质时，的值恰有三个， 所以满足条件的a的取值范围是. （3）略. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年江西省抚州市高三数学上学期开学自编模拟卷 （适用于：北师大版 一轮复习） 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知向量，，，，则（   ） A． B． C．3 D．7 3．某健身记录了8位用户昨日运动消耗的卡路里（单位：千卡），数据如下：，，，，，，，．则这组数据的分位数为（    ） A．150 B．165 C．180 D．200 4．已知数列满足：，，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 5．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．在菱形中，若，，则菱形的内切圆面积为（    ） A． B． C． D． 7．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A．0 B． C． D． 8．已知函数（不恒为零）、其中为的导函数，对于任意的，，满足，且，，则（    ） A． B．是偶函数 C．关于直线对称 D． 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（   ） A．函数的值域为 B．函数的单调递增区间为， C．曲线关于直线对称，其中 D．函数有两个零点 11．已知抛物线：的焦点为，若直线过点与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．一定为钝角 C．直线的斜率最大值为 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设，则的最小值为__________． 13．将二项展开式中的各项等可能地随机重新排列，观察排列中是否存在系数为负数的项相邻，若存在，则记随机变量，否则记，则___________． 14．若数列不是等比数列，且使得，那么称数列为“局部等比数列”．若从集合中抽取个数构成一个数列，则数列为“局部等比数列”的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．某种疾病患者通常选择药物，两种中的一种服用治疗．为了了解治疗效果，分别从服用这两种药物的病人中各随机抽出100人，对用药一段时间后的治疗效果良好与一般的结果统计如下表： 良好 一般 合计 服用 85 服用 20 合计 (1)完成上面的列联表，根据小概率值的独立性检验，是否能认为治疗效果良好与服用，药物有关联？ (2)在抽出的200名疾病患者中，随机选出1人，选到治疗效果良好的为事件，选到服用药物的为事件，求，，． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16．在中，角，，对应的边分别为，，，，． (1)若，求； (2)当为何值时，的面积最大？并求出的最大值． 17．如图，在直四棱柱中，，，，，为棱的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 18．已知双曲线，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，． (1)求的方程； (2)求面积的最小值． (3)过点作直线的垂线，垂足为，证明：直线QN过定点 19．设函数的定义域为，其导函数为，若存在，使得成立，则称函数具有性质． (1)判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)若函数具有性质，且满足条件的恰有三个，求的取值范围； (3)证明：函数具有性质的充要条件是． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $