2026-2027学年高三数学9月入学考试模拟试卷01（全国一卷地区适用）

**基本信息** 2026-2027学年高三数学开学模拟卷（全国一卷），150分120分钟覆盖高考范围，解答题融合立体几何、概率统计等综合题型，考查数学思维与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（单选+多选）|11题/58分|集合、复数、数列、三角函数、向量、椭圆、函数性质|基础题（1-6题）到能力题（7-11题），如8题函数奇偶性结合周期性考查抽象能力| |填空|3题/15分|二项式定理、函数单调性、立体几何外接球|14题外接球问题考查空间观念，体现几何直观| |解答|5题/77分|解三角形（15题）、立体几何（16题）、概率统计（17题）、抛物线（18题）、导数（19题）|17题比赛情境考查数据意识，19题导数综合题考查逻辑推理，符合高考命题趋势|

2026-2027学年高三数学9月入学考试模拟试卷01 （全国一卷地区适用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：高考范围。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集定义计算. 【详解】由已知， 所以. 2．已知复数（为虚数单位），则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可知，，； 则． 3．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，成等差数列，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列中项性质列方程，结合等比数列通项公式求出公比，再化简代入计算结果. 【详解】设等比数列的公比为，由题意知，（）， 因为成等差数列，由等差中项性质可得， 由于，，代入上式得： ， 由于，整理得： 解得或， 又，故舍去，得，则， 将代入得. 4．已知的面积为，若，，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理及三角形面积公式求解即可. 【详解】由及正弦定理得，， 又，所以. 又，即， 所以. 5．已知向量，，，其中，，若，，则可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设向量坐标，再应用向量平行的坐标关系列式排除A，B，C，再应用模长公式计算D选项符合题意即可. 【详解】由，可设，设， 结合得，即，A，B,C选项错误； 再结合得，代入验证仅选项D满足上述条件，故D为正确选项； 6．已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据及得到与同正或同负，进而判断出为第一象限角，即；根据两角和差的余弦公式得到；根据同角的三角函数关系得到，进一步分情况讨论求解即可. 【详解】因为，，所以. 又，，，所以与同正或同负. 当与同负时，为第二象限角，，与矛盾，舍去. 当与同正时，为第一象限角，满足条件，所以，则. 因为， ， 所以. 由，，得. 若，则（舍去，因为）. 若，则. 因为，所以. 7．已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出另一个焦点，利用椭圆的定义结合余弦定理求出基本量的关系，可得椭圆的离心率. 【详解】如图， 设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形， 所以，， 所以，所以. 又，所以. 在中，由余弦定理得：， 即. 所以椭圆的离心率为. 8．已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（    ） A．71 B．-71 C． D． 【答案】C 【详解】因为为偶函数，所以， 所以， 又因为为奇函数，所以， 所以，所以， 所以是以为周期的函数， . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若正实数满足，则（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】BC 【分析】根据“1”的变形技巧及基本不等式判断A，利用基本不等式判断BC，根据条件转化为关于的二次三项式配方求最值即可判断D. 【详解】，当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值是9，故A错误； 由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B正确； ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确； ，当时，取得最小值，故D错误． 10．如图，在直三棱柱中，，，点，，，分别是，，，的中点，则（    ） A．P，，，四点共面 B．线段为直三棱柱外接球的直径 C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成角为 【答案】BC 【分析】根据异面直线的判定判断A，利用补形法判断B，根据等体积法判断C，作出异面直线所成的角计算判断D. 【详解】对于A，直线平面，点平面，而直线， 点平面，因此直线与直线是异面直线，则四点不共面，A错误； 对于B，将三棱柱补形为正方体，为该正方体共点的三条棱，矩形为该正方体对角面，则为三棱柱外接球直径，B正确； 对于C，点到平面的距离为，则，C正确； 对于D，取中点，连接， 由是中点，得，则是异面直线与所成角或其补角，由已知，，，平面，所以平面，故平面，又平面，于是， 而，因此，即，D错误. 11．已知方程所表示的曲线即为函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．函数不存在零点 D．曲线上第一象限内的点到直线与的距离之积为定值 【答案】ACD 【分析】本题核心是根据绝对值分段拆解方程，分，，，四种区间写出分段曲线，再逐一验证单调性、对称性、零点、距离定值四个选项，综合双曲线性质与函数单调性、点到直线距离公式判断正误. 【详解】首先拆解曲线方程： 当，（第一象限）时：，，方程化为，即； 当，（第四象限）时：，，方程化为，即； 当，（第二象限）时，，，方程化为，即，无实数解，不存在对应曲线； 当，（第三象限）时，，，方程化为，即. 作出图象： 对于A：由图可知，三段图象全部随增大增大，在全体实数域单调递增，A 正确. 对于B：将中的替换成，替换成，得与不相同， 故的图象不关于直线对称，故B错误. 对于C：直线为双曲线与双曲线的一条公共的渐近线， 且直线与曲线无公共点， 则直线与函数的图象没有公共点，则函数不存在零点，C正确. 对于D：设曲线上第一象限内的点为，则，即， 所以点到直线的距离， 点到直线的距离， 所以，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若的展开式中含的项的系数为28，则实数________． 【答案】30 【分析】先求出的通项展开式，再利用多项式乘积分项法求出即可. 【详解】因为的通项展开式为，， 若里取，则的展开式只能取含的项，即, 此时展开式中含的项的系数是； 若里取,则的展开式只能取含的项，即, 此时展开式中含的项的系数是； 若里取,则的展开式只能取含的项，即, 此时展开式中含的项的系数是； 合并系数可得，解得. 13．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】令，则， 因为在上单调递增， 又函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 且对恒成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 14．如图，在三棱柱中，底面，且，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为_________.    【答案】 【分析】将三棱锥补成直三棱柱，由题设易得三棱锥的外接球的半径为，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离为，进而求解即可. 【详解】如图所示，将三棱锥补成直三棱柱， 分别取的中点，连接，取的中点，连接， 由底面，， 则分别为的外心，，， 由题意知，三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，为球心， 则外接球的半径为. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    易知，，， 则. 设平面的一个法向量为， 则，令，得，又， 所以点到平面的距离为， 则平面截三棱锥的外接球的截面圆的半径， 所以截面圆的面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，. (1)求角B； (2)求a，c，b的值； (3)若为的平分线，且在边上，求的长. 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】（1）根据余弦定理即可求解； （2）先根据面积公式求出，再根据余弦定理求出； （3）利用面积分割结合面积公式即可求解. 【详解】（1）由余弦定理，，即. 又由题设，则得. 即，因，则. （2）由，可得， 又，则可将a，c看成方程的两个根， 解得或.由于，所以，. 再由余弦定理，， 则. （3）因为，平分，所以， 又， 则， 则. 16．在圆锥中，是圆锥顶点，是底面圆圆心，圆锥的高为3．母线长为5．是底面圆的一条直径，点在底面所在的平面内，且．于． (1)求证：平面平面； (2)当异面直线与夹角的余弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：由题意得：平面，面， 则． 又，，面，面， 故面，面， 故． 又，，面，面， 故面． 又面， 故面面. (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质定理可得，再由判定定理可得面，从而得，结合，可得面，由面面垂直的判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，，为，轴，垂直于的方向为轴，建立空间直角坐标系，设，由，可得，由三点共线及，可得．再由异面直线与夹角的余弦值为，求得，取，求出两平面与平面的法向量，即可得答案. 【详解】（1）略； （2）以为坐标原点，，为，轴，垂直于的方向为轴，建立空间直角坐标系： 因为圆锥的高为3．母线长为5， 所以底面半径, 由题意，，，，． 设， 则，， 又，即， 即， 又， 设， ， 又， 代入坐标得：， 解得：． 故． 又， ，． 设异面直线与夹角为， 则， 解得． 由对称性，结合， 不妨取， 此时，，． 设面的法向量， 则， 不妨令，则． 同理，设面的法向量， 则． 设平面与平面夹角为， ． 17．甲、乙、丙、丁四人进行一场乒乓球比赛，具体赛制为：首先四人抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；紧接着“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁时甲获胜的概率均为，乙对阵丙、丁时乙获胜的概率均为，丙与丁对阵时，相互之间获胜的可能性相同，且不同对阵结果相互独立．经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁． (1)求丙获得第四名的概率； (2)求甲获得冠军的概率； (3)求乙参与对阵的比赛场数恰为3的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据概率乘法公式及条件概率公式求解即可. （2）根据概率乘法公式及加法公式求解即可. （3）根据概率乘法公式、条件概率公式及加法公式求解即可. 【详解】（1）丙获得第四名，则丙与丁对阵丙败，且丙在败区对阵仍败. 记丙获得第四名的事件为，丙与丁对阵丙败为事件，丙进入败区后与甲对阵为事件， 丙进入败区后与乙对阵为事件，丙在败区落败为事件， 则. （2）记甲获得冠军的事件为，甲在第场比赛中获胜为， 甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况： 情况1：三场全胜，； 情况2：第一场胜第二场负第三场胜第四场胜， ； 情况3：第一场负第二场胜第三场胜第四场胜， ； 所以， 即甲获得冠军的概率为. （3）记乙参与对阵的比赛场数为随机变量，乙在第场比赛中获胜为，乙对阵甲为事件， 乙参与对阵的比赛场数恰为3可分为三种情况： 情况1：乙连胜两场，第三场进入决赛不用考虑胜败，概率为； 情况2：乙第一场胜第二场败第三场败，概率为 ； 情况3：乙第一场败第二场胜第三场败，概率为 ； 所以． 所以乙参与对阵的比赛场数恰为3的概率为. 18．已知点在抛物线C：上，F是C的焦点，． (1)求C的标准方程； (2)若l是C的准线，过点P作直线l的垂线，垂足为M，线段MF交C于点N，且为锐角三角形，，求λ的值及的外接圆半径． 【答案】(1)或； (2)，外接圆的半径为． 【分析】（1）由抛物线焦半径公式得到点坐标，代入抛物线方程即可求解； （2）设准线与轴的交点为，过点作准线的垂线，垂足为，由余弦定理求得，再通过，求得，再由正弦定理求外接圆半径. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以点P的坐标为 ， 代入C的方程得 ，解得或， 所以抛物线C的标准方程为或； （2）当抛物线C的方程为时，准线l的方程为， 设准线与x轴的交点为K，过点N作准线l的垂线，垂足为Q， 则， 此时， 所以是锐角且， 又因为，所以为锐角三角形， 因为点N在抛物线上，所以， 所以， 外接圆的半径； 当抛物线C的方程为时，同理可得， 此时， 与为锐角三角形矛盾， 综上，，外接圆的半径为． 19．已知，． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件得到函数解析式，将不等式构造函数，利用导数分析函数单调性，即可得出结果； （2）求导，将分子构造函数，根据原函数有极大值可得新构造函数先正、再负、再正，且两根不相等，分类讨论两根关系，根据单调性进行取舍即可. 【详解】（1）若，则， 所以， 要求， 只需求，令， 则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，， 故不等式的解集为. （2）由， 则， 记， 令，则得两根为， 若满足在上存在极大值， 则在定义域内先正、再负、再正，且两根不相等， 若，即，只有零点， 所以时，， 当时，， 此时函数只有极小值，无极大值，舍去. 若，即， 则， 此时函数单调递增，无极值，舍去. 若，即， 则当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增， 此时，是极大值点，满足题意. 若，即， 则当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增， 此时是极大值点，满足题意. 综上，的取值范围为. 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三数学9月入学考试模拟试卷01 （全国一卷地区适用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：高考范围。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知复数（为虚数单位），则（     ） A． B． C． D． 3．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，成等差数列，则（ ） A． B． C． D． 4．已知的面积为，若，，则（   ） A． B． C．3 D． 5．已知向量，，，其中，，若，，则可以是（     ） A． B． C． D． 6．已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（    ） A．71 B．-71 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若正实数满足，则（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 10．如图，在直三棱柱中，，，点，，，分别是，，，的中点，则（    ） A．P，，，四点共面 B．线段为直三棱柱外接球的直径 C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成角为 11．已知方程所表示的曲线即为函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．函数不存在零点 D．曲线上第一象限内的点到直线与的距离之积为定值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若的展开式中含的项的系数为28，则实数________． 13．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 14．如图，在三棱柱中，底面，且，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为_________.    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，. (1)求角B； (2)求a，c，b的值； (3)若为的平分线，且在边上，求的长. 16．在圆锥中，是圆锥顶点，是底面圆圆心，圆锥的高为3．母线长为5．是底面圆的一条直径，点在底面所在的平面内，且．于． (1)求证：平面平面； (2)当异面直线与夹角的余弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值． 17．甲、乙、丙、丁四人进行一场乒乓球比赛，具体赛制为：首先四人抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；紧接着“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁时甲获胜的概率均为，乙对阵丙、丁时乙获胜的概率均为，丙与丁对阵时，相互之间获胜的可能性相同，且不同对阵结果相互独立．经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁． (1)求丙获得第四名的概率； (2)求甲获得冠军的概率； (3)求乙参与对阵的比赛场数恰为3的概率． 18．已知点在抛物线C：上，F是C的焦点，． (1)求C的标准方程； (2)若l是C的准线，过点P作直线l的垂线，垂足为M，线段MF交C于点N，且为锐角三角形，，求λ的值及的外接圆半径． 19．已知，． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求的取值范围． 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $