江西吉安市11校联考2026-2027学年高三上学期开学检测数学试题

绝密★启用前 2026一2027学年上学期高三阶段性作业 数学试卷 试卷共4页，19小題，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.某健身APP记录了8位用户昨日运动消耗的卡路里（单位：千卡），数据如下：120,150,180,200， 220,250,300,350.则这组数据的25%分位数为 A.150 B.165 C.180 D.200 2已知全集0=-1,135,71，A=nine,且号eZ1,则C,A A.{-1,3,5 B.11,3,71 C.11.3,5 D.|-1,5,7 3.已知复数z满足z·z+2i·z=2i,则z= A.1 B.√2 C.√5 D.2 1 2-2,x<2 4.已知函数f(x)= 则下列区间中存在零点的是 1 -2'-x+4,x≥ A.[-2,-1] B.[-1,0] C.[0,1] D.[1,2] 5.若直线y=x+1是曲线y=x3-2x+3的一条切线，则切点的纵坐标为 A.1 B.2 C.4 D.2或4 高三数学第1页（共4页） 6.已知a>0,设p:不等式x+≥3对任意xe[2,+o)恒成立：q:a≥2，则p是g的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 7.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,点P在C上，过点P作C在该点处的切线的垂线，交直线y=-1 于点Q.若|PQ=22,则|PF|= A.4 B.3 C.2 D.1 已知在△Ac中，角A8,c所对的边分别方a,dc满足品A后台，且e6,则osc 号 c n 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在空间中，设A,B为两个不同的点，l,m为两条不同的直线，α，B为两个不同的平面，则下列命题 为真命题的有 A.若A∈L,Bel,且A∈a,B∈a,则lCa B.若l∩m=☑，则l与m平行或异面 C.若lCa,mCB,且aB,则∥m D.若a⊥B,lCa,则l⊥B 10.已知函数f(x)=sin xcosx+√/5cos2x,则 A.f(x)的最小正周期为m B八)的最大值为1+5 2 C.曲线y=x)的一条对称轴为x= =6 D,将八)的图象向右平移7个单位长度后得到一-个偶西数的图象 11.已知数列|a,中a,=1,a,=0,当n>m时.ana-n=a2-a,则下列说法正确的是 A.a2026=0 B.满足n≤100，且∑a,=1的所有n的和为1225 C.满足2a=2026的n的取值集合为4051,4052 D若=2m受则是 2(4"-1) 3 高三数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.某无人机在执行定点悬停任务时，其实际高度与预设高度的偏差X(单位：cm)服从正态分布 N(0,σ2).已知P(X>8)=0.1,则P(-8<X<8)= 13.已知在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0),点B在直线y=2x上.若向量0A在向量AB方向上 的投影向量的模为 5,则点B的坐标为 x22 14已知椭圆C:。=1(ab>0)的左右焦点分别为F,B若C上存在一点P,使得P,1PB,且 △PFP的内切圆半径r=3,则C的离心率e=一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知数列a,的前n项和为3，且2S,=4 tl (1)证明：数列1S2|是等差数列； (2)若a1=2,求数列 2的前n项和T, 16.（15分)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E,F分别是边AB,AD的中点，将△AEF沿EF向 上翻折，点A到达点P的位置，连接PB,PC,PD,得到一个五棱锥P-BCDFE. 0 (1)证明：无论翻折到何种位置，直线PC与直线EF始终垂直： (2)当五棱锥P-BCDFE的体积最大时，求平面PEF与平面PCF夹角的余弦值. 高三数学第3页（共4页） 17(15分)尼知双面线C等子-1(0,60)的一条新近线方程为)=子且右焦点到淡南近线的 距离为2. (1)求C的方程： (2)已知直线l与C交于A,B两点，与C的两条渐近线分别交于D,E两点.证明：AD=|BE. 18.（17分)某款AI绘画软件每次生成一幅图像时，会独立进行两次质量评估：第一次评估通过的概 图像被丢弃；通过第一次评估的图像进人第二次评估 2 率为？，通过则为“优质图像”，未通过则进入“人工微调”环节，微调后成为优质图像的概率为 2否则被丢弃，每幅图像最终要么是优质图像，要么被丢弃现从该软件生成的一批图像中随机 抽取3幅（各图像生成过程相互独立）. (1)求一幅图像最终成为优质图像的概率； (2)设抽取的3幅图像中优质图像的幅数为X,求X的分布列： (3)在抽取的3幅图像中，若第一幅图像是优质图像，且优质图像总数至少为2，求此时优质图像 总数的数学期望 19.（17分)已知函数∫(x),若存在x。及入，使得f'（x)=入（x。-f(。)（A≠0)，且 f"(x)=入(xo八xo))(∫"(x)为∫'(x)的导函数)，则称x。为八x)的动力平衡点. (1)若f(x)=x2,求(x)的所有动力平衡点及其对应的入的值： (2)若f(x)=nx-x-a存在动力平衡点，求a的取值范围： (3)若(x)=x3-x-4,判断f(x)是否存在动力平衡点，若存在，求出动力平衡点的个数：若不存 在，请说明理由. 高三数学第4页（共4页）2026一2027学年上学期高三阶段性作业 数学参考答案 1.【答案】B 【解析】数据已按从小到大排序，样本容量n=8,由8×0.25=2，可得25%分位数为第二个数据和第三个数据的平 均数，即150+180=165.故选B. 2 2.【答案】A 【解析]因为A=ame,且号eZ=1,7引，所以CA=-1,3.5.放选A 3.【答案】B 【解析】设x=x+i(x,y∈R),由z·z+2i·z=2i,得(x+yi)(x-yi)+2i(x-yi)=2i,即x2+y2+2xi+2y=2i,故 [x2+y2+2y=0 x=1, l2x=2, 解得 所以z=1-i,z|=√2+(-1)7=2.故选B. =-1. 4.【答案】D 【解析】当x<时)是连续的单调适增的函数，则x)<反-2<0，故)在区间-，》上不存在零点：当 x≥2时，(x)是连续的单调递减的函数，由(1)=-2-1+4=-2-1+4=1>02)=-22-2+4=-4-2+4=-2<0， 则f(1)f(2)<0,故f(x)在区间[1,2]上存在零点，故D正确.故选D. 5.【答案】B 【解析】设切点坐标为(xo,x-2x+3),因为y'=3x2-2,令3x后-2=1，解得x0=±1，故x-2x。+3=2或4.经检验， (-1,4)不在直线y=x+1上，所以切点的纵坐标为2.故选B. 6.【答案】D 【解析】令fx)=+“(x≥2)，若a≥4，由基本不等式得x)≥2a≥4>3，恒成立：若0<a<4,则a<2(x)在区 间[2，+)上单调递增，最小值为(2)=2+号≥3，解得a≥2，故2≤a<4综上，P成立的充要条件是a≥2，即 pq,故p是q的充要条件.故选D. 7.【答案】C 【解折设P2,)ueR),曲题意得10，由=与得)-号=受所以在点P处切线的斜率为，从面P四的 斜率=，方程为y-=(x-2）.令y=-1,解得=3+2，则Q(3+f,-).0P=(+1)[(3+)-22= (2+1)(t+3)2=(1+2)3.已知PQ=22,所以(1+2)3=8，即1+t2=2.所以|PF=2+1=2.故选C 8.【答案C 1 1cos A cos B sin(A+B)sin C 【解】析先对等式左边切化弦，am十amBm十in imin Asin再代人三角形面积公式S nC.将等式右边化简为C由血C学0可得nmB德结合正弦定理化简得mC。 1 1 2ab c2 高三数学第1页（共6页） 2sin2 Asin'B,即sinC=√2 sin Asin B.由条件a=b可得A=B,因此C=T-2A,sinC=sin2A=2 sin Acos A,代入上式 得anA=2,所以c0sC=cs(m-2A)=-cos2A=-1-am24-1-2.1 1hanA1+23放选C. 9.【答案】AB(每选对1个得3分) 【解析】如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故A正确：空间中两条直线没有公共 点，则它们平行或异面，故B正确：虽然aB,但1与m可能平行，也可能异面，故C错误；只有a&⊥B,lCa,且1与 a和B的交线垂直时l⊥B,故D错误.故选AB. 10.【答案】AB(每选对1个得3分) 【解折]因为)：n2x 2(1+cos2x)=1 20s2r43 2=s2x+年）+号所以广(x)的最小正周期 T-,放A正确：最大值为1，故B正确：对将销清足2x号-号6e乙解得晋受4e乙君 2 不满足条件，故C错误：平移后得到8()-个司-sm2+君)易知其非偶函数，故D错误救选AB 11.【答案】ACD(每选对1个得2分) 【解析】a*anm=a-an中取n=m+2,得a2-a=a2m+2a2=0,所以a2=a因为a2=0,所以a2=0,故A正确； 取n=2k(k∈Z),m=1,得a1a-1=-1,因为a=1,所以a-3=1,a-1=-1,所以当n=4k-3或4k-2时，a,= 1,所以满足n≤100，且∑a,=1的所有n的和为[(4-3)+(4k-2)]=2475,故B错误：a21的奇数项为1，偶 数项为0，所以满足∑a=2026的n的取值集合为4051,4052，故C正确：当n为偶数时，b.=0.当n为奇数 时，6=2，所以空6，=玄221424-》，故D正确赦选A0D 1-4 3 12.【答案】0.8 【解析】由对称性得P(X<-8)=P(X>8)=0.1,则P(-8<X<8)=1-P(X<-8)-P(X>8)=1-0.1-0.1=0.8. 13【答案分 【解析1由点B在直线y=2x上，设B(%,其中0=24，则店=(，-1，)，0=(1,0)，1可， ABI 属可V房2司号解得分所以行小 Ixo-11 1x。-1川-5 14(答案】号 【解析】由椭圆定义，设|PF,=m,|PF,=n,则m+n=2a.因为PF,⊥PF2,在直角三角形PF,F2中，m2+n2= (2c)2=42.又(m+n)2=m2+n2+2mn,代入得4a2=4c2+2mn,即mn=2(a2-c2)=2b2.因此△PFF2的面积S= 2m=识.又5=宁an+2)r=(a0)·合=6，解得36=ate将6=告代入6份=-得(a+o)=9a2-d)= 1 9(a-e)(atc).因为a+c>0,所以a+e=9(a-c),解得5c=4a,所以e=S=4 a-5 高三数学第2页（共6页） 5)证明因为2Sg所以a+2s54 4 即s5,53-3分) 所以S21-S2=4, 所以数列S}是公差为4的等差数列.(6分) (2)解：因为a1=2,所以S=a=4,S2=4+4(n-1)=4n,(7分) 所以品0-分 123n-1n 所以7.=222+…+22 12.3 n-1 n 27.=2京+2+++ 2”2 111,1n 两式相碱得27.=2+22+… 2”2* 2471 1 n n+2 2”241 2,(12分) 所以7，=2-n 2(13分) 16.(1)证明：如图，取EF的中点O,连接P0,OC,BD, 9 D C →y 在正方形ABCD中，点E,F分别是边AB,AD的中点，所以EFBD.(2分) 又BD1⊥AC,故EF⊥AC,即EF⊥PO,EF⊥OC.(3分) 因为P0C平面P0C,0CC平面P0C,P0nOC=0, 所以EF⊥平面POC,又PCC平面POC,所以EF⊥PC.(6分) (2)解：当五棱锥P-BCDFE的体积最大时，OP⊥底面BCDFE, 此时OE,OC,OP两两垂直，以0为坐标原点，OE,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角 坐标系.(7分) 则P(0,0,2),C(0,32,0),F(-2,0,0),(8分) 所以P元=(0,32，-2)，C=(-√2，-32,0)，(9分) 设平面PCF的法向量为m=(x,y,2), 高三数学第3页（共6页） mP元=0，n32-2:=0.（10分) 即 m·.c正=0，-√2x-32y=0, 令y=1,得x=-3,=3,所以平面PCF的一个法向量为m=(-3,1,3).(12分) 易知平面PEF的一个法向量为n=(0,1,0),(13分) 设平面PEF与平面PCF的夹角为O, 品飘侣 所以平面PEF与平面PCF夹角的余弦值为 719(15分) 17(1)解：由斋近线方程)宁得片-分：即a=2弘，1分) 右焦点F(c,0),其中c=√a2+b=√46+b=√5b,(2分) 渐近线方程化为-2y=0,右焦点到其距离为d=一c-01=6=6=2,(4分) √+(-2)75 从而a=4,(5分) 因此G的方程为后苦·1(6分) (2)证明：当L的斜率存在时，设直线1的方程为)=c+m≠±》， A(x1),B(x2,y2),D(x3,3),E(x4y), [y=kx+m, 联立x2y_,整理得(1-42)x2-8kmr-(4m2+16)=0,(7分) 164=1, 8km 4=6m+41-4)(4m+16)>0.4.（(8分) 1 2m -2m y=+m与y=,y=2分别联立解得龙=-2x=1+2(9分) 2m-2m 8mk 故=1-2k1+2k1二4F(10分) 因此x1+x2=3+x4,即x1x3=x4x2,(11分) 又因为|4D|=√1+|x1-x|,|BE|=√1+kx,x2, 所以|AD1=|BE.(13分) 当1的斜率不存在时，根据对称性，显然有|AD=BE.(14分) 综上AD=BEL.(15分) 18.解：(1)一幅图像成为优质图像有两条途径， 第一条：直接通过两次评估，概率为子×子-子，口分) 第二条：第一-次通过第二次术通过但微洞成功，概率为子1-引×宁名(3分) 高三数学第4页（共6页） 所以一幅周像最终成为优质图像的概率P一日-名(4分) (2)抽取3幅图像.由题可得X-3,), 则P(X=0)= Px=2=cg流rx=)-(食 3125 =512 (8分) 则X的分布列如下 X 0 1 2 3 27 135 225 125 (9分) 512 512 512 512 (3)设事件A=“第一幅是优质图像”，事件B=“X≥2” 当X=2且第一幅优质时，后两幅中恰有1幅优质， 概率为x2x5x3 5375150 8 88256512 (11分) 当X=3且第一幅优质时，后两幅必须均为优质， ,(13分) 150125_275(14分) 因此P(AB)=512512512 150 则P(X=21AB) 5121506 2页2757(15分) 512 125 P(X=31AB)= 512_125_5 25275斤(16分) 512 此时E(X)=2x6+3 ,512.1527 行7(17分) 19.解：(1)因为f(x)=x2,所以f'(x)=2x,(x)=2,(1分) 由题意得2x=A(x0x),① 2=A2(x。-x),②(2分) 然0，且0≠1，由①得A=名，(35 40,(4分) 代入②，得2=1 1 解得=3A=3.(5分) 高三数学第5页（共6页） 2)=n=x-a'()=1(x)之(6分)y 由题意得上-1=(2。+a-lnx,),③ =(2x+a-n),④(7分) 由30网2. x。 整理得a=nx。-x后-l.(8分) 设g(x)=lnx-x2-1,则g(x)=1-2x=1-2x 当x0时g(e0)单润适增当（停 ,+o时，g(x)<0,g(x)单调递减， h20,当一*时，g-小 所以e的取值范用是(-，之如2引（山分） 1 (3)f(x)=x3-x-4f'(x)=3x2-1f"(x)=6x,(12分) 由题意得3x-1=A(-x+2x+4),⑤ 6x0=A2(-x后+2x0+4),⑥(13分) 由⑤⑥得(3x6-1)2=6x(-x+2x。+4), 整理得15x。-18x-24x+1=0,(14分) 设h(x)=15x-18x2-24x+1, 则h'(x)=60x3-36x-24=12(5x3-3x-2) =12(x-1)(5x2+5x+2) =125+. 所以xe(-o,1)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，xe(1,+oo)时，h'(x)>0,h(x)单调递增，(15分) 又h(1)=-26<0,h(0)=1>0,h(2)=121>0, 所以(x)在区间(0,1)，(1,2)上各有一个零点， 所以f八x)有2个动力平衡点.(17分) 高三数学第6页（共6页）