暑期预习讲义（第11讲）——线段中点与线段和与差（知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026-2027学年人教版七年级数学上册

暑期预习讲义（第11讲）——线段中点与线段和与差（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 自主填空梳理 1 【知识点一】线段的和与差 2 【知识点二】线段中点核心定义（必考几何语言） 2 【知识点三】线段等分点拓展 2 【知识点四】分类讨论思想（拔高重难点） 2 二.经典题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】 基础线段和差计算 3 【题型 2】 线段中点基础计算（必考） 3 【题型 3】 双中点综合计算（中档常考） 4 【题型 4】 点位置不确定·分类讨论（拔高核心） 4 三.经典题型精析（巩固提升） 5 【题型 5】中点结论模型（秒杀结论） 5 【题型 6】线段中点与线段和与差动点问题（秒杀结论） 6 四.同步自测 7 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 7 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 10 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 自主填空梳理 请结合课本内容，自主完成以下填空，提前夯实本节核心概念： 1. 点C在线段AB上，则AB=___+___，AC=_____-___，BC=____-____。 2. 把一条线段分成________的两条线段的点，叫做这条线段的中点。 3. 若点M是线段AB的中点，则AM=_____，AB=2_____=2____，AM=BM=______AB。 4. 若点C在线段AB的延长线上，则AB=_____-_____，BC=_____-_____。 5. 在一条线段上取点计算长度时，点的位置不确定时需要进行________讨论。 【知识点一】线段的和与差 情况1：点在线段上（内点） 若点C在线段AB上：，变形得：，。 情况2：点在线段延长线上（外点） 若点C在线段AB的延长线上：，变形得：，。 若点C在线段BA的延长线上：。 核心原则：几何计算必须先看图、后列式，图形位置决定线段和差关系。 【知识点二】线段中点核心定义（必考几何语言） 文字定义：将一条线段平均分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。一个线段有且只有一个中点。 三种几何等价表达（解题直接套用） 已知：C是AB中点,则有① ；② ；③ 【知识点三】线段等分点拓展 三等分点：将线段分成三段相等线段的两个点；四等分点：分成四段相等线段的三个点。 若M、N是AB三等分点，则。 【知识点四】分类讨论思想（拔高重难点） 题目仅说明“点在直线上”，未明确点在线段上还是线段延长线上时，必须分两种情况计算，避免漏解。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】 基础线段和差计算 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，是线段上不同的两点．完成下列填空： （1）______，______+______+______． （2）____________． 【变式1】（24-25六年级上·上海·期末）延长线段到，使得，则线段的长等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，若为线段的三等分点，为线段上一点，，则线段的长为_________． 【变式3】（24-25七年级上·广东佛山·期末）如图，已知线段 ，点 C 在 的延长线上，且，求 的长度．    【题型 2】 线段中点基础计算（必考） 【例题2】（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，点C在线段上，点M，N分别是线段的中点． （1）线段与存在怎样的数量关系？为什么？ （2）若点P是线段的中点，，求线段的长． 【变式1】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，，是线段上的两点，是线段的中点，若，，则线段的长度是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，，为的中点，点在线段上，且，则线段的长为____________． 【变式3】（25-26六年级下·山东济宁·期中）如图，点是线段的中点，点是线段上一点．若，． （1）求的长． （2）求的长． 【题型 3】 双中点综合计算（中档常考） 【例题3】（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）如图，已知O在线段上，C、D分别是线段、的中点． （1）填空： ， ； （2）若线段，求线段的长． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）如图所示，C，D 为线段上的两点，M 是 的中点，N 是的中点，如果，，那么线段（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）如图，C、D两点将线段从左到右依次分成三部分，点E、F、G分别是、、的中点，且，则_________． 【变式3】（25-26六年级下·山东青岛·期中）如图，已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点． （1）若点恰好是中点，则_____； （2）若，求的长． （3）说明不论取何值（不超过），的长不变． 【题型 4】 点位置不确定·分类讨论（拔高核心） 【例题4】（2026·河北邯郸·三模）如图，已知，，三点均在数轴上，且，． （1）若以的中点为原点，求，，三点所表示的数的和． （2）点也为该数轴上一点，且．若以为原点，则，，三点所表示的数的和是多少？ 【变式1】（25-26七年级下·山东淄博·期末）若，，三点在同一条直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，，是长为8厘米的两根小木棍，它们互相重合（点与点重合，点与点重合），现将沿直线向左平移厘米，将沿直线向右平移厘米，当，是线段的三等分点时，的值为________． 【变式3】（25-26六年级下·山东威海·期中）如图，，，为的中点． （1）求线段的长． （2）若点在直线上，，为中点， 求长． 重点提醒：看见直线上取点必分类，看见线段上取点无需分类。 三.经典题型精析（巩固提升） 【题型 5】中点结论模型（秒杀结论） 【例题5】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，长度为的线段在线段上滑动，，线段在滑动的过程中，取线段的中点，线段的中点． （1）当时，试说明线段的中点也是线段的中点． （2）在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由． 【变式1】（25-26七年级下·河北衡水·开学考试）已知线段，点是直线上一点，，若是的中点，是的中点，则线段的长度是（　　） A． B．或 C． D．或 【变式2】（25-26六年级下·山东淄博·期中）已知，，是同一条直线上的三点，，分别是线段，的中点，，，则线段的长为________． 【变式3】（25-26七年级上·广西防城港·期末）综合拓展 （1）如图，已知点在线段上，且，，M，N分别是的中点，求线段的长． （2）在（1）中，如果将“，”改为“”，其他条件不变，用含 的代数式表示出的长．请用一句简洁的话表述你发现的规律． 结论：线段上任意一点分线段为两段，两段中点的距离恒为原线段的一半（考试可直接套用）。 【题型 6】线段中点与线段和与差动点问题（秒杀结论） 【例题6】（25-26七年级上·四川广安·期末）如图，线段，动点从出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，为的中点． （1）出发秒后，____________，____________（不必说明理由）； （2）出发几秒后，？ （3）当在延长线上运动时，为的中点，下列两个结论： ①的值不变； ②长度不变，选择一个正确的结论，并求出其值． 【变式1】（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是（     ） ①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【变式2】（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，数轴上线段，，线段向右运动，同时线段以相同的速度向左运动，点M，N分别是和的中点，当点B在线段上且未到达中点时，的长为______． 【变式3】（25-26七年级上·陕西延安·期末），两点在数轴上的位置如图所示，其中点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒． （1）若，则________，点所表示的数为________； （2）当时，求的值； （3）为线段的中点，为线段的中点，在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·江苏宿迁·一模）如图，点C，D在线段上，，，则线段的长等于（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，已知，是线段上的两点，且点是线段中点，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·陕西安康·期末）如图，点是线段的中点，点是线段的三等分点，且．若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）如图，点、点在线段上，是线段的中点，，若，则的长为（   ）    A．3 B． C．2 D． 5．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）下列作图中，不能得到的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，小明进行了如下操作：（）作射线；（）在射线上依次截取；（）在线段上截取；（）分别找到线段，的中点，． 则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26六年级下·山东烟台·期中）下列说法中，能说明点C一定是AB中点的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）如图，数轴上点A和点B表示的数分别为和2，C是数轴上的一个点，且，则点C所表示的数为（　　） A． B．5 C．或5 D．或8 9．（25-26七年级下·重庆·开学考试）如图，点P是线段的中点，C、D分别是线段、上的点，且，，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·福建莆田·期末）如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，画射线，在射线上依次截取，再以点B为圆心，长为半径画弧，弧与射线相交于点C，则线段的长为_____． 12．（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，线段，点C为线段上一点，，点D，E分别为和的中点，则线段的长为_____． 13．（2026·湖南株洲·三模）如图，数轴上、两点分别位于原点两侧，且，若点表示的数是，则的中点表示的数是________． 14．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，点C、D、E在线段上，且满足，点E是的中点，若，则的长为______cm． 15．（25-26六年级上·上海·期末）如图，已知点是线段的中点，点在线段上，且，如果，则______． 16．（25-26六年级下·山东泰安·期末）如图，点C是线段上的点，点D是线段的中点，，若与的长度比为，则线段的长是____________． 17．24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，、在线段上，，、分别是、的中点，，则______． 18．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知线段长度为12，线段长度为4，线段在线段上自由运动（点与点不重合，与点不重合），若点为的中点．则的值为___________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，点C为线段上一点，点B为的中点，且，． （1）求的长； （2）若点E在直线上，且，求的长． 20．（本小题满分8分）（25-26六年级下·山东泰安·期中）如图，点在线段上，点，分别是、的中点． （1）若，，求线段的长； （2）若C为线段上任一点，如果，求的长． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）关于x的方程的解和方程的解相同． （1）求m的值； （2）已知线段，在线段上取一点P，恰好使，求线段的长． 22．（本小题满分10分）（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点． （1）若，且，求的长； （2）若线段，，求的长． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·重庆铜梁·期末）如图，学校操场的直跑道长米，点是跑道上的一个标记点． （1）若，求的长． （2）若，分别为线段，的中点，求的长． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·全国·期末）综合与探究： 问题情境： 已知：M，N分别是线段，的中点． 初步探究： （1）如图（1），点C在线段上，且，，求线段的长． 问题解决： （2）若C为线段上任意一点，且，，求出线段的长（用含有a，b的代数式表示）． 类比应用： （3）若点C在线段的延长线上，且，，请你画出图形，并直接写出线段的长（用含有a，b的代数式表示）． 拓展延伸： （4）已知：如图（2），C为线段的中点，D为线段的中点，E为线段上任意一点，M为线段的中点，，，请你直接写出线段的长（用含有m，n的代数式表示）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第11讲）——线段中点与线段和与差（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 自主填空梳理 1 【知识点一】线段的和与差 2 【知识点二】线段中点核心定义（必考几何语言） 2 【知识点三】线段等分点拓展 2 【知识点四】分类讨论思想（拔高重难点） 2 二.经典题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】 基础线段和差计算 3 【题型 2】 线段中点基础计算（必考） 4 【题型 3】 双中点综合计算（中档常考） 6 【题型 4】 点位置不确定·分类讨论（拔高核心） 9 三.经典题型精析（巩固提升） 12 【题型 5】中点结论模型（秒杀结论） 12 【题型 6】线段中点与线段和与差动点问题（秒杀结论） 15 四.同步自测 19 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 19 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 24 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 28 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 自主填空梳理 请结合课本内容，自主完成以下填空，提前夯实本节核心概念： 1. 点C在线段AB上，则AB=___+___，AC=_____-___，BC=____-____。 2. 把一条线段分成________的两条线段的点，叫做这条线段的中点。 3. 若点M是线段AB的中点，则AM=_____，AB=2_____=2____，AM=BM=______AB。 4. 若点C在线段AB的延长线上，则AB=_____-_____，BC=_____-_____。 5. 在一条线段上取点计算长度时，点的位置不确定时需要进行________讨论。 答案：1. AC；BC；AB；BC；AB；AC 2. 两条相等 3. BM；AM；BM； 4. AC；BC；AC；AB 5. 分类 【知识点一】线段的和与差 情况1：点在线段上（内点） 若点C在线段AB上：，变形得：，。 情况2：点在线段延长线上（外点） 若点C在线段AB的延长线上：，变形得：，。 若点C在线段BA的延长线上：。 核心原则：几何计算必须先看图、后列式，图形位置决定线段和差关系。 【知识点二】线段中点核心定义（必考几何语言） 文字定义：将一条线段平均分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。一个线段有且只有一个中点。 三种几何等价表达（解题直接套用） 已知：C是AB中点,则有① ；② ；③ 【知识点三】线段等分点拓展 三等分点：将线段分成三段相等线段的两个点；四等分点：分成四段相等线段的三个点。 若M、N是AB三等分点，则。 【知识点四】分类讨论思想（拔高重难点） 题目仅说明“点在直线上”，未明确点在线段上还是线段延长线上时，必须分两种情况计算，避免漏解。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】 基础线段和差计算 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，是线段上不同的两点．完成下列填空： （1）______，______+______+______． （2）____________． 【答案】（1） CD AB BC CD；（2） AC BD 【分析】本题主要考查线段的和差关系，通过观察线段上各点的位置，利用线段的和差来填空． 解：（1）观察图形可知，是由和组成的 所以 线段是由依次连接而成的 所以． 故答案为：． （2）从图中可以看出， 所以 又因为 所以． 故答案为：． 【点拨】本题考查了线段的和差关系，掌握线段的组成，利用和差关系确定线段之间的等量关系是解题的关键． 【变式1】（24-25六年级上·上海·期末）延长线段到，使得，则线段的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，由，结合，即可求解． 解：延长线段到，使得， ， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，若为线段的三等分点，为线段上一点，，则线段的长为_________． 【答案】1 【分析】本题考查了线段有关三等分点的计算，求出，，进而求得即可． 解：如图，若为线段的三等分点， ． 又， ， ． 故答案为：1． 【变式3】（24-25七年级上·广东佛山·期末）如图，已知线段 ，点 C 在 的延长线上，且，求 的长度．    【答案】 【分析】本题考查线段的和差，根据求出长，然后根据线段的和差解答即可． 解：∵，， ∴， 又∵点 C 在 的延长线上， ∴． 【题型 2】 线段中点基础计算（必考） 【例题2】（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，点C在线段上，点M，N分别是线段的中点． （1）线段与存在怎样的数量关系？为什么？ （2）若点P是线段的中点，，求线段的长． 【答案】（1），理由： ∵M，N分别是线段的中点， ． ． ∴． （2）3 【分析】（1）利用线段中点的定义得到，即可解答； （2）利用线段中点的定义得到，再求得，利用线段之差即可解答． 解：（1）略 （2）解：， ， ∵点P是线段的中点， ． ． ∵N是线段的中点， ． ． 【变式1】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，，是线段上的两点，是线段的中点，若，，则线段的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段中点的定义求出的长，再根据线段的和差关系计算即可． 解：是线段的中点，， ， ∵， ． 【变式2】（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，，为的中点，点在线段上，且，则线段的长为____________． 【答案】5 解：∵，点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5 ． 【变式3】（25-26六年级下·山东济宁·期中）如图，点是线段的中点，点是线段上一点．若，． （1）求的长． （2）求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了线段的和与差． （1）根据，，可求出的长． （2）根据线段中点的定义可得的长，再根据即可求解． 解：（1）解：，， ． （2）解：点是线段的中点， ， ． 【题型 3】 双中点综合计算（中档常考） 【例题3】（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）如图，已知O在线段上，C、D分别是线段、的中点． （1）填空： ， ； （2）若线段，求线段的长． 【答案】（1）2，；（2）5 【分析】（1）根据线段中点的性质，即可解答； （2）根据线段中点的性质，可得，，再根据线段的和差，即可解答． 解：（1）解：C、D分别是线段、的中点， ，． （2）解：C、D分别是线段、的中点， ，， ． 答：线段的长为． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）如图所示，C，D 为线段上的两点，M 是 的中点，N 是的中点，如果，，那么线段（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形，由 M 是的中点，N 是的中点，则，，故可求． 解：∵M 是的中点，N 是的中点 ∴，， ∵，， ∴ ． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）如图，C、D两点将线段从左到右依次分成三部分，点E、F、G分别是、、的中点，且，则_________． 【答案】/7厘米 【分析】设，则，，根据线段中点的定义得到，，根据求出x的值，根据计算即可． 解：∵C、D两点将线段从左到右依次分成三部分， ∴设，则，． ∵点E、F、G分别是、、的中点， ∴，， ∴， ∴． ∴． 【变式3】（25-26六年级下·山东青岛·期中）如图，已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点． （1）若点恰好是中点，则_____； （2）若，求的长． （3）说明不论取何值（不超过），的长不变． 【答案】（1）；（2）；（3）见分析 【分析】（1）由线段中点的定义可得，同理可得，，然后根据线段的和差求解即可； （2）由线段的和差可得，利用线段的中点定义可得，，然后根据线段的和差求解即可； （3）利用线段的中点定义可得，，然后根据线段的和差即可解答． 解：（1）解：∵点恰好是中点，， ∴， ∵点、分别是和的中点， ∴，， ∴． （2）解：， ， 、分别是和的中点 ，． ． （3）解：、分别是和的中点 ，． ． 不论取何值（不超过），的长不变． 【题型 4】 点位置不确定·分类讨论（拔高核心） 【例题4】（2026·河北邯郸·三模）如图，已知，，三点均在数轴上，且，． （1）若以的中点为原点，求，，三点所表示的数的和． （2）点也为该数轴上一点，且．若以为原点，则，，三点所表示的数的和是多少？ 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据题意可得，，，结合的中点为原点可得出，，三点所表示的数，求和即可； （2）分两类讨论，当点在点的左侧时，则点表示的数为，结合，得出点、表示的数，求和即可；当点在点的右侧时，则点表示的数为，同样的方法进行计算即可． 解：（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵的中点为原点， ∴点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，，三点所表示的数的和为； （2）解：①当点在点的左侧时， ∵以为原点，， ∴点表示的数为， ∵，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴，，三点所表示的数的和为； ②当点在点的右侧时， ∵以为原点，， ∴点表示的数为， ∵，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴，，三点所表示的数的和为； 综上所述，，，三点所表示的数的和为或． 【变式1】（25-26七年级下·山东淄博·期末）若，，三点在同一条直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由于，，三点共线，但点的位置不确定，需分两种情况讨论求解． 解：∵是的中点，， ∴， ∵是的中点，， ∴， 分两种情况讨论： 情况1：点在的延长线上，即点在，之间， ∴； 情况2：点在线段上，即点在，之间， ∴． 综上，的长为或． 【变式2】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，，是长为8厘米的两根小木棍，它们互相重合（点与点重合，点与点重合），现将沿直线向左平移厘米，将沿直线向右平移厘米，当，是线段的三等分点时，的值为________． 【答案】或 【分析】分情况讨论，即或时，列方程即可解答． 解：当时， 可得厘米， ， 解得； 当时， 可得厘米， ， 解得； 综上，的值为或． 【变式3】（25-26六年级下·山东威海·期中）如图，，，为的中点． （1）求线段的长． （2）若点在直线上，，为中点， 求长． 【答案】（1）；（2）长为或 【分析】（1）根据线段的和差即可求解； （2）分情况讨论的位置，可以在点的左侧，也可以在右侧，然后根据求出线段的长度． 解：（1）解：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． （2）解：当点在点B的左侧， ∵点E为的中点，， ∴， ∵， ∴； 当点P在点B的右侧， ∵点E为的中点，， ∴， ∴， ∴长为或． 重点提醒：看见直线上取点必分类，看见线段上取点无需分类。 三.经典题型精析（巩固提升） 【题型 5】中点结论模型（秒杀结论） 【例题5】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，长度为的线段在线段上滑动，，线段在滑动的过程中，取线段的中点，线段的中点． （1）当时，试说明线段的中点也是线段的中点． （2）在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）的长度不变， 【分析】本题考查了线段中点的性质，线段的和差计算． （1）根据，即可求解； （2）根据线段中点的性质可得，进而根据，即可求解． 解：（1）解：∵，， ∴， ∴ ∴线段的中点也是线段的中点； （2）∵是的中点，是的中点， ∴ ∵， ∴ 【变式1】（25-26七年级下·河北衡水·开学考试）已知线段，点是直线上一点，，若是的中点，是的中点，则线段的长度是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查线段中点的定义与两点间距离的计算，点在直线上，需要分两种情况讨论点的位置，当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，结合线段中点的性质计算即可． 解：是的中点，是的中点， 如图，当点在线段上时，， ， 当点在线段的延长线上时，， ， 综上所述，线段的长度是． 【变式2】（25-26六年级下·山东淄博·期中）已知，，是同一条直线上的三点，，分别是线段，的中点，，，则线段的长为________． 【答案】或 【分析】分两种情况：点在线段上和点在的延长线上，画出示意图，讨论求解即可． 解：①当点在的延长线上时， 是的中点， ， 是的中点， ， ； ②当点在线段上时， 是的中点， ， 是的中点， ， ； 综上所述，线段的长为或． 【变式3】（25-26七年级上·广西防城港·期末）综合拓展 （1）如图，已知点在线段上，且，，M，N分别是的中点，求线段的长． （2）在（1）中，如果将“，”改为“”，其他条件不变，用含 的代数式表示出的长．请用一句简洁的话表述你发现的规律． 【答案】（1）；（2），的长度等于长度的一半 【分析】本题考查线段的和差关系，与中点有关的计算： （1）根据中点定义可得，，再根据即可求解； （2）根据中点定义可得，，进而可得． 解：（1）解：M，N分别是的中点，，， ，， ， 即的长为． （2）解：M，N分别是的中点， ，， ， 规律为：的长度等于长度的一半． 结论：线段上任意一点分线段为两段，两段中点的距离恒为原线段的一半（考试可直接套用）。 【题型 6】线段中点与线段和与差动点问题（秒杀结论） 【例题6】（25-26七年级上·四川广安·期末）如图，线段，动点从出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，为的中点． （1）出发秒后，____________，____________（不必说明理由）； （2）出发几秒后，？ （3）当在延长线上运动时，为的中点，下列两个结论： ①的值不变； ②长度不变，选择一个正确的结论，并求出其值． 【答案】（1），；（2）秒或秒；（3）选择结论②，． 【分析】本题考查了两点间的距离，一元一次方程的应用，解答本题的关键是设参数并准确表示出各线段的长度． （1）先根据路程=速度×时间求出，再根据中点的定义求出，根据线段的和差关系求出． （2）分两种情况：①当点在线段上时，②当点在延长线上时，根据题意列出方程求解即可． （3）设，根据条件推出，，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 解：（1）解：出发秒后，，． （2）设出发秒后，，分两种情况： 当在上时，，， 则， 解得； 当在延长线上时，， ， 则， 解得， 综上，出发秒或秒后，． （3）选择结论②：长度不变 设，则 ∵是中点， ∴， ∵是中点， ∴， 则， 故的长度恒为（定值）． ①中：（变化）． 故选②． 【变式1】（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是（     ） ①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确． 综上可知，说法正确的是②③④． 【变式2】（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，数轴上线段，，线段向右运动，同时线段以相同的速度向左运动，点M，N分别是和的中点，当点B在线段上且未到达中点时，的长为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的有关计算，解题的关键与难点在于正确的表示出数轴上的点所对应的数．先设初始时点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为，设线段和线段的运动速度为，运动时间为，再表示出运动后各点对应的数，最后根据点M，N分别是和的中点，表示出点M，N对应的数，即可解答． 解：设初始时点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为， 设线段和线段的运动速度为，运动时间为， 则运动后点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为． 点M，N分别是和的中点， 点M表示的数为， 点N表示的数为， 当点B在线段上且未到达中点时， 的长为． 故答案为：6． 【变式3】（25-26七年级上·陕西延安·期末），两点在数轴上的位置如图所示，其中点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒． （1）若，则________，点所表示的数为________； （2）当时，求的值； （3）为线段的中点，为线段的中点，在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】（1）；；（2）或；（3）线段的长度不变，线段的长为；理由见分析 【分析】（1）根据点的运动速度，即可得出答案； （2）当时，分两种情况：点在点的左侧或是右侧，分别画出图形求解即可； （3）分两种情况并结合中点的定义可以求出线段的长度即可作出判断． 解：（1）解：∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒， ∴当时，的长为：， ∵点 对应的有理数为，， ∴点表示的有理数为：， 故答案为：；； （2）解：∵点对应的数为，且，点在点的右侧， ∴点表示的有理数为：， ∴秒时，点表示的数为， 当时， 当点在点的左侧时，如图， ， 解得：， 当点在点的右侧时，如图， ， 解得：， ∴当时，的值为或； （3）解：线段的长度不变；理由如下： 如图，当点在点的左侧时， ∵为线段的中点，为线段的中点，， ∴，， ∴； 如图，当点在点的右侧时， ∵为线段的中点，为线段的中点，， ∴，， ∴； ∴线段的长度不变，． 【点拨】本题考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，利用分类讨论的思想及数形结合的思想解决问题是解题的关键． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·江苏宿迁·一模）如图，点C，D在线段上，，，则线段的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和图形，可以求得线段的长，再根据解答即可． 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，已知，是线段上的两点，且点是线段中点，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件各个线段之间的数量关系进行求解． 解：如图， ， ∵点是线段中点， ∴， ∴． 3．（25-26七年级上·陕西安康·期末）如图，点是线段的中点，点是线段的三等分点，且．若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差计算，线段中点的意义，解题的关键是正确理清线段之间的数量关系． 根据线段中点的意义得到，再由三等分点得到，再由求解即可． 解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵点是线段的三等分点，且 ∴， ∴， 故选：C． 4．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）如图，点、点在线段上，是线段的中点，，若，则的长为（   ）    A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查线段的中点性质与线段和差的计算，关键是先利用中点定义求出线段的长度，再根据与的数量关系求出的长度，最后通过线段差计算的长．首先根据线段中点的定义求出的长度；再结合和的关系，求出的长度；最后用减去得到的长度． 解：∵是线段的中点，， ∴； ∵，且， ∴，即，解得， ∴； ∴； 故选：C． 5．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）下列作图中，不能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是读懂图象信息，根据作图痕迹判断即可． 解：选项A，C，D中可以作出线段， 而选项B表示的是，不能作出线段， 故选：B． 6．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，小明进行了如下操作：（）作射线；（）在射线上依次截取；（）在线段上截取；（）分别找到线段，的中点，． 则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 解：依题意得：，， ，是线段，的中点， ，， 选项，，说法正确，不符合题意； 选项，，无法说明，说法错误，符合题意； 选项，，说法正确，不符合题意； 选项，，说法正确，不符合题意． 7．（25-26六年级下·山东烟台·期中）下列说法中，能说明点C一定是AB中点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若点是线段的中点，则点必须在线段上，且满足． 解：A．，可得点C在线段上，无法推出，点不一定是的中点，不符合题意； B．，没有说明点在线段上， 点不一定是的中点，不符合题意； C．无法推出，也不能确定点在线段上， 点不一定是的中点，不符合题意； D．，可得，可推出点在线段上且平分，点一定是的中点，符合题意． 8．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）如图，数轴上点A和点B表示的数分别为和2，C是数轴上的一个点，且，则点C所表示的数为（　　） A． B．5 C．或5 D．或8 【答案】D 【分析】先求解，再根据数轴上的点所表示数的特征进行计算即可． 解：由所给数轴可知， 因为数轴上点A和点B表示的数分别为和2， 所以． 因为， 所以， 则，， 所以点C表示的数为或8． 9．（25-26七年级下·重庆·开学考试）如图，点P是线段的中点，C、D分别是线段、上的点，且，，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，，则可得，根据中点定义得出，则可得出，即可求解． 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵点P是线段的中点， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26七年级上·福建莆田·期末）如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】先通过设定的长度为，将各线段长度用表示，再明确点D（中点）、点E（三等分点）的位置，再通过代数计算，判断各结论是否成立即可． 解：设，则， 故， 点D是的中点， 故， 点E是的三等分点， 故，， ∴，此时，结论①成立； ，而，故，结论②成立； ，，故，结论③不成立； ，故，结论④成立， ∴正确的结论为①②④． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，画射线，在射线上依次截取，再以点B为圆心，长为半径画弧，弧与射线相交于点C，则线段的长为_____． 【答案】2 【分析】根据线段的和差求解． 解：由作图得：， ． 12．（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，线段，点C为线段上一点，，点D，E分别为和的中点，则线段的长为_____． 【答案】3 【分析】利用线段中点的含义及线段的和差运算即可求解． 解：∵，， ∴， ∴点D，E分别为和的中点， ∴，， ∴． 13．（2026·湖南株洲·三模）如图，数轴上、两点分别位于原点两侧，且，若点表示的数是，则的中点表示的数是________． 【答案】 【分析】先计算出的长，再根据数轴写出对应的数． 解：∵点表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵点在原点的左侧， ∴点表示的数为． 14．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，点C、D、E在线段上，且满足，点E是的中点，若，则的长为______cm． 【答案】12 【分析】本题考查线段的中点和三等分点的性质，根据题意得，，即可解答． 解：∵点E是的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 故答案为12． 15．（25-26六年级上·上海·期末）如图，已知点是线段的中点，点在线段上，且，如果，则______． 【答案】 【分析】本题考查线段中点的定义和线段的和差计算． 首先根据已知的比例关系求出的长度，再根据线段中点的性质得出的长度． 解：∵，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴. 故答案为：． 16．（25-26六年级下·山东泰安·期末）如图，点C是线段上的点，点D是线段的中点，，若与的长度比为，则线段的长是____________． 【答案】8 【分析】根据与的长度比为，求出，再根据线段的中点，得到，进而由线段的和差进行求解即可． 解：∵，若与的长度比为， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴． 17．24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，、在线段上，，、分别是、的中点，，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和差关系以及线段中点的性质，通过设未知数来表示线段之间的关系，再根据已知条件列出方程求解，最后求出的长度． 解：设，则，， ， 为中点，， ， 为中点， ， ， ， ， 解得：， ． 18．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知线段长度为12，线段长度为4，线段在线段上自由运动（点与点不重合，与点不重合），若点为的中点．则的值为___________． 【答案】16 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，解题的关键是掌握线段中点的性质． 取线段的中点，根据线段中点的性质得出线段之间的数量关系，然后利用线段的和差进行求解即可． 解：如图，取线段的中点， 则， ∵点为的中点， ∴， ∴ ∵线段长度为12，线段长度为4， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的值为16， 故答案为：16． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，点C为线段上一点，点B为的中点，且，． （1）求的长； （2）若点E在直线上，且，求的长． 【答案】（1）7；（2）的长为或． 【分析】本题考查线段的和与差、线段的中点，根据图形得到线段间的数量关系是解答的关键． （1）先根据中点得出，继而由可得答案； （2）分点E在上和点E在延长线上两种情况：先求得，再分类讨论即可解答． 解：（1）解：∵，点B为的中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，当点E在延长线上时， ∵，， ∴； 如图，当点E在线段上时， ∵，， ∴； 综上，的长为或． 20．（本小题满分8分）（25-26六年级下·山东泰安·期中）如图，点在线段上，点，分别是、的中点． （1）若，，求线段的长； （2）若C为线段上任一点，如果，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据线段的中点的定义，结合线段的和差关系进行求解即可； （2）根据线段的中点的定义，结合线段的和差推出即可. 解：（1）解：点，分别是、的中点，，， ，， ， 线段的长为； （2）解：点，分别是、的中点， ，， ， ， 的长为. 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）关于x的方程的解和方程的解相同． （1）求m的值； （2）已知线段，在线段上取一点P，恰好使，求线段的长． 【答案】（1）6；（2）2 【分析】本题考查了一元一次方程解的概念，线段长度计算，准确地理解题意并进行正确的计算是解题的关键． （1）先解方程，根据关于x的方程的解和方程的解相同，将方程的解代入方程，可求得m的值； （2）根据题意得到，，，从而得到，求得． 解：（1）解： ； 关于x的方程的解和方程的解相同， 把代入，得 ∴； （2）解：如图所示 ∵，； ∴， ∴． 22．（本小题满分10分）（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点． （1）若，且，求的长； （2）若线段，，求的长． 【答案】（1）2；（2）6 【分析】（1）已知，可得的长，因为点C为线段的中点，点D为线段的中点，可得的长，因为，可得的长； （2）因为点C为线段的中点，可得的长，因为，求得的长，可得的长，因为点D为线段的中点，可得的长． 解：（1）解：， ， ∵点C为线段的中点，点D为线段的中点， ， ； （2）解：，点C为线段的中点， ， ∵， ， ， ∵点D为线段的中点， ． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·重庆铜梁·期末）如图，学校操场的直跑道长米，点是跑道上的一个标记点． （1）若，求的长． （2）若，分别为线段，的中点，求的长． 【答案】（1）米；（2）米 【分析】本题考查了线段的和差运算及线段中点的性质，关键是根据线段的和差关系与中点定义建立等式求解． （1）根据已知条件，结合线段和，通过线段的倍数关系推导求出的长度； （2）根据线段中点的定义，将拆分为，再结合，推导出与的数量关系，进而求出的长度． 解：（1）解：， ． 又，米， ， ， （米）； （2）解：如图： 是的中点， ； 是的中点， ； ． 又米， （米）． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·全国·期末）综合与探究： 问题情境： 已知：M，N分别是线段，的中点． 初步探究： （1）如图（1），点C在线段上，且，，求线段的长． 问题解决： （2）若C为线段上任意一点，且，，求出线段的长（用含有a，b的代数式表示）． 类比应用： （3）若点C在线段的延长线上，且，，请你画出图形，并直接写出线段的长（用含有a，b的代数式表示）． 拓展延伸： （4）已知：如图（2），C为线段的中点，D为线段的中点，E为线段上任意一点，M为线段的中点，，，请你直接写出线段的长（用含有m，n的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）见分析， ；（3）；（4） 【分析】本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．在不同的情况下，灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性，同时灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． （1）根据点、分别是、的中点，先求出、的长度，再利用即可求出的长度； （2）当为线段上一点，且、分别是、的中点，可表示线段、的长度，再利用，则存在； （3）点在的延长线上时，根据、分别是、中点，可表示线段、的长度，再利用，即可求出的长度； （4）根据，，得，根据中点的性质得，所以． 解：（1） ，点是的中点， ， ，点是的中点， ， ， 线段的长度为7.5． （2）∵点，分别是线段，的中点， ，， ； （3） 当点在线段的延长线时，如图∶ 则， 是的中点， ， 点是的中点， ， ； （4）点，，分别是线段，，的中点， ，，， ，， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 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