第一章 特殊平行四边形 单元测试 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学《特殊平行四边形》单元同步练，以“基础认知-能力应用-综合探究”三阶分层，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖菱形、矩形、正方形性质判定及综合应用，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|单一图形性质（如菱形对角线垂直）、简单计算（如菱形面积）|选择1直接考查菱形与矩形性质差异，填空12基础计算对角线面积| |能力应用|跨图形综合（如矩形与等腰三角形）、判定推理|解答20结合矩形对角线性质与等腰三角形计算角度及长度| |综合探究|动态问题、折叠操作（如正方形折叠对称）|解答24通过多步折叠操作探究线段关系，强化空间观念与创新意识|

北师大版2026年九年级上学期数学第一章《特殊平行四边形》单元考试卷 满分120分 时间建议120分钟 姓名:___________ 班级:___________ 考号:___________ 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1．菱形具有而矩形不具有的性质是（   ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 2．在四边形中， ，，添加下列条件后仍然不能推得四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 3．顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形一定是（   ） A．对角线互相垂直的四边形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．矩形 4．已知菱形的两条对角线长分别为6cm 和8cm ，则菱形的边长为（   ） A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm 5．已知：如图，正方形的边长为8，是上的点，若，则的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，菱形的两条对角线、相交于点，点在上，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，平行四边形添加一个条件可变为矩形或菱形，矩形和菱形添加一个条件可变为正方形，则图中①②③④处可以填上条件“对角线相等”的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 8．如图，在矩形中，，，点、分别是、的中点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．已知：如图，在中，是中线，的交点，G，H分别是，的中点，连接，，，，． ①四边形是平行四边形；②若，则四边形是矩形； ③若，则四边形是菱形；④若，，则四边形是正方形 上述四个结论中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11．如图，在中，，则它斜边上的中线为___________cm． 12．在菱形中，对角线，，则菱形的面积为______． 13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BOC＝120°，AB＝4，则BC的长为_____． 14．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为___________． 15．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°． 16．如图，正方形的边长为8，，N 为上一点，则的最小值为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．[6分]如图，在四边形中，，于点，于点，，求证：四边形是矩形. 18．[6分]已知：如图，平行四边形的对角线的垂直平分线与边分别相交于点E、F．求证：四边形是菱形． 19．[6分]如图，在正方形和正方形中，，连接，，若，求的度数． 20．[10分]如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE． （1）若∠ADB=40°，求∠E的度数． （2）若AB=3，CE=5，求AE的长． 21．[10分]如图，在正方形中，点E，F分别在，上，交于点O，且． （1）判断和的关系，并证明； （2）若为的中点，，求的长． 22．[10分]如图，已知，按以下步骤作图： ①分别以点A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②作直线，交于点G，交于点Q； ③以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点P，连接，． （1）判断四边形是何种特殊四边形，并说明理由； （2）若，，求的长． 23．[12分]在正方形中，E是边上的一个动点（不与点B，C重合），连接，P为点B关于直线的对称点． （1）连接，作射线交射线于点F，依题意补全图1． ①若，求的大小（用含的式子表示）； ②用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明； （2）已知，连接，若，M，N是正方形的对角线上的两个动点，且，连接，，直接写出的最小值． 24．[12分]八年级数学课上孙老师带同学们一起以“矩形的折叠”为主题，开展数学实践活动． 工具与材料：直尺，圆规，矩形纸片，，． （1）【操作发现】 操作一：如图1，沿对角线折叠，使点落在点处，交于点，求出线段的长度； （2）【实践探究】 操作二：如图2，在操作一的基础上，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接． ①判断直线是否经过点？______(填“是”或“否”)； ②判断四边形的形状并说明理由，直接写出四边形的面积． （3）【拓展进阶】 操作三：如图3，先折叠矩形，使与重合，折痕分别与，交于，两点，连接． 如图，再次折叠矩形，使，两点重合，折痕与交于，连接，，最后将沿向上翻折，点落在点处，交于点． 请直接写出线段和的长度． 参考答案 一、选择题 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】D 8．【答案】A 9．【答案】D 10．【答案】D 二．填空题 11．【答案】1 12．【答案】 13．【答案】4 14．【答案】 15．【答案】135 16．【答案】10 三、解答题 17．，, ， . 在与中， , , 四边形是平行四边形. 又 , 四边形是矩形. 18．证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平行四边形的对角线的垂直平分线与边分别相交于点E、F， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 19．解：在正方形和正方形中，， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ． 20．（1）解：如图，连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°， ∵AB=BA， ∴△ABC≌△BAD， ∴∠ACB=∠ADB=40°， ∵BD=CE， ∴AC=CE， ∴∠E=∠CAE， ∵∠ACB=∠E+∠CAE， ∴∠E=20°； （2）解：由（1）得：AC=CE=5，∠ABC=90°， ∵AB=3， ∴， ∴BE=BC+CE=9， ∴． 21．（1） 解：， 证明：∵正方形 ∴， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵，为的中点， ∴． 22．（1） 解：四边形是菱形，理由如下： 由作图知垂直平分，， ，， ， ∴四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，，， 在中，， ∴， ， ． 23．（1）解：①∵点P与点B关于直线对称 ∴垂直平分，，且， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴ ②略 （2）由对称性得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则, ∴E为的中点， ∵， ∴， 过点A作，且， 则四边形为平行四边形， ∴，， ∴的最小值就等于， ∴当点G，M，E三点共线时，取最小值， ∵， ∴， 过点G作交于点Q，作交延长线于点H， 则四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 则的最小值为． 24．（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． 由折叠的性质得：， ∴， ∴ 设，则 在中，由勾股定理得：， ， ， 解得：． 即 （2）①解：直线经过点，理由如下：由操作二的作法可知，直线是线段的垂直平分线， 由（1）知， ∴点在的垂直平分线上， ∴直线经过点． ②四边形是菱形，． 即四边形的面积为． （3）解：由折叠性质得：为的中点， ∴． 设，则，由折叠得． 在和中，由勾股定理得：，． ∵， ∴， 解得：即． 此时，， ∴， 由折叠性质得：， 在与中， ， ∴． ∴， 又， ∴， ∴ 又∵由折叠性质知， ∴四边形是正方形， 如图，设交于点， ∵是折痕， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $