第11讲 线段的和与差及中点问题 同步培优讲义 2026--2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦线段的和差计算及中点问题，系统梳理从线段基本概念到和差关系、单中点、双中点、多中点问题的逻辑脉络，搭建从直观认识到分类讨论、模型应用的学习支架。 资料以模型化分层设计为亮点，通过定义双中点等模型、例题解析及变式训练培养抽象能力与推理意识，课后练习结合动态动点、折叠问题提升几何直观和应用意识，课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固查漏。

第11讲 线段的和与差及中点问题 典 型 例 题 题型 线段的和与差的计算问题 1 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD 1 例 在直线上，线段， 线段， 则线段的长为 ． 1-1 变式变式 若点，，在同一条直线上，如果线段，线段，那么，两点之间距离是 ． 1-2 变式变式 在直线上截取线段，，使，，则线段的长为 ． 1-3 变式变式 如图，B、C、D依次为线段AE上的三个点．已知，，． (1)求的长； (2)求图中所有线段长度的和． 题型 线段中的单中点的计算问题 2 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 2 例 已知点C在直线上，若，E为线段的中点，则的长为 ． 2-1 变式变式 已知线段，直线上有一点，，为的中点，则的长为 ． 2-2 变式变式 点C、点D在线段上，． (1)如图1，请判断和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点M是的中点，，，求线段的长度． 2-3 变式变式 已知点C在线段上，，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧，点E在点C的右侧，，线段在线段上移动． (1)求的长 (2)如图，当E为的中点时，求的长； (3)在（2）的条件下，如果在线段上取一点F，使得，此时点F是线段的几等分点？请说明理由． 题型 线段中的双中点的计算问题 3 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN， ∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN， ∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM， ∴； 3 例 如图所示，已知点在线段上，分别是的中点． (1)图中有______条线段； (2)若，求的长度 3-1 变式变式 如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求： (1)求的长度； (2)求的长度； (3)求的长度； 3-2 变式变式 如图，点B、C在线段上，且． (1)如图（Ⅰ）若点M为的中点，且．则 ， ． (2)如图（Ⅱ）若点M、N分别为的中点，且，求（用m、n表示）． 3-3 变式变式 【问题背景】 如图，已知线段，点是线段的中点，点是线段的中点． 【问题探究】 （1）如图1，求线段的长； （2）如图2，点是线段上的一点，且满足， ①求线段的长； ②若点是线段上的一点，，求的长． 题型 线段中的多中点的计算问题 4 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点 ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴，……发现规律：， 4 例 已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 4-1 变式变式 如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．    4-2 变式变式 小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． (1)根据题意，小明求得MN＝___________； (2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________； ②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________； 课 后 练 习 1 练 如图，线段为线段的中点，下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 2 练 点，，在同一条直线上，，，则的长为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 3 练 如图，点，在线段上，，是的中点，是的中点，，则的长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 4 练 如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（   ） A．4 B．20或10 C．10 D．20或4 5 练 已知线段，点C是直线上一点（不同于点A、B）．下列说法：①若点C为线段的中点，则；②若，则点C为线段的四等分点；③若，则点C一定在线段上；④若，则点C一定在线段的延长线上；⑤若，则．其中正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6 练 如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 7 练 已知线段，点C在的延长线上，，则线段 ． 8 练 如图，线段，点C为线段上一点，，点D，E分别为和的中点，则线段的长为 ． 9 练 已知点C在直线上，，，点分别是的中点．则线段的长为 ． 10 练 如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点连续这样操作2024次，则线段的长度为 ． 11 练 如图，M是定长线段上一定点，点C在线段上，点D在线段上，点C、点D分别从点M、点B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示．若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 ． 12 练 长方形纸片上有一数轴，剪下16个单位长度（从到12）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 13 练 如图，C为线段AD上一点，B为线段CD的中点，且． (1)线段AC的长为 cm． (2)若点E在线段AD上，，则线段BE的长为 cm． 14 练 如下图，为线段延长线上一点，为线段上一点，． (1)若，求的长． (2)若，是的中点，求的长． 15 练 如图，点在线段上，且． (1)点________是线段的中点，点C是线段________的三等分点． (2)是的几倍？是的几倍？ 16 练 如图所示，直线上有一点P，M，N分别为线段，的中点，． (1)若点P在线段上，且，求线段的长度． (2)若点P在直线上运动，请分别计算下面情况时的长度： ①当点P在之间；②当点P在点A左边；③当点P在点B右边． 你发现了什么规律？ 17 练 如图，在射线上有A，B，C三点，满足．点P从点出发，沿方向以的速度运动；点Q从点C出发在线段上向点匀速运动（点Q运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（P在线段上）时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，则点Q的运动速度为   ．（直接写出答案即可） (2)若点Q的运动速度为，经过多长时间P、Q两点相距？ (3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，则 ．（直接写出答案即可） 18 练 已知点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美点”． 【理解定义】 （1）若线段，C是线段的“五美点”，则______； 【解决问题】 （2）如图，E在射线上，． ①若点D、F均为线段的“五美点”，且，又K为线段的中点，求线段的长度； ②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程． 第11讲 线段的和与差及中点问题 典 型 例 题 题型 线段的和与差的计算问题 1 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD 1 例 在直线上，线段， 线段， 则线段的长为 ． 【答案】或 【详解】解：①如图，当在线段上时： ； ②如图，当在的延长线上时， ；故答案为：或． 1-1 变式变式 若点，，在同一条直线上，如果线段，线段，那么，两点之间距离是 ． 【答案】或 【详解】解：若点在线段上，如图， ∵，，∴； 若点在线段的延长线上，如图， ∵，，∴， 综上所述，，两点之间距离是或．故答案为：或． 1-2 变式变式 在直线上截取线段，，使，，则线段的长为 ． 【答案】4或2 【详解】解：分两种情况： ①如图所示，当点在点的右侧时， ，， ； ②如图所示，当点在点的左侧时， ，， ， 综上所述，线段的长为或．故答案为：4或2． 1-3 变式变式 如图，B、C、D依次为线段AE上的三个点．已知，，． (1)求的长； (2)求图中所有线段长度的和． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解：，．，． ． （2）解：由（1）知．图中共有10条线段，分别为，，，，，，，，，，它们的长度之和为： ． 题型 线段中的单中点的计算问题 2 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 2 例 已知点C在直线上，若，E为线段的中点，则的长为 ． 【答案】或 【详解】解：当点在线段上时，如图： ∵∴， ∵E为线段的中点，∴； 当点在线段延长线上时，如图： ∵∴， ∵E为线段的中点，∴； 综上：的长为或，故答案为：或． 2-1 变式变式 已知线段，直线上有一点，，为的中点，则的长为 ． 【答案】9或 【详解】解：如图， ∵线段，直线上有一点C，且，∴， ∴，∴，∵D为的中点，∴， ∴； 如图， ∵线段，直线上有一点C，且，∴， ∴，∴，∴， ∵D为的中点，∴，∴， 综上所述，的长为9或．故答案为：9或． 2-2 变式变式 点C、点D在线段上，． (1)如图1，请判断和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点M是的中点，，，求线段的长度． 【答案】(1) (2)7 【详解】（1）解：∵点C、点D在线段上，， ∴，即； （2）解：∵点M是的中点，∴，∵，， ∴，∴，∵，，∴， ∴，解得：，∵，， ∴，∴，解得：， ∴，解得：，即． 2-3 变式变式 已知点C在线段上，，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧，点E在点C的右侧，，线段在线段上移动． (1)求的长 (2)如图，当E为的中点时，求的长； (3)在（2）的条件下，如果在线段上取一点F，使得，此时点F是线段的几等分点？请说明理由． 【答案】(1)16 (2)24 (3)五 【详解】（1）∵∴∵∴，∴； （2），∴,又E为中点∴ ∵∴,又∴； （3）∵∴∵ ∴∴点F是线段的五等分点． 题型 线段中的双中点的计算问题 3 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN， ∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN， ∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM， ∴； 3 例 如图所示，已知点在线段上，分别是的中点． (1)图中有______条线段； (2)若，求的长度 【答案】(1)10 (2)9 【详解】（1）解：依题意，图中线段有，，，，共（条）故答案为：． （2）解：点、分别为、的中点，，， ． 3-1 变式变式 如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求： (1)求的长度； (2)求的长度； (3)求的长度； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵，点D是的中点，∴； （2）∵，，∴， ∵E是的中点，∴， （3）∵，∴． 3-2 变式变式 如图，点B、C在线段上，且． (1)如图（Ⅰ）若点M为的中点，且．则 ， ． (2)如图（Ⅱ）若点M、N分别为的中点，且，求（用m、n表示）． 【答案】(1)4，4 (2) 【详解】（1）解：∵ ∴∴， ∴， ∵点M为的中点，∴，∴BM=CM-BC=8-4=4故答案为：4，4； （2）解：∵，∴， ∴， ∵点M、N分别为的中点，∴， ∵∴． 3-3 变式变式 【问题背景】 如图，已知线段，点是线段的中点，点是线段的中点． 【问题探究】 （1）如图1，求线段的长； （2）如图2，点是线段上的一点，且满足， ①求线段的长； ②若点是线段上的一点，，求的长． 【答案】（1）4；（2）①10，②7或1 【详解】解：（1），点是的中点， ．点是线段的中点，． （2）①，，，，． ②，，． 当点在点左边时，，，． 当点在点右边时，，，． 综上可得的长为7或1． 题型 线段中的多中点的计算问题 4 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点 ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴，……发现规律：， 4 例 已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 【答案】或 【详解】解：∵，，∴，则， ∵点D是线段的三等分点，∴或， 当时，； 当时，； 综上，或， 故答案为：或． 4-1 变式变式 如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．    【答案】或或 【详解】解：∵图中数轴的单位长度为，∴， ①如图，当点靠近点时，∵原点为的四等分点，∴， ∴点代表的数为；    ②如图，当点恰好是线段的中点时，∵原点为的四等分点， ∴，∴点代表的数为；    ③如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点，∴，∴点代表的数为；    综上所述，点代表的数为或或，故答案为：或或． 4-2 变式变式 小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． (1)根据题意，小明求得MN＝___________； (2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________； ②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________； 【答案】(1)6 (2)①；②；③ 【详解】（1）解：∵AB=12，AC=8，∴BC=AB-AC=4， ∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=AC=4，CN=BC=2，∴MN=CM+CN=6； 故答案为：6； （2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=AC+BC=AB，∵AB=a，∴MN=a；故答案为：a； ②∵AM=AC，BN=BC，∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=CM+CN=AC+BC=AB，∵AB=a，∴MN=a； ③∵AM=AC，BN=BC，∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=CM+CN=AC+BC=AB，∵AB=a，∴MN=a，故答案为：a． 课 后 练 习 1 练 如图，线段为线段的中点，下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．为线段的中点，， ，，，故A不符合题意； B．，，故B不符合题意； C．，，故C不符合题意； D．点不是的中点，和不一定相等，故选D符合题意；故选：D． 2 练 点，，在同一条直线上，，，则的长为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：若点在点左侧，， 若点在点右侧，，故选：． 3 练 如图，点，在线段上，，是的中点，是的中点，，则的长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】解：设，则，． 因为线段，的中点分别是，，所以，． 因为，所以，解得，所以．故选C． 4 练 如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（   ） A．4 B．20或10 C．10 D．20或4 【答案】D 【详解】解：当点在线段上时，如图： 由题意，得：，，∴，∴； 当点在线段上时，如图： 则，，∵，∴， ∴；综上，线段的长是20或4．故选：D． 5 练 已知线段，点C是直线上一点（不同于点A、B）．下列说法：①若点C为线段的中点，则；②若，则点C为线段的四等分点；③若，则点C一定在线段上；④若，则点C一定在线段的延长线上；⑤若，则．其中正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①∵点C为线段的中点，∴，该选项正确，符合题意； ②若，点不在线段上时，则点C不是线段的四等分点，该选项错误，不符合题意； ③若，则点C一定在线段上，该选项正确，符合题意； ④若，则点C在线段的延长线或者反向延长线上，该选项错误，不符合题意； ⑤若，则或，该选项错误，不符合题意． 故正确选项为：①③，故选：B． 6 练 如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【详解】解：运动后，， ∵为的中点，为的中点， ∴，∴，故①正确； 设运动秒，则， ∵为的中点，为的中点，， ∴，， ∴的值不变，故②错误； ，， 解得：，故③正确；故选：D． 7 练 已知线段，点C在的延长线上，，则线段 ． 【答案】10 【详解】解：，，， 点C在的延长线上，，故答案为：． 8 练 如图，线段，点C为线段上一点，，点D，E分别为和的中点，则线段的长为 ． 【答案】1.5 【详解】解：∵，，∴， ∵点D为中点，点E为中点，∴，， ∴，，∴．故答案为：1.5． 9 练 已知点C在直线上，，，点分别是的中点．则线段的长为 ． 【答案】或 【详解】分类讨论：点C在线段上，点C在线段的延长线上，根据线段中点的性质，可得的长，根据线段的和差，可得答案． 解：①当点C在线段上时， ， 由点M、N分别是的中点，得，， 由线段的和差，得； ②当点C在线段的延长线上时， ， 由点M、N分别是的中点，得，． 由线段的和差，得，综上，MN的长或， 故答案为：或． 10 练 如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点连续这样操作2024次，则线段的长度为 ． 【答案】 【详解】解：是和的中点， 是和的中点， ， 是和的中点，， ， 发现规律：，当时，，故答案为：． 11 练 如图，M是定长线段上一定点，点C在线段上，点D在线段上，点C、点D分别从点M、点B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示．若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 ． 【答案】或1 【详解】解：设运动时间为t， ∵，，，，， ∴，∴，∴， ∴， 当N点在线段上时，如图所示， ∵，，∴，∴，即； 当N点在线段的延长线上时，如图所示， ∵，，∴， ∴，即；综上所述，或1． 故答案为：或1． 12 练 长方形纸片上有一数轴，剪下16个单位长度（从到12）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 【答案】2或4或6 【详解】解：∵这三条线段的长度之比为， ∴设三条线段的长分别是，，，由题意得，，解得， ∴三条线段的长分别是4，4，8， ①当时， 则折痕处对应的点所表示的数是； ②当时， 则折痕处对应的点所表示的数是； ③当时， 则折痕处对应的点所表示的数是； ∴综上所述，折痕处对应的点所表示的数可能是2或4或6．故答案为：2或4或6． 13 练 如图，C为线段AD上一点，B为线段CD的中点，且． (1)线段AC的长为 cm． (2)若点E在线段AD上，，则线段BE的长为 cm． 【答案】(1)5 (2)4 【详解】（1）因为B为线段的中点，且，所以 又因为，所以． （2）由（1）知，所以 已知，，所以点E在之间，． 14 练 如下图，为线段延长线上一点，为线段上一点，． (1)若，求的长． (2)若，是的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，∴．∵，∴． ∵，∴． （2）解：∵，∴．∵，∴， ∴，∴．∵是的中点，∴， ∴． 15 练 如图，点在线段上，且． (1)点________是线段的中点，点C是线段________的三等分点． (2)是的几倍？是的几倍？ 【答案】(1)， (2)是的2倍，是的4倍 【详解】（1）解：，，，点是线段的中点， ，是线段的三等分点；故答案为：，； （2），，，是的2倍，是的4倍． 16 练 如图所示，直线上有一点P，M，N分别为线段，的中点，． (1)若点P在线段上，且，求线段的长度． (2)若点P在直线上运动，请分别计算下面情况时的长度： ①当点P在之间；②当点P在点A左边；③当点P在点B右边． 你发现了什么规律？ 【答案】(1)7 (2)①7；②7；③7；规律：当在直线上时， 【详解】（1）解：当在线段上，如图1， ，点是中点，，，，， 又点是中点，，； （2）解：①点在之间，是的中点，是的中点，，， ； ②点在的左边时，如图2， 是的中点，是的中点，，， ； ③点在的右边时，如图3， 是的中点，是的中点，，， ；发现规律：当在直线上时，． 17 练 如图，在射线上有A，B，C三点，满足．点P从点出发，沿方向以的速度运动；点Q从点C出发在线段上向点匀速运动（点Q运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（P在线段上）时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，则点Q的运动速度为   ．（直接写出答案即可） (2)若点Q的运动速度为，经过多长时间P、Q两点相距？ (3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，则 ．（直接写出答案即可） 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）解：如图所示， ∵，，∴， ∵点Q运动到的位置恰好是线段的中点，∴， ∴，， ∴点运动的时间为，∴点的速度为，故答案为：； （2）解：当点没有运动到了点时，假设点运动的时间为，，，∴， 根据题意得，①,解得，，符合题意， 所以，经过P、Q两点相距； ②,解得，∵，该种情况不符合题意，舍去； 当点运动到了点，停止运动时，此时，，根据题意得， 点运动的时间为，综上，经过或P、Q两点相距； （3）解：①如图所示，当点位于点左侧，点位于点左侧时， ∵和的中点为E、F，∴， 令，则，∴，， ，，∴； ②如图所示，当点位于点左侧，点位于点右侧时， ∵和的中点为E、F，∴， 令，则，∴，， ，，∴； ③如图所示，当点位于点右侧时， ∵和的中点为E、F，∴， 令，则，∴，， ，， ∴；综上，． 18 练 已知点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美点”． 【理解定义】 （1）若线段，C是线段的“五美点”，则______； 【解决问题】 （2）如图，E在射线上，． ①若点D、F均为线段的“五美点”，且，又K为线段的中点，求线段的长度； ②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程． 【答案】（1）5或1，（2）①；②t=或t=或t=或t= 【详解】解：（1）∵C在线段上，∴． ∵C是线段的“五美点”，∴或，即或． ∴或．又∵，∴或1．故答案为：5或1； （2）①∵点D、F均为线段的“五美点”，且， ∴，，∴， ∵K为线段的中点，∴，∴； ②由题意得：点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，点P追上点Q时，，解得：， Ⅰ、点E是线段的“五美点”，则或， ∴或，解得：或； Ⅱ、点P是线段的“五美点”，则或， 或，解得：或， 综上：或或或 学科网（北京）股份有限公司 $