第3讲 有理数的混合运算 同步培优讲义 2026--2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的混合运算核心知识点，系统梳理乘除法则、乘方运算规则，逐步过渡到新定义型问题及实际应用，构建从基础运算到综合应用的递进式学习支架。 资料通过实际应用题引导学生用数学眼光观察销售、产量等现实问题，纠错题型培养数学思维的推理意识，新定义问题强化数学语言表达。课中助力教师分层教学，课后练习覆盖多样题型，帮助学生查漏补缺，巩固运算能力。

第3讲 有理数的混合运算 典 型 例 题 题型 有理数乘除混合运算 1 1. 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 2.有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 1 例 计算： 1-1 变式变式 计算： 1-2 变式变式 计算： 1-3 变式变式 阅读下面的解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程从第______步开始出错，错误的原因是______． (2)请写出正确的解答过程． 题型 含乘方的有理数的混合运算 2 1.有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 2.有理数的混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有 理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 2 例 计算：． 2-1 变式变式 计算： 2-2 变式变式 计算：． 2-3 变式变式 计算： (1)； (2)． 题型 有理数的混合运算中的新定义型问题 3 1. 先明确新定义运算的规则，理解符号或表达式的含义，将新运算转化为熟悉的加减乘除运算，注意运算顺序和括号的作用。 2. 代入具体数值或代数式，按新规则逐步计算，结合有理数混合运算的法则，验证结果是否符合定义，避免混淆新规则与常规运算。 3 例 对有理数a、b定义运算如下：． (1)计算______； (2)求的值． 3-1 变式变式 新定义运算：．例． 求(1)的值为； (2)的值为． 3-2 变式变式 定义新运算：，，a，b是实数，如：，． (1)求的值； (2)求的值． 3-3 变式变式 对于任意有理数和，定义一种新运算“”：，例如： (1)求的值； (2)求的值； (3)计算和的值，并根据计算结果判断这种运算是否满足交换律． 题型 有理数的混合运算的实际应用 4 1.先分析实际问题中的数量关系，用有理数表示相反意义的量（如收入为正、支出为负），再确定运算顺序，列出混合运算式子。 2.按“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号”的法则计算，结合实际意义检验结果合理性，解决如利润、行程等问题。 4 例 科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富，小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)求小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克． (2)求小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ (3)若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为2元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ 4-1 变式变式 为巩固脱贫攻坚成果，助力乡村振兴快速发展．我县所略乡推行“发展茶油产业，加快脱贫的步伐”．某种植户新鲜采摘了20筐茶果，以每筐25千克为标准重量，超过或不足千克数分别用正，负数来表示，记录如下： 与标准重量的差值（单位：千克） 0 1 筐数 1 4 2 3 2 8 (1)与标准重量比较，20筐茶果总计超过或不足多少千克？ (2)若该种植户采摘生茶果每千克售价元，则出售这20筐茶果可获得多少元？ 4-2 变式变式 在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？ (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ 4-3 变式变式 自行车厂要生产一批相同型号的自行车，计划每天生产100辆．但由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比会有所差异．下表是工人在某周的生产情况：（超过100辆记为正，不足100辆记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（辆） (1)根据记录可知，前三天共生产了 辆； (2)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了 辆； (3)该厂实行计件工资制，每生产一辆得100元，对于每天的计划生产量，若每多生产一辆再额外奖20元，若每少生产一辆则要扣20元，求工人这一周的工资总额是多少元． 课 后 练 习 1 练 计算的结果为（    ） A． B．9 C．1 D． 2 练 计算机将信息转换成二进制数处理的，二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制形式是（ ） A．23 B．22 C．18 D．31 3 练 现定义一种新的运算：，例如：，请你按以上方法计算的结果是（   ） A． B．5 C．1 D．-1 4 练 计算： ． 5 练 计算： ． 6 练 定义一种新的运算：，如，则的值是 ． 7 练 用“”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有．例如：，那么 ； ． 8 练 计算： (1)； (2)； (3)． 9 练 计算： (1) (2) 10 练 计算： (1)； (2)． 11 练 学习情境•过程纠错 下面是小胡同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题． 计算：． 解：原式 …………第①步 …………………………………第②步 (1)上述解题过程中，从第___________步开始出错（填“①”或“②”）； (2)写出本题的正确解答过程． 12 练 已知a，b均为有理数，现我们定义一种新运算，规定．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 13 练 兰州出租车师傅小郭一天上午驾驶一辆出租车以西关什字为出发地在东西大街上运行，规定向东为正，向西为负，出租车的行驶里程（单位：）如下： (1)将最后一名乘客送到目的地，相对于西关什字出租车的位置在哪里？ (2)这天上午出租车总共行驶了多少？ (3)已知出租车每行驶耗油，每升汽油的售价为8.3元．如果不计其他成本，出租车师傅小郭每千米收费2.5元，那么这半天他盈利了还是亏损了？盈利（或亏损）了多少元？ 14 练 【阅读理解】 材料一：类比“有理数的乘方”的定义，我们规定：求若干个相同的非零有理数的商的运算，叫作除方，如，等．把（记作读作“的括号3次方”；把记作，读作“3的括号4次方”． 材料二：我们知道除法运算可以转化为乘法运算，例如：． (1)仿照上例，将下列除方运算的结果写成幂的形式： ①； ②； (2)求的值． 15 练 大荔冬枣肉细嫩，果肉乳白色，口感细嫩酥脆，晓芸家新摘了6筐冬枣，以每筐为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录（单位：）如下： 第1筐 第2筐 第3筐 第4筐 第5筐 第6筐 (1)第1筐冬枣重_____千克． (2)这6筐冬枣中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (3)如果该冬枣以每千克15元的价格售出，这6筐冬枣一共可以卖多少元？ 第3讲 有理数的混合运算 典 型 例 题 题型 有理数乘除混合运算 1 1. 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 2.有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 1 例 计算： 【答案】 【详解】解：原式． 1-1 变式变式 计算： 【答案】2 【详解】解：． 1-2 变式变式 计算： 【答案】 【详解】解：. 1-3 变式变式 阅读下面的解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程从第______步开始出错，错误的原因是______． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)二，运算顺序不对(2)见解析 【详解】（1）解：上面解题过程从第二步开始出错，错误的原因是运算顺序不对； （2）解： . 题型 含乘方的有理数的混合运算 2 1.有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 2.有理数的混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有 理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 2 例 计算：． 【答案】 【详解】解： 2-1 变式变式 计算： 【答案】12 【详解】 ． 2-2 变式变式 计算：． 【答案】 【详解】解： 2-3 变式变式 计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型 有理数的混合运算中的新定义型问题 3 1. 先明确新定义运算的规则，理解符号或表达式的含义，将新运算转化为熟悉的加减乘除运算，注意运算顺序和括号的作用。 2. 代入具体数值或代数式，按新规则逐步计算，结合有理数混合运算的法则，验证结果是否符合定义，避免混淆新规则与常规运算。 3 例 对有理数a、b定义运算如下：． (1)计算______； (2)求的值． 【答案】(1) (2)9 【详解】（1）根据题意得，； （2） ． 3-1 变式变式 新定义运算：．例． 求(1)的值为； (2)的值为． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）解：根据题意可得：． 3-2 变式变式 定义新运算：，，a，b是实数，如：，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：∵，∴； （2）解：∵，∴， ∵，∴ ． 3-3 变式变式 对于任意有理数和，定义一种新运算“”：，例如： (1)求的值； (2)求的值； (3)计算和的值，并根据计算结果判断这种运算是否满足交换律． 【答案】(1)3 (2) (3)，，不满足 【详解】（1）解：由题意知，；∴的值为3； （2）解： ， ∴的值为； （3）解：由题意知，， ，∵，不满足交换律． 题型 有理数的混合运算的实际应用 4 1.先分析实际问题中的数量关系，用有理数表示相反意义的量（如收入为正、支出为负），再确定运算顺序，列出混合运算式子。 2.按“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号”的法则计算，结合实际意义检验结果合理性，解决如利润、行程等问题。 4 例 科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富，小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)求小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克． (2)求小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ (3)若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为2元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ 【答案】(1)小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售千克 (2)小王第一周实际销售柚子的总量是千克 (3)小王第一周销售柚子一共收入元 【详解】（1）解：周六销售柚子最多，销售量为（千克）， 最少的是周五，销售量为（千克）， 所以最多的一天比最少的一天多销售（千克） 答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克； （2）解：（千克）， 答：小王第一周实际销售柚子的总量是千克； （3）解：（元）， 答：小王第一周销售柚子一共收入元． 4-1 变式变式 为巩固脱贫攻坚成果，助力乡村振兴快速发展．我县所略乡推行“发展茶油产业，加快脱贫的步伐”．某种植户新鲜采摘了20筐茶果，以每筐25千克为标准重量，超过或不足千克数分别用正，负数来表示，记录如下： 与标准重量的差值（单位：千克） 0 1 筐数 1 4 2 3 2 8 (1)与标准重量比较，20筐茶果总计超过或不足多少千克？ (2)若该种植户采摘生茶果每千克售价元，则出售这20筐茶果可获得多少元？ 【答案】(1)20筐茶果的总质量比标准质量超过8千克 (2)出售这20筐茶果可获得元 【详解】（1）解：由题意得：千克， 答：20筐茶果的总质量比标准质量超过8千克； （2）解：由题意得：（元） 答：出售这20筐茶果可获得元． 4-2 变式变式 在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？ (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)195 (2)1408件 (3)84460元 【详解】（1）解：（件），即该合作社星期三生产竹制品和陶瓷件， 故答案为：； （2）解：（件）， 答：该厂本周生产竹制品和陶瓷件； （3）解：（元）， 超过的部分奖励总额为：（元）， 扣款总额为：（元），∴（元）， 答：合作社成员这一周的工资总额是元． 4-3 变式变式 自行车厂要生产一批相同型号的自行车，计划每天生产100辆．但由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比会有所差异．下表是工人在某周的生产情况：（超过100辆记为正，不足100辆记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（辆） (1)根据记录可知，前三天共生产了 辆； (2)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了 辆； (3)该厂实行计件工资制，每生产一辆得100元，对于每天的计划生产量，若每多生产一辆再额外奖20元，若每少生产一辆则要扣20元，求工人这一周的工资总额是多少元． 【答案】(1)； (2)； (3)元． 【详解】（1）解：辆， ∴前三天共生产了辆，故答案为：； （2）解：由表格可得，生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了辆，故答案为：； （3）解：， ，，（元）， 答：工人这一周的工资总额是元． 课 后 练 习 1 练 计算的结果为（    ） A． B．9 C．1 D． 【答案】D 【详解】解：．故选：D． 2 练 计算机将信息转换成二进制数处理的，二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制形式是（ ） A．23 B．22 C．18 D．31 【答案】A 【详解】解：根据题意得：，故选：A． 3 练 现定义一种新的运算：，例如：，请你按以上方法计算的结果是（   ） A． B．5 C．1 D．-1 【答案】A 【详解】解：由题意，得：；故选A． 4 练 计算： ． 【答案】 【详解】解：．故答案为：． 5 练 计算： ． 【答案】 【详解】．故答案为：． 6 练 定义一种新的运算：，如，则的值是 ． 【答案】/0.5 【详解】，，故答案为：． 7 练 用“”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有．例如：，那么 ； ． 【答案】 16 【详解】解：∵，∴， ∴，故答案为：． 8 练 计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 9 练 计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）． 10 练 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 11 练 学习情境•过程纠错 下面是小胡同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题． 计算：． 解：原式 …………第①步 …………………………………第②步 (1)上述解题过程中，从第___________步开始出错（填“①”或“②”）； (2)写出本题的正确解答过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【详解】（1）解：第①步出错，运算的顺序有误；故答案是：①； （2）解：． 12 练 已知a，b均为有理数，现我们定义一种新运算，规定．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意可得， ． 13 练 兰州出租车师傅小郭一天上午驾驶一辆出租车以西关什字为出发地在东西大街上运行，规定向东为正，向西为负，出租车的行驶里程（单位：）如下： (1)将最后一名乘客送到目的地，相对于西关什字出租车的位置在哪里？ (2)这天上午出租车总共行驶了多少？ (3)已知出租车每行驶耗油，每升汽油的售价为8.3元．如果不计其他成本，出租车师傅小郭每千米收费2.5元，那么这半天他盈利了还是亏损了？盈利（或亏损）了多少元？ 【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地回到了西关什字处； (2)；(3)盈利，元 【详解】（1）解解：， 所以将最后一名乘客送到目的地，出租车回到了西关什字处， 答：将最后一名乘客送到目的地回到了西关什字处． （2）， 答：这天上午出租车总共行驶了 千米． （3） 答：那么这半天出租车盈利了元． 14 练 【阅读理解】 材料一：类比“有理数的乘方”的定义，我们规定：求若干个相同的非零有理数的商的运算，叫作除方，如，等．把（记作读作“的括号3次方”；把记作，读作“3的括号4次方”． 材料二：我们知道除法运算可以转化为乘法运算，例如：． (1)仿照上例，将下列除方运算的结果写成幂的形式： ①； ②； (2)求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）解：① ； ②． （2）解： ． 15 练 大荔冬枣肉细嫩，果肉乳白色，口感细嫩酥脆，晓芸家新摘了6筐冬枣，以每筐为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录（单位：）如下： 第1筐 第2筐 第3筐 第4筐 第5筐 第6筐 (1)第1筐冬枣重_____千克． (2)这6筐冬枣中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (3)如果该冬枣以每千克15元的价格售出，这6筐冬枣一共可以卖多少元？ 【答案】(1) (2)千克 (3)1860元 【详解】（1）解：根据题意，得第1筐冬枣重（千克），故答案为：． （2）解：根据， 得到（千克）， 答：最重的一筐比最轻的一筐重千克． （3）解：冬枣的总质量为：． 故卖出的总钱数为（元）． 学科网（北京）股份有限公司 $