第5讲 整式及整式加减同步培优讲义2026-2027学年七年级数学上册人教版

本讲义聚焦初中数学整式及整式加减核心知识点，系统梳理多项式系数与指数求值、同类项应用、整式化简求值、错解复原、无关型问题等内容，构建从概念理解到运算技能再到问题解决的递进式学习支架。 资料通过题型分类配方法指导、例题与变式结合，强化方程思想与整体思想，如同类项指数列方程培养推理意识，错解分析提升运算能力，无关型问题渗透模型观念。课中助力教师系统授课，课后练习覆盖不同难度，辅助学生查漏补缺。

第5讲 整式及整式加减 典 型 例 题 题型 多项式系数、指数中字母求值 1 1.同类项定义应用：根据同类项字母相同且对应指数相等，列方程求解指数中字母的值，确保合并同类项时系数运算的合理性。 2.多项式次数确定：多项式次数为最高次项的次数，据此建立关于字母指数的等式或不等式，明确字母取值范围。 3.系数条件分析：针对不含某一项（系数为0）或系数满足特定关系（如互为相反数），列方程求解系数中字母的值，结合指数取值限制验证结果。 1 例 已知多项式为5次多项式，则 ． 1-1 变式变式 已知多项式是二次三项式，n为常数，则的值为 ． 1-2 变式变式 已知多项式是关于x、y的四次四项式，则的值为 ． 1-3 变式变式 已知是关于，的七次三项式，则的值为 ． 题型 已知同类项求指数中参数或代数式 2 1.同类项概念：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项为同类项，据此确定参数满足的等式。 2.方程思想：根据同类项指数相等的条件，列出关于参数的方程，求解参数值，注意参数的取值范围。 3.代数式求值：将求得的参数值代入目标代数式，按运算顺序计算，或结合同类项系数关系整体求值，验证结果合理性。 2 例 如果与是同类项，则 ， ． 2-1 变式变式 单项式与是同类项，则 ． 2-2 变式变式 若 与的和仍是单项式，则的值等于 ． 2-3 变式变式 若单项式与是同类项，则 ． 题型 整式加减运算中先化简再求值 3 1. 整式化简：运用去括号法则（括号前是负号，括号内各项变号）和合并同类项（同类项系数相加，字母及指数不变），将整式化为最简形式。 2. 代入求值：化简后，将已知字母的值代入最简整式，按有理数运算顺序（先乘方，再乘除，后加减）计算。 3. 整体思想：若直接代入复杂，可通过变形将已知式子整体代入化简后的整式，简化运算，确保每步变形等价。 3 例 先化简，再求值： ，其中，． 3-1 变式变式 先化简，再求值：，其中，. 3-2 变式变式 先化简，再求值：，其中，． 3-3 变式变式 先化简、再求值：，其中、 题型 整式的加减运算中错解复原问题 4 1.错误分析：识别错解中符号、去括号、合并同类项等环节的错误，如漏变号、错用分配律，明确错误根源。 2.还原正确步骤：依据整式加减法则（去括号法则、同类项合并规则），反向修正错误步骤，重建正确运算过程。 3.验证结果：通过正确化简或代入求值，对比错解与正解的差异，验证复原结果的正确性，强化对运算规则的理解。 4 例 小明化简的过程如下，请指出他化简过程中的错误，写出对应的序号，并写出正确的化简过程： 解： ① ② ③ (1)他化简过程中出错的是第________步（填序号）； (2)请写出正确的解答过程 4-1 变式变式 下面是小明同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．     第一步        第二步                            第三步 任务一：填空： ①以上化简步骤中，第一步的依据是________； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________； 任务二：请直接写出该整式化简后的正确结果________． 4-2 变式变式 下面是小林同学化简的一道题，其解答过程如下： 化简：， 解：原式   第一步   第二步   第三步 (1)小林同学开始出现错误是在第______步，错误的原因是__________． (2)请给出正确的解答过程． 4-3 变式变式 下面是马小虎同学做的一道题： 化简：． 解：原式………………第一步 …………………第二步 ………………………………………………………第三步 (1)上面的解题过程中最早出现错误的步骤是第 步； (2)请写出正确的解题过程． 题型 整式加减中的无关型问题 5 1. 无关条件理解：结果与某字母无关，即该字母的系数为0，需明确代数式化简后对应项的系数特征。 2. 化简与系数分析：通过去括号、合并同类项化简整式，分离出与无关字母相关的项，令其系数等于0。 3. 方程求解：根据系数为0的条件列方程，求解参数值，验证参数满足时结果确实与该字母无关，体现方程思想的应用。 5 例 已知多项式，． (1)求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 5-1 变式变式 已知，小明在计算时，误将其按计算，结果得到． (1)求的正确结果； (2)若的值与无关，求的值． 5-2 变式变式 已知， (1)若，求的值 (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 5-3 变式变式 已知：，． (1)计算：； (2)若的值与的取值无关，求的值； (3)如果，那么的表达式是什么？ 课 后 练 习 1 练 下列说法正确的是（   ） A．1是单项式 B．的次数是6 C．是五次多项式 D．的系数是 2 练 若与的和是单项式，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 3 练 如果多项式是关于的三次三项式，那么的值为（   ） A． B． C． D． 4 练 已知，若的值与a的取值无关，则b的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 5 练 对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”记为．若是“相随数对”则（    ） A． B． C．2 D．3 6 练 单项式的系数是 ；多项式的最高次项是 ，该多项式的次数是 ． 7 练 若单项式与的差仍是单项式，则 ． 8 练 多项式化简后不含项，则的值为 ． 9 练 已知关于x的多项式是二次三项式，则 . 10 练 在如图所示，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，已知，那么 ． 11 练 化简下列多项式： (1)； (2)； (3)． 12 练 先化简，再求值：，其中，． 13 练 先化简，再求值其中， 14 练 小明在化简：时，步骤如下： 解：原式① ② ③ ④ (1)小明的计算过程中，开始出现错误的步骤是 （填序号） (2)请你写出正确的解题过程． 15 练 已知关于、的多项式； (1)求；老师展示了一位同学的作业如下： 解：第一步 第二步 第三步 回答问题：这位同学第_____步开始出现错误，错误原因是_____； (2)请你写出正确计算过程，并求出当．时，的值． 16 练 已知多项式是关于，的六次四项式． (1)求的值； (2)将多项式按的升幂排列． 17 练 （1）计算： ① ② ③ （2）先化简再求值： ①，其中，． ②，其中． 18 练 已知代数式，，，． (1)求的值；（结果用x，y表示） (2)若的值与x的取值无关，求的值． 19 练 已知：． (1)当时，求的值； (2)若（1）中的代数式的值与a的取值无关，求b的值． 20 练 【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第120页的部分内容． 代数式的值为7，则代数式的值为______． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，则有，，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为19，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，．则的值为______． 第5讲 整式及整式加减 典 型 例 题 题型 多项式系数、指数中字母求值 1 1.同类项定义应用：根据同类项字母相同且对应指数相等，列方程求解指数中字母的值，确保合并同类项时系数运算的合理性。 2.多项式次数确定：多项式次数为最高次项的次数，据此建立关于字母指数的等式或不等式，明确字母取值范围。 3.系数条件分析：针对不含某一项（系数为0）或系数满足特定关系（如互为相反数），列方程求解系数中字母的值，结合指数取值限制验证结果。 1 例 已知多项式为5次多项式，则 ． 【答案】2或3/或 【详解】∵多项式为5次多项式， ∴或解得，或． 当时，，不符合题意，舍去，∴或3，故答案为：2或3． 1-1 变式变式 已知多项式是二次三项式，n为常数，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵多项式是二次三项式， ∴，，∴， ∴， 1-2 变式变式 已知多项式是关于x、y的四次四项式，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵多项式是关于x、y的四次四项式， ∴，∴，∴；故答案为：． 1-3 变式变式 已知是关于，的七次三项式，则的值为 ． 【答案】或/36或16 【详解】解：∵是关于，的七次三项式， ∴，，解得：或， 当时，代入可得：原式； 当时，代入可得：原式；故答案为：或． 题型 已知同类项求指数中参数或代数式 2 1.同类项概念：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项为同类项，据此确定参数满足的等式。 2.方程思想：根据同类项指数相等的条件，列出关于参数的方程，求解参数值，注意参数的取值范围。 3.代数式求值：将求得的参数值代入目标代数式，按运算顺序计算，或结合同类项系数关系整体求值，验证结果合理性。 2 例 如果与是同类项，则 ， ． 【答案】 【详解】解：∵与是同类项，∴，，∴，故答案为：，． 2-1 变式变式 单项式与是同类项，则 ． 【答案】 【详解】解：∵与是同类项，∴，解得：．故答案为：． 2-2 变式变式 若 与的和仍是单项式，则的值等于 ． 【答案】 【详解】解：由题意，得：与为同类项， ∴，∴，∴；故答案为：． 2-3 变式变式 若单项式与是同类项，则 ． 【答案】29 【详解】解：∵单项式与是同类项， ，，∴，，则．故答案为：． 题型 整式加减运算中先化简再求值 3 1. 整式化简：运用去括号法则（括号前是负号，括号内各项变号）和合并同类项（同类项系数相加，字母及指数不变），将整式化为最简形式。 2. 代入求值：化简后，将已知字母的值代入最简整式，按有理数运算顺序（先乘方，再乘除，后加减）计算。 3. 整体思想：若直接代入复杂，可通过变形将已知式子整体代入化简后的整式，简化运算，确保每步变形等价。 3 例 先化简，再求值： ，其中，． 【答案】，0 【详解】解： ， 当，时，原式． 3-1 变式变式 先化简，再求值：，其中，. 【答案】；0 【详解】解：， 把，代入得：原式． 3-2 变式变式 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：； 当，时， 原式． 3-3 变式变式 先化简、再求值：，其中、 【答案】；2 【详解】解： ， 当、时，原式． 题型 整式的加减运算中错解复原问题 4 1.错误分析：识别错解中符号、去括号、合并同类项等环节的错误，如漏变号、错用分配律，明确错误根源。 2.还原正确步骤：依据整式加减法则（去括号法则、同类项合并规则），反向修正错误步骤，重建正确运算过程。 3.验证结果：通过正确化简或代入求值，对比错解与正解的差异，验证复原结果的正确性，强化对运算规则的理解。 4 例 小明化简的过程如下，请指出他化简过程中的错误，写出对应的序号，并写出正确的化简过程： 解： ① ② ③ (1)他化简过程中出错的是第________步（填序号）； (2)请写出正确的解答过程 【答案】(1)① (2)见解析 【详解】（1）他化简过程中出错的是第①步，去第二个括号时最后一个数漏乘了 故答案为①； （2）正确的解答是： ． 4-1 变式变式 下面是小明同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．     第一步        第二步                            第三步 任务一：填空： ①以上化简步骤中，第一步的依据是________； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________； 任务二：请直接写出该整式化简后的正确结果________． 【答案】任务一：①乘法分配律；②二；括号前面是负号，去掉括号后，括号里第二项没有变号；任务二： 【详解】解：任务一：①由题意得，第一步的依据是乘法的分配律，故答案为：乘法的分配律； ②根据题意第二步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是负号，去掉括号后，括号里第二项没有变号， 故答案为：二；括号前面是负号，去掉括号后，括号里第二项没有变号； 任务二：          ，故答案为：． 4-2 变式变式 下面是小林同学化简的一道题，其解答过程如下： 化简：， 解：原式   第一步   第二步   第三步 (1)小林同学开始出现错误是在第______步，错误的原因是__________． (2)请给出正确的解答过程． 【答案】(1)一；括号前有数字因数，未与括号内的各项分别相乘再去括号（或未乘以3） 【详解】（1）解：； 故小林同学开始出现错误是在第一步，去括号时，括号前有数字因数，未与括号内的各项分别相乘再去括号，出现错误； （2）原式． 4-3 变式变式 下面是马小虎同学做的一道题： 化简：． 解：原式………………第一步 …………………第二步 ………………………………………………………第三步 (1)上面的解题过程中最早出现错误的步骤是第 步； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)一 (2)，过程见解析 【详解】（1）解：解答过程中第一步是用乘法分配律，括号里的第二项正确没有乘； 故答案为：一； （2）解： ． 题型 整式加减中的无关型问题 5 1. 无关条件理解：结果与某字母无关，即该字母的系数为0，需明确代数式化简后对应项的系数特征。 2. 化简与系数分析：通过去括号、合并同类项化简整式，分离出与无关字母相关的项，令其系数等于0。 3. 方程求解：根据系数为0的条件列方程，求解参数值，验证参数满足时结果确实与该字母无关，体现方程思想的应用。 5 例 已知多项式，． (1)求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：由（1）得 当，即时， 的值与y的取值无关， 5-1 变式变式 已知，小明在计算时，误将其按计算，结果得到． (1)求的正确结果； (2)若的值与无关，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由题意得：，． 则． （2）由题意得：， 的值与x无关，，解得：，． 5-2 变式变式 已知， (1)若，求的值 (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1） ∵∴原式； （2） ∵的值与a的取值无关，∴∴． 5-3 变式变式 已知：，． (1)计算：； (2)若的值与的取值无关，求的值； (3)如果，那么的表达式是什么？ 【答案】(1) (2)的值为 (3) 【详解】（1）解：； （2）解：． 当的值与的取值无关时，，解得，所以的值为； （3）解：由题意，得， ，，． 课 后 练 习 1 练 下列说法正确的是（   ） A．1是单项式 B．的次数是6 C．是五次多项式 D．的系数是 【答案】A 【详解】解：因为1是单项式，所以A正确；因为的次数是4，所以B不正确； 因为是三次三项式，所以C不正确；因为的系数是，所以D不正确； 2 练 若与的和是单项式，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】解：与的和是单项式， 与是同类项，，，，，故选：A． 3 练 如果多项式是关于的三次三项式，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：多项式是关于的三次三项式， ，，，，．故选：B． 4 练 已知，若的值与a的取值无关，则b的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【详解】解 的值与a的取值无关， ，解得：．故选：A． 5 练 对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”记为．若是“相随数对”则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】解：由题意得，整理得，则， ， 6 练 单项式的系数是 ；多项式的最高次项是 ，该多项式的次数是 ． 【答案】 ， 【详解】解：单项式的系数是；多项式的最高次项是，该多项式的次数是；故答案为：；；． 7 练 若单项式与的差仍是单项式，则 ． 【答案】 【详解】解：∵单项式与的差仍是单项式，∴单项式与是同类项， ∴，∴，故答案为：． 8 练 多项式化简后不含项，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：， 多项式化简后不含项， ，解得，故答案为：5． 9 练 已知关于x的多项式是二次三项式，则 . 【答案】 【详解】解：∵关于的多项式是二次多项式， ∴该多项式没有次项，由此知，，，故答案为：． 10 练 在如图所示，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，已知，那么 ． 【答案】14 【详解】解：∵，∴中间正方形四个顶点上的数字之和为：， 又∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴， ∴， ∴．故答案为：14． 11 练 化简下列多项式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 12 练 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： 当，时，． 13 练 先化简，再求值其中， 【答案】， 【详解】解： 将，代入，原式． 14 练 小明在化简：时，步骤如下： 解：原式① ② ③ ④ (1)小明的计算过程中，开始出现错误的步骤是 （填序号） (2)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【详解】（1）解：第①步运算是乘法分配律计算错误及去括号，符号变错了，故答案为：①； （2）解：原式． 15 练 已知关于、的多项式； (1)求；老师展示了一位同学的作业如下： 解：第一步 第二步 第三步 回答问题：这位同学第_____步开始出现错误，错误原因是_____； (2)请你写出正确计算过程，并求出当．时，的值． 【答案】(1)二，去括号时未变号 (2)，过程见解析 【详解】（1）解：这位同学第二步开始出现错误，错误原因是去括号时未变号； （2） ，当时，原式 16 练 已知多项式是关于，的六次四项式． (1)求的值； (2)将多项式按的升幂排列． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵多项式是关于，的六次四项式， ∴，，∴，，∴； （2）解：∵，，∴， 将多项式按的升幂排列为：． 17 练 （1）计算： ① ② ③ （2）先化简再求值： ①，其中，． ②，其中． 【答案】（1）①；②；③；（2）①，；②， 【详解】解：（1）①； ②； ③； （2）① ， 当，时，原式； ②， ，，， 当时，． 18 练 已知代数式，，，． (1)求的值；（结果用x，y表示） (2)若的值与x的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2)10 【详解】（1）解： ； （2）解： 由题可知： ，，解得，；所以． 19 练 已知：． (1)当时，求的值； (2)若（1）中的代数式的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， 当时，原式 （2）解：（1）中化简后的结果为，要使得代数式的值与a的取值无关，则，∴． 20 练 【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第120页的部分内容． 代数式的值为7，则代数式的值为______． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，则有，，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为19，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，．则的值为______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1），，； （2） 当时，， 当时，． （3），， ． 学科网（北京）股份有限公司 $