重庆市第八中学校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

**基本信息** 重庆八中高三入学测试数学卷，以梯度化题型与真实情境设计，综合考查函数、几何、概率等核心知识，检测数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、函数性质、概率分配|第5题社区志愿服务分配，考查逻辑推理与运算能力| |填空题|3题/15分|向量运算、数列通项、切线斜率|第14题双曲线切线斜率，体现几何直观与创新意识| |解答题|5题/77分|立体几何体积、函数极值、概率分布、椭圆综合、导数证明|第17题“投篮之星”比赛情境，结合分布列与期望考查数据意识；第19题导数综合证明，发展理性思维与推理能力|

重庆八中高 2027 届高三(上)入学测试 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．试卷由”整理排版。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1. 已知集合 ，则 A. B. C. D. 2. 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数 的部分图象如图所示,则 的解析式可能为 A. B. C. D. 4. 已知 是定义在 上的奇函数,且当 时, ,则 A. -1 B. 1 C. D. -2 5. 某校派出 6 名志愿者派往 4 个社区参与志愿服务，每个社区至少去 1 名志愿者，其中甲志愿者去 A 社区. 则不同的分配方法种数为 A. 360 B. 390 C. 750 D. 1170 6. 已知 在 上满足 ,则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 7. 已知 ,则 的大小关系为 A. B. C. D. 8. 已知 ,且 ,则 的最小值为 A. 4 B. C. 5 D. 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分。 9. 已知 ,且 ,则 A. B. C. D. 10. 市物价部门对五家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查, 5 家商场的售价 (元) 和销售量 (件) 之间的数据如表所示: 9 9.5 10 10.5 11 120 100 70 60 50 用最小二乘法求得经验回归方程为 ,则 附注:参考公式: 相关系数 ; 线性回归方程最小二乘法估计公式为: ; A. B. 当 时, 的预测值为 8 C. 点 的残差为 2 D. 11. 已知 是函数 的三个零点,则 A. B. C. 若 成等差数列,则 成等比数列 D. 若 成等差数列,则 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 已知 ,若 ,则 _____. 13. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的通项公式 _____. 14. 已知直线 是曲线 的切线,也是曲线 的切线,其中 ,则直线 的斜率 的取值范围是_____. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13 分) 如图,在直三棱柱 中, 是 的中点,异面直线 与 所成的角为 . (1)求该三棱柱的体积； (2)求 与平面 所成角的正弦值. 16. (15 分) 已知函数 在 处取得极小值. (1)求 ； (2)若关于 的不等式 在 恒成立，求 的取值范围. 17. (15 分) 某校举办“投篮之星”双人挑战赛，甲、乙两位同学组队参赛. 规则:甲先依次投两个球， 然后乙再依次投两个球(共四球). 若两人合计命中球数不少于 3 个，则队伍获胜并获得奖品；若两人合计未命中球数达到 2 个，则立即中止比赛.特别地，若前三球全部命中， 也应继续投完第四球. 已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为 ，且每次投篮相互独立. (1)当 时，设 为乙实际投篮的次数，求 的分布列及期望； (2)当 时，求甲、乙获得奖品的概率的最大值. 18. (17分) 已知椭圆 过点 ，离心率为 . (1)求 的方程； (2)设 ， ，不垂直于 轴的直线 交 于 ， 两点( ， ， 不共线)，且 . (i)判断直线 是否过定点？若是，求出定点；若不是，请说明理由； (ii) 设 与 的面积分别为 ,求 的最大值. 19.(17分) 已知函数 . (1)当 时，求 的最小值； (2)讨论 的单调性; (3)若 存在极小值，且极小值等于 ，求证: . 学科网（北京）股份有限公司 $11 BCD ACD 12 9 an=3×4"-l [e,+o) 15.【解析】(1)如图，以A点为原点，AB的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间 直角坐标系，设A4=h,则B1,0,0),C(0,1,0),A(0,0,h), .2分 则B4=(-1,0,h),BC=BC=(-1,1,0), :直线AB与B,C所成的角为60°， as网aG州万分 解得h=1. ….4分 六该三楼挂的体积为r=场=方1x1x1 2 ……6分 (2)D是BB的中点，由(1)知B4=(-1,0,1),C(01,I),BC=(-1,1,I). 设平面ABC的法向量方=(x,y,z), -x+z=0, -x+y+z=0, 可取万=(（1,0,1).10分 又：DL0,,DC=(-LL,设DC与平面4BC所成角为8， 于是sin0=cos(DC,)月 2 √2 √2× 3 6 2 DC与平面4BC所成角的正弦值为 6 13分 16.【解析】(1)f(x)=x3+2ar2+a2x的定义域为R,则f"(x)=3x2+4ar+a2,由于函 数f(x)在x=1处取得极小值，得'()=3+4a+a2=0,解得a=-1或-3：..3分 若a=-1,则f)=3x2-4x+1,令f)=0,得x=或1， 3 当x∈（宁时，f)>0,f)在(-0兮上单调递增： 当xe兮)时，f)<0,)在兮上单调递减： 当x∈(L,+o)时，f"(x)>0,fx)在(L,+o)上单调递增： 所以x=1是f(x)的极小值点，符合题意： 5分 若a=-3，,则f"(x)=3x2-12x+9,令f"(x)=0,得x=1或3， 当x∈(-o,1)时，f'(x)>0,f(x)在(-o,1)上单调递增： 当x∈(L,3)时，f"(x)<0,f(x)在(L,3)上单调递减： 当x∈(3，+o)时，f"(x)>0,f(x)在(3，+∞)上单调递增： 所以x=1是f(x)的极大值点，不符合题意： 综上，a=-1 .7分 (2)由(1)得a=-1,f(x)=x3-2x2+x,f(x)≤k3在 恒成立， 即2四一-2“子1在恒成立， 3 x x2 x ….11分 令g-子1=-x店]，当x时 g(x)取得最大值1， 所以k≥g(x)=1,即k的取值范围为[，+o) …….15分 17.【解析】(1)X的可能取值为0,1,2， .1分 P0X=0=0-pr= 2分 P(X-D=CMl-P(I-q)-2*7- 111 …3分 PX=2)=p+Cp1-p)q=4+42 111 (或PX=2=1-PX=-PX=0=子 …….4分 X的分布列如下， X 0 1 2 1 1 4 2 …….5分 期塑00-01好2×兮 ……6分 (2)两人合计命中球数不少于3个，则获得奖品， 若甲命中1球，乙命中2球，概率为Cp1-pg2=2p1-p)g:8分 若甲命中2球，乙命中至少1球， 概率为p[Cg1-g)+g]=p2[1-0-p]=2pq-pg2: 11分 所以获得奖品的概率 P=2p(1-p)q'+2p'q-p'q'=2pq+2p'q-3p'qi pq(2q+2p-3pq),......12 又因为p*g=手P=m2q+2p-3网=网管网： .13分 设1=四，P-餐刘-+骨，当且仅当1=号时，P号 16 ….14分 此时p+g=号且网=号即p=g=号时P取得最大值。 4 ……15分 综上，甲、乙获得奖品的概率的最大值为 27 18.【解折】(D由题知：b=5,￡=6 ,则a=6, a 3 所以C的方程为后+号-1 4分 (2)()若1的斜率为0，不满足题意： x =my+n 于是设1：x=my+m≠0)，M(x,),N(x2,)， 由。 +上 162 =19 2mn n2-6 得(m+32+2my+㎡-6=0，则方+5=m+3'4=m+3 由题意知：∠MBA=∠NBA等价于BM、BN关于x轴对称， 即km+kw=》+之3=0，则2my+(n-3X0+y)=0, x-3x2-3 所以2号m-(2-0-0 m2+3 m2+3 由m≠0，条件成立当且仅当n-2=0,即n=2: 此时(2,0)在椭圆内部(4<1)，直线与椭圆必有两个交点， 6 所以直线MN:x=m+2恒过定点(2,0) …10分 (ii)由（①，设定点(2,0）为Q,n=2, 则方程化为(m2+3)y2+4my-2=0,乃= m十3<0，故M、V分居x轴两侧， 则8-40g-引-小=0-为- .846Vm2+1 故S-s,上2-2om+3+m+3 16m2 m2+3 令u=㎡+1，由m≠0得>1，则小S-S=46=46≤46 +225 2√5 2+2 当且仅当u=√2，即m=1时取等号.故1S-S,1的最大值为2√5 …17分 19.【解析】(1)k=1时，函数fx)=g-+mx), =-e+1---1e-Dx>0, x2xx2 ….2分 当x>0时，e-1>0,由f"(x)<0可得0<x<1,由f"(x)>0可得x>1, 所以函数f(x)在(0，)上单调递减，在(L,+o)上单调递增， 当x=1时，f(x)的最小值为e-1: ………4分 a)a-+--g0. x2 …….5分 当k≤I时，因此e-k>0对任意的x>0恒成立， 由f(x)<0可得0<x<1,由f"(x)>0可得x>1, 所以函数f(x)在(0，)上单调递减，在(L,+o)上单调递增： ……6分 当k>1时，令f"(x)=0,因此x=1或x2=lnk>0, ①当0<lnk<1时，即1<k<e时， 由f"(x)>0可得0<x<lnk或x>1,由f(x)<0可得k<x<1, 所以函数f(x)在(k,)上单调递减，在(0，k)、(L,+o)上单调递增：7分 ②当lnk=1时，即k=e时，对任意的x>0,f(x)≥0， 此时f(x)在(0，+o)上单调递增： ………8分 ③当lnk>1时，即k>e时， 由f(x)>0可得0<x<1或x>lnk,由f"(x)<0可得1<x<nk, 此时f(x)在(1，nk)上单调递减，在(0，)、(nk,+oo)上单调递增. ……….9分 综上所述：当k≤1时，f(x)在(0，)上单调递减，在(L,+∞)上单调递增： 当1<k<e时，f(x)在(nk,)上单调递减，在(0，lmk)、(L,+o)上单调递增： 当k=e时，因此f(x)在(0，+oo)上单调递增： 当k>e时，因此f(x)在(L,nk)上单调递减，在(0,1)、(nk,+oo)上单调递增：10分 (3)证明：由题意可知k>0,由(2)可知，当0<k≤1时， 函数f(x)的极小值为f)=e-k=-(nk)2,此时k-(nk)2=e, 因为nk≤0，因此(nk)>0,此时k-(mk)≤1，等式k-(nk)=e不成立：.11分 当1<k<e时，函数f(x)的极小值为f①=e-k=(nk)2,此时k-(nk)=e, 因为1<k<e,因此0<lnk<1,，因此-1<-(k)2<0, 由不等式的性质可得0<k-(nk)<e,等式k-(mk)=e不成立： 当k=e时，函数f(x)在(0，+o)上单调递增，函数f(x)无极值： ….12分 当k>e时，函数f(x)的极小值为 fa)点-+a=-a=-, …13分 可得m)_,令1=k,因此1>1，且k=d,因此=-e Ink k 2(立-1) 先证明不等式二<十3，其中x>名>0，即证m点>2-.无 Inx Inx, 2 ”五x+x五+1 X2 令1=五>1,80=m-20-,其中1>1，因此g0=-4==>0, 1+1 1(t+1)2tt+1)2 所以，函数g()在(L,+0)上为增函数，当1>1时，g()>g①)=0， 所以，当x>无>0时，<+， Inx Inxz 2 设_me=a>0,即 e=ae所以e-m=ae-) [Int at lne+lnl=a(e+t） 上述两个等式相除得e-m_d-1 Ine'+Int e'+t 因此，e+1。 ae+m2,因此ne+hm>2, Ee-m2,所11a 即lm(e)>2,可得e>e2, 由基本不等式可得k+lnk=e+t>2Wie>2e,故原不等式得证， ..17分