2026-2027学年高三上学期数学开学考模拟卷09（重庆市适用）

**基本信息** 高三开学考数学模拟卷，覆盖函数、概率统计等核心模块，通过分层设问考查抽象能力与推理能力，适配高三起点复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、函数奇偶性、不等式|基础概念与运算，如函数奇偶性判断（推理能力）| |多选|3/18|回归分析、函数性质|综合辨析，如回归直线斜率与残差（数据意识）| |填空|3/15|正态分布、概率计算|情境应用，如两问均答错概率（模型观念）| |解答|5/77|函数零点、比赛概率、统计案例|分层设计，如函数零点讨论（抽象能力）、比赛局数分布列（数据意识），贴合高考命题趋势|

（解析卷） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 1.已知集合，，则(     ) A. B. C. D. 【解析】易知，故A错误，故B错误，故C正确，故D错误. 故选C 2.设，，则(     ) A. 与都是奇函数 B. 是奇函数，是偶函数 C. 与都是偶函数 D. 是偶函数，是奇函数 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查函数奇偶性的判定，属于基础题.分别根据函数奇偶性的定义进行判断即可． 【解答】 解：的定义域为， ，为奇函数. 的定义域为R，，是偶函数. 故选 3.若正实数x，y满足，不等式有解，则m的取值范围是(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 根据基本不等式“1”的代换求  最小值，再由不等式有解得  ，即可求参数范围. 【解答】 解：由 ， 当且仅当  ，即  时等号成立， 要使不等式  有解，只需  ， 即，所以  . 故选： 4.已知满足，且，则的值为    A. 6072 B. 6075 C. 6078 D. 6069 【答案】A  【解析】解：由，且，得， 则， 所以，即， 故，从而 故选 5.已知今天是星期三，则天后是  A. 星期一 B. 星期二 C. 星期三 D. 星期五 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查与二项式定理有关的问题，属于基础题.利用二项展开式得除以7的余数是5即可求解. 【解答】 解：  所以再过天后的那一天是星期一. 故选： A 6.已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 6 P p 当p在上变化时，X的数学期望的变化情况为    A. 单调递增 B. 先减后增 C. 单调递减 D. 先增后减 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查离散型随机变量的期望，属于基础题.根据期望公式求出期望以后根据二次函数知识分析即可. 【解答】 解： 当时，单调递增;当时，单调递减. 7.下列说法正确的是(     ) A. 设，则 B. 已知随机变量服从正态分布，，则 C. 随机变量，若，且，则 D. 以模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是和 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查二项式展开式中系数和，正态分布的概率计算与可线性化的回归直线分析，二项分布的方差，属于中档题．利用二项式定理及赋值法可得各项系数，判断A选项；根据正态分布的对称性可判断B选项；根据二项分布概率公式可得p及，进而可得判断C选项；利用指数与对数式的相互转化可判断D选项. 【解答】 解：A选项：， 得，令，即，得， 所以，错误； B选项：由已知可得该正态分布曲线的对称轴为，且， 故，错误； C选项：由得，解得， 所以，又，则，错误； D选项：由，得，则，解得，正确； 故选： 8.已知函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围是    A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了利用导数中的恒成立问题，以及利用导数研究函数的单调性和最值，属于难题. 构造新函数，由题意可知，对任意，都有成立，进行求解即可. 【解答】解：令，因为对任意，都有成立， 即：，， 所以，对任意恒成立， 即，对任意恒成立，所以只需保证，即可， 令，，则， 令，解得，令，解得 所以在单调递增，单调递减，因此， 所以， 故选 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。 9.已知由样本数据点，，，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和的误差较大，剔除后重新求得的回归直线的斜率为，则  A. 变量x和y具有负相关关系 B. 剔除后不变 C. 剔除后的回归直线方程为 D. 剔除后对应于样本数据点的残差为 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查回归直线方程，变量的相关关系，残差与残差图，样本中心点，属于中档题． 根据给定条件，利用回归直线方程的性质、残差的基本概念等进行解题. 【解答】解：对于A，由剔除前回归直线的斜率为  ， 剔除后重新求得的回归直线 l 的斜率为  ， 两者均大于0，则变量 x 与 y 具有正相关关系， A错误； 对于B，剔除前  ， 而剔除的两个数据点 ，  ， 因此剔除后  不变，B正确； 对于C，剔除后  ，  ， 而回归直线 l 的斜率为  ， 则回归直线方程为  ，C正确； 对于D， 剔除后的回归直线方程为 ， 当 时，  ， 则残差为  ，D错误. 故选： 10.下列说法正确的序号是     A. 偶函数的定义域为，则 B. 一次函数满足，则函数的解析式为 C. 奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，则 D. 若集合中至多有一个元素，则 【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查函数的解析式、函数的奇偶性和单调性以及集合中的元素，属于基础题. 根据题意，逐项分析各选项中的问题，即可求解. 【解答】解：A、偶函数的定义域为，，解得，故A正确; B、设一次函数，则， ，，解得或， 函数的解析式为或，故B不正确; C、奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为， ，，，， ，故C正确; D、集合中至多有一个元素，方程至多有一个解， 当时，方程只有一个解，符合题意， 当时，由方程至多有一个解，可得，解得， 或，故D不正确. 故选 11.设函数，，给定下列命题，其中正确的是     A. 若方程有两个不同的实数根，则； B. 若方程恰好只有一个实数根，则； C. 若，总有恒成立，则； D. 若函数有两个极值点，则实数 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查函数的零点与方程根的关系、恒成立问题以及函数的极值，属于难题. 对于AB，利用求导判断函数的单调性得到其最小值，利用与函数图象的交点得到所求；对于C，将不等式恒成立，等价转化为恒成立，从而构造函数为增函数，转化为其导数大于等于0恒成立，利用分离参数，求得m的范围；对于D，将函数有两个极值点，转化为其导数有两个正的零点，利用分离参数求得a的范围. 【解答】 解：对于A，的定义域为，， 令，得到，令，得到， 所以在上单调递减，在上单调递增，，且当时，， 又，从而要使得方程有两个不同的实根，即与有两个不同的交点， 所以，故A正确； 对于B，易知不是该方程的根， 当时，，方程有且只有一个实数根，等价于和只有一个交点， ，又且， 令，有，令，有或， 所以函数在和单减，在单增， 是一条渐近线，极小值为 由大致图象可知或，故B错； 对于C， 当时，恒成立， 等价于恒成立，即函数在上为增函数， 所以恒成立，即在上恒成立， 令，则， 令得，令得， 从而在上单调递增，在上单调递减， 则，于是，故C正确； 对于D，函数有两个极值点，即 有两个不同极值点， 等价于有两个不同的正根，即方程有两个不同的正根， 由C可知：，即，则D正确. 故正确命题为ACD， 故选 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量服从正态分布，且，则           . 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查正态分布的性质以及概率计算，属于基础题. 根据正态分布的对称性进行求解即可. 【解答】 解：由题意，随机变量服从正态分布， 所以正态曲线的对称轴为， 又由，根据对称性，可得， 所以 故答案为 13.某填空题有两小问，按目前掌握信息：十个人中有四人能够答对第一问；在第一问答错情况下，第二问答对的概率仅为；第一问答对的情况下，第二问答错的概率为用频率估计概率，选择有效信息估计该题两小问均答错的概率：           . 【答案】  【解析】【分析】 本题考查条件概率的乘法公式，属于基础题. 设相应事件，由题意可得，根据对立事件结合条件概率公式分析求解. 【解答】 解：设“第一问答对”为事件A，“第二问答对”为事件B，由题意可得：， ，则，所以 故答案为： 14.已知不等式在上恒成立，则 a的取值范围是           . 【答案】  【解析】【分析】 本题考查导数中的恒成立问题，考查同构型，属中档题. ，则原不等式即为，利用导数判断在定义域内单调递增，可得，再取自然对数进行参变分离，构造函数求最值即可得a的取值范围. 【解答】 解：由，得， 由可知与均为正数，令，，，故在单调递增， 不等式，即为，则，即，，可得， 令，，， 时，，单调递减，时，，单调递增， 故，故，即a的取值范围为 四、解答题：本大题共5小题，共77分。 15.（13分）已知函数 当时，求的单调区间； 若有两个零点，求a的取值范围. 【答案】解：由定义知，， 令， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 综上，当时，的增区间为，减区间为； 由有两个零点，可知有两个解， 即，即与有两个交点，令， 则，令，且， 时，，时，， 则在上单调递增，在上单调递减且， 要使与有两个交点， 则即a的取值范围为  【解析】本题主要考查导数中的零点问题，利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 求，根据正负，可得函数单调区间； 问题转化为与有两个交点，令，讨论函数单调性，可得符合题意的a的取值范围. 16.（15分）甲､乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输赢则获胜方得2分，负方得0分；若平局则各得1分.已知甲在每局中获胜､平局､负的概率均为，且各局比赛结果相互独立. 若比赛共进行了三局，求甲共得3分的概率； 规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得4分则停止比赛，求比赛局数X的分布列与数学期望. 【答案】解：设“三局比赛后，甲得3分”为事件A， 甲得3分包含以下情形：三局均为平局，三局中甲一胜一平一负， 所以，故三局比赛后，甲得3分的概率为 依题意知X的可能取值为， ， ， ， ， 故其分布列为： X 2 3 4 5 P 期望 【解析】本题考查了离散型随机变量的分布列，均值，属于中档题. 写出所有可能情形的概率求和; 算出X为不同值时对应的概率并填写分布列，之后求出数学期望即可. 17.（15分）已知函数为奇函数. 求a的值； 判断并证明的单调性； 若任意实数x，使得恒成立，求k的取值范围. 【答案】解：根据题意，函数是定义在R上的奇函数，则，， 经检验为奇函数，符合题意； 在R上单调递增，证明如下： 由可得， 设，是R上的任意两个值，且， 则， 则，即，故在R上是增函数； ，， 由于为奇函数，， 为R上单调递增函数，，恒成立， ，而当时，取得最大值为2， 故实数k的取值范围为  【解析】本题考查利用函数的奇偶性解决参数问题，判断或证明函数的单调性，利用函数的单调性解不等式，指数函数的概念与表示，属于中档题． 结合奇函数的性质可求a； 设，是R上的任意两个值，且，然后利用作差比较与的大小即可判断； 结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式． 18.（17分）国家加大了对全民体育锻炼的重视程度，推行全民体育锻炼工作，全民体育锻炼活动在全国各地蓬勃发展，活动规模不断扩大，内容不断充实，方式不断创新，影响日益扩大，使我国国民身体素质得到了大幅度提高.某高中为响应政府号召，在寒假中对某校高二400名学生其中男生240名按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生进行调查，了解他们每天的体育锻炼情况如下表： 每天体育锻炼时间低于 每天体育锻炼时间不低于 总计 男生 30 女生 10 总计 100 根据统计数据完成以上列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的条件下，认为该校女生和男生在每天体育锻炼时间方面存在差异？ 若从抽出的100名学生中按“每天体育锻炼时间是否低于”采用分层随机抽样抽取10名学生准备进行身体素质测试，在这10名学生中随机抽取3名学生，记这3名学生每天体育锻炼时间不低于的人数为X，求X的分布列和数学期望 若将频率视作概率，从该校所有在校学生中随机抽取10人进行调查，记10人中每天体育锻炼时间不低于的人数为k的概率为，当取得最大值时，求k的值. 附参考数据及公式：，其中 k 【答案】解：高二有400名学生其中男生240名，则抽取100名学生中，男生有名，女生有40名， 列联表如下： 每天体育锻炼时间低于1h 每天体育锻炼时间不低于1h 总计 男生 30 30 60 女生 10 30 40 总计 40 60 100 ， 所以在犯错误的概率不超过的条件下，不能推断该校女生和男生在每天体育锻炼时间方面存在差异； 名学生中“每天体育锻炼时间不低于”的人数为60人， 因此抽取10名学生“每天体育锻炼时间不低于”的人数为6人， 而X的所有可能取值为0，1，2，3， ，              所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望 将频率视作概率，则， 所以，                            由， 得且， 解得，又因为所以  【解析】本题考查了独立性检验和离散型随机变量的分布列以及期望计算，考查二项分布的概率计算，属于中档题． 根据分层抽样的抽样比求得抽取的男生和女生人数，即可结合已知数据进行填写， 根据所求列联表，求得，结合参考数据，即可判断； 根据分层抽样的抽样比求得抽取的10人中每天体育锻炼时间不低于1h的人数，结合X的取值，分别计算对应取值下的概率，即可求得分布列和数学期望； 将频率视作概率，则 ，由结合二项分布的概率求法即可求解. 19.（17分）已知函数 当时，求的解集； 若有极值，求实数a的取值范围； 设，若，求a的最大值. 【答案】解：当时，因为， 所以， 所以在上单调递增，又， 所以当时，；当时，，故的解集为 因为有极值， 所以在上有变号零点，即在上有变号零点， 因为的对称轴为，所以只需，所以 由，得， 设，则， 令，得舍去，或， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以， 因为，所以，即， 令， 因为与在上都单调递减，所以在上单调递减， 又，所以在存在唯一的零点， 当时，，所以由可得， 又，所以a的最大值为 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三上学期数学开学考模拟卷09（重庆市适用）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 1.已知集合，，则(     ) A. B. C. D. 2.设，，则(     ) A. 与都是奇函数 B. 是奇函数，是偶函数 C. 与都是偶函数 D. 是偶函数，是奇函数 3.若正实数x，y满足，不等式有解，则m的取值范围是(     ) A. B. C. D. 4.已知满足，且，则的值为    A. 6072 B. 6075 C. 6078 D. 6069 5.已知今天是星期三，则天后是  A. 星期一 B. 星期二 C. 星期三 D. 星期五 6.已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 6 P p 当p在上变化时，X的数学期望的变化情况为    A. 单调递增 B. 先减后增 C. 单调递减 D. 先增后减 7.下列说法正确的是(     ) A. 设，则 B. 已知随机变量服从正态分布，，则 C. 随机变量，若，且，则 D. 以模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是和 8.已知函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围是    A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。 9.已知由样本数据点，，，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和的误差较大，剔除后重新求得的回归直线的斜率为，则  A. 变量x和y具有负相关关系 B. 剔除后不变 C. 剔除后的回归直线方程为 D. 剔除后对应于样本数据点的残差为 10.下列说法正确的序号是     A. 偶函数的定义域为，则 B. 一次函数满足，则函数的解析式为 C. 奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，则 D. 若集合中至多有一个元素，则 11.设函数，，给定下列命题，其中正确的是     A. 若方程有两个不同的实数根，则； B. 若方程恰好只有一个实数根，则； C. 若，总有恒成立，则； D. 若函数有两个极值点，则实数 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量服从正态分布，且，则           . 13.某填空题有两小问，按目前掌握信息：十个人中有四人能够答对第一问；在第一问答错情况下，第二问答对的概率仅为；第一问答对的情况下，第二问答错的概率为用频率估计概率，选择有效信息估计该题两小问均答错的概率：           . 14.已知不等式在上恒成立，则 a的取值范围是           . 四、解答题：本大题共5小题，共77分。 15.（13分）已知函数 当时，求的单调区间； 若有两个零点，求a的取值范围. 16.（15分）甲､乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输赢则获胜方得2分，负方得0分；若平局则各得1分.已知甲在每局中获胜､平局､负的概率均为，且各局比赛结果相互独立. 若比赛共进行了三局，求甲共得3分的概率； 规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得4分则停止比赛，求比赛局数X的分布列与数学期望. 17.（15分）已知函数为奇函数. 求a的值； 判断并证明的单调性； 若任意实数x，使得恒成立，求k的取值范围. 18.（17分）国家加大了对全民体育锻炼的重视程度，推行全民体育锻炼工作，全民体育锻炼活动在全国各地蓬勃发展，活动规模不断扩大，内容不断充实，方式不断创新，影响日益扩大，使我国国民身体素质得到了大幅度提高.某高中为响应政府号召，在寒假中对某校高二400名学生其中男生240名按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生进行调查，了解他们每天的体育锻炼情况如下表： 每天体育锻炼时间低于 每天体育锻炼时间不低于 总计 男生 30 女生 10 总计 100 根据统计数据完成以上列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的条件下，认为该校女生和男生在每天体育锻炼时间方面存在差异？ 若从抽出的100名学生中按“每天体育锻炼时间是否低于”采用分层随机抽样抽取10名学生准备进行身体素质测试，在这10名学生中随机抽取3名学生，记这3名学生每天体育锻炼时间不低于的人数为X，求X的分布列和数学期望 若将频率视作概率，从该校所有在校学生中随机抽取10人进行调查，记10人中每天体育锻炼时间不低于的人数为k的概率为，当取得最大值时，求k的值. 附参考数据及公式：，其中 k 19.（17分）已知函数 当时，求的解集； 若有极值，求实数a的取值范围； 设，若，求a的最大值. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $