3.5.3切线的判定与性质 同步练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦切线判定与性质，通过基础辨析、中档计算到综合证明的三层设计，构建从概念理解到推理应用的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|切线定义辨析、单一性质应用|单选1考查定义本质，填空7-8直接应用切线垂直半径| |中档|判定与性质综合计算|单选3-5结合圆内接四边形、直角三角形，填空10-11涉及切线长定理| |提升|多知识点综合证明与探究|解答18-19融合角平分线、勾股定理，需构建辅助线完成逻辑推理|

3.5.3切线的判定与性质 一、单选题 1,下列直线中，一定是圆的切线的是( ) A.与圆有公共点的直线 B.垂直于圆的半径的直线 C.与圆心的距离等于半径的直线 D.经过圆的直径一端的直线 2.如图，AC与⊙0相切于点A,∠B=50°，则∠BAC=() A.40° B.50° C.60 D.70° 3.如图，PA,PB是⊙0的切线，点A,B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB=65°，则∠P的度数为(） B A.70° B.50° C.40% D.20° 4.如图，在△ABC中，∠A=90°，O是BC上一点，以OB为半径作⊙0，O0与AC相切于点D,连接BD, ∠ABD=25°，则∠C等于() A.50 B.45° C.40° D.30° 5.如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,过点C的切线与边AD所在直线垂直于点E,若∠ABC=55°， 则∠ACD的度数为() 第1页 E B 0 A.20° B.30° C.35 D.40° 6.如图，在⊙O中，AB是直径，直线1与OO相切于点C,BD⊥1，垂足为D,若AB=15,BD=12,则CD的 长为() D A.4.8 B.5 c.5.4 D.6 二、填空题 7.如图，点A在⊙0上，射线CB与⊙0相切于点C,若∠ACB=20°，则∠A=_°. B C 8.如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B,圆心O在线段PA上，己知∠PAB=20°，则∠P的度数是 B 9.如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交O0于点C,AB=6cm,PB=8cm,则BC=一 第2页 B 10.如图，PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点，∠P=72°，点D是劣弧AB上的一点，则∠ADB=_ A B 11.如图，AB是⊙0的直径，AE平分∠BAC交OO于点E,过点E作OO的切线交AC的延长线于点D.若 AE=3,AD=2,则AB= A D 12.如图，在矩形ABCD中，BC=8,以AB为直径作⊙O,将矩形ABCD绕点B旋转，使所得矩形ABCD'的边 CD 第一次与00相切，切点为5，边4B与0相交于点F,考r=8,则C”的长为一 ⊙0 BF=8 CD D' D A E B C 三、解答题 13.如图，⊙0是△ACD的外接圆，CD是⊙O的直径，点B为圆外一点，且∠BAD=∠C.求证：AB是OO的切 第3页 线 14.下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程. 6 P 已知：⊙0和⊙0上一点P. 求作：⊙O的切线MN,使MN经过点P. 作法：如图， ①作射线OP: ②以点P为圆心，小于OP的长为半径作弧交射线OP于A,B两点； ®分别以点A,B为圆心，以大于24B长为半径作弧，两弧交于M,N两点； ④作直线MN.则MN就是所求作的⊙O的切线. (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）： (2)完成下面的证明 证明：MA=MB,NA=NB, ∴.MN垂直平分AB(）, .OP⊥MN. 点P在圆上， .MN就是所求作的⊙O的切线(). 15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB上的一点，以AD为直径的圆O与BC相切于点E,连接AE, DE.求证：AE平分∠BAC. 第4页 D B E 16.如图，BD是∠ABC的角平分线，点O是BD上一点，⊙O与AB相切于点M,与BD交于点E、F. A DE (1)求证：BC是⊙O的切线： (2)连接EM,若EM II BC,求∠ABC的度数 17.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作OO交BC于点D.过点D作EF⊥AC,垂足为E,且交AB的 延长线于点F (I)求证：EF是⊙O的切线： (2)若AB=10,∠A=60°，求BD的长. 第5页 18.如图，AB是⊙O的直径，C点在⊙0上，AD平分∠BAC交⊙0于D,过D作直线AC的垂线，交AC的延长 线于E,连接BD,CD】 (I)求证：BD=CD: (2)求证：直线DE是⊙O的切线： 6)考DE=5.AB=4,求4D的长 B 19.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，∠ACB=9O°，以CD为直径作OO,分别交AC,BC于点M,N, 过点M作ME⊥AB于点E. (1)求证：ME是⊙O的切线： (2)若CD=5,AC=8,求ME的长. M N E 第6页 参考答案 1.c 【详解】A、与圆有1个公共点的直线是圆的切线，与圆有2个公共点的直线是圆的割线；故本选项错误： B、垂直于圆的半径且过此半径的外端点的直线是圆的切线；故本选项错误； C、到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；故本选项正确： D、经过圆的直径一端且的直线且垂直于此直径的直线是圆的切线：故本选项错误， 故选：C. 2.A 【详解】解：，AC与⊙O相切于点A, .∠OAC=90°. .OA=OB. .∠OAB=∠B=50°， ∴.∠BAC=∠OAC-∠OAB=40°， 故选：A. 3.B 【详解】解：连接OB、OA, B ·∠ACB=65°， ∴.∠AOB=2∠ACB=130° :PA,PB是OO的切线， .OB⊥PB,OA⊥PA, .∠PA0=∠PB0=90°， ∴.∠P=360°-∠PAO-∠PBO-∠AOB=50° 4.C 【详解】解：连接OD,如图所示： 答案第1页（共2页） :⊙0与AC相切于点D, .∠CD0=90°， .∠A=90° .∴.∠CD0=∠A=90° AB∥OD .∠BDO=∠ABD=25°， ...OB =OD .∠DB0=∠BD0=25°， .∠D0C=50° .∠C=180°-∠D0C-∠CD0=180°-50°-90°=40° 故选：C. 5.A 【详解】解：四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC=55°， ∴.∠CDE=∠ABC=55° AE⊥CE, ·∠CED=90°，则∠DCE=90°-55°=35°， 连接OC,如图所示： B .OC⊥CE 则∠OCB+BCF=90° :OB=OC」 ∴∠0CB=∠ABC=55°，则BCF=90°-55°=35°， :AB是圆的直径， 答案第2页（共2页） .∠ACB=90°， 则∠ACE+∠BCF=90°， .∠ACE=90°-35°=55°， 则∠ACD=∠ACE-∠DCE=55°-35°=20°， 故选：A. 6.D 【详解】解：连接OC,作OF⊥BD于点F,则∠OFD=∠OFB=90°， C 0 ⊙0 直线1与○相切于点C, BD⊥I 于点D, 110C, ∠OFD=∠OCD=∠CDF=90° ∴四边形OCDF是矩形， AB=15,BD=12, fD-0c=08=48号15- 2 2， BF=BD-FD=12-15_9 22 ..CD=OF=OB2-BF2 -6 ∴CD的长为6， 故选：D. 7.70 【详解】解：：射线CB与OO相切于点C, 答案第3页（共2页） .∠0CB=90°， .∠ACB=20°， .∠OCA=∠OCB-∠ACB=70°， .OA=OC, .∠A=∠0CA=70°， 故答案为：70. 8.50°150度 【详解】解：如图所示，连接OB, B :∠PAB=20°， .∠POB=2∠PAB=40°， ,PB与⊙O相切于点B, ∴.∠OBP=90° .∠P=90°-∠P0B=50°. 9.4.8cm 【详解】解：，PB是⊙O的切线， .AB⊥BP, 4P4B+BP26+8=10cm 又，AB是O0的直径， ∠ACB=90°，即BC⊥AP于点C, :San号4BBp-4P-BC, ABC=488P-68-480m, AP 10 故答案为：4.8cm. 10.126°/126度 【详解】，PA,PB分别与OO相切于A,B两点， 答案第4页（共2页） ∴.∠PAO=∠PB0=90° .∠AOB=360°-∠PAO-∠PB0-∠P=108°， ·∠ACB=)∠A0B=54. 2 .∠ADB=180°-∠ACB=126° 故答案为：126°。 9 11.2 【详解】解：连接OE,过点O作OH⊥AD, ,ED是⊙O的切线， OE⊥ED,即LOED=90°， 又，OA=OE. .∠OAE=∠OEA, .∠OAE=∠DAE, ∴.∠OEA=LDAE, .OE∥AD, ∠ADE=90° ∴.四边形OEDH是矩形， ..OH=ED,OE=DH. :在Rt△ADE中，AE=3,AD=2, DE=VAE-AD2=5 .OH=ED=5 设⊙O的半径为r,则OE=OA=DH=r,AH=2-r, 在Rt△AOH中，OA2=OH+AH2, 答案第5页（共2页） :2-y+(5=r 9 解得：1=4 AB=2=9 2 9 故答案为2· 12.10 【详解】解：如图，连接OE,延长EO交BF于点M, D' A D E M B :CD与⊙O相切， ∠0EC'=90°. 在矩形A'BCD'中，A'BICD, ∴.∠EMB=90° .BM FM, 由旋转的性质得：∠C'=∠C=90°，AB=CD,BC=BC'=8, ∴.四边形EMBC为矩形. .ME=8 设OB=OE=x,则OM=8-x, ..OM2+BM2=OB2, :（8-+4华=r,解得x=5. ..AB=CD=10 故答案为：10. 13. 答案第6页（共2页） 证明：如图，连接OA, D 是 的直径， A B.CD ⊙0 ∠CAD=90°， .∴∠C+∠D=90° .OA=OD」 ∴∠OAD=∠D ∠BAD=∠C, ∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠D+∠C=90°， :OA是O0的半径， AB是OO的切线 14.(1)切线MN如图所示： 04 B (2)证明：，MA=MB,NA=NB, .MN垂直平分AB(垂直平分线的逆定理)， .OP⊥MN, 点P在圆上， ∴.MN就是所求作的⊙O的切线（切线的判定定理）， 15.证明：连接OE, A 0 是 的切线， C E BC⊙O 答案第7页（共2页） ∴.OE⊥BC,即∠OEB=90°， ∠C=90°， .OE∥AC, ∠OEA=∠EAC, ..OE=OA, ∴.∠OEA=∠OAE, ∴∠OAE=∠EAC,即AE平分∠BAC 16.(1) 证明：连接OM,过点O作ON⊥BC于N,如图所示： A B DE 点为 的圆心， 为 的切线，切点为， 0⊙0 AB⊙O M OM为⊙0的半径，且OM⊥AB, ~BD为∠ABC平分线，点O为BD上的点，且OM⊥AB,ON⊥BC, ..ON=OM, 即ON为⊙0的半径， .BC是⊙O的切线： (2)解：设∠ABE=a, :BD为∠ABC平分线， ∴∠ABE=LCBE=a,∠ABC=2∠ABE=2C, :EM∥BC, ∴∠MEB=∠CBE=a, .OE =OM, ∴∠MEB=LOME=a, .∠MOB=∠MEB+∠OME=2a, OM⊥AB, .∠MOB+∠MBE=90°， 即2a+a=90°， a=30°， 答案第8页（共2页） .∴.∠ABC=2a=60° 17.(1)证明：连接OD,AD, AB是⊙O的直径， .∠ADB=90° .AD⊥BC AB=AC .BD=CD .OA=OB, .OD是△BAC的中位线， .OD∥AC. EF⊥AC, ∴.OD⊥EF .EF是⊙O的切线； (2)解：：AB=AC,AD⊥BC,∠A=60° ∴.△ABC为等边三角形， :∠BAD=)∠BAC=30. 2 在RtABD中， BD=7AB=x10=5. 2 .BD长为5. 18.(1)证明：，在⊙0中，AD平分∠BAC, .∠CAD=∠BAD, .'BD=CD; (2)证明：连接半径OD,如图1所示： 答案第9页（共2页） 图1 则OD=OA, .∠OAD=∠0DA, .DE⊥AC于E, 在Rt△ADE中，∠EAD+∠ADE=90°， 由(I)知∠EAD=∠BAD, .∠BAD+∠ADE=90°， ∴.∠ODA+∠ADE=90°， .OD⊥DE, .DE是⊙O的切线； (3)解：过点D作DF⊥AB于F,如图2所示： E A B 图2 ,AD平分∠BAC交⊙O于D,DE⊥AC于E, DF=DE=3 .AB=4, .半径OD=2. 答案第10页（共2页) 在RtAODF中，OF=VOD2-DF=1 ∠0DF=30°， .∠D0B=60°， ..OD=OB. .△OBD是等边三角形， ..OF FB=1, .AF=AB-FB=4-1=3, 在Rt△ADF中，AD=VAF2+DF2=23 19.(1)证明：连接OM,如图所示： M --0 ,为斜边 的中点， E D B∠ACB=90°D AB 1 ∴CD=DA=DB=AB .∠ACD=∠A, .OC=OM, .∠ACD=∠OMC, :.∠OMC=∠A, .OM∥AB, ME⊥AB, .ME⊥OM, 又：OM为⊙O的半径， ∴ME是⊙O的切线 (2)解：连接DM,如图所示： M 4 B.:CD=5 答案第11页（共2页） ·由(I)可知，BD=AD=CD=5, CD为OO的直径， ∠CMD=90°，.DM⊥AC, 在等腰A4DC巾，由三线合一性质可得DM是边AC上的中线，即4M-CM=4C-4, ∴在RtCDM中，由勾股定理可得DM=CD'-CW=S-4=3, 5.ow DMDE2. AD 5 答案第12页（共2页)