3.4.2圆周角定理的推论 同步练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦圆周角定理推论，分层设计梯度清晰，知识覆盖从单一应用到综合证明，适配课时目标，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一推论应用|直接考查直径对直角等核心结论（如单选1-5）| |中档|综合性质应用|结合内接四边形性质等多知识点（如单选6-8、填空9-14）| |提升|复杂证明与作图|含逻辑推理及无刻度直尺作图（如解答15-20）|

3.4.2圆周角定理的推论 一、单选题 1.如图，若AB是⊙0的直径，AB=10cm,∠CAB=30°，则BC的长为()cm, B A.10 B.5 C.15 D.55 2.如图，AB是⊙0的直径，∠BAC=50°，则∠D的度数是() D A.20° B.40° C.60 D.80 3.如图，BC是⊙0的直径，A,D是⊙0上的两点，连接AB,AD,BD,若∠ADB=70°，则∠ABC的度数是 B A.20° B.30° C.40° D.50° 4.如图，⊙0是△BCD的外接圆，AB⊥BC.若BC=4,∠BDC=30°，则⊙O的半径为() B A.4 B.2V2 C.25 D.8 第1页 5.如图，AB是半圆的直径，∠ABC=50°，则∠ADC等于() C 0 B A.130° B.100° C.25 D.50 6.如图，四边形ABCD内接于⊙0，E为BC延长线上一点.若∠BAD=65°，则LDCE的度数是() 0 A.130° B.125 C.115 D.65 7.如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙O外的一点，连接CA,CB分别交⊙0于D,E两点，连接DE,DB.若 ∠CAB=50°，∠C=60 则<EDB 的度数为() B A.30° B.25° C.20° D.15 8.如图，四边形ABCD内接于OO,连接AO,CO,下列说法错误的是() A.若∠A0C=120°，则∠D=60° B.若∠D=60°，则∠B=120° C.若∠B=120°，则四边形ABC0是平行四边形 D.若四边形ABC0是平行四边形，则∠AOC=120° 二、填空题 9.古代工匠确定圆形器具的圆心时，如图通常把角尺的直角顶点放在圆周上，即可找出该圆形器具的一条直径， 第2页 进而找出圆心，这种方法的数学依据是 10.如图，A、B、C三个点都在⊙O上，∠AOC=130°，则∠ABC的度数是一 11.如图，AD是O0的直径，点B,C在⊙0上，若∠ADB=15°，则∠BCD的度数为 B A D 12.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接CE,若∠BAD=104°，∠DCE= D A B ⊙0 13.如图， 是五边形ABCD 的外接圆，C是BD的中点，若∠C=110°，D=10°，则∠4的度数为 0 第3页 B D ⊙0 AC,BE,CD,DE 40° 14.如图，点A,B,C,D,E都在上，连接 ∠E+∠C= ”所对圆心角的度数为，则 E D O。 2 三、解答题 15.如图所示，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于E,∠C=60°.求证：△ABD为等边三角形. A ⊙ E 16.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交边AC,BC于点D,E,且E为BC边的中点. (I)求证：AC=AB (2)若AB=10,AD=6,求BE. D E A B 第4页 17.如图，四边形ABCD内接于⊙O,∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且DB=DC,求证：AD平分 ∠CAE. D 0 ⊙ 18.请仅用无刻度直尺完成以下作图.（保留画图痕迹，不写作法） 已知四边形ABCD内接于O0,且已知∠ADC=120°. (1)在图1中已知AD=CD,在⊙0上求作一个度数为30°的圆周角： (2)在图2中，已知AD≠CD,在O0上求作一个度数为30°的圆周角. 0 ●0 D ●0 B C 图1 图2 19.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD经过⊙O的圆心O,过点A作AE⊥CD,与CD的延 长线交于点E，,且DA平分∠BDE. (I)求证：∠ABO=∠EAD: (2)过点O作OH⊥CD于点H,连接OA,若⊙O的半径为5，求EH的长. 第5页 夕 A C H D E 20.如图，△ABC内接于半圆O,AB为直径，∠ABC的平分线交AC于点F,交半圆O于点D,DE⊥AB于点 E,且交AC于点P,连接AD 求证：(I)∠CAD=∠ABD;(2)点P是线段AF的中点 D C P P E B O 第6页 参考答案 1.B 【详解】解：，AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， :AB=10cm,∠CAB=30°， ac-48=5m 2.B 【详解】解：，AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90° :∠BMC=50,AC=AC ∴.∠D=∠ABC=90°-∠BAC=40°， 3.A 【详解】解：如图，连接AC, D :∠ADB与∠AC 都是AB 所对的圆周角， ∠ACB=∠ADB=70°， :BC是⊙O的直径， .∠BAC=90°， .∠ABC=90°-∠ACB=90°-70°=20° 4.A 【详解】解：连接AC,则：∠CAB=∠BDC=30°， 答案第1页（共2页） AB⊥BC, ∴.∠ABC=90° .AC为⊙O的直径， :∠ABC=90°，∠CAB=30°，BC=4, .AC=2BC=8, 8 六o0的半径为24； 故选A. 5.A 【详解】解：四边形ABCD是圆的内接四边形， .∴∠ABC+∠ADC=180° ∠ABC=50°， .∠ADC=180°-∠ABC=130° 6.D 【详解】解：四边形ABCD是圆内接四边形， ∠BAD+∠BCD=180°， 又：∠BAD=65°， .∠BCD=115°、 .∠DCE=180°-∠BCD=65°， 故选：D. 7.C 【详解】解：：AB是OO的直径， .∠ADB=90°； :∠CAB=50°，∠C=60°，∠CAB+∠CBA+∠C=180°， .∠CBA=70°， ,四边形ABED是⊙O的内接四边形， .∠ADE+∠ABE=180°， 答案第2页（共2页） .∠ADE=110°， ∴.∠EDB=∠ADE-∠ADB=20° 8.D 【详解】解：A、由圆周角定理得∠D=)∠A0C=60°，故本选项说法正确，不符合题意， 2 B、,四边形ABCD内接于⊙O, :∠B=180°-∠D=180°-60°=120°，故本选项说法正确，不符合题意： C、∠B=120°时，∠D=180°-∠B=60°，则∠A0C=2∠D=120°， .∠BA0+∠BC0=360°-∠B-∠AOC=120°， :∠BAO与LBCO不一定相等，则∠BC0不一定都等于60°， .四边形ABCO不一定是平行四边形，故本选项说法错误，符合题意； D、,四边形ABCO是平行四边形， ∠B=∠AOC, 由圆周角定理得∠D=)∠4OC. ,四边形ABCD内接于⊙O, .∠B+∠D=180°， :∠A0C+)∠40C=180 2 .∠AOC=120°，故本选项说法正确，不符合题意. 故选：D. 9.90°的圆周角所对的弦是直径 10.115. 【详解】解：如图，在优弧4C上取点D,连接4D,CD, ∠A0C=130°， ∴.∠ADC=2∠AOC=65°， ∴.∠ABC=180°-∠ADC=115°. 故答案为：115° 答案第3页（共2页） D 的 11.105° 【详解】解：：AD是OO的直径， .∠ABD=90°， .∠BAD=90°-∠ADB=75°， ,四边形ABCD是圆内接四边形， .∠BCD+∠BAD=180°， .∠BCD=105° 12.14 【详解】解：，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .∠BAD+∠BCD=180°， 又∠BAD=104°， .∠BCD=76°， .BE是⊙O的直径， .∠BCE=90° .∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=14° 13.115 【详解】解：连接BE,CE, D :四边形BCDE是⊙O的内接四边形， .∠CBE=180°-∠D=80°，∠BED=180°-∠BCD=70°， 答案第4页（共2页） :C是BD 的中点， .BC=CD ·∠BEC=∠CED=∠BED=350 2 :.∠BCE=180°-∠CBE-∠BEC=65°， :四边形ABCE是⊙O的内接四边形， .∠A=180°-∠BCE=115°， 故答案为：115°. 14.160° 【详解】解：如图，连接AE. D O。 所对圆心角的度数为 .AB 40° ∠BEA=20° :点AB、C、D、E都在⊙O上， ∴.四边形DCAE为⊙O的内接四边形， ∴.∠DEA+∠C=180° ∴.∠DEB+∠C=180°-20°=160° 故答案为：160°」 15.证明：：BC为⊙O的直径，AD⊥BC, .AE=DE, ∴.BD=BA AB-AB .∠D=∠C=60° ∴.△ABD为等边三角形， 16.(1)证明：如图，连接AE 答案第5页（共2页） D E 为直径 B .AB .∴∠AEB=90° :E为BC的中点 .AE垂直平分BC, :.AC=AB: (2)解：连接BD,如图， D 为直径 ·AB ∠ADB=90° 在RtAABD中，AB=10,AD=6. ..BD=VAB2-AD2=8 AC=AB=10. .CD=AC-AD=10-6=4. 在Rt△BCD中，BC=VCD+BD=V4+8=4V5 :E为BC边的中点， BE=1BC=25 17.证明：DB=DC, ∴.∠DBC=∠DCB, ,∠EAD叶∠BAD=180°，∠BAD+∠DCB=180°， ∴.∠EAD=∠DCB, 答案第6页（共2页） .∠DAC=∠DBC, ∴.∠EAD=∠DAC, '.AD平分∠CAE. 18.【详解】(1)解：如图1，∠ABD(或∠CBD=30°)即为所求作的角， (2)解：如图2，∠CAE=30° D 图1 19.(1)证明：BD是O0的直径， .∠BAD=90°. ∠ABO+∠ADB=90°， :DA平分∠BDE, .∠ADB=∠ADE, AE⊥CD ∠AED=90°， .∠EAD+∠ADE=90°. .∠ABO=∠EAD, (2)解：由题意可得，OB=OA=5, ∠ABO=∠BAO. ∠ABO=∠EAD」 .∠BAO=∠EAD. ∠BAD=90°， ∴∠BAO+∠OAD=90° .∠EAD+LOAD=90°，即∠0AE=90°， :AE⊥CD,OH⊥CD, ∴四边形AOHE是矩形， ..EH=OA=5 20.(1).BD平分∠ABC 答案第7页（共2页） ·∠CBD=∠ABD :∠CAD与∠CBD CD 都是 所对的圆周角 ∴.∠CAD=∠CBD ∴.∠CAD=∠ABD (2)AB为直径 ∴.∠ADB=90° 又：DE⊥AB ∴∠DEB=90° ∴.∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90° ∴.∠ADE=∠ABD=∠DAP ∴.PD=PA 又：∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且LADE=∠DAP ∴.∠DFA=∠PDF 即∠PFD=∠PDF .PD=PF ∴.PA=PF 即点P是线段AF的中点. 答案第8页（共2页）