3.6正多边形与圆（知识梳理+同步练习）2026-2027学年苏科版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦正多边形与圆的概念理解、公式应用及综合探究，通过基础认知-能力应用-综合拓展三层设计，实现从单一知识点到跨情境问题解决的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|定义、性质、公式直接应用|单选题1-5题考查正多边形与圆关系，如正六边形边长等于半径（第1题）| |能力应用|公式综合、图形性质推理|填空题11-15题涉及中心角计算（第11题），解答题21-23题结合面积与实际情境（第23题亭子地基周长）| |综合拓展|动态几何、跨知识整合|解答题27题正方形与圆综合证明，培养模型意识与创新思维|

3.6正多边形与圆（知识梳理+同步练习） 知识梳理： 一、正多边形定义 各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形。 判定条件：边相等、角相等，二者缺一不可。 二、正多边形与圆的关系 任意一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且两圆是同心圆。 把一个圆n等分(n≥3，n为整数)，依次连接各分点，可得到该圆的内接正n边形。 三、正多边形相关概念 1.正多边形的中心：正多边形外接圆的圆心。 2.正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。 3.正多边形的边心距：正多边形中心到任意一条边的距离，也是内切圆半径。 4.中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角。 四、核心计算公式 设正多边形边数为n,半径为R,边心距为r,边长为a。 1.中心角度数： 360 n 2.内角度数： n-2)×180 3.外角度数：360 n 4.边长、半径、边心距满足勾股定理： R2=r2+ 五、常见正多边形性质 1.正四边形（正方形）：中心角90°，边心距等于边长的一半。 2.正六边形：边长等于外接圆半径，中心角60°。 3.正三角形：中心角120°，边心距、半径、边长比例固定。 六、正多边形的对称性 1.轴对称性：正n边形有n条对称轴，所有对称轴都过中心。 2.中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，对称中心为正多边形中心；边数为奇数的 正多边形不是中心对称图形。 七、高频易错点 1.仅各边相等或仅各角相等的多边形不是正多边形，必须边角均相等。 2.正多边形的边心距是垂线段长度，不是中心到顶点的距离。 3.正多边形外接圆与内切圆为同心圆，半径不相等。 4.所有正多边形都是轴对称图形，偶数边正多边形同时为中心对称图形。 同步练习 一、单选题 1.(25-26九年级上·云南昆明期末)已知正六边形外接圆的半径为2，则该正六边形的边长是() A v3 B.3 C.2 D.25 2.(2425九年级上·云南昭通期末)刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形 来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元.某同学在学习“割圆术”的过程中，作 了一个圆内接正十二边形，这个多边形的内角和度数为() A.720° B.1080° C.1440° D.1800° 3.(25-26九年级上·浙江·单元复习)下列命题正确的是() A.各边相等的多边形是正多边形 B.正多边形一定是中心对称图形 C.各角相等的圆内接多边形是正多边形 D.正多边形外接圆的半径是正多边形的半径 4.(25-26九年级上浙江·阶段检测)如图，正五边形ABCDE内接于⊙0，连接AC,则∠ACB为() E 0 B A.36° B.54° C.72° D.108 5.(25-26九年级上河南驻马店期末)如图，BC是⊙0的内接正n边形的一边，点A在⊙0上， ∠BAC=20°，则n的值为() 0。 A.6 B.8 C.9 D.18 6.(24-25九年级下·江西抚州阶段检测)如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC.若正六 边形的边长为4，则点O到AC的距离OG的长为() B G E A.25 B.2 C v3 D.1 7.(24-25八年级下·黑龙江绥化期末)正三角形的边心距、半径和高之比为() A1:2:3 B.1:2:V5 C.1:2:3 D.1:2:5 8（25-26九年级下重庆渝北开学考试)如图、将边长均为5。 “的正方形和正六边形拼在一起，以公共 项点°为圆心，边长5 为半径画圆，则图中阴影部分的面积为() A. 6 C.元 D.警 9.(25-26九年级上河北邯郸期末)正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为 :V ,则这个多边形的 内角和为() A.720° B.360 C.240° D.180 10.(2025山东德州二模)如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M,N,F分别是边AE, ABCD,⊙O ∠MFN 与的切点，则的度数为() M A.36° B.35° C.34 D.33 二、填空题 11.(25-26九年级上广东东莞期末)如果一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是 12.(2025陕西咸阳二模)如图，点O是正六边形ABCDEF的中心点，连接OB、OF,则∠BOF的度 数为 13.(2024陕西咸阳模拟预测)如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，连接OA、OB,则 ∠AOB= D 14.(2025陕西西安一模)如果正边形的一个中心角与其一个内角的度数之比为1：3，则n= 15.(24-25九年级上·贵州贵阳期中)如图，正六边形 ABCDEF 内接于00，点P是 CD上的任意一点， 则∠APB的大小是. D ○ 16.(25-26九年级下·山西太原·开学考试)团扇是中国汉族传统的工艺品及艺术品，起源于商代，其雏 形可追溯至战国时期的“便面”·团扇融合了绘画、书法、雕刻等艺术形式，象征团圆吉祥，承载中华 传统审美与文化内涵.如图1是一款名为“蝶戏芳丛”的刺绣团扇扇面，其外轮廓为如图2所示的正八边 形，己知该正八边形的中心为点O,则∠1的度数为 图1 图2 17. (24-25九年级上：江苏南京·期末)如图，点O是边长为6的正六边形ABCDEF和边长为a的正方形 MNPO MNPO MNPO 的中心，将正方形 绕点旋转一周.若在旋转过程中，正方形 始终在正六边形 ABCDEF的内部（即正方形边上的所有点都在正六边形内），则a的取值范围是 D M B 18.(2025江苏徐州二模)如图，正方形ABCD与正六边形的边长相等，先将正方形ABCD与正六边形 的某条边重合，再将该正方形绕正六边形按顺时针方向滚动一周.若正方形ABCD的边长为2，则在滚动 过程中点A距出发点的最大距离为， B 19.(2024浙江·一模)如图，正方形ABCD的边长为2，以AB边上的动点O为圆心，OB为半径作圆， 将△AOD沿OD翻折至△A'OD，,若O0过△AOD一边上的中点，则⊙O的半径为 D B 20.(2024浙江丽水·二模)如图是第四套人民币一角硬币，圆面直径为22.5mm,硬币边缘镌刻正多边 AB mm 形，A,B为该正多边形相邻的两个顶点，则的长是 B 三、解答题 21.(23-24九年级上江苏盐城期未)如图，已知正八边形1 BCDEFGH是半径为 W2⊙0 “的内接八边 形，求阴影部分图形的面积. H 0 22.(24-25九年级上广东汕头期末)如图，已知⊙0和⊙0上的一点A. 【实践与操作】 (I)作⊙O的内接正六边形ABCDEF(不写作法，保留作图痕迹)· 【应用与证明】 (2)连结BF,CE,判断四边形BCEF的形状，并加以证明. 23.(24-25九年级上山西吕梁阶段检测)如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该 地基的平面示意图可以近似的看作是半径为5m的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长. 图1 图2 24.(2024浙江杭州一模)如图(1)是瓦片做成的窗花，可以从中分离出一朵“花”的图案，如图 (2),它是由八片相同的瓦片组成，其中间四片“对扣”，外围截面恰好抽象成一个圆，如图(3)， 点A,B,C,D表示瓦片的交接点. D 0 B 图(1) 图(2) 图(3) (1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由. (2)若AB=20厘米，求图(3)中阴影部分的面积.（结果保留π） 25.(24-25九年级上·宁夏吴忠·期末)仅用无刻度的直尺作图，是一种考查灵活运用图形性质和判定的 绘图方式，按要求完成下面仅用无刻度的直尺作图的题目： D D 图① 图② ()如图①，在⊙0内，作任意两条直径AB、CD,顺次连接A、C、B、D,则画出了⊙0的一个内接 矩形，请说明理由： (2)如图②，AB是⊙0的直径，CD是弦，且AB‖CD,画出⊙0的内接正方形.（保留画图痕迹，不写 作法) 26.(2026江西模拟预测)新素材正六边形蜂窝状置物架如图(1)是某阅览室墙上安装的正六边形蜂 窝状置物架，将该置物架抽象成如图(2)所示的图形，点A,B,C,D,卫，F均为正六边形的顶点，点 O为AB的中点，每个正六边形的边长均为2dm 图(1) 图(2) ()连接OF,求OF的长： (2)求该置物架所占用墙面的宽度d. 27.(245九年级上江苏无铝期肿)【给出间】如网1，正方形4BCD内接于00，P是C的中点。 连接AP,DP.求证：AP=DP: 【深入思考】如图2，正方形ABCD内接于OO,点P为BC上任意一点，连接PA、PB、PC,请探究 PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明. 【拓展应用】如图3，若四边形ABCD是矩形，点P为边AD上一点，∠BPC=45°，PA=1,PD=2, 试求矩形ABCD的面积. B D P 图1 图2 图3 答案 题号 1 2 3 5 6 8 9 10 答案 D D C B A D B 1.C 【详解】解：，正六边形外接圆的半径为2， ∴正六边形的中心角为3606-60°， ,外接圆半径相等， ∴.每个分成的三角形均为等边三角形， 边长等于外接圆半径， .外接圆半径为2， .边长为2， 故选：C. 2.D 12-2)×180°=1800° 【详解】解：这个多边形的内角和度数为 故选：D 3.D 【详解】解：A、各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形各边相等但角不等，故该 选项不符合题意： B、正多边形不一定是中心对称图形，只有当边数为偶数时才是，如正三角形不是中心对 称图形，故该选项不符合题意： C、各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，如矩形各角相等但边不等，故该选项不 符合题意： D、正多边形外接圆的半径就是正多边形的半径，故该选项符合题意： 故选：D 4.A 【详解】解：：五边形ABCDE是正五边形， ∠ABC=5-2x180 =108° BA=CB, :∠ACB=∠BAC-180-,∠ABC=36 2 故选：A. 5.c 【详解】解：如图，连接OB,OC, B :∠BAC=20°」 .∠BOC=2∠BAC=2×20°=40° ,BC⊙O 是的内接正边形的一边， ∴n=360°÷40°=9 故选：C. 6.B 【详解】解：如图所示，连接OG,OA,OD, :点O为正六边形ABCDEF的中心， 0C=01=0D,∠40c-360x2=120,∠Doc-360 6 =60° 6 “AD0C是等边三角形，∠01C=∠0CA=180°，120°=30 ∴.0C=DC=4. .OG⊥AC, 1 0G=20c=2, .点O到AC的距离OG的长为2， 故选：B. B G D 7.A 【详解】解：连接AO并延长交BC于点D,连接OB,则AD⊥BC, O D :△ABC是等边三角形， .∠BAC=∠ABC=60°， 则OA,OB平分∠BAC和∠ABC, ∴.∠BAD=∠ABO=∠OBD=30°， .AO=OB=20D .AD=0A+OD=30D. OD:OB:AD=1:2:3, 故选：A. 8.D 【详解】解：如图所示， D 0 G 0A=0C=00-5,∠40c=90,∠c0G-180x6-2到_12. 6 .∠A0G=360°-∠A0C-∠C0G=360°-90°-120°=150°， 150×π×V5 S阴影= 5π 360 4· 9.B 【详解】解：如图所示，设该正多边形的中心为点O,AB为该正多边形的一条边， 过点O作OC⊥AB于C,连接OA,OB, cc-8 ,该正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为 1:V2 :V2 ∴，正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为 0C:0A=1:V2 设Oc=x,则01=v2x .AC=VO-0C=x :AC=OC, .△AOC是等腰直角三角形， .∴.∠A0C=45°， 同理可得∠B0C=45°， ∴.∠AOB=∠AOC+∠BOC=90° 360° :该正多边形的边数为90°=4，即该正多边形为正方形， .该正多边形的内角和为360度， 故选：B. 10.A 【详解】解：如图，连接OM,ON. ,分别是，， 与 的切点， M N F AE AB CD⊙O OM⊥AE,ON⊥AB, .∠OMA=∠ONA=90° :正五边形ARCDE中∠A=5-2180 =108° ∴.∠MOW=180°-108°=72° ∴∠MFN= ∠MON=36° 故选：A. 11.8 【详解】解：，正多边形的中心角和为360°，且每个中心角相等， .边数360°÷45°=8， 故答案为：8. 12.120° 【详解】解：连接OA, B E D :点O是正六边形ABCDEF的中心点， ∠F0A=∠A0B=360 =60° 6 :∠BOF=∠FOA+∠A0B=120°： 故答案为：120° 13.45 【详解】解：ABCDEFGH是正八边形， ∠A0B=360 =45° 8 故答案为：45. 14.8 360.-2180-1:3. 【详解】解：由题意，得：mn 3×360=(n-2)180 即： 解得：n=8: 故答案为：8. 15.30° 【详解】解：连接OA、OB,如图， E D ·正六边形ABCDEF内接于OO, .∠A0B=360°÷6=60° ∠APB= A0B= 2 ×60°=30° 2 故答案为：30° 16.45° 【详解】解：由正八边形的性质，可得1=360 =45° 8 17,0<a<3V6 【详解】解：连接OA,OB,过点O作OK⊥AB,如图所示： E D K :六边形ABCDEF为正六边形， ∠A0B=360° =60° 6 :点O为正六边形的中心， ..OA=OB, :△OAB为等边三角形， ..OA=OB=AB=6. OK⊥AB, k40-3 OK=O-AR=3 ,垂线段最短， 2x3V5=6√3 正方形对角线不能超过 6√ =3V6 ,正方形的边长不能超过√2 :“的取值范围是 <a<3V6 0<a<3v6 故答案为： 18. 23+2√2,2W2+2V3 【详解】解：如图， B A() D A4 42 M A3 H 根据正六边形，可得∠AEF=∠B1F=∠NME-360+2=30°，∠NEF=180-360°-120， 6 6 .∠AFE=120°，∠AEN=90°， :正方形ABCD的边长为2， .AN =2NE =6,AE=3NE =23 .AM=AN+MN=8. EA=EF2+EA2=22 .EH=EA,=2√2 .AH=2N√3+2N2>AM “在滚动过程中点A距出发点的最大距离为 W3+2W2 2V5+22 故答案为： 252V7-2 19.3或4或3 【详解】设⊙O的半径为r,当⊙O经过A'O的中点，即经过AO的中点， 3B2 3 当00经过OD的中点，则r=0n0D .OD=2r,AO=AB-OB=2-r, 在Rt△AOD中，AD2+AO2=OD2 2+(2-r)2=(2r 2√7-2 r= 解得： 3(负值舍去) 当⊙O经过AD的中点，即经过AD的中点，设AD的中点为M, M M B C AO=2-r,AM=1,OM=r (2-r}+1P=2 解得：号 252W7-2 综上所述，半径为3、4、3 252W7-2 故答案为：3或4或3. 5 20.20 【详解】解：正九边形的一个中心角的度数为360°÷9=40°， 圆面直径为22.5mm, ∴.圆面半径为11.25mm, 40m×11.255 .AB的长是 180 27, 5 故答案为：2π， 21.刚=32π-64v2 【详解】解：如图，连接OAOB,作AP⊥OB,垂足为P, H A 由题意得∠A0B=360°÷8=45°，则∠0AP=45°， 04=OB=4 .AP=OP=4」 45π(42) .S扇形OAB= 360 =4a,5ae08x4P=85. :影=8(4π-82)=32z-64V2 22.(1)如图： D (2)四边形BCEF是矩形.理由如下： 如图，连接OE E 0 B :六边形ABCDEF是正六边形， .AB=AF=DE=DC,FE=BC, 4B=AF-DE-DC :脉=CG BF=CE, 四边形BCEF是平行四边形， :∠E0D=360 6 =60°，0E=0D' .△EOD是等边三角形， :.∠OED=∠ODE=60° .∠EDC=∠FED=2∠ODE=120. DE=DC. .LDEC=∠DCE=30° .∠CEF=∠DEF-∠CED=90°. .四边形BCEF是矩形. 23.30m 【详解】解：六边形ABCDEF是正六边形， ·∠A0B=360 .=60° 6 ·AB=BC=CD=DE=EF=AF, .OA=OB. ∴△AOB是等边三角形， .AB=OA =5m. 正六边形ABCDEF的周长=6×5=30m. 24.(1) 四边形ABCD是正方形，理由如下： 如图，连接OA,OB,OC,OD,则OA=OB=OC=OD, D A B AB=CB=DC=AD 由题意可知， .AB=BC=CD=AD, ∠A0B=∠B0C=∠C0D=∠D0A=-360°=90° 4 .∠OAB=∠OAD=45°， .∠BAD=90° ∴四边形ABCD是正方形： (2)解：在Rt△AOB中，OA=OB,AB=20cm, .04=0B-B-10(cm) 2 ·.S阴影部分=(S圆-S正方形BCD)X2 -[×0w2-20x20x2 =(400m-800) 平方厘米。 (400元-800) 答：阴影部分面积为 平方厘米。 25.(1) AB,CD是直径， ∴.∠CAD=∠ADB=∠DBC=∠ACB=90° .四边形ACBD是矩形： (2)解：如图所示，连接AC,BD并延长交于点E,连接AD,BC交于点F,连接EF 并延长交⊙O于G,H,连接AH,HB,BG,GA,则四边形AHBG即为所求. ABII CD .∠ABC=∠DCB. AC=BD :∠ABC=∠DAB.AD=BC .AF=BF,∠CAB=∠DBA, ∴.EA=EB,即E在AB的垂直平分线上， 4C=BD .∠ABC=∠DAB」 .FA=FB,即点F在AB的垂直平分线上， .EF垂直平分AB, .GA=GB,HA=HB,GH经过AB的中点， .G是⊙0的直径， .∠GBH=∠GAH=90°， ,AB是⊙O的直径， .∠AGB=∠AHB=90°， ,四边形AHBG是矩形， 又，GA=GB .四边形AHBG是正方形. E D B H 图② 26.()OF=V43dm (2)19dm 【详解】(1)解：如图(I),连接FD并延长交AB的延长线于点G,作ER⊥DF于点 R R E AOBHG 图(1) “∠CDE=∠DEF=(6-2)x180 6 =120°，EF=ED, ÷∠EFD=∠EDF=180°-120°=30e 2 ∠FDC-120°-30=90°，DR=DE.cos30°=5DE 2 FD=2xDE=2 :∠BCD=360°-120°-120°=120°=∠ABC, .AB‖CD .∠G=∠CDF=90°， :∠ABC=120°， .∠CBG=60° 过点C作CH⊥BG,垂足为H, m=8c-2w5-5删8c-1 多 2 ∠CHG=∠G=∠CDG=90° .四边形CDGH为矩形， ∴.DG=CH=V3,HG=CD=2 ,0G=1+1+2=4,FG=23+V3=33 :0F=voc2+rG=4+35=4(dm: M,M,M2,M3,M4,M5,M6 MM (2)如图(2)，由题意得： 共线，连接 ON⊥MM6 过点Q作 垂足为N, MM M,M:=M Ms,M M2 MM.=MMo=2 则 W M MM MM Ms Ms.N AOB 图(2) tONM中， ∠NM,Q=180°-120°=60°，MQ=2 在 :M,N=M,0cos60°=2×2 设左上角正六边形中心为点O,其左上角的顶点为W,连接OW, 则∠MOm= 360° =60°，OM=OW、 6 ∴△OMW是等边三角形， ∴.OM=OM1=MW=2 .MM1=2×2=4 .MN=3MM,+3M,M2+M6N=3×4+3×2+1=19 答：该置物架所占用墙面的宽度d为19dm, 27. [给出问题]证明：：四边形ABCD是正方形， .AB=CD .AB=CD :P是C的中点， :PB=PC AP=DP :.AP=DP: [深入思考]PA=CP+V2BP 理由如下， 过点B作BQ⊥BP交AP于点O,取圆心O,连接OA,OB, ∠ABC=∠PBQ=90° ∴.∠ABC-∠CBQ=∠PBQ-∠CBQ .∠ABQ=∠CBP ∠AOB=90° .∠APB=45° ∴.BP=BQPQ=V2BP 在△AB0和△CBP中， ∠BAQ=∠BCP ∠ABQ=∠CBP BO=BP ∴.△ABO≌ACBP(AAS) ∴AQ=CP .PA=AQ+PO=CP+2BP ,即PA=CP+V2B即 [拓展应用]解：以BC为边，作正方形BCFE,连接PE,PF,BF,OC,作正方形 BCFE的外接圆OO,则圆心O在BF上， .∠BPC=45°∠BOC=90° 点P在⊙0上， PA=1,PD=2, .BE=EF BC=AD=PA+PD=3,AE=DF, :∠BEF=90° :.BF=32 设AE=x,则DF=x,AB=3+x, 在R△ABP中，BP=AB2+AP2=(B+x2+ 在RtAPDF中，PF2=PD2+DF2=x2+2, 在Rt△BPF中，BF2=BP2+PF2, :(32=3+x2+1+2+2 解得.3 2(负值舍去) :8=3+行-37+3 2 2, =AB.CD=i7+3x3-37+9 ∴.矩形ABCD的面 2 2.