重庆市第八中学校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

**基本信息** 重庆八中高三入学数学试卷，以函数、几何、概率等核心知识为载体，通过分层设题与真实情境，检测数学眼光、思维与语言的综合运用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、函数性质、概率分配|基础题梯度明显，如第5题社区志愿分配考查计数原理| |多选题|3/18|统计案例、函数零点|第10题结合物价调查数据，考查回归分析与残差，体现数据观念| |填空题|3/15|函数切线、数列通项|第14题双曲线切线斜率范围，综合导数几何意义与不等式| |解答题|5/77|立体几何、概率应用、椭圆综合、导数证明|17题以投篮比赛为情境，考查概率分布与期望，体现数学思维的逻辑性；19题导数极值证明，融合分类讨论与推理论证，契合高考命题趋势|

重庆八中高 2027 级高三 (上) 入学考试 数 学 试 题 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1. 已知集合 ，则 A. B. C. D. 2. 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数 的部分图象如图所示,则 的解析式可能为 A. B. C. D. 4. 已知 是定义在 上的奇函数,且当 时, ,则 A. -1 B. 1 C D. -2 5. 某校派出 6 名志愿者派往 4 个社区参与志愿服务，每个社区至少去 1 名志愿者，其中甲志愿者去 A 社区. 则不同的分配方法种数为 A. 360 B. 390 C. 750 D. 1170 6. 已知 在 上满足 ,则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 7. 已知 ,则 的大小关系为 A. B. C. D. 8. 已知 ,且 ,则 的最小值为 A. 4 B. C. 5 D. 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分。 9. 已知 ,且 ,则 A. B. C. D. 10. 市物价部门对五家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查, 5 家商场的售价 (元) 和销售量 (件) 之间的数据如表所示: 9 – 9.5 10 10.5 11 120 100 70 60 50 用最小二乘法求得经验回归方程为 ,则 附注: 参考公式; 相关系数 ; 线性回归方程最小二乘法估计公式为: ; A. B. 当 时, 的预测值为 8 C. 点 的残差为 2 D. 11. 已知 是函数 的三个零点,则 A. B. C. 若 成等差数列,则 成等比数列 D. 若 成等差数列,则 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 已知 ，若 ，则 _____. 13. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的通项公式 _____. 14. 已知直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，其中 ，则直线 的斜率 的取值范围是_____. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13分)如图，在直三棱柱 中， 是 的中点，异面直线 与 所成的角为 . (1)求该三棱柱的体积: (2)求 与平面 所成角的正弦值. 16.(15 分)已知函数 在 处取得极小值. (1)求 ； (2)若关于 的不等式 在 恒成立，求 的取值范围. 17.(15 分)某校举办“投篮之星”双人挑战赛，甲、乙两位同学组队参赛. 规则:甲先依次投两个球， 然后乙再依次投两个球(共四球). 若两人合计命中球数不少于 3 个，则队伍获胜并获得奖品；若两人合计去合中球数达到 2 个，则立即中止比赛.特别地，若前三球全部命中， 也应继续投完第四球. 已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为 ,且每次投篮相互独立. (1)当 时，设 为乙实际投篮的次数，求 的分布列及期望； (2)当 时，求甲、乙获得奖品的概率的最大值. 18. (17 分)已知椭圆 过点 ，离心率为 . (1)求 的方程； (2)设 ， ，不垂直于 轴的直线 交 于 ， 两点( ， ， 不共线)，且 . (i) 判断直线 是否过定点? 若是,求出定点; 若不是,请说明理由; (ii) 设 与 的面积分别为 ,求 的最大值. 19.(17分)已知函数 . (1)当 时，求 的最小值； (2)讨论 的单调性; (3)若 存在极小值，且极小值等于 ，求证: . 学科网（北京）股份有限公司 $