精品解析：重庆市第八中学校2024-2025学年高三上学期开学数学试题

数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号.都编号，应值号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需度动，用橡皮裤平净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，等试用时120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 若命题：，则命题为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，写出结论即可. 【详解】命题是一个存在性命题，说明存在使的正数， 则它的否定是：不存在使的正数， 即对任意的正数都不能成立， 由以上的分析，可得为：， 故选：C. 2. 若扇形的弧长为，面积为，则其圆心角（正角）为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用扇形的弧长与面积公式计算即可. 【详解】设该扇形的圆心角为，半径为，则. 故选：A. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】. 故选：B. 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由，把代入，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】， 当且仅当时，取“”成立， 故选：B. 5. 下列函数的图象不存在对称中心的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性一一判定选项即可. 【详解】A选项中为奇函数，故有对称中心，故A错误； B选项中为奇函数，将其右移一个单位后得到，故有对称中心，即B错误； C选项中，即为奇函数，有对称中心，故C错误； D选项中，由对勾函数及图象变换的性质知不存在对称中心，故D正确. 故选:D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式结合已知角与未知角的关系、诱导公式计算即可. 【详解】已知， 则. 故选：D. 7. 已知函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为导函数在区间上大于零有解，分离参数结合二次函数的性质计算范围即可. 【详解】由题意知，问题等价于在区间上有解， 即有解，而， 由二次函数的性质知，即. 故选：C. 8. 已知，若方程有个不等实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先画出函数图象，有两根和，则方程及满足有个根即可求参. 【详解】观察各选项可得， 作出的图象，如图所示： ， 令，先解，知其有两根和， 则方程提供个根，故方程提供个不等实根， 故，即，解得. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件：两次的点数之和为偶数，：两次的点数之积为奇数，：第一次的点数大于2，则（ ） A. B. C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用分步乘法计数原理求出基本事件数，再求出符合条件的事件数，进而求解概率判断A，B，利用独立事件的乘法公式判断C，D即可. 【详解】由分步乘法计数原理得基本事件的总数为个， 事件包含的基本事件为， ，共18个， 所以， 事件包含的基本事件为，共9个， 所以，故A正确; 事件包含的基本事件为， ， ，共有24个， 所以，故B正确， 而包含的基本事件为共有9个， 所以，而，故， 所以与不是相互独立事件，故C错误; 而包含的基本事件为，共有6个， 所以，而，故， 所以与是相互独立事件，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，满足，且对任意，都，当取最小值时，则下列正确的是（ ） A. 图象的对称轴方程为 B. 在上的值域为 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 在上单调递减 【答案】AD 【解析】 【分析】由条件先得出函数的对称中心及取得最小值的对称轴，结合周期性确定函数解析式，再根据三角函数的性质及图象变换一一判定选项即可. 【详解】因为，所以的图象关于点对称， 又对任意，都有，所以当时，取得最小值， 当取最小值时，即周期最大，得， 函数在时取得最小值，所以，则， 因为，所以，即. 令，故A正确； 当，此时的值域为，故B错误; 将的图象向左平移个单位长度得到的图象，故C错误; 当，此时单调递减，故D正确， 故选：AD. 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 方程有且只有一个实根 B. 存在正整数，使得对任意的，都有成立 C. 若对任意的，都有成立，则 D. 若方程有两个不等实根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】探讨函数的单调性及最值，结合零点存在性定理判断A；等价变形不等式得，分析两个因式取值情况判断B；构造函数，结合极值及恒成立求出判断C；由选项C得，再分析两根的取值判断D. 【详解】函数，求导得， 对于A，只有这一个变号零点，函数在上单调递减，在上单调递增， 则在处取得极小值，当时，；当时， ，因此方程只有一个实根，A正确； 对于B，，整理得， 当时，，而在上不恒小于等于0， 因此不存在正整数满足题意，B错误； 对于C，，而，则必为极小值点， 由知，，解得， 当时，对于，当时，，则， 当时，，则，因此在取最小值0，C正确； 对于D，由C选项知，且是在点处的切线， 不妨设，，即有，则，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点在抛物线上，则到的准线的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用给定条件求出抛物线方程，进而求出准线方程，计算距离即可. 【详解】因为点在抛物线上， 代入抛物线中得，解得，所以 故抛物线的准线方程为， 所以到的准线的距离为. 故答案为： 13. 若对恒成立，则实数a的取值范围为___ 【答案】 【解析】 【分析】通过变形将条件化为恒成立，构造函数判定其单调性，将问题转化为，再利用导数研究的单调性及最值计算即可. 【详解】两边同乘以后移项，得，即. 令，则有， 由知，所以在上单调递增. 因为，所以，所以， 令， 显然当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以，所以. 故答案为：. 14. 已知函数满足下列条件：①为的极值点；②在区间上是单调函数，则的取值范围是___. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数式，根据极值得出对称轴结合三角函数的对称性、周期性、单调性得出不等式计算即可. 【详解】由函数，其中， 函数周期是，由①知， 又因为在区间是单调函数， 所以， 即， 所以或. 故答案为： 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）， （2） 由上知:， 故， 易知单调递增， 时，， 又，即，证毕. 【解析】 【分析】（1）利用递推公式作差计算即可求得通项公式； （2）利用（1）的结论及裂项相消法求和，再利用数列的单调性计算范围即可证明. 【小问1详解】 已知， 当时，； 当时，， 则， 显然时，，满足上式， 综上，； 【小问2详解】 略 16. 某学生兴趣小组在研究所在学校的学生性别与身高（身高分为低于和不低于）的相关关系时，记事件“学生身高不低于”，事件“学生为女生”.据该校以往的统计结果显示，. （1）求; （2）若从该校的其中一个班随机抽取36名学生、依据该校以往的统计结果，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验.分析学生的性别与身高是否不低于有关？ 性别 身高 合计 2-3 低于 不低于 女 男 合计 参考公式及数据：. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）列联表见解析，有关 【解析】 【分析】（1）利用事件的对立、条件概率、全概率公式及乘法公式计算即可； （2）先利用条件得出列联表，再利用卡方公式计算结合独立性检验的思想回答即可. 【小问1详解】 易知； 又， 由全概率公式可得， 解得； 【小问2详解】 由题意知女生抽取24人，不低于170cm的4人；男生抽取12人，不低于170cm的有8人， 完成列联表如下: 性别 身高 合计 2-3 低于 不低于 女 20 4 24 男 4 8 12 合计 24 12 36 零假设为:学生的性别与身高是否不低于无关， 根据列联表中的数据，经计算得到， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生的性别与身高是否不低于有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.. 17. 在中，分别是角的对边，有. （1）若，求; （2）若，求的面积最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用给定式子结合正弦定理进行化简，再利用辅助角公式求解角度即可. （2）法一利用正弦定理结合三角恒等变换求出，再利用余弦定理求出，最后再利用基本不等式求解即可，法二将三角形面积表示为函数，利用换元法求解即可，法三确定点的轨迹，利用椭圆的几何性质求解即可. 【小问1详解】 在中，， ，则， 由正弦定理得， 由上，得， 则有，即， ，而， 当时，解得(与题意不符，排除) 当时，解得，符合题意， 所以， 【小问2详解】 法一：由（1）原式可变为， ， ， 由已知及正弦定理得，而， 由余弦定理知， 其中，当且仅当时取等， 故， 法二：由余弦定理得， 化简得，其中，当且仅当时取等， 故，， 令，所以. 法三：由法一，得， 则点可看作是以为焦点，3为长轴长的椭圆上的点， 以中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则点轨迹方程为:， 故. 18. 已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，虚轴长为6. （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与的右支交于两点，若直线与交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）若直线与交于点，求的值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）由直接求出双曲线方程即可； （2）（i）设直线方程和设，直曲联立表示出韦达定理，利用点在双曲线上代入化简表示出直线方程，联立两方程化简即可；（ii）设，利用点在直线上表示出和点在直线上表示出，再利用数量积的坐标表示结合韦达定理化简即可； 【小问1详解】 设双曲线的标准方程为， 依题意有， 所以双曲线方程为. 【小问2详解】 (i)证明:设直线方程为:，设， 联立方程，消去得:， ， ， 是双曲线上的点， ， 直线，同理直线， 联立方程得 ， 解得，故点在定直线上. (ii)由双曲线对称性可知，点也在直线上， 设，点在直线上，所以， 点在直线上，所以， 所以 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第二问第一小问的关键在于直曲联立，借助韦达定理化简两直线方程；本题第二问的第二小问的关键在于坐标表示出向量的数量积并结合韦达定理化简； 19. 已知函数存在极大值. （1）求的取值范围； （2）若，求的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助对数换底公式可得，再借助导数求导后分及进行讨论，从而研究原函数的单调性，结合极值的定义即可得解； （2）结合（1）中所得，可得，结合函数单调性可得的极值点，且与一一对应，从而可得，构造函数，借助导数研究其单调性后即可得其值域. 【小问1详解】 ， 则， 令， 则在上恒成立， 所以在上单调递减， 当时，，当时，， 则有： ①当，即时，，即在上恒成立， 即在上单调递增，无极大值，不合题意，故舍去； ②当，即时，存在，使得， 此时，当时，， 当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以存在极大值，符合题意； 综上，； 【小问2详解】 由（1）知，，且在上单调递减， 由，，所以，且与一一对应， 因为 ， 令， 则， 当时，，当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， ， 由， 所以， 即. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于得到，从而消去，得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号.都编号，应值号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需度动，用橡皮裤平净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，等试用时120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 若命题：，则命题为（ ） A. B. C. D. 2. 若扇形的弧长为，面积为，则其圆心角（正角）为（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5. 下列函数的图象不存在对称中心的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若方程有个不等实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件：两次的点数之和为偶数，：两次的点数之积为奇数，：第一次的点数大于2，则（ ） A. B. C. 与相互独立 D. 与相互独立 10. 已知函数，满足，且对任意，都，当取最小值时，则下列正确的是（ ） A. 图象的对称轴方程为 B. 在上的值域为 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 在上单调递减 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 方程有且只有一个实根 B. 存在正整数，使得对任意的，都有成立 C. 若对任意的，都有成立，则 D. 若方程有两个不等实根，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点在抛物线上，则到的准线的距离为______. 13. 若对恒成立，则实数a的取值范围为___ 14. 已知函数满足下列条件：①为的极值点；②在区间上是单调函数，则的取值范围是___. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：. 16. 某学生兴趣小组在研究所在学校的学生性别与身高（身高分为低于和不低于）的相关关系时，记事件“学生身高不低于”，事件“学生为女生”.据该校以往的统计结果显示，. （1）求; （2）若从该校的其中一个班随机抽取36名学生、依据该校以往的统计结果，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验.分析学生的性别与身高是否不低于有关？ 性别 身高 合计 2-3 低于 不低于 女 男 合计 参考公式及数据：. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 17. 在中，分别是角的对边，有. （1）若，求; （2）若，求的面积最大值. 18. 已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，虚轴长为6. （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与的右支交于两点，若直线与交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）若直线与交于点，求的值. 19. 已知函数存在极大值. （1）求的取值范围； （2）若，求的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $