3.1 函数的概念及其表示 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数的概念及其表示，从复习初中变量依赖的函数定义切入，通过y=x、y=x²等实例指出原有描述的局限性，引导学生用集合与对应语言重新刻画，搭建新旧知识过渡支架。 此资料以启发式与问题驱动为特色，通过逐句剖析定义、例1（判定f(x)=x与g(x)=x²是否为同一函数）和例2（求含根式与分母的函数定义域）等实例，发展数学抽象与逻辑推理素养，规范区间表示等数学语言，助力学生深化理解，为教师提供清晰教学流程，夯实函数基础。

高一 必修第一册 3.1 函数的概念及其表示 人教A版 教学设计-2026-2027学年 数学 一、教学目标 1. 素养目标：学生在回顾初中学过的具体函数模型的基础上，经历用集合与对应的语言刻画函数概念的过程，能准确表述函数的定义并识别定义域、值域与对应关系，发展数学抽象与逻辑推理素养。 2. 知识目标：掌握函数的概念及三要素，理解区间的表示方法，能判断两个函数是否为同一函数，会求简单函数的定义域，初步了解分段函数的概念及其表示法。 二、教学方法 本节课采用启发式讲授与问题驱动相结合的教学方法。教师通过设置层层递进的问题情境，引导学生从初中变量依赖的描述过渡到集合对应的严格刻画，在实例分析与对比辨析中逐步建构函数概念。课堂以教师主导设问、学生观察归纳为主，辅以例题演算与即时练习，使学生在辨析与求解中巩固对定义域、同一函数及区间表示的理解。 三、教学过程 函数的概念及其表示 课 型 新授课 课时数 1 授课时间 第1课时 1. 复习引入 教师活动：教师回顾初中已学的函数概念，指出初中将函数描述为变化过程中两个变量间的依赖关系，并列举y=x、y=x²、y=等实例，随后提出仅凭变量描述难以覆盖更复杂的对应情境，由此引出本节课用集合与对应语言重新刻画函数的课题。 学生活动：学生回忆初中函数定义，观察教师给出的实例，体会原有变量描述的局限性，带着疑问进入新概念的探究。 设计意图：从已有经验出发制造认知冲突，激发学生用更严谨的语言刻画函数的内在需求，为建构集合对应的函数定义搭建台阶。 2. 新授探究 教师活动：教师给出函数的严格定义：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。教师逐层解析定义中的关键要素：A、B必须是非空实数集，A中任意一个x都要有对应，B中对应的y必须唯一确定；并指出x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，值域是集合B的子集。随后教师强调函数符号f(x)表示x对应的函数值，而不是f乘以x。 学生活动：学生在教师引导下标注定义中的关键词，理解三要素为定义域、对应关系和值域，并明确值域由定义域和对应关系共同决定。 设计意图：通过逐句剖析定义，帮助学生准确把握"任意"与"唯一确定"的内涵，建立函数三要素的整体认知。 教师活动：教师讲解区间的概念。设a，b是两个实数，且a<b，规定满足a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，记作[a，b]；满足a<x<b的实数x的集合叫做开区间，记作(a，b)；满足a≤x<b或a<x≤b的集合叫做半开半闭区间，分别记作[a，b)、(a，b]。实数a与b叫做相应区间的端点。实数集R可用区间表示为(−∞，+∞)，满足x≥a、x>a、x≤b、x<b的集合分别用[a，+∞)、(a，+∞)、(−∞，b]、(−∞，b)表示，"∞"读作"无穷大"。 学生活动：学生将区间符号与数轴上的实心点、空心点表示法对应起来，练习用区间表示简单集合。 设计意图：引入区间工具使定义域和值域的书写更加简洁规范，为后续求解和表示做铺垫。 教师活动：教师讲解同一函数的判定方法。如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数，且与用什么字母表示自变量无关。教师指出函数有解析法、列表法、图象法三种表示方法，并引出分段函数概念：像y={−x，x<0；x，x≥0}这样在定义域的不同部分用不同解析式表示的函数称为分段函数。 学生活动：学生理解判定同一函数需同时考察定义域与对应关系，认识分段函数在不同区间有不同解析式但整体仍是一个函数。 设计意图：深化对三要素决定函数的理解，破除"形式不同即函数不同"的常见误区。 3. 例题精讲 教师活动：教师出示例题并带领学生完成演算。 例1：判断下列各组函数是否为同一个函数，并说明理由。 （1）f(x)=x，g(x)=x²； （2）f(x)=x，g(x)=。 解析：第（1）组中两个函数定义域均为R，但当x=−1时，f(−1)=−1而g(−1)=1，对应关系不一致，故不是同一个函数。第（2）组中f(x)=x定义域为R，g(x)=定义域也为R，且对任意x∈R均有=|x|，当x=−1时g(−1)=1≠f(−1)，对应关系不一致，故不是同一个函数。 答案：（1）不是同一个函数；（2）不是同一个函数。 例2：求函数f(x)=+的定义域。 解析：要使解析式有意义，需满足偶次根式被开方数非负且分母不为零。由x+2≥0得x≥−2，即x∈[−2，+∞)；由x−3≠0得x≠3。两个条件取交集，得定义域为[−2，3)∪(3，+∞)。 答案：定义域为[−2，3)∪(3，+∞)。 学生活动：学生跟随教师分析每一步约束条件，独立完成演算并在笔记本上书写结果。 设计意图：通过同一函数判定与定义域求解两类典型问题，让学生在实练中掌握判据与求法，强化定义域优先的意识。 4. 巩固练习 教师活动：教师布置两道课堂练习题，巡视并选取学生作答进行点评。 练习1：用区间表示下列集合：{x|x≥0}；{x|−1<x≤5}。 解析：{x|x≥0}对应x≥a（a=0）的形式，即[0，+∞)；{x|−1<x≤5}满足a<x≤b，即半开半闭区间(−1，5]。 答案：[0，+∞)；(−1，5]。 练习2：已知函数f(x)=x²−2x，求f(3)与f(a+1)的值。 解析：f(3)=3²−2·3=9−6=3；f(a+1)=(a+1)²−2(a+1)=a²+2a+1−2a−2=a²−1。 答案：f(3)=3；f(a+1)=a²−1。 学生活动：学生独立完成练习，同桌互查区间符号与代入运算的正误。 设计意图：及时检验学生对区间符号和函数值求法的掌握情况，通过反馈纠正书写与运算细节。 四、课堂小结 1. 函数是用集合与对应语言刻画的：设A，B是非空实数集，对A中任意一个数x，按确定对应关系f，在B中都有唯一确定的数y与之对应，便称f：A→B为从A到B的函数，记作y=f(x)，x∈A。 2. 函数的三要素为定义域、对应关系和值域，值域由定义域和对应关系决定；判定同一函数须同时确保定义域相同且对应关系完全一致。 3. 区间是表示定义域、值域的简洁工具，闭区间端点用实心点、开区间端点用空心点表示，无穷大端点一律用圆括号。 4. 函数有解析法、列表法、图象法三种表示法，分段函数是在定义域不同部分用不同解析式表示的函数。 五、板书设计 1. 函数的概念及其表示 2. 函数定义：f：A→B，y=f(x)，x∈A（A、B为非空实数集，任意x对应唯一y） 3. 三要素：定义域、对应关系、值域（值域⊆B） 4. 区间表示：[a，b]、(a，b)、[a，b)、(a，b]、(−∞，+∞) 5. 同一函数判定：定义域相同 + 对应关系一致 6. 例题板演：例1 同一函数判定 ｜ 例2 求定义域 7. 三种表示法与分段函数：解析法、列表法、图象法；y={−x，x<0；x，x≥0} 六、作业布置 1. 判断函数f(x)=x²与g(x)=(x+1)²是否为同一个函数，并说明理由。 解析：f(x)=x²定义域为R，g(x)=(x+1)²定义域也为R，但当x=0时f(0)=0而g(0)=1，对应关系不一致，故不是同一个函数。答案：不是同一个函数。 2. 求函数f(x)=+的定义域，并用区间表示。 解析：由x−1≥0得x≥1，由3−x≥0得x≤3，取交集得[1，3]。答案：定义域为[1，3]。 3. 已知f(x)=2x−3，求f(−2)与f(a²)的值。 解析：f(−2)=2·(−2)−3=−4−3=−7；f(a²)=2a²−3。答案：f(−2)=−7；f(a²)=2a²−3。 七、教学反思 本节课从初中已掌握的变量依赖型函数定义出发，引导学生用集合与对应的语言重新刻画函数，整体逻辑链条清晰。学生对"任意"与"唯一确定"的理解在例1的辨析中得到了有效深化，区间表示的引入也使定义域书写更加规范。但在求定义域环节，部分学生偶次根式与分母约束取交集的意识仍需强化，后续教学应增加多约束叠加的变式练习以巩固。此外，分段函数仅做初步引入，下一课时需结合图象进一步加深理解。 学科网（北京）股份有限公司 $