专题09 抽象函数高频考点讲义【12大考点】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦抽象函数及其应用核心知识点，系统梳理定义域（4种类型）、单调性（定义及构造证明技巧）、奇偶性（定义及赋值判断）、周期性（常见周期条件）、对称性（自身及不同函数对称规律），构建从基础定义到性质应用的学习支架。 该资料设计12个高频考点，例题覆盖定义域求解、性质证明等问题，通过构造“和”“积”证单调性、赋值求特殊值判奇偶性等方法，培养数学思维与数学语言能力，课中助教师系统授课，课后学生可借例题巩固，弥补知识盲点。

专题09 抽象函数及其应用高频考点精讲 知识点1：抽象函数定义域 类型1：已知的定义域为，求的定义域：解不等式即可得解 类型2：已知的定义域为，求的定义域：求出在上的值域即可得解 类型3：已知的定义域为，求的定义域：一般情况下，g（x）在值域与h（x）值域一致，解出其x值即可 类型4 1.如f(x)→ f(g（x）)+f(h（x）)型，则 f(g（x）)与f(h（x）)定义域交集即可 2.f(r（x）)→ f(g（x）)+f(h（x）)型，同上，思维一致。 知识点2：函数单调性 1.增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数. 2.减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，称它是减函数. 3.抽象函数判断或者证明单调性的思维和技巧 证明单调性，实质就是构造定义法，在时，构造证明出正负。常见的构造规律如下： （1）构造“和” （2）.构造“积” （3）. 利用构造, （4）.利用奇偶性（主要是奇函数）构造， 这类题，变化较大，给学生讲透彻构造的目标和构造的思维以及借助构造来推导处定义的过程，可以借助不同的抽象函数式子来灵活推导。 知识点3：函数奇偶性 1.偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 2.奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 3.抽象函数判断或者证明奇偶性的思维和技巧 证明奇偶性，实质就是赋值。分析出赋值规律。 1.可赋值，得到一些特殊点函数值，如f（0），f（1）等， 2.尝试适当的换元字母，构造出x和-x，如f（x+y），可令y= -x，f（xy），可令y= -1等等 3.通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。 知识点4：函数的周期性 1. 函数的周期性 (1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．（注：若是函数的一个周期，则(且)也是函数的周期；） (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期． 2.函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件。 周期函数f(x)满足的条件 周期 f(x＋a)＝f(x－a) 2a f(x＋a)＝－f(x) 2a f(x＋a)＝－ 2a f(x＋a)＝ 2a 关于直线x＝a与x＝b对称 2|b－a| 偶函数，关于直线x＝a对称 2a 关于点(a,0)与点(b,0)对称 2|b－a| 奇函数，关于对称 关于直线x＝a与点(b,0)对称 4|b－a| 奇函数，关于直线x＝a对称 4a 4a 3.周期性的应用 奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用。 知识点5：函数的对称性 1、函数自身的对称性 (1)函数的图像关于点对称的充要条件是： ，即。 推论：函数的图像关于原点对称的充要条件是。 (2)函数的图像关于直线对称的充要条件是： ，即。 推论：函数的图像关于轴对称的充要条件是。 2、不同函数对称性 (1)函数与的图像关于直线成轴对称。 (2)互为反函数的两个函数关于直线对称。 考点一　抽象函数定义域的问题 考点二　抽象函数求解析式的问题 考点三　抽象函数求值的问题 考点四　抽象函数单调性的问题 考点五　抽象函数奇偶性的问题 考点六　抽象函数周期性的问题 考点七　抽象函数对称性的问题 考点八　抽象函数求值域的问题 考点九　抽象函数解不等式的问题 考点十　抽象函数中比较大小的问题 考点十一　双函数混合型抽象函数问题 考点十二　抽象函数中的函数性质综合 考点一　抽象函数定义域的问题 1．（25-26高一上·重庆·期中）若函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·辽宁·期中）已知的定义域是，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·吉林·期中）已知函数，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 考点二　抽象函数求解析式的问题 5．（25-26高一上·江苏南通·期末）写出一个满足的函数解析式__________. 6．（25-26高一上·全国·专题训练）若的定义域是正整数集，，且，求的解析式． 7．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知定义在上的函数 满足：① ； ②对 ，则 _____. 8．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知定义在上的函数满足（其中，），请写出满足条件的一个函数表达式_____． 考点三　抽象函数求值的问题 9．（2026高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（    ） A．677 B．1354 C．2027 D．4054 10．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·重庆·阶段检测）定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 12．（25-26高三上·河南·期中）已知定义在上的函数满足对任意恒成立，且，则（    ） A．200 B．210 C．110 D．220 考点四　抽象函数单调性的问题 13．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知定义在区间上的函数，对任意均有，当时，． （1）求的值， （2）判断的单调性并予以证明． （3）若，解不等式． 14．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知定义域为，对任意都有，当时，，. (1)求； (2)试判断在上的单调性，并证明； (3)若对恒成立，求实数的取值范围. 15．（25-26高一上·重庆渝中·期中）定义在上的函数满足：①；②，其中，为任意正实数；③任意正实数，满足当时，.试回答下列问题： (1)求，的值； (2)试判断函数的单调性； (3)如果，试求的取值范围. 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域是，满足，时，对任意正实数x，y，都有． (1)求的值； (2)证明：函数在上是增函数； (3)求不等式的解集． 考点五　抽象函数奇偶性的问题 17．（25-26高一上·全国·专题训练）已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性． 18．（25-26高一下·河北张家口·阶段检测）已知函数是定义在上的函数.对任意，总有. (1)证明：函数是奇函数； (2)若时，恒成立； ①判断函数在上的单调性，并说明理由； ②解关于的不等式：. 19．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，且对均满足． (1)若，求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)若时，，解不等式． 20．（25-26高一上·全国·专题训练）已知函数对任意实数x，y，均有，，且存在非零常数c，使. (1)求的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)求证是周期函数，并求出的一个周期. 考点六　抽象函数周期性的问题 21．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 22．（2026·山东东营·模拟预测）若定义在上的奇函数满足，则（   ） A．1012 B．1013 C．1014 D．1015 23．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知定义域为R的函数满足，且为奇函数，则一定有（  ） A．6为的一个周期 B． C． D． 24．（25-26高一下·安徽·开学考试）已知非常值函数的定义域为R，且，均有，若，则_______． 考点七　抽象函数对称性的问题 25．（25-26高二下·青海西宁·期末）（多选）已知定义在上的可导函数是偶函数，且满足，则下列结论一定正确的是（    ） A．是的一个周期 B．的图象关于点中心对称 C．的图象关于对称 D． 26．（25-26高二下·河北石家庄·期末）已知函数、的定义域均为R，为偶函数，且，，下列说法正确的有（     ） A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称 C．函数是以4为周期的周期函数 D．函数是以6为周期的周期函数 27．（25-26高二下·辽宁大连·期末）（多选）若定义在R上的函数满足且是偶函数，，则（    ） A． B．是奇函数 C．与图象关于直线对称 D． 28．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（    ） A． B．1 C．2 D． 考点八　抽象函数求值域的问题 29．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 30．（25-26高二上·山西阳泉·开学考试）函数的定义域为，且满足，函数的值域是，若集合可取得中所有值，则的取值范围为______. 31．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知满足，且，则的值域为_____ 32．（2026·黑龙江大庆·三模）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 考点九　抽象函数解不等式的问题 33．（25-26高一下·四川泸州·期末）已知函数对任意满足，若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高二下·山东济宁·期末）已知函数的定义域为，，对，且都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 35．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知定义在上的函数满足：对任意的，，，且当时，． (1)求，； (2)证明：是偶函数； (3)若在上单调递减，求不等式的解集． 36．（25-26高一下·湖南·期末）（多选）已知函数满足对任意的，都有，且，当时，，则（   ） A． B． C．是增函数 D．不等式的解集为 考点十　抽象函数中比较大小的问题 37．（25-26高一上·重庆渝中·期末）已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高一上·广东深圳·开学考试）已知定义在上的函数满足：，，且在内单调递增，则（    ） A． B． C． D． 39．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）已知，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高三下·陕西榆林·阶段检测）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A． B． C． D． 考点十一　双函数混合型抽象函数问题 41．（25-26高二下·山西阳泉·期末）（多选）已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．4为的一个周期 C． D． 42．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）（多选）已知函数，的定义域均为，的函数图象关于对称，函数图象关于点对称，且，，则（   ） A． B． C． D． 43．（25-26高三上·河南·期末）已知，是定义在上的函数，且均不恒为零.为偶函数，.若对任意的，都有，设，若函数的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．函数的一个周期为8 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的一个周期为4 D． 44．（25-26高一下·陕西西安·期末）已知函数，的定义域均为Z，且，.若的图象关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 考点十二　抽象函数中的函数性质综合 45．（25-26高一上·全国·专题训练）（多选）已知定义在上的函数满足．若的图象关于点对称，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是偶函数 C．是奇函数 D．的周期 46．（2026·广西·二模）（多选）已知定义在上的函数满足.若的图象关于点对称，且，则（    ） A．的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的周期为2 D． 47．（25-26高三下·云南昆明·期中）（多选）已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．为周期函数 B．的图象关于点对称 C．当时， D． 48．（25-26高二下·云南曲靖·期末）（多选）已知定义在R上的函数，满足，，且，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是周期函数 C．在R上单调递增 D． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 抽象函数及其应用高频考点精讲 知识点1：抽象函数定义域 类型1：已知的定义域为，求的定义域：解不等式即可得解 类型2：已知的定义域为，求的定义域：求出在上的值域即可得解 类型3：已知的定义域为，求的定义域：一般情况下，g（x）在值域与h（x）值域一致，解出其x值即可 类型4 1.如f(x)→ f(g（x）)+f(h（x）)型，则 f(g（x）)与f(h（x）)定义域交集即可 2.f(r（x）)→ f(g（x）)+f(h（x）)型，同上，思维一致。 知识点2：函数单调性 1.增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数. 2.减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，称它是减函数. 3.抽象函数判断或者证明单调性的思维和技巧 证明单调性，实质就是构造定义法，在时，构造证明出正负。常见的构造规律如下： （1）构造“和” （2）.构造“积” （3）. 利用构造, （4）.利用奇偶性（主要是奇函数）构造， 这类题，变化较大，给学生讲透彻构造的目标和构造的思维以及借助构造来推导处定义的过程，可以借助不同的抽象函数式子来灵活推导。 知识点3：函数奇偶性 1.偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 2.奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 3.抽象函数判断或者证明奇偶性的思维和技巧 证明奇偶性，实质就是赋值。分析出赋值规律。 1.可赋值，得到一些特殊点函数值，如f（0），f（1）等， 2.尝试适当的换元字母，构造出x和-x，如f（x+y），可令y= -x，f（xy），可令y= -1等等 3.通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。 知识点4：函数的周期性 1. 函数的周期性 (1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．（注：若是函数的一个周期，则(且)也是函数的周期；） (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期． 2.函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件。 周期函数f(x)满足的条件 周期 f(x＋a)＝f(x－a) 2a f(x＋a)＝－f(x) 2a f(x＋a)＝－ 2a f(x＋a)＝ 2a 关于直线x＝a与x＝b对称 2|b－a| 偶函数，关于直线x＝a对称 2a 关于点(a,0)与点(b,0)对称 2|b－a| 奇函数，关于对称 关于直线x＝a与点(b,0)对称 4|b－a| 奇函数，关于直线x＝a对称 4a 4a 3.周期性的应用 奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用。 知识点5：函数的对称性 1、函数自身的对称性 (1)函数的图像关于点对称的充要条件是： ，即。 推论：函数的图像关于原点对称的充要条件是。 (2)函数的图像关于直线对称的充要条件是： ，即。 推论：函数的图像关于轴对称的充要条件是。 2、不同函数对称性 (1)函数与的图像关于直线成轴对称。 (2)互为反函数的两个函数关于直线对称。 考点一　抽象函数定义域的问题 考点二　抽象函数求解析式的问题 考点三　抽象函数求值的问题 考点四　抽象函数单调性的问题 考点五　抽象函数奇偶性的问题 考点六　抽象函数周期性的问题 考点七　抽象函数对称性的问题 考点八　抽象函数求值域的问题 考点九　抽象函数解不等式的问题 考点十　抽象函数中比较大小的问题 考点十一　双函数混合型抽象函数问题 考点十二　抽象函数中的函数性质综合 考点一　抽象函数定义域的问题 1．（25-26高一上·重庆·期中）若函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抽象函数的定义域结合具体函数的定义域计算即可. 【详解】由的定义域是，则，即的定义域为， 又，所以函数的定义域是. 故选：B 2．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出的取值范围，再根据的取值范围与的取值范围相同以及分母不为，即可求解出的定义域. 【详解】因为的定义域为，所以， 所以中，解得， 所以的定义域为， 故选：A. 3．（25-26高一上·辽宁·期中）已知的定义域是，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，令，求得的取值范围，即可得到的定义域. 【详解】由函数的定义域是，可得， 令，解得，所以的定义域是. 故选：A. 4．（25-26高一上·吉林·期中）已知函数，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数的定义域，然后根据抽象函数的定义域求解法列出不等式组解出即可. 【详解】若函数要有意义，则，解得， 由， 所以函数的定义域为. 故选：B. 考点二　抽象函数求解析式的问题 5．（25-26高一上·江苏南通·期末）写出一个满足的函数解析式__________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意考虑常数函数，或者指数函数即可. 【详解】由题意知， 当，时满足条件， 当，且时， 可得， 形如，或且均可. 故答案为：（答案不唯一） 6．（25-26高一上·全国·专题训练）若的定义域是正整数集，，且，求的解析式． 【答案】， 【分析】由题意，分别令，，…，，然后由累加法求解． 【详解】由题意，且①， 分别令①式中的，，…，， 得，，…，， 将上述各式相加得， 则， 所以，． 7．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知定义在上的函数 满足：① ； ②对 ，则 _____. 【答案】 【分析】通过赋值，得到，再令，得到，通过累加即可求解. 【详解】令， 可得：，又， 所以， 令，得， 所以，， 由， 令， 则， 两式相加可得： 所以， 当时，满足； 所以， 故答案为： 8．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知定义在上的函数满足（其中，），请写出满足条件的一个函数表达式_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定条件，取代入给定等式，再令并验证即可. 【详解】由，取，得， 令，此时， 且，，符合题意， 所以满足条件的一个函数表达式为. 故答案为： 考点三　抽象函数求值的问题 9．（2026高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（    ） A．677 B．1354 C．2027 D．4054 【答案】D 【分析】由x、y任意性得到，进而推出是常函数且设，再结合可得即可求. 【详解】由、xyx、y任意性可得， 当，时，，故是常函数， 所以当时，，其中c为常数， 由，得，解得，所以， 所以. 10．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令得到正整数域上的递推关系，通过累加法推导的通项后代入求值. 【详解】令，代入题设函数方程得： ， 将代入化简，得递推关系：， 当时，有， 则，，， 故 ， 故，则. 11．（25-26高一上·重庆·阶段检测）定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据，想到令得到关于与的方程组，解方程组得到抽象函数的解析式，进而可求函数值. 【详解】因为，① 令，可得.② ①②得，所以.所以. 故选：B. 12．（25-26高三上·河南·期中）已知定义在上的函数满足对任意恒成立，且，则（    ） A．200 B．210 C．110 D．220 【答案】B 【分析】赋值法，依次令，，，即可求出的解析式. 【详解】令，则， 因，则， 令，则， 令，则，得， 则，得. 故选：B 考点四　抽象函数单调性的问题 13．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知定义在区间上的函数，对任意均有，当时，． （1）求的值， （2）判断的单调性并予以证明． （3）若，解不等式． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）不等式的解集 【解析】（1）根据任意，均有，可对，进行赋值求出（1）， （2）先设，然后利用作差法比较与的大小即可判断； （3）由及（3）可求（9），然后把原不等式进行转化即可求解． 【详解】（1）因为对任意，均有， 令，则（1）（）（）， （2）在上单调递减，证明如下： 设，则， 由时，可得， 所以， 所以， 在上单调递减， （3）由及（3）可得（9）（3）， 即（9）（3）， 又在上单调递减， 所以不等式可化为（9）， 所以， 解得． 故不等式的解集 【点睛】方法点睛：用定义证明函数单调性的步骤：设值、作差、变形（分式一般进行通分，多项式一般分解因式）、判断符号、下结论. 14．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知定义域为，对任意都有，当时，，. (1)求； (2)试判断在上的单调性，并证明； (3)若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在上递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法求得. （2）利用函数单调性的定义，证得在上递减. （3）结合函数的单调性化简不等式，利用分离常数法来求得的取值范围. 【详解】（1）， 令，， 令，. （2）在上递减，证明如下： 任取， . 由于， 所以， 所以在上递减. （3）令，得， ， 依题意对恒成立， 即， 即， 即， 由于在上递减，所以， ， 令（），任取 ， 由于， 所以，所以在上递增， 故，即. ，在上递减，所以. 15．（25-26高一上·重庆渝中·期中）定义在上的函数满足：①；②，其中，为任意正实数；③任意正实数，满足当时，.试回答下列问题： (1)求，的值； (2)试判断函数的单调性； (3)如果，试求的取值范围. 【答案】(1)0，4 (2)在上单调递增 (3) 【分析】（1）利用赋值法可求，； （2）结合单调性的定义可得结论； （3）由已知可得，结合单调性求解即可. 【详解】（1）取，由②得，， ∴. 又由①得， 由②得，. （2）设， 则根据条件③，得， ∴在上单调递增. （3）根据满足的条件②及， 由得，， ∴根据为增函数得：， 再由的定义域，便得到不等式组 解得， ∴的取值范围为. 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域是，满足，时，对任意正实数x，y，都有． (1)求的值； (2)证明：函数在上是增函数； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据已知条件及赋值法即可求解； （2）根据已知条件及函数单调性的定义即可求解； （3）利用（1）（2）的结论及函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为对任意正实数x，y，都有， 所以，即， 因为， 所以. （2）由得， 任取，且，则， ，即， 所以函数在上是增函数； （3）由（1）知，， 因为， 所以，即， 由（2）知，函数在上是增函数； 所以，解得， 故不等式的解集为. 考点五　抽象函数奇偶性的问题 17．（25-26高一上·全国·专题训练）已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性． 【答案】偶函数 【分析】通过赋值找到与的关系，从而确定奇偶性. 【详解】令，则，即， ∵，解得． 再令，则，移项可得， ∴是偶函数． 18．（25-26高一下·河北张家口·阶段检测）已知函数是定义在上的函数.对任意，总有. (1)证明：函数是奇函数； (2)若时，恒成立； ①判断函数在上的单调性，并说明理由； ②解关于的不等式：. 【答案】(1) 由对任意，总有， 令，则，则， 令，，则， 则有，故，则是奇函数. (2)①在上单调递减，理由如下： 设任意，， 则， 又，则，则， 所以函数在上单调递减； ②当或1时，解集为； 当时，解集为； 当或时，解集为 【分析】（1）令得出，再令，，利用奇函数的定义即可得证； （2）①利用定义法即可证明函数单调性；②首先利用函数单调性脱去，把不等式转化为，然后解含参不等式，分或1，，或三种情况即可求解. 【详解】（1）略 （2）①略 ②， 因为在上单调递减， 所以，即，即， 当，即或1时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即或时，解集为. 19．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，且对均满足． (1)若，求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)若时，，解不等式． 【答案】(1) (2) 令，，则即， 令，，则即， 令，得， 又， 故（）为偶函数. (3) 【分析】（1）利用，结合，即可求； （2）利用“赋值法”，可求，，再令，可得与的关系，判断函数的奇偶性； （3）先用定义证明函数在上的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式，再结合函数的定义域可解不等式. 【详解】（1）因为， 所以, , . （2）略 （3）任取，，且，则，故， 故， 故（）在上为减函数. 由题意， 即，而为偶函数，故， 则， 解得. 20．（25-26高一上·全国·专题训练）已知函数对任意实数x，y，均有，，且存在非零常数c，使. (1)求的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)求证是周期函数，并求出的一个周期. 【答案】(1)1 (2) 由题意知定义域为，关于原点对称 令，∴，∴，∴为偶函数. (3) ∵，又， ∴，即， ∴， ∴的周期为. 【分析】（1）令，可得到答案 （2）令，可得，进而判断出单调性 （3）令，化简得到，再用代替得到，从而求出周期 【详解】（1）∵任意均有， 令，则.∵，∴. （2）略 （3）略 考点六　抽象函数周期性的问题 21．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义及周期函数的定义确定函数的周期，进而求出指定函数值. 【详解】函数的定义域为，由是偶函数，得， 即，则， 由是奇函数，得，因此， 则，因此， 函数是一个周期为4的函数，且， 所以. 22．（2026·山东东营·模拟预测）若定义在上的奇函数满足，则（   ） A．1012 B．1013 C．1014 D．1015 【答案】B 【分析】先根据函数性质得到，再通过对已知等式进行赋值和变形，推导出函数的递推关系，进而求出的值. 【详解】因为是定义在上的奇函数，， 由， 用代替可得， 因为是奇函数，， 则， 用代替可得， 所以， 函数满足， 则， ，令得， 所以. 23．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知定义域为R的函数满足，且为奇函数，则一定有（  ） A．6为的一个周期 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目所给条件分析函数对称性与奇偶性。首先由得出函数关于直线轴对称，再由为奇函数还原的对称性，可令，得函数关于点中心对称，结合同时满足轴对称和中心对称的函数为周期函数推出函数的周期，利用周期性求值 【详解】因为，将代入得， 所以，故关于直线对称， 又因为为奇函数，所以， 令，则，代入得，即， 将代入得，即， 所以关于点中心对称， 将代入得， 又，故， 令，则，再将代入得，即， 将代入得， 又，所以，的周期为8，故A错， 设，依题意为奇函数，所以 又对称轴为，所以，无法推出，故B错，C对， 因为，所以，同理，一直到， 所以一个周期内和为，，故总和为， 举反例如下，令满足题意，但，故D错. 24．（25-26高一下·安徽·开学考试）已知非常值函数的定义域为R，且，均有，若，则_______． 【答案】2 【分析】利用赋值法令结合题意可得，令，可得，分析可知函数的一个周期为4，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为， 令，则，解得或， 若，令，，则， 可得，即，为常值函数，不合题意，所以， 又因为，令，，则， 可得，即，则， 可知函数的一个周期为4， 在中令，则，可得， 所以. 考点七　抽象函数对称性的问题 25．（25-26高二下·青海西宁·期末）（多选）已知定义在上的可导函数是偶函数，且满足，则下列结论一定正确的是（    ） A．是的一个周期 B．的图象关于点中心对称 C．的图象关于对称 D． 【答案】ABD 【分析】利用函数是偶函数及可得；利用可得的图象关于点中心对称；利用，可得；利用得，再利用即可计算. 【详解】对于选项A，由是偶函数得， 又因为，所以，则，即. 所以，所以的一个周期为，故A正确； 对于选项B，由得，所以的图象关于点对称，故B正确； 对于选项C，由得，即. 由得，即. 因为，所以，即的图象不关于对称，故C错误； 对于选项D，由得，即. 所以，即. 由得，所以函数的周期为. 所以，故D正确. 26．（25-26高二下·河北石家庄·期末）已知函数、的定义域均为R，为偶函数，且，，下列说法正确的有（     ） A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称 C．函数是以4为周期的周期函数 D．函数是以6为周期的周期函数 【答案】C 【分析】A：利用偶函数性质换元，推出关于对称；B：联立两已知等式化简，得到对称中心为；C：由的递推式作差，证出周期为4；D：代入消元推导的关系式，得出的周期为4. 【详解】定义域为R，是偶函数得， ① ② 选项A：由①式，将替换为，得， 由偶函数，两式联立得, 因此对称轴为，A错误； 选项B：对②式，将替换为，得， 由①得，代入上式，， 整理得,又是偶函数，， 即,所以的对称中心为，B错误； 选项C：由 将式中替换为得 得，即, 是以为周期的周期函数，C正确； 选项D：由的周期是，得， 代入②式得 将代入①式, 由A结论，替换得 将替换为得 得，所以的周期为，D错误. 27．（25-26高二下·辽宁大连·期末）（多选）若定义在R上的函数满足且是偶函数，，则（    ） A． B．是奇函数 C．与图象关于直线对称 D． 【答案】ABD 【分析】先根据条件推得函数的一个周期为8且为奇函数，再根据各选项要求，利用赋值，整体代换，运用奇函数的定义，函数对称性的表示以及周期函数的求和方法逐一求解即可. 【详解】由，可知函数的一个周期为8. 又因是偶函数，则，即，可得①， 由上分析，，则得，由函数的一个周期为8，可得② 由①②可得，即函数是奇函数. 对于A，在中，取，得，故A正确； 对于B，设，则，而， 故有，故为奇函数，即B正确； 对于C，因，即函数关于直线对称，而相当于将向右移1个单位， 即关于直线对称，故与图象关于直线对称，故C错误； 对于D，由上得，则对于，， 设，则有，，即数列的一个周期为4. 于是，， 即当被4除余数为1或2时，；当被4除余数为0或3时，， 于是可将和式按照每四项分组求和， 而每组的和可表示为，， 故，故D正确. 28．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】通过题目所给的条件求得函数对称中心和对称轴，从而求出函数的周期，最后将求转化为求. 【详解】因为为偶函数，所以，说明关于直线对称. ，，说明关于中心对称. 因为，所以，， 又因为， 所以，，因此周期. 所以，，即. 考点八　抽象函数求值域的问题 29．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数水平平移不改变值域的特点，确定的值域，再通过常数运算得到目标函数的值域. 【详解】函数是的水平平移变换，水平平移不改变函数值域，故的值域为. 由，对的取值范围各减2，得，即. 故选：B 30．（25-26高二上·山西阳泉·开学考试）函数的定义域为，且满足，函数的值域是，若集合可取得中所有值，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】令，解得，分类讨论当和时，由的取值范围结合条件，可得出函数的值域，从而得出实数的取值范围. 【详解】令，即，解得或（舍去）， 当时，， 故对任意，都存在，使得， 所以，； 当时，， 故对任意，都存在，使得， 所以，. 综上，函数的值域. 因为集合可取得中所有值， 所以，，则实数的取值范围是. 故答案为：. 31．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知满足，且，则的值域为_____ 【答案】 【分析】根据题意，令，求得，再令，求得，令，可得，即，再令，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由函数满足，且， 令，可得，因为，可得， 再令，可得，所以， 令，可得，即， 再令，可得，所以， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的值域为. 故答案为：. 32．（2026·黑龙江大庆·三模）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的性质，结合函数值域的意义求出最大值. 【详解】由函数的值域为，得， 由是定义在上的奇函数，得，由是定义在上的偶函数，得， 则，则，而函数与的值域相同， 所以函数的最大值为3. 故选：B 考点九　抽象函数解不等式的问题 33．（25-26高一下·四川泸州·期末）已知函数对任意满足，若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数对称性和单调性，将函数不等式转化为一元二次不等式，进而求解. 【详解】因为，所以关于轴对称， 因为，， 所以在上单调递增， 所以在上单调递减， 由， 可得 即或， 解得. 34．（25-26高二下·山东济宁·期末）已知函数的定义域为，，对，且都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定函数的对称性与单调性，将函数值不等式转化为自变量到对称轴距离的绝对值不等式求解. 【详解】由，可得函数的图象关于直线对称； 对，且都有， 则在上单调递减， 由对称性可得在上单调递增； 结合函数单调性与对称性，等价于到对称轴的距离小到的距离，即； 所以不等式等价于，即； 即，展开整理得，解得. 故不等式的解集是. 35．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知定义在上的函数满足：对任意的，，，且当时，． (1)求，； (2)证明：是偶函数； (3)若在上单调递减，求不等式的解集． 【答案】(1)， (2)令，则， 即对任意的，，所以是偶函数． (3) 【详解】（1）令，则，又，所以． 令，则，即， 又，所以． （2）略 （3）由(2)知， 因为在上单调递减，，， 所以由，得，解得， 即不等式的解集为． 36．（25-26高一下·湖南·期末）（多选）已知函数满足对任意的，都有，且，当时，，则（   ） A． B． C．是增函数 D．不等式的解集为 【答案】BD 【分析】利用赋值法判断A；令，可得，即可判断B；根据题意结合函数单调性的定义判断C；分析可得，结合单调性运算求解即可. 【详解】因为，， 对于选项A：令，得，解得，故A错误 对于选项B：令，得，即， 可知为奇函数，所以，故B正确； 对于选项C：任取，则，可得， 则， 即，可知在定义域上单调递减，故C错误； 对于选项D：因为， 令，得，即，可得， 因为， 因为在定义域上单调递减， 则，即，即， 所以不等式的解集为，故D正确. 考点十　抽象函数中比较大小的问题 37．（25-26高一上·重庆渝中·期末）已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双对称函数来证明函数的周期性，再利用单调性可以比较大小. 【详解】因为关于中心对称， 所以对称中心是，即是奇函数，故， 因为是偶函数，所以的对称轴是，即， 所以中，将替换为，得到， 故，将替换为，得到， 所以，因此的周期为8. 所以，，， 因为在上递增且是奇函数，所以在上递增， 所以，即. 故选：D. 38．（25-26高一上·广东深圳·开学考试）已知定义在上的函数满足：，，且在内单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可得函数是周期为的函数，化简可得，，，根据函数单调性即可比较大小. 【详解】由题意，，则， 又，所以，变形可得， 用替换其中的，可得，所以， 所以函数的周期为， 所以，， ，又，所以， 又函数在内单调递增，所以， 即. 故选：A 39．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）已知，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用，将自变量转化到上，再利用在上是增函数，可比较出大小. 【详解】因为， 所以， ， 因为在上是增函数，且， 所以，即. 故选：B. 40．（25-26高三下·陕西榆林·阶段检测）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数对称性和奇偶性得到的周期为8，化简得到，，，结合函数在上的单调性和奇偶性得到在上递增，从而比较出大小. 【详解】因为关于中心对称， 所以对称中心是，故， 因为是偶函数，所以的对称轴是，即， 所以中，将替换为，得到， 故，将替换为，得到， 所以，因此的周期为8. 所以，，， 因为在上递增且是奇函数，所以在上递增， 所以， ∴. 故选：D 考点十一　双函数混合型抽象函数问题 41．（25-26高二下·山西阳泉·期末）（多选）已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．4为的一个周期 C． D． 【答案】ABD 【分析】通过赋值转化已知条件，根据函数的奇偶性、周期性的定义进行判断和计算. 【详解】对于A：因为，所以， 由可得，， 所以，即，即是偶函数， 故的图象关于轴对称，A正确； 对于B：由，可得， 所以，又，所以， 则，所以，即的一个周期为4，B正确； 对于C：因为的周期为4，所以. 由，令可得， 由，令，则，又，所以， 故，则，C错误； 对于D：由，令，则，即； 令，则， 又是偶函数，则，所以， 因，故. ，D正确. 42．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）（多选）已知函数，的定义域均为，的函数图象关于对称，函数图象关于点对称，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据已知条件判断为周期为4的偶函数，，然后根据已知等式逐项判断计算即可. 【详解】因为的函数图象关于直线对称，所以的图象关于轴对称， 所以是偶函数，则，故A正确； 因为函数图象关于点对称，所以. 因为，所以，又， 所以，所以，所以. 所以函数的周期为4，所以. 因为，由得， 由及得. 所以，C错误； 因为，所以，又，，所以. 所以，B正确； 由可得，. 因为，所以，D正确. 故选：ABD. 43．（25-26高三上·河南·期末）已知，是定义在上的函数，且均不恒为零.为偶函数，.若对任意的，都有，设，若函数的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．函数的一个周期为8 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的一个周期为4 D． 【答案】D 【分析】根据代入法，结合函数的周期性、偶函数的性质进行求解即可. 【详解】方法一：因为.所以， 所以. 所以. 所以.故函数的一个周期为16，所以A错误； 因为，所以.由函数的图象关于y轴对称，知为偶函数， 所以，即，即， 将x替换为，得，即.又是偶函数， 所以，则. 所以函数的一个周期为8，所以C错误； 因为函数为偶函数，且周期为8，所以的图象关于直线对称.若函数的图象关于直线对称， 则.所以，与函数不恒为零矛盾，所以B错误； 因为，，所以.又由，令，得，所以.故选D. 方法二：因为，所以， 所以. 所以.若A正确， 则，所以，与不恒为零矛盾，所以A错误； 因为，所以.由函数的图象关于y轴对称，知为偶函数， 所以，即，即， 将x替换为，得，即.知为图象的对称中心， 又直线为图象的对称轴，所以，得（T为最小正周期）. 因为，所以4不是的周期，所以C错误； 若B正确，则直线，均为的对称轴.所以， 所以，即.因为为奇数，为偶数，两者矛盾，所以B错误； 因为，，所以.又由，令，得. 又，所以的一个周期为16.当时，， 所以的一个周期为8.所以. 故选：D 【点睛】关键点睛：利用代入法求出函数的周期是解题的关键. 44．（25-26高一下·陕西西安·期末）已知函数，的定义域均为Z，且，.若的图象关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象关于直线对称的性质，推导的对称性表达式，判断A；联立已知的两个含和的等式，通过变量替换消去相关项，推导的递推关系，判断B；代入特殊值到已知等式中，结合的条件，计算，判断C；根据的递推关系确定其周期，计算一个周期内的和，再计算2026项的总和，判断D. 【详解】 ①， ②， 关于对称，故 ③， 从②式换元得， 代入①式得：，即， 代入③式得，得， 换元得： ④，再将 得，联立得，即周期为4， 对应也满足，周期也为4. 选项A：即，但由式④， 得，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，由得， ，故C错误； 选项D：由得， 又，故，解得，，， ，. 因为周期为4，且一个周期和为：， 从到共506个完整周期（2024项）， 剩余，， 所以， 故D正确. 考点十二　抽象函数中的函数性质综合 45．（25-26高一上·全国·专题训练）（多选）已知定义在上的函数满足．若的图象关于点对称，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是偶函数 C．是奇函数 D．的周期 【答案】AB 【分析】令，推导出，结合函数的对称性可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断BC选项；利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A选项，设，因为函数的图象关于点对称， 即函数的的图象关于点对称，则， 所以，令，可得， 可得，所以的图象关于点对称，则A正确． 对于B选项，由已知得， 设，则， 所以，所以是偶函数，则B正确； 对于C选项，若函数是奇函数，则，可得， 即函数的图象关于点对称， 但函数的图象关于点对称，题中条件无法推出函数的图象关于点对称，则C错误； 对于D选项，若函数的周期为，则， 事实上，在等式中，令，则，则，矛盾，故D错误. 故选：AB. 【点睛】结论点睛：本题考查函数的对称性的判断，可利用以下结论来转化： ①函数的图象关于点对称，则； ②函数的图象关于直线对称，则. 46．（2026·广西·二模）（多选）已知定义在上的函数满足.若的图象关于点对称，且，则（    ） A．的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的周期为2 D． 【答案】ABD 【分析】对A，根据函数图象的变换性质判断即可；对B，由题意计算即可判断；对C，由A可得，由B可得，进而可判断C；对D，由结合与的对称性可得，进而，结合C中的周期为4求得，进而可得. 【详解】对A，因为的图象关于点对称，则的图象关于点对称， 故的图象关于点对称，故A正确； 对B，， ， 又，故. 即，故的图象关于直线对称，故B正确； 对C，由A，，且， 又因为，故， 即，故，即. 由B，，故，故的周期为4，故C错误； 对D，由，的图象关于点对称，且定义域为R，则，， 又，代入可得，则， 又，故，，，，又的周期为4，. 则 . 即， 则，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是得出，结合周期性以及的定义即可顺利得解. 47．（25-26高三下·云南昆明·期中）（多选）已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．为周期函数 B．的图象关于点对称 C．当时， D． 【答案】AC 【分析】利用周期函数的定义可判断A；利用对称性的代数定义可判断B;利用周期性与奇偶性以及时的解析式可判断C；利用周期性可计算的值，然后求出的范围可判断D. 【详解】由可得得， 所以，故是周期为4的周期函数，选项A正确； 由和偶函数性质，得， 因此，图象关于直线对称，而非点对称，故选项B错误； 利用和已知区间上的解析式， 当时，，则， 再由偶函数得时， 故当时，选项C正确； 由的周期，， 所以， 又因为为奇函数，当时，，所以， 从而的值域为，在此区间上，所以， 故恒成立，选项D错误. 48．（25-26高二下·云南曲靖·期末）（多选）已知定义在R上的函数，满足，，且，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是周期函数 C．在R上单调递增 D． 【答案】AB 【分析】对于A，由题可得，与相加可得 ，可判断A正确；对于B，由A分析可得，结合，可得，据此可判断周期；对于C，由题可得 ，，据此可判断C错误；对于D，由BC分析可判断选项正误. 【详解】对于A，由，得， 两式相加可得，因此的图象关于点对称，故A正确； 对于B，由A选项可知，又为偶函数，所以， 将替换为，可得， 与两式相减得， 所以，即是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，易知，又，故，得， 又，所以，， 故在R上不单调递增，故C错误； 对于D，由C分析可知， 结合BC知：. 则，故D错误． 故选：AB． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $