精品解析：福建省龙岩第一中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

龙岩一中2028届高二上学期第一次月考 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列是等差数列，，则（ ） A. 19 B. 51 C. 69 D. 87 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 则. 2. 若数列的前四项为2，0，2，0，则此数列的通项公式不能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逐项计算前4项判断即可. 【详解】对于A，，，，，A可能. 对于B，，，，，B可能. 对于C，，，，，C可能. 对于D，，， ，故D不可能. 3. 已知数列的通项公式为，则80是该数列的（ ） A. 第8项 B. 第7项 C. 第6项 D. 第5项 【答案】A 【解析】 【详解】令，得 ，解得 ，或（舍去）. 4. 我国古代数学著作（算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．“那么，此人第4天和第5天共走路程是（　　） A. 24里 B. 36里 C. 48里 D. 60里 【答案】B 【解析】 【分析】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，利用等比数列求和公式解得，利用等比数列的通项公式可得． 【详解】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列， 由，得，解得：， ． 所以此人第4天和第5天共走了里，故选B． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考属于中档题．等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解. 5. 已知数列满足：，，记数列的前n项积为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，所以， 故是周期为3的周期数列，且， 所以. 6. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用构造等比数列的方法结合等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以．所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以，所以． 7. 已知数列满足，若，数列单调递减，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，数列单调递减，， 所以，即，解得. 8. 已知等差数列的各项均大于零，前n项和为，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用等差数列前项和的性质求得数列的通项公式与前项和，再按为奇数、偶数分类讨论，分离参数后求解对应函数的最值，即可确定的取值范围. 【详解】由题意得：，所以， 由得：，所以，又， 所以，所以， 由得， 当为正奇数时，，所以对任意恒成立， 令，又，即， 所以数列在正奇数集上单调递减，所以，所以， 当为正偶数时，，所以对任意恒成立， 令，又，所以， 所以数列在正偶数集上单调递增，所以，所以， 所以，所以的取值范围为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若等比数列中，首项为，公比为，则下列条件中，使数列一定为递减数列的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】对A，B，当时，则等比数列是摆动数列，可判断；对C，D，由可判断. 【详解】若，则等比数列是摆动数列； 若，则等比数列是常数列； 当且时，由. 对于A，若，当时，则等比数列是摆动数列，故A错误； 对于B，若，当时，则等比数列是摆动数列，故B错误； 对于C，当时，，即，等比数列是递减数列，故C正确； 对于D，当时，，即，等比数列是递减数列，故D正确. 故选：CD. 10. 已知函数，设数列的通项公式，其中，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列为周期数列 C. 数列为单调递增数列 D. 数列为常数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定函数式求出，求出的范围判断A；利用周期数列、递增数列、常数列的意义判断BCD. 【详解】依题意，，， 对于A，，则，A正确； 对于BCD，显然，则，即恒成立， 因此数列为单调递增数列，不是周期数列，也不是常数列，C正确，BD错误. 故选：AC 11. (多选)若数列{an}满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，从内到外依次连接通过正方形的四分之一圆弧，得到的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中扇形的面积为，数列的前n项和为．下列结论正确的有（ ） A. B. 是奇数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A列出前9项即可判断；找出奇偶三循环规律，计算2026除以3的余数判断奇偶得出B；C项通过裂项计算偶数项和，对比即得；D项通过结合扇形面积公式与平方和结论化简验证等式. 【详解】对于A，数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，所以，故A正确； 对于B，将斐波那契数列从第一项起按每三个数分成一段，则在每一段中前两个为奇数，后一个为偶数， 因为，所以是在第676段的第一个数，为奇数，故B正确； 对于C，由，得，，…，， 累加得，故C错误； 对于D，由，得 , 因,则 ,所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知各项均为正数的等比数列中，，为函数的两个零点，则______． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】利用根与系数的关系求出的值，结合等比数列的下标性质与对数的运算性质求解即可. 【详解】因为，为函数的两个零点，所以，是方程的两个正根，根据根与系数的关系可得. 根据等比数列的性质，有，所以（负根舍去）. 所以. 13. 已知数列满足，，若数列满足，则数列的前n项和=____________ 【答案】 【解析】 【分析】先对递推式变形构造等差数列求出的通项，进而得到的通项，再分段计算的前15项和即可. 【详解】由题意得：，所以， 所以，即，， 所以数列是以首项为，公差为的等差数列， 所以，所以， 所以， 所以， 所以. 14. 已知三个互不相同的实数经过适当排序后可成等差数列，再经过适当排序后也可成等比数列，则该等比数列的公比为________． 【答案】或 【解析】 【分析】假设经过适当排序后变成等差数列，依次讨论是等比中项的情况，结合公差即可求解. 【详解】由于经过适当排序后可成等差数列，不妨设这三个数为，其中公差， 这三个数经过适当排序后也可成等比数列，则有： ①当是等比中项时，则有，解得，这与矛盾，所以不是等比中项； ②当是等比中项时，则有，化简得，由于，所以解得， 此时，这三个数分别为，由于这三个数是互不相同的实数，所以， 而这三个数要构成等比数列，只有两种排序方式，即或， 因此公比或； ③当是等比中项时，则有，化简得，由于，所以解得， 此时，这三个数分别为，情况与②相同； 综上所述，该等比数列的公比为或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设为等差数列的前n项和，是正项等比数列，且.在①，②，③这三个条件中任选一个，回答下列问题： （1）求数列和的通项公式； （2）如果，写出的关系式，求满足不等式的的最小值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） ， （2） ，满足不等式的的最小值为7 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据所选条件得到方程，求出、，即可求出通项公式； （2）由（1）可得，即可得到、的关系，从而得到，解指数不等式即可求解. 【小问1详解】 若选①，， 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，解得或（舍去）， 则，. 若选②，， 设等差数列的公差为，等比数的公比为. 因为，所以，解得， 所以. 又因为，所以， 解得，所以. 若选③，， 设等差数列的公差为，等比数列的公比为. 因为， 则，解得， 则，. 【小问2详解】 因为， 所以，即，即， 由，可得， 所以， 解得：， 所以的最小值为. 16. 已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【小问1详解】 ∵， ∴当时，， 两式相减得， ∴当时，， 当时，，满足上式， ∴． 【小问2详解】 由（1）得， ∴， ∴， ∵，∴， 又因对，恒成立，故，得， ∴实数的最小值为1． 17. 一辆快递车从地往地运送快递，沿途（包括，）共有站.从地出发时，装上发往后面站的快递各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的快递，同时装上该站发往后面各站的快递各1件.设快递车在各站装卸完成后剩余快递的件数构成数列. （1）求，，并写出与的递推关系式； （2）求数列的通项公式，并求出的最大值. 【答案】（1），，， （2），. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，并得到，得到答案； （2）累加法得到，，也符合上式，所以. 【小问1详解】 由题意可知，. 在第个快递站卸下件快递，同时装上件快递， 则，所以，. 【小问2详解】 由（1）知，. 可得 ，， 也符合上式，所以. 因为，故当时，的最大值为. 18. 已知，数列的前n项和为，点均在函数的图象上． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前2026项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由递推关系求解数列的通项公式； （2）由及倒序相加求数列的和． 【小问1详解】 点均在函数的图象上，， 当时，，即， 当时， ，满足上式，； 【小问2详解】 ， ， ，， ①， 又 ②， ①②，得， ． 19. 定义: 对于任意 ，满足条件 且 ( 是与 无关的常数) 的无穷数列 称为数列. （1）若 ，证明:数列 是 数列； （2）设数列的通项为 ，且数列是数列，求常数的取值范围； （3）设数列 ，问数列 是否是数列？请说明理由. 【答案】（1）由得， 所以数列满足． 单调递减， 所以当时，取得最大值0，即． 所以，数列是T数列． （2） （3）数列是数列，理由如下： 假设数列是数列，依题意有： ， 因为，所以当且仅当小于的最小值时， 对任意恒成立， 即可得． 又当时，，，故， 综上所述：当且时，数列是数列． 【解析】 【分析】（1）根据题中的新定义代入即可证出. （2）作差得出数列的单调性，代入通项解不等式组，使即可求解. （3）作差求出恒成立，又得，再根据题中新定义即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由， 得， 当，即时，，此时数列单调递增； 而当时，，此时数列单调递减； 因此数列中的最大项是， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩一中2028届高二上学期第一次月考 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列是等差数列，，则（ ） A. 19 B. 51 C. 69 D. 87 2. 若数列的前四项为2，0，2，0，则此数列的通项公式不能是（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列的通项公式为，则80是该数列的（ ） A. 第8项 B. 第7项 C. 第6项 D. 第5项 4. 我国古代数学著作（算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．“那么，此人第4天和第5天共走路程是（　　） A. 24里 B. 36里 C. 48里 D. 60里 5. 已知数列满足：，，记数列的前n项积为，则（ ） A. B. 2 C. D. 6. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，若，数列单调递减，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 8. 已知等差数列的各项均大于零，前n项和为，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若等比数列中，首项为，公比为，则下列条件中，使数列一定为递减数列的条件是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，设数列的通项公式，其中，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列为周期数列 C. 数列为单调递增数列 D. 数列为常数列 11. (多选)若数列{an}满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，从内到外依次连接通过正方形的四分之一圆弧，得到的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中扇形的面积为，数列的前n项和为．下列结论正确的有（ ） A. B. 是奇数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知各项均为正数的等比数列中，，为函数的两个零点，则______． 13. 已知数列满足，，若数列满足，则数列的前n项和=____________ 14. 已知三个互不相同的实数经过适当排序后可成等差数列，再经过适当排序后也可成等比数列，则该等比数列的公比为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设为等差数列的前n项和，是正项等比数列，且.在①，②，③这三个条件中任选一个，回答下列问题： （1）求数列和的通项公式； （2）如果，写出的关系式，求满足不等式的的最小值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 16. 已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 17. 一辆快递车从地往地运送快递，沿途（包括，）共有站.从地出发时，装上发往后面站的快递各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的快递，同时装上该站发往后面各站的快递各1件.设快递车在各站装卸完成后剩余快递的件数构成数列. （1）求，，并写出与的递推关系式； （2）求数列的通项公式，并求出的最大值. 18. 已知，数列的前n项和为，点均在函数的图象上． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前2026项和． 19. 定义: 对于任意 ，满足条件 且 ( 是与 无关的常数) 的无穷数列 称为数列. （1）若 ，证明:数列 是 数列； （2）设数列的通项为 ，且数列是数列，求常数的取值范围； （3）设数列 ，问数列 是否是数列？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $