福建省龙岩市第二中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

**基本信息** 聚焦高二核心知识，通过直线与圆、圆锥曲线、数列等问题设计，分层考查数学抽象、逻辑推理与运算能力，适配阶段性学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|直线倾斜角、等差数列求和等|基础巩固，如第2题结合等差数列性质考查运算能力| |多选题|3题/15分|圆的性质、椭圆综合等|能力辨析，如第10题多角度考查椭圆定义与几何性质| |填空题|3题/15分|排列组合、二项式系数等|情境应用，如第12题“至少1女生”考查组合计数| |解答题|5题/80分|数列求通项、双曲线方程、椭圆抛物线综合等|综合创新，如第19题结合椭圆与抛物线，证明切线过定点及圆相切，培养逻辑推理与数学表达|

龙岩二中2025～2026学年第一学期高二第二次月考 数 学 试 题 命题人、审题人：高二数学备课组 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A．21 B．23 C．28 D．30 3．已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ） A．4 B． C． D． 4．在数列中，已知，，，则（    ） A．3 B． C．6 D． 5．已知双曲线 与 轴的非负半轴相交于点 ，过 作 轴的垂线与渐近线交于点 (点 在第一象限)，且 ，则双曲线 的离心率为 （    ） A． B．2 C． D．4 6．6名同学排成一排照相，则其中甲、乙不相邻的不同排法种数为（    ） A．240 B．480 C．960 D．1920 7．已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 8．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹是一条线段 B．的最大值为2 C．的最大值为4 D．点到直线的距离的最大值为 二、多选题 9．圆M：，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆M关于直线对称 C．圆M的半径为2 D．直线与圆M相切 10．已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于A，B两点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．椭圆的离心率为 C．面积最大值为 D．的最大值为 11．甲、乙、丙、丁四名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，每个运动队至少报1名同学，则（   ） A．所有不同的报法种数有34种 B．若甲必须报足球队，则所有不同的报法种数有12种 C．若甲、乙都不报足球队，则所有不同的报法种数有14种 D．若甲、乙不报同一个运动队，则所有不同的报法种数有30种 三、填空题 12．某小组共有10名学生，其中女生3名，现任选2名代表，则至少有一位女生当选的选法有 种． 13．的展开式中，的系数为 ．（用数字作答） 14．已知是公差不为0的等差数列的前项和，数列是等差数列，．若，记是数列的前项和，则的最小值为 ． 四、解答题 15．已知的展开式二项式系数和为64. (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 16．在数列中，，. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 17．已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求的方程； (2)过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 18．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动. (1)求线段的中点的轨迹方程； (2)若直线与点的轨迹交于两点，求的最小值及取得最小值时的方程. 19．已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 高二试卷第2页，共2页 高二数学月考试卷 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 《龙岩二中2027届高二上数学第二次月考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B B B C C BD ACD 题号 11 答案 BCD 1．B【详解】直线为平行于轴的直线，所以倾斜角为.故选：B 2．C【详解】由题意，，在等差数列中，前项和为，若， ，∴，故选：C. 3．D【详解】因为直线和互相平行，且两直线的斜率一定存在， 所以即，所以，因为两直线方程为和， 所以它们之间的距离为. 故选：D. 4．B【详解】数列中，由，，，得，，所以，所以，因此数列是周期数列，周期为6，所以. 故选：B 5．B【详解】双曲线中，令，得非负半轴交点. 过的x轴垂线为，双曲线第一象限的渐近线为，将代入得.由，得.双曲线中，，即，故离心率.故选：B 6．B【详解】先对除甲、乙之外的四个人全排种排法，再将甲、乙插空：,根据分步计数原理得：种排法，故选：B 7．C【详解】由题意知抛物线的焦点为，准线的方程为. 如图，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为. 由抛物线的定义得，所以，当三点共线时取等号，故的最小值为.  故选：C 8．C【详解】由直线，令，得，可得过定点， 动直线，令，可得，即恒过定点， 由，所以两条直线始终互相垂直，是两条直线的交点，所以， 所以点在以为直径的圆上，A错；,由于，又，所以，所以，故，当且仅当取等号， 故B错，C对；设到直线的距离为，由于，故，当取等号，故最大值为，故D错，故选：C 9．BD【详解】将圆M：化成标准方程：知圆心坐标为圆的半径为1. A项中，由点到圆心的距离：知点在圆外，A项错误； B项中，因圆心在直线上，而圆是轴对称图形，故圆M关于直线对称，B项正确； C项中，显然错误，C项错误；D项中，由圆心到直线的距离为：知直线与圆M相切，D项正确. 故选：BD. 10．ACD【详解】对选项A：的周长为，A正确； 对选项B：，，故椭圆的离心率为，B错误； 对选项C：的面积最大使是短轴端点，所以，C正确； 对选项D：要使最大，只需最小， 根据椭圆性质知：当轴时，故，D正确；故选：ACD. 11．BCD【详解】对于A：将4人分成3组，再分配即可，故不同的报法种数有，A错； 对于B：若足球只有甲报，有种报法， 若足球有两人，有种报法，故共有，正确； 对于C：若足球队有2人报，有，若足球有1人报，有，故共有，正确； 对于C：若甲乙报同一队，则有，由A知总的报法又36种， 所以甲、乙不报同一个运动队，则所有不同的报法种数有30种，D正确，故选：BCD 12．【详解】10名学生任选2名代表的选法为，其中全部来自男生的选法不符合题意， 故至少有一位女生当选的选法有，故答案为：24 13．【详解】对于，展开式通项为，，所以，， 所以含项为，系数为.故答案为： 14．【详解】设数列的公差为，则、， ，因为数列是等差数列，所以或， 故或（舍去），解得，， 当时，，当时，，当时，，所以当或5时，取得最小值， 最小值为．故答案为： 15．(1)60 (2). 【详解】（1）由题意得：，解得 由通项公式， 令，可得：.则常数项为 （2）是偶数，展开式共有7项，则第四项最大，∴展开式中二项式系数最大的项为. 16．(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以 （2）因为， 所以. 17．(1) (2) 【详解】（1）由题意知，，解得，故双曲线的方程为. （2）①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点，则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点，所以， 因为在双曲线上，所以， 则， 所以，则所求直线方程为， 即.经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 18．(1) (2)的最小值为，的方程为. 【详解】（1）设线段的中点为，点，有 由，有，，得，， 则有，化简得， 所以线段的中点的轨迹方程为. （2）直线，化简得， 由，解得，直线过定点， 圆的圆心为，半径，   ，点在圆内，直线与圆总相交， 最小时，直线垂直于过点为半径，， ，，直线的方程为，即， 所以的最小值为，此时的方程为. 19．(1)， (2)（i）证明见解析，；（ii）证明见解析 【详解】（1）由题，解得，∴椭圆的方程为，其上顶点坐标为， ∴，即．∴抛物线的方程为． （2）由（1）知，抛物线的准线方程为，∴可设， （i）由得，且．又， ∴抛物线在处的切线方程为，即． 在切线上， ①， 同理可得②， 由①②得直线的方程为， 令，则， 所以直线恒过抛物线的焦点． （ii）联立得，∴， 则线段AB的中点为，， 又，∴MN与抛物线E的准线垂直，且， 故以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 答案第2页，共3页 答案第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $