精品解析：福建省福清第一中学2025-2026学年高二第一学期10月阶段练习数学试卷

2025-2026学年高二第一学期阶段练习（数学学科） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知，，，若三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 2. 已知点关于轴的对称点为，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在正四面体中，是的中心，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知点.若直线与线段相交，则的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. ，，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（ ）． A. B. C. D. 8. 阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点，平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线，空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是2 D. 过与直线平行的直线方程是 10. 给出下列命题，其中为假命题的是（ ） A. 若向量是空间一组基底，则也是空间的一组基底 B. 已知平面，为直线l的一个方向向量，若、则直线l∥面 C. 若向量垂直于向量和，向量且， D. 已知空间的三个不共面向量，若，则D、A、B、C四点共面 11. 如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为底面上的动点（包括边界），则（ ） A. 满足平面的点P的轨迹长度为 B. 满足的点P的轨迹长度小于 C. 存在点P满足 D. 存在点P满足 三、填空题 12. 已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是__________. 13. 如图，在平行六面体中，为的中点，，交平面为， 则的值为________. 14. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是___________. 四、解答题 15. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且. （1）求的长度； （2）求直线和直线所成角的余弦值. 16. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 17. 已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. （1）求直线的方程和点C的坐标； （2）求的面积． 18. 已知梯形中，，如图1.将沿折起到，得到三棱锥，如图2，分别为棱､的中点. （1）若，求证：平面平面； （2）若，求二面角的正弦值； （3）是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 19. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面，. （1）若平面平面，求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）若是线段上动点，为中点，试确定点的位置，使得直线与平面所成角最大，并求出该最大角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二第一学期阶段练习（数学学科） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知，，，若三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求得，，根据题意建立等式求解即可. 【详解】由题意得，， 因为三点共线，所以， 即， 解得，，，所以． 故选：B 2. 已知点关于轴的对称点为，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点对称的性质可得点坐标，进而可得. 【详解】由题意，点关于轴的对称点为， 故. 故选：D. 3. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 4. 在正四面体中，是的中心，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到，，然后求数量积即可. 【详解】 因为为正四面体，是的中心， 所以，， 所以 . 故选：D. 5. 已知点.若直线与线段相交，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求直线恒过的定点，再应用两点式求斜率，根据斜率范围求参即可. 【详解】直线恒过定点，又， 直线的斜率为，要使直线与线段有公共点，，解得. 故选：A. 6. 不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出定点坐标，设直线关于点的对称直线方程为，则，解方程即可得出答案. 【详解】由可得：， 令，解得：， 所以，设直线关于点的对称直线方程为：， 则到直线与的距离相等， 所以，解得：，即（舍去）或. 故直线关于点的对称直线方程为：. 故选：D. 7. ，，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用，，表示出与，由点E到直线的距离为可计算得到答案 【详解】 如图所示，为的中点， 则， ， 又， ， ， ， 点E到直线DF的距离为． 故选：C 8. 阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点，平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线，空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求得平面的法向量与直线的方向向量，再结合空间向量的数量积求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】因为平面的方程为，所以平面的法向量可取， 平面的法向量为， 平面的法向量为， 设两平面的交线的方向向量为， 由，令，则， 所以两平面的交线的方向向量为， 设直线与平面所成角的大小为， 则. 故选：A． 【点睛】方法点睛：根据交线在两平面内，所以直线的方向向量与两平面的法向量互相垂直可求得直线的方向向量，利用线面角的向量求法，可求得线面角的正弦值. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是2 D. 过与直线平行的直线方程是 【答案】CD 【解析】 【分析】由倾斜角的定义判断A，由两直线位置关系判断B，由点到直线距离公式判断C，由平行求得平行线方程判断D． 【详解】对于A，直线的斜率，故直线的倾斜角是，故A错误； 对于B，因为直线的斜率， 故直线与直线不垂直，故B错误； 对于C，点到直线的距离，故C正确； 对于D，过与直线平行的直线方程是， 整理得：，故D正确. 故选：CD. 10. 给出下列命题，其中为假命题的是（ ） A. 若向量是空间一组基底，则也是空间的一组基底 B. 已知平面，为直线l的一个方向向量，若、则直线l∥面 C. 若向量垂直于向量和，向量且， D. 已知空间的三个不共面向量，若，则D、A、B、C四点共面 【答案】BCD 【解析】 【分析】A项，结合定义可判断正确；B项，直线也可能在平面内；C项，；D项，结合四点共线公式可判断错误 【详解】对A，若向量是空间一组基底，则由构成的向量均不共面，故也是空间的一组基底，A正确； 对B,当直线时，也满足题设条件，则B错误； 对C，若向量垂直于向量和，向量且，则一定在由向量组成的平面内，则，故C错误； 对D，因为空间的三个不共面向量，若满足，则，，故D、A、B、C四点不共面，D错误， 故选：BCD 11. 如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为底面上的动点（包括边界），则（ ） A. 满足平面的点P的轨迹长度为 B. 满足的点P的轨迹长度小于 C. 存在点P满足 D. 存在点P满足 【答案】AC 【解析】 【分析】构造面面平行，确定点轨迹，求其长度，判断A的真假；确定P的轨迹，根据弧长与弦长的关系判断B的真假；取特殊点验证C的真假；转化为两点之间直线段最短求的最小值，可判断D的真假. 【详解】对A：如图： 取中点，中点，连接，则易证平面平面，此时平面， 故平面时，点的轨迹为线段. 因为正方体棱长为2，所以，故A正确； 对B：如图： 因为，且，所以，此时点轨迹为以为圆心，半径为的圆在正方形内的部分，易得分别为，中点， 所以，故劣弧的长度大于，故B错误； 对C：如图： 当为正方形中心时，，，， 所以，所以，故C正确； 对D：如图： 做点关于平面的对称点，则在直线上，且，连接， 则，且.故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：对B选项，一定要弄清楚点的轨迹. 三、填空题 12. 已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，即可得解. 【详解】向量在基底下的坐标是， ， 所以向量在基底下的坐标是. 故答案为： 13. 如图，在平行六面体中，为的中点，，交平面为， 则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，结合题目条件，得到，由四点共面得到方程，求出答案. 【详解】设， 其中，为的中点，， 故, 所以，， 因为四点共面，所以，解得 故答案为： 14. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】可得直线分别过定点和且垂直，可得设，则，,,则，利用正弦函数的性质求值域即可． 【详解】由题意可知，动直线，经过定点， 动直线即，经过定点， 时，动直线和动直线的斜率之积为， 时，也垂直， 所以两直线始终垂直，又P是两条直线的交点， ， ． 设，则，， 由且，可得， ， ， ， ， ， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：因为，设，则，，则，即可求得的取值范围. 四、解答题 15. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且. （1）求的长度； （2）求直线和直线所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，，将用、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得线段的长度； （2）计算得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得直线和直线所成角的余弦值. 【小问1详解】 设，，， 由题意可知，，， 由空间向量数量积的定义可得， ， 则， 故. 【小问2详解】 ， 则， ，则. 故直线和直线所成角的余弦值为. 16. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； （2）利用截距为0和不为0分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. 【小问1详解】 由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； 【小问2详解】 联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，假设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为，即 综上所述：所求直线方程为或． 17. 已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. （1）求直线的方程和点C的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1），， （2）. 【解析】 【分析】（1）设点的坐标是，由的中点在直线上，求得点的坐标，再求出点关于直线的对称点即可求得直线的方程，联立方程组求出点坐标. （2）利用两点间距离公式及点到直线距离公式求出三角形面积. 【小问1详解】 由点在上，设点的坐标是，则的中点在直线上， 于是，解得，即点， 设关于直线的对称点为，则有，解得，即， 显然点在直线上，直线的斜率为， 因此直线的方程为，即， 由，解得，则点， 所以直线的方程为，点C的坐标为. 【小问2详解】 由（1）得，点到直线的距离， 所以的面积. 18. 已知梯形中，，如图1.将沿折起到，得到三棱锥，如图2，分别为棱､的中点. （1）若，求证：平面平面； （2）若，求二面角的正弦值； （3）是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：因为梯形中，， 所以，所以，所以， 又，平面，且，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2） （3）存在点 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理得，再利用线面垂直的判定推理得平面，进而由面面垂直的判定定理证明即可. （2）由二面角的定义及面面垂直的性质定理得两两互相垂直，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用向量法求解即可. （3）建立空间直角坐标系，设，由得以，求出平面的法向量，利用点面距离的向量公式列方程求出，，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为分别为棱､的中点，所以，所以， 又，所以为二面角的平面角， 因为，所以平面平面， 所以平面，平面，所以，，又，故建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，. 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，，， 则，即，取，则， 所以， 所以二面角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）可知平面，故分别以为轴的正方向， 轴在平面内且以向上的方向为正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，. 设，因为，所以，又，，，设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 则点到平面的距离为，所以， 因为，所以，即， 所以或，因为，所以或， 因为，所以，，所以， 所以存在点，使得点到平面的距离为. 19. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面，. （1）若平面平面，求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）若是线段上动点，为中点，试确定点的位置，使得直线与平面所成角最大，并求出该最大角. 【答案】（1） 因为平面，平面，所以，， 因为，所以， 又因为平面，，所以平面， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面平面，所以， 又因为平面，所以平面. （2） （3），最大角为 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再证明即可得证； （2）计算出平面的法向量，而平面的一个法向量为，两个法向量的夹角即为所求二面角； （3）设，求出与平面的夹角的正弦值为，再经过适当变形结合二次函数的性质得出最大值及取得最大值的条件. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， ，， 设平面的法向量为，则有，取，则， 因为平面，所以平面的一个法向量为， ，所以与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 ，，设，则，，设平面的法向量为， 则有，取，则，，则与平面的夹角的正弦值为， 设，则， 当时，取得最大值，所以的最大值为， 所以当点满足时，与平面的夹角的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $