1.2 集合间的基本关系 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合间的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等、空集概念及Venn图应用。通过复习元素与集合的∈关系，类比实数大小关系引入集合间包含关系，搭建从元素到集合关系的学习支架。 此资料以类比探究与直观演示结合，用Venn图动态呈现包含关系，发展直观想象素养。通过∈与⊆的概念辨析、有序列举子集及含参集合关系分析，培养逻辑推理能力。分层练习助学生用数学语言表达，对学生提升抽象思维，对教师提供清晰教学路径与实例支撑。

人教A版 教学设计-2026-2027学年 高一 必修第一册 1.2 集合间的基本关系 数学 案例名称 案例名称 1.2 集合间的基本关系 提供者 - 教材分析 本课选自人教A版高中数学必修第一册第一章1.2节。在此之前学生已学习集合与元素的概念，本节进一步研究集合与集合之间的包含、相等与真子集关系，并引入空集与Venn图，是后续学习集合运算与函数定义域的基础。 - - 教学目标 （1）理解子集、集合相等、真子集、空集的概念，能正确使用符号⊆、⫋、=、∅表示集合间的关系，会用Venn图直观呈现包含关系。（2）能区分属于关系a∈A与包含关系{a}⊆A，掌握按元素个数有序写出给定集合所有子集与真子集的方法。（3）在从具体到抽象的归纳过程中发展逻辑推理与直观想象素养，体会分类讨论与数形结合的思想。 - - 教材分析 本节核心内容是集合间的包含关系，包含子集、集合相等、真子集与空集四个概念，以及Venn图这一直观工具。教材从实数大小关系类比引入集合间的"大小"关系，引导学生通过观察具体例子归纳出子集定义，再用Venn图形象表示，随后自然过渡到集合相等与真子集。空集作为特殊集合的规定，是学生理解的难点。本节承上启下，既深化对集合的认识，又为1.3节集合的基本运算做必要准备。 教学目标 （1）语言与思维：能准确表述子集、真子集、集合相等与空集的定义，辨析∈与⊆在符号语言与文字语言上的差异，发展数学抽象与逻辑推理素养。 （2）能力与知识：掌握用符号和Venn图表示集合间基本关系的方法，能有序列举有限集的所有子集与真子集，能运用包含关系的传递性进行简单推理与含参端点取舍分析。 教学重难点 重点：子集、真子集、空集的概念与符号表示；集合相等的双向包含判定方法；Venn图的绘制与使用。 难点：元素与集合的属于关系（a∈A）同集合与集合的包含关系（{a}⊆A）之间的辨析；空集是任何集合子集这一规定的理解；含参集合关系中端点值的取舍与分类讨论。 教学方法 本课采用类比探究与启发讲授相结合的教学方式。借助实数大小关系类比引入集合间关系，通过具体实例观察、归纳形成概念，辅以Venn图直观演示，最后通过分层练习巩固深化。教学中注重师生互动，以问题驱动学生主动思考。 教学准备 教师准备多媒体课件，包含Venn图动态演示素材与分层练习题；学生复习上节课集合与元素的相关概念，准备草稿纸与直尺用于绘图。 一、复习导入 教师回顾上节课内容：集合与元素的关系用符号"∈"或"∉"表示，并提问 教师进一步类比实数中的大小关系"3<5"可以表示两个数之间的关系，提出集合之间是否也有类似的关系。由此引出本节课题——集合间的基本关系。预设学生回答：集合A是集合B的一部分，A比B"小"。教师肯定并指出，数学上用"包含"来精确描述这种关系。 教学过程 （1）子集概念的建构。教师引导学生观察导入中的集合A={1,2,3}与B={1,2,3,4,5}，提问"A中的元素是否都是B的元素？"学生确认后，教师给出教材定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集（subset），记作A⊆B（或B⊇A），读作"A包含于B"（或"B包含A"）。教师板书符号并强调⊆与⊇的方向。 （2）Venn图表示。教师介绍：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。教师在黑板上画出两个有包含关系的封闭曲线表示A⊆B，并让学生在草稿纸上模仿绘制。教师追问"如果A⊆B，Venn图中表示A的区域应在表示B的区域的什么位置？"预设回答：在B的内部。 （3）集合相等。教师写出集合C={x|x²−1=0}与D={−1,1}，提问"这两个集合的元素是否完全相同？"学生计算x²−1=0得x=±1，确认C与D元素完全一致。教师给出定义：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B。也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A=B。 （4）真子集与空集。教师提问 （5）重要结论梳理。教师引导学生归纳：由子集定义可得，任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C。教师追问"A⊆A是否成立？A⫋A是否成立？"预设回答：A⊆A成立，因为A中任意元素都是A的元素；A⫋A不成立，因为不存在属于A而不属于A的元素。 （6）概念辨析：∈与⊆的区别。教师写出设问：已知2∈{1,2,3}，{2}⊆{1,2,3}，这两者在含义上有何不同？引导学生分析：前者是元素与集合的关系，2是集合中的一个元素；后者是集合与集合的关系，{2}是{1,2,3}的子集。教师强调{2}是只含一个元素2的集合，而2是一个元素，二者层次不同。追问：能否写2⊆{1,2,3}？预设回答：不能，2是元素不是集合，应用∈。能否写{2}∈{1,2,3}？预设回答：不能，{2}是集合不是元素，应用⊆。 （7）例题精讲。 例1 写出集合M={a,b}的所有子集，并指出其中哪些是真子集。 解：按子集中元素个数从少到多依次写出。0个元素的子集：∅；1个元素的子集：{a}，{b}；2个元素的子集：{a,b}。所以M的所有子集为∅，{a}，{b}，{a,b}。真子集是除M本身外的子集，即∅，{a}，{b}。答案：子集为∅，{a}，{b}，{a,b}；真子集为∅，{a}，{b}。 教师小结方法：写子集时按元素个数从少到多有序排列，注意∅和集合本身不可遗漏。含有n个元素的集合共有2ⁿ个子集，2ⁿ−1个真子集。 例2 判断下列关系是否正确，并说明理由。（ⅰ）0∈{0}；（ⅱ）∅⊆{0}；（ⅲ）{0}={{0}}。 解：（ⅰ）正确。0是集合{0}的元素，属于元素与集合的关系，用∈。（ⅱ）正确。空集是任何集合的子集，由规定∅⊆{0}成立。（ⅲ）错误。{0}是以0为元素的集合，{{0}}是以{0}为元素的集合，二者元素不同，不相等。答案：（ⅰ）正确；（ⅱ）正确；（ⅲ）错误。 例3 已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x≥m}，若A⊆B，求实数m的取值范围。 解：将A和B表示在数轴上分析。A={x|1≤x≤3}是闭区间[1,3]对应的集合，B={x|x≥m}是从m向右延伸的射线。要使A⊆B，即[1,3]中每个x都满足x≥m，只需m不超过A中所有元素的最小值。A中最小元素为1，故m≤1。答案：实数m的取值范围是{m|m≤1}。 教师追问：若将条件改为A⫋B，结论是否变化？引导学生分析：A⫋B要求A⊆B且B中存在元素不属于A。当m≤1时，B中存在大量不属于A的元素（如m本身或m右侧且在A之外的值），所以A⫋B与A⊆B的结论一致，仍为m≤1。答案：若改为A⫋B，m的取值范围仍为{m|m≤1}。 （8）巩固练习。 练习1 用适当的符号（∈，∉，⊆，⫋，=）填空：（ⅰ）a___{a,b,c}；（ⅱ）{a}___{a,b,c}；（ⅲ）{a,b,c}___{a,b,c}；（ⅳ）∅___{a,b,c}。答案：（ⅰ）∈；（ⅱ）⫋；（ⅲ）⊆或=；（ⅳ）⊆。解析：（ⅰ）a是元素，用∈；（ⅱ）{a}是{a,b,c}的真子集，用⫋；（ⅲ）任何集合是本身的子集，用⊆，又因元素完全相同也可用=；（ⅳ）空集是任何集合的子集，用⊆。 练习2 写出集合N={1,2,3}的所有子集及真子集。答案：子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共8个；真子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个。解析：N含3个元素，子集个数为2³=8，真子集个数为8−1=7，按元素个数从少到多依次列出即可。 练习3 已知集合P={x|−2≤x≤5}，Q={x|m+1≤x≤2m−1}，若P⊆Q，求m的取值范围。答案：m的取值范围为∅（即不存在满足条件的m）。解析：若P⊆Q，则Q必须覆盖P的全部范围，即m+1≤−2且2m−1≥5。由m+1≤−2得m≤−3；由2m−1≥5得m≥3。两个条件m≤−3与m≥3同时成立是不可能的，故m的取值范围是空集∅。 （9）课堂小结。教师引导学生回顾本节课的核心内容：子集A⊆B的定义与符号，集合相等的双向包含判定A⊆B且B⊆A⇒A=B，真子集A⫋B的含义，空集∅的规定与性质，Venn图的画法。强调易错点：∈是元素与集合的关系，⊆是集合与集合的关系；空集是任何集合的子集，写子集时不要遗漏∅和集合本身。 作业布置 （1）教材课后习题1.2第1—3题，写出指定集合的所有子集与真子集，并用Venn图表示给定的包含关系。 （2）已知集合A={x|x²−3x+2=0}，B={x|0<x<3，x∈Z}，判断A与B的关系（用⊆，⫋或=表示），并写出A的所有子集。答案：A={1,2}，B={1,2}，故A=B；A的所有子集为∅，{1}，{2}，{1,2}。 （3）已知集合S={x|2≤x≤8}，T={x|a≤x≤a+3}，若S⊆T，求实数a的取值范围。答案：{a|a≤2且a+3≥8}={a|a≤2且a≥5}，不存在满足条件的a，故a的取值范围为∅。解析：S⊆T要求T完全覆盖S，即a≤2且a+3≥8（即a≥5），二者矛盾，无解。 学科网（北京）股份有限公司 $