1.2 集合间的基本关系 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合间的基本关系，通过对比A={1,2,3}与B={1,2,3,4,5}等具体集合的元素构成，引导学生发现集合间的包含与相等关系，衔接集合的概念与表示，为后续集合运算构建学习支架。 以任务驱动式问题链贯穿教学，借助Venn图直观演示（直观想象）和双向包含证明（逻辑推理）深化概念理解，通过子集有序列举、含参端点取舍等实例培养数学抽象能力，助力学生扎实掌握知识，也为教师提供清晰的教学流程与评价策略。

1.2 集合间的基本关系 必修第一册 数学 高一 人教A版 教学设计-2026-2027学年 课标要求 科 目 数学 年 级 高一 主备教师 课 型 人教A版 必修第一册 第一章 1.2 集合间的基本关系 数学组 新授课 课时数 1课时 授课时间 第2周 审核人 教研组长 核心素养 数学抽象 逻辑推理 直观想象 数学运算 数据分析 1. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 2. 在具体情境中了解空集的含义，理解全集与子集的相对性。 3. 能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的直观作用，逐步树立数形结合的思想。 教材分析 本节是人教A版必修第一册第一章第二节，上承集合的概念与表示，下启集合的基本运算。教材从观察具体集合间元素构成的从属关系入手，抽象出子集概念，进而引出集合相等、真子集与空集，形成完整的集合间基本关系体系。 子集概念是全节的核心枢纽，集合相等的双向包含判定为后续证明两集合相等提供了逻辑工具，空集的引入则完善了集合外延的逻辑完备性。Venn图作为直观表征手段贯穿全节，为学习交集、并集运算奠定图形基础。本节蕴含丰富的分类讨论与等价转化思想，是培养逻辑推理与数学抽象素养的重要载体。 学情分析 1. 知识基础：高一学生已初步掌握集合的概念及列举法、描述法表示，具备区分元素与集合的基本能力，但对集合与集合之间的关联尚无系统认知。 2. 认知特点：学生处于从具象向抽象过渡阶段，对符号化表述容易产生混淆，尤其难以分辨∈与⊆在层级上的差异，面对含参端点取舍时容易遗漏空集情形。 3. 应对策略：教学中采用任务驱动式问题链，借助Venn图直观演示与生活实例类比，引导学生从具体到抽象、从特殊到一般地建构概念，在辨析与纠错中深化理解。 单元教学重点 1. 教学重点：子集、真子集、空集的概念与符号表示；集合相等的双向包含判定方法；Venn图的规范画法与运用。 2. 教学难点：属于关系∈与包含关系⊆的本质区别；空集是任何集合子集这一规定的理解；含参集合关系中端点值的取舍与分类讨论。 课时学习评价 1. 过程性评价：课堂观察学生回答问题的准确度与参与小组讨论的活跃度，重点监测Venn图绘制是否规范、符号书写是否正确。 2. 表现性评价：通过子集列举与含参讨论的板演环节，评估学生对子集不重不漏原则及分类讨论思想的掌握水平。 3. 诊断性评价：课后作业批阅反馈，针对∈与⊆混用、∅遗漏等典型错误进行集中讲评与靶向矫正。 教学过程 1. 创设情境，导入新知 教师活动：教师在黑板上写出三个集合：A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}，C={1,2,3}。提出任务：观察集合A与集合B的元素构成有何关联？集合A与集合C呢？能否用已有符号精确描述这种关系？ 学生活动：学生对比观察后回答，集合A的所有元素都在集合B中，集合A与集合C的元素完全一样。发现∈只能描述元素与集合的关系，无法直接描述集合与集合之间的这种整体包含关系。 教师活动：追问：既然∈不够用，我们需要引入什么新符号来刻画集合间的这种包含关系？由此引出本节课题——集合间的基本关系。 2. 任务驱动，探究子集概念 教师活动：教师布置任务：阅读教材，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集（subset），记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。请同学们画出A={1,2,3}⊆B={1,2,3,4,5}的Venn图。 学生活动：学生在草稿纸上画封闭曲线表示B，内部画较小的封闭曲线表示A，直观感受包含关系。 教师活动：追问1：A={x|x是等边三角形}，B={x|x是三角形}，A⊆B成立吗？预设回答：成立，因为等边三角形一定是三角形。追问2：如何用数学语言严谨证明A⊆B？引导学生任取x∈A，说明x∈B即可。 3. 合作探究，发现集合相等与真子集 教师活动：教师给出任务：设A={x|(x−1)(x−2)=0}，B={1,2}，判断A⊆B与B⊆A是否同时成立。 学生活动：学生解方程得A={1,2}，发现A中元素都在B中，B中元素也都在A中，两个集合元素完全相同，A⊆B且B⊆A同时成立。 教师活动：总结：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B。也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A=B。追问：回到导入中的A={1,2,3}与B={1,2,3,4,5}，A⊆B成立，但B⊆A成立吗？为什么？ 学生活动：回答不成立，因为4∈B但4∉A。教师顺势引出真子集概念：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作A⫋B（或B⫌A），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）。 4. 认识空集与基本性质 教师活动：提问：方程x²+1=0在实数范围内的解集是什么？里面含有几个元素？ 学生活动：计算发现x²=−1无实数解，该集合没有任何元素。教师引出：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集（empty set），记为∅，并规定：空集是任何集合的子集。 教师活动：引导学生归纳性质：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C。追问：若A⫋B且B⫋C，A⫋C成立吗？预设回答：成立，传递性对真子集同样适用。 5. 典例精析，规范书写 教师活动：出示例题，写出集合{a,b}的所有子集和真子集。布置任务：按元素个数从少到多有序写出，∅和自身不要遗漏。 学生活动：学生独立列举后展示：子集为∅,{a},{b},{a,b}；真子集为∅,{a},{b}。教师点评并强调规律：含n个元素的集合有2ⁿ个子集，有2ⁿ−1个真子集，有2ⁿ−2个非空真子集。 教师活动：出示变式题，已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|1−m≤x≤1+m}。（1）若m=1，判断A与B的关系；（2）若A⊆B，求实数m的取值范围。 学生活动：第（1）问，当m=1时B={x|0≤x≤2}，1∈B但3∉B，得A⫋B不成立，A⊆B不成立，B⫋A成立。第（2）问，需A⊆B，注意m≥0且B不能为空集。当m=0时B={1}，不满足A⊆B；当m>0时，需满足1−m≤1且1+m≥3，解得m≥2。综上，m的取值范围是{m|m≥2}。 教师活动：强调含参端点取舍的关键：先判断空集可能性，再利用数轴端点比较法列不等式组，最后检验等号能否同时取得。 6. 辨析易错，深化理解 教师活动：布置辨析任务：已知集合M={1,2}，判断下列写法是否正确：①1⊆M；②{1}∈M；③{1}⊆M；④∅∈M；⑤∅⊆M。 学生活动：逐一判断：①错误，1是元素，应用∈；②错误，{1}是集合，应用⊆；③正确，{1}是M的子集；④错误，∅是集合，与M是集合间关系，应用⊆；⑤正确，空集是任何集合的子集。 教师活动：总结{a}⊆A与a∈A的区别：前者是集合与集合的关系，后者是元素与集合的关系，二者层级不同，不可混用。 课堂小结 1. 概念梳理：本节课学习了子集、真子集、集合相等、空集四个核心概念，掌握了A⊆B、A⫋B、A=B、∅的符号表示与含义。 2. 方法提炼：列举子集按元素个数从少到多有序进行，确保∅和自身不遗漏；证明集合相等用双向包含法，即证A⊆B且B⊆A。 3. 思想升华：Venn图将抽象的包含关系直观化，体现了数形结合思想；含参讨论体现了分类讨论与等价转化思想。 4. 当堂检测：写出集合{a,b,c}的所有子集，并指出其中真子集的个数。参考答案：子集为∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}，真子集有7个。 板书设计 1.2 集合间的基本关系 一、子集：A⊆B ⇔ A中任意元素都是B中元素 二、集合相等：A⊆B且B⊆A ⇔ A=B 三、真子集：A⊆B且存在x∈B,x∉A ⇔ A⫋B 四、空集：∅，规定∅⊆A 五、性质：A⊆A；A⊆B,B⊆C⇒A⊆C 六、例题：{a,b}子集：∅,{a},{b},{a,b} 教学反思 1. 成功之处：以任务驱动贯穿全课，学生在观察、画图、列举、辨析中自主建构概念，Venn图的引入有效化解了抽象符号的理解障碍，辨析题精准击中了∈与⊆混用的痛点。 2. 不足之处：含参集合关系讨论环节时间偏紧，部分基础薄弱学生对端点等号取舍的等价转化仍不够熟练，课堂生成性资源的捕捉与利用有待加强。 3. 改进方向：下节课增加含参端点取舍的专项梯度训练，补充数轴动态演示辅助端点比较，并在课后辅导中对学困生进行子集列举的一对一过关检测。 学科网（北京）股份有限公司 $