第21章 二次函数与反比例函数 学业质量自我评价-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（沪科版·新教材）

九年级数学HK版上册 学业质量自我评价 第21章学业质量自我评价 （考试时间：120分钟 满分：150分) 班级： 姓名： 得分： 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.已知反比例函数y=冬(k≠0)的图象经过点（一2,4），那么该反比例函数图象 也一定经过点 A.(4,2) B.(1,8) C.(-1,8) D.(-1,-8)》 2.一次函数y1=k1x十b和反比例函数y2= (k,·,≠0)的图象如图所示.若 x y1>y,则x的取值范围是 A.-2<x<0或x>1 B.-2<x<1 C.x<-2或x>1 D.x<-2或0<x<1 12 第2题图 第5题图 第6题图 3.已知抛物线的顶点坐标为(1,3)，且开口向下.若函数y随自变量x的增大而减 小，则x的取值范围为 ( A.x>3 B.x<3 C.x>1 D.x<1 4.已知二次函数y=a.x2十bx十c的y与x的部分对应值如下表： 0 1 3 … -3 3 方程ax2十bx十c=0的正根在 A.一1与0之间 B.0与1之间 C.1与3之间 D.3与4之间 5.如图，A是反比例函数y=(质≠0，x>0)图象上的一点，过点A作AB⊥x轴 于点B,P是y轴上任意一点，连接PA,PB.若△ABP的面积等于3，则k的值 为 () A.1.5 B.3 C.4.5 D.6 6.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示.设小 矩形的长和宽分别为x,y,剪去部分的面积为20.若2≤x≤10，则y与x的函 数图象是 yt 0 02 10 02 0 0 10 02 10 D 123 7.已知抛物线y=x2一2mx一4(m>0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为 M'.若点M'在这条抛物线上，则点M的坐标为 A.(1,-5) B.(3,-13) C.(2,-8) D.(4,-20) 8.二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的部分图象如图所示，其对称轴是直线x=2. 有下面四个结论：①b2-4ac>0;②abc<0;③4a+b=0;④4a-2b十c>0.其中 正确的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 -10 5 y=-x+b 第8题图 第9题图 9.已知反比例函数y=冬与一次函数y=一1十6的图象如图所示，则函数) 一bx十k一1的大致图象为 B D 10.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=12.动点E,F同时从点 A出发，分别沿射线AB和射线AC方向匀速运动，且速度大小相同，当点E 停止运动时，点F也随之停止运动.连接EF,以EF为边向下作正方形EF GH.设点E运动的路程为x(0<x<12),正方形EFGH和等腰直角三角形 ABC重合部分的面积为y.下列图象能反映y与x之间的函数关系的是 图① 图② 第10题图 第13题图 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.由于制药技术的提高，某种疫苗的成本下降了很多，因此医院对该疫苗进行了 两次降价.设平均降价率为x,已知该疫苗的原价为462元，降价后的价格为y 元，则y与x之间的函数关系式为 12.抛物线y=x2十(a十1)x十a十2顶点的纵坐标的最大值为 如图，在平面直角坐标系中，直线y=k1x十b与双曲线y,=。(其中k: ≠0)相交于A(一2,3)，B(m,一2)两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P, 则△ABP的面积是 14.已知直线y1=k.x一4k经过抛物线y2=a.x2一4a.x(a≠0)的顶点，且当x<2 时，y1>y2 (1)直线y1与抛物线y2都经过同一个定点，这个定点的坐标是 (2)当y1>y2时，自变量x的取值范围是 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.二次函数图象的顶点坐标是（一2,3），并经过点(1,2).求这个二次函数的表 达式. 16.若二次函数y=x2+(b-1)x十4的图象与x轴只有一个交点，求b的值. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.已知面积为18cm的平行四边形的一边长为xcm,该边上的高为ycm. (1)y关于x的函数表达式是 ,自变量x的取值范围是 (2)在右图中用描点法画出(1)中函数的图象.ycm叶 24 20 16 8 4 O4812162024x/cm 18.某工程队修建一条公路，所需天数y与每天修建该公路长度x(单位：)是反 比例函数关系.已知该函数图象经过点(30,40)，如下图. (1)求出y与x之间的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）. (2)其他条件不变，该工程队每天修建该公路30m要比每天修建24m提前多 少天完成此项工程？ 30 1141414 124 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.如下图，抛物线y=x2十bx一c经过直线y=x一3与坐标轴的两个交点A,B, 此抛物线与x轴的另一个交点为C,连接BC.求： (1)此抛物线的表达式. (2)S△ABC的面积. 20.(2025一2026合肥包河区期末)如下图，一次函数y1=k.x十b(k≠0)与函数y2 -(x>0)的图象交于A(4,).B(分)两点，点P在线段AB上，过点P 作x轴的垂线，垂足为M,交函数y,的图象于点Q. (1)求这两个函数的表达式. (2)连接OP,OQ.若点P的横坐标为2，求△POQ的面积. 六、（本题满分12分） 21.城建部门计划修建一条喷泉步行通道.图①是该项目的俯视示意图，步行通道 的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是矩形水池.图②是该项目 的主视示意图，喷水装置OA的高度是2，水流从喷头A处喷出后沿抛物线路 径落入水池内.当水流在与喷头水平距离为2时达到最高点B,此时距路面的 最大高度为3.6m.为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的 倾斜防水罩.防水罩的一端固定在喷水装置上的点M处，另一端与路面的垂直 高度VC为1.8m,且与喷泉水流的水平距离ND为0.3m,点C到水池外壁的 水平距离CE=0.6m.求步行通道的宽OE(结果精确到0.1m,参考数据：√2≈ 1.41). 444444 125 步行通 置 0 图① 图② 七、（本题满分12分） 22.某商店出售一款成本单价为40元的商品，经市场调查反映，该商品的日销售 量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间满足一次函数关系，其部分对应数 据如下表： 销售单价x/元 70 74 78 日销售量y/件 200 160 120 (1)①y关于x的函数表达式为 ②求该商品日销售利润的最大值. (2)由于某种原因，该商品进价降低了m(m>0)元/件.该商店在今后的销售 中规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足(1)中 的函数关系.若日销售最大利润是6600元，求m的值. 八、（本题满分14分） 23.【定义与性质】如图，记二次函数y=a(x-b)2+c和y=-a(x-p)2+q(a≠ 0)的图象分别为抛物线C和C,. 定义：若抛物线C,的顶点Q(p,q)在抛物线C上，则称C:是C的“伴随抛物 线” 性质：①一条抛物线有无数条“伴随抛物线”； ②若C,是C的“伴随抛物线”，则C也是C,的“伴随抛物线”，即C的顶点 P(b,c)在C1上. 【理解与运用1若二次函数y=一号(：一2)十m和y=名红-m)+号 1 1 1 的图象都是抛物线y=2x的“伴随抛物线”，则m= n= 【思考与探究】 (2)设函数y=x2一2k.x十4k十5的图象为抛物线C2. ①若函数y=一x2十dx十e的图象为抛物线C。,且C2始终是C。的“伴随抛物 线”，求d,e的值； ②在①的条件下，若抛物线C2与x轴有两个不同的交点(x1,0),(x2,0)(x1< x2),求x1的取值范围. C 备用图 314111 126学业质量自我评价 第21章学业质量自我评价 1.C2.D3.C4.D5.D 6.A【解析】，剪去了两个一样的小矩形，两个小矩形 的面积和为20，.xy=10,.y是x的反比例函数. ,2≤x≤10，.只有A选项的图象符合题意. 7.C【解析】，y=x2-2m.x-4=（.x-m)2-m2-4, ∴.点M的坐标为(m,一m2一4)，.点M的坐标为 (-m,m2+4).将(-m,m2+4)代入y=x2-2m.x一 4,得m2十2m2-4=m2+4,解得m=士2.m>0, ∴m=2,∴点M的坐标为(2，一8). 8.B【解析】由图象可知，抛物线与x轴有两个交点， .方程ax2十bx十c=0有两个不相等的实数根，b 一4ac>0,故结论①正确.，抛物线的对称轴为直线x b =2,.-2a 2,.4a十b=0.由图象可知，抛物线开 口方向向下，∴a<0,∴.b>0.:抛物线与y轴的交点 在y轴的正半轴上，.c>0,∴.abc<0,故结论②③正 确.由图象可知，当x=一2时，y<0,∴.4a一2b十c< 0,故结论④错误。 综上所述，其中正确的个数是3. 9.B【解析】，一次函数y=一x十b的图象经过第一、 二、四象限，且与y轴交于正半轴，∴.b>0.由图象可 知，反比例函数y=的图象经过第一、三象限，> 0,∴.函数y=x2一bx+k一1的图象开口向上，对称轴 为直线=名>0，由图象可知，反比例函数y=兰与 x 一次函数y=一x十6的图象有两个交点.令冬=一工 x 十b,整理，得x2一bx十k=0,则该方程有两个不相等 的实数根，.△=b2-4k>0,.函数y=x2-bx十k 1的图象与x轴有两个交点.故B选项符合题意. 10.A【解析】如图①，当正方形EFGH 的边HG恰好在BC边上时，EH=EF =√AE十AF=√2x,则BH=EH B H G =√2x,.BE=√BH+EH=2x, 图① ∴.AB=3x=12,解得x=4, 即当x=4时，边HG恰好落在BC边上， ①当x<4时，y=(W2x)2=2.x2; ②当x>4时，如图②，设BC与EH 交于点M. AE=x,∴EF=√2x,BE=12-x. B M 又：'BM+ME2=BE,且BMH 图② =ME, ME-BE-(2)-EF.ME-x 2 号(12-x)==x2+12x=-(x二6)：+36 综上所述，当x<4时，y与x之间的函数关系是图象 开口向上的二次函数；当x>4时，y与x之间的函数 关系是图象开口向下的二次函数 11.y=462(1-x)9 12.2【解析】y=x+(a+1)x+a+2=（x+a十 2 、1 (a一1)'+2，抛物线顶点的纵坐标为-4(a一 1)2+2≤2，∴.顶点的纵坐标的最大值为2. 15 13.2 【解析直线=x十6与双曲线y:（其中 k,·k2≠0)相交于A(一2,3)，B(m,一2)两点，∴k2= -2X3=-2m,解得m=3,∴.B(3,-2).,BP∥x轴， 15 BP=3SA即=号X3X(3+2)=2 14.(1)(4,0)(2)x<2或x>4【解 析】(1)y1=k.x-4k=k(x-4), y2=a.x2-4a.x=a.x(x-4), ∴.直线y1与抛物线y2都经过同一 个定点(4,0). (2)y2=a.x2-4a.x=a(.x-2)2 4a,∴.抛物线的顶点为(2，一4a). 直线y1=kx一4k经过抛物线y2=ax2一4a.x(a≠ 0)的顶点， ∴.直线y1与抛物线y2的交点为(2，一4a),(4,0). 当x<2时，y1>y2,∴a<0,k<0. 大致图象如图所示， .当y1>y时，x<2或x>4. 15.解：设二次函数的表达式为y=a(x十2)2+3. 把1,2)代人，得9a+3=2,解得a=-。, ∴这个二次函数的表达式为y=-号（红+2）+3。 16.解：由题意可知，令x2十(b一1)x+4=0, 则△=(b-1)2-4×1×4=0, .(b-1)2=16,解得b1=5,b2=-3. 故b的值为5或-3. 18 17.解：(1)y= x>0 (2)列表： 2 6 9 18 y … 3 描点、连线，得函数的图象如图. y/cm 24 20- 16 12 8 O4812162024x/cm 30×401200 18.解：(1)由题意，得y= x x 1200 (2)当x=24时，y= =50. 24 ,50-40=10(天)， 上册详解详析 51个 该工程队提前10天完成此项工程。 19.解：(1)当x=0时，y=x-3=-3,.B(0,-3). 当y=0时，x-3=0,解得x=3,.A(3,0) 把A(3,0),B(0,-3)代入y=x2+b.x-c, 得9+36-c=0 -c=-3, 解得=-2， c=3, .此抛物线的表达式为y=x2-2x一3. (2)当y=0时，x2一2x-3=0,解得x1=一1，x:=3, 1 C(-1,0)SaAc=2X(3+1)X3=6. 20.解：(1)：点A(4,1)在函数y,=”的图象上， m=4X1=4“反比例函数的表达式为= 当x=2时a=8B(号8)， :一次函数=k红+b的图象过点A(4,1D,B(?8), （4k十b=1, k=一2， .1 解得 (26+6=8, b=9, .一次函数的表达式为y1=一2x十9. 4 (2)当x=2时y1=-2×2+9=5,y2=2=2, P(2,5),Q(2,2),SAmg=SAmM-SAOm=2X 2X5-号×2x2=8 21.解：如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐 标为(0,2)，点B的坐标为(2,3.6). :抛物线的最高点为B, 设抛物线的表达式为y= a(x-2)2+3.6. 把A(0,2)代入，得4a+3.6 =2,解得a=-0.4, 0 .抛物线的表达式为y= -0.4(x-2)2+3.6. 当y=1.8时，-0.4(x-2)2+3.6=1.8, 解得x=2+3v2 2 负值已舍去)，∴D(2+3 21.8. ÷0E=,-ND-CE≈2+3X),41-0.3-0.6≈3.2 2 (m). 故步行通道的宽OE约为3.2m. 22.解：(1)①y=-10x+900 ②设该商品日销售利润为心元. 根据题意，得=(x-40)(一10.x+900)=-10x2+ 1300.x-36000=-10(x-65)2+6250. -10<0, .当x=65时，取得最大值，最大值为6250. 故该商品日销售利润的最大值为6250元. (2)设该商品日销售利润为，元. 根据题意，得w1=(.x一40+m)(一10.x十900) 52 九年级数学HK版 =-10x2+(1300-10m)x+900m-36000. :y与x仍然满足y=一10x十900， ∴.一10x十900≥0，解得x≤90. 又，销售单价不低于68元，∴.68≤x≤90. -=65- 抛物线心，的对称轴为直线x=一2a 2 ,一10<0，∴.抛物线w1开口向下. m>0.65-g<68, ∴.当68≤x≤90时，w1随x的增大而减小， .当x=68时，e1取得最大值6600， .(68-40+m)(-680+900)=6600,解得m=2. 23.解：(1)2±1 (2)①：y=x2-2k.x+4k十5=(x-k)2-k2十4k+ 5,∴.抛物线C2的顶点坐标为(k,一k2十4k十5). 又，C,始终是C。的“伴随抛物线”， ∴.可令k=0,顶点的坐标为(0,5)；k=1,顶点的坐标 为(1,8)，代入y=-x2+dx+e, 得/e5, -1+d+e=8, ∴.d=4,e=5. ②由①，得函数y=一x+4x十5的图象为抛物线 C。,且C2始终是C。的“伴随抛物线”， .抛物线C:的顶点坐标(k,一k2十4k十5)在y= 一x2+4x十5=-(x一2)2+9的图象上滑动，抛物线 C。的顶点坐标为(2,9). 当一x2+4x+5=0时，解得x=一1或5， .抛物线C。与x轴交于(-1,0)，(5,0)两个点. 当抛物线C2的顶点在（一1,0）下方时，抛物线C2与 x轴有两个不同的交点，x1<一1. :C2是C。的“伴随抛物线”，∴C。也是C2的“伴随 抛物线”，即C。的顶点(2,9)在C2上 当抛物线C2的顶点在(5,0)下方时，抛物线C2与x 轴有两个不同的交点，2<x,<5. 综上所述，2<x1<5或x1<-1. 1 【解析】1)：二次函数y=一2(x一2)+m和y 号(x一n)+号的图象都是抛物线y=2的“件 随抛物线”，抛物线y=2x的顶点坐标为(0,0)， 52×2=mn-m=28=士1. 1 第22章学业质量自我评价 1.A2.D3.D4.C5.D 6.D【解析】·AB=2,C是线段AB的黄金分割点， ·AC=51 5AB=后-1度AC=(1-52)AB=8 -5. 7.B【解析】由题意，得△ABCn△A'B'C,AB AB BC OA AB BC-2.AOABAOA'B'OA-B=2.