第十六讲 两条平行线间距离 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦两条平行线间距离，核心内容包括距离公式推导、应用及对称问题，通过转化思想将平行线距离转化为点到直线距离，衔接前置的点到直线距离公式，搭建从基础到综合的学习支架。 资料亮点在于系统梳理10类易错点及7大必考题型，精准突破公式应用前提、对称点漏条件等难点，培养学生数学思维的推理意识与严谨性，提升用数学语言表达距离问题的能力，适合自主学习与课堂教学结合。

第十六讲 两条平行线间距离 【学习目标】1.能将两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离，并会用点到直线距离公式导出两条平行直线间的距离公式； 2.能说明应用公式的前提条件，并能用公式求给定两条平行线间的距离． 【学习重点】两条平行线间距离公式． 【学习难点】直线与直线间距离向点到直线的距离的转化． 必掌握知识点： 1.几种距离 (1) 两点距离公式 平面上的两点间的距离公式. (2) 点到直线的距离公式 点到直线的距离. (3) 两平行直线间的距离 两条平行线与间的距离. 2.对称问题： （1）．点关于点对称的点为． （2）．点关于直线对称 方法：（垂直平分）设点关于直线对称点为， 则，解此关于的方程即可求得． 解得 ， （3）．曲线关于点对称的曲线方程为． （4）．曲线关于直线对称 （1）直线关于直线的对称 ① 若，则，可设对称直线的方程为，然后利用与的距离相等求得． ② 若与相交，其解题步骤为：1）求出交点坐标； 2）再在上找一点，求出这点关于直线的对称点，由两点式写出直线方程。 3.常见的几种对称的特殊情形 （1）点关于原点的对称点为； 曲线关于原点的对称曲线为． （2）点关于轴的对称点为； 曲线关于轴的对称曲线为． （3）点关于轴的对称点为； 曲线关于轴的对称曲线为． （4）点关于直线的对称点为； 曲线关于直线的对称曲线为． （5）点关于直线的对称点为； 曲线关于直线的对称曲线为． （6）点关于直线的对称点为； 曲线关于直线的对称曲线为． （7）点关于直线的对称点为； 曲线关于直线的对称曲线为． （8）点关于直线的对称点为； 曲线关于直线的对称曲线为． （9）点关于直线的对称点为； 曲线关于直线的对称曲线为 圆的六种方程： 4.易错点汇总 （1）平行线距离公式易错（最高频） 使用公式，必须保证两条直线完全相同；很多同学不统一系数直接拿原式的代入，计算结果错误。例：和，先要把第二条变成再计算。 同时要先判断直线不能重合，重合时距离为 0 （2）.点关于直线对称，漏条件 求对称点必须同时满足：①连线垂直；②中点在对称轴上。只写垂直条件，漏掉中点代入方程，直接算错坐标。将军饮马的所有题目，对称点算错整题全错。 （3）.直线关于点对称，误以为直线会相交 直线关于点对称得到的直线一定和原直线平行；如果对称中心落在原直线上，对称后和原直线重合。 （4）.直线关于直线对称分两类，不要混淆平行与相交情形 原直线与对称轴相交：交点一定属于对称后的直线； 原直线与对称轴平行：对称后三条直线互相平行，依靠距离相等计算，不要去求交点（无交点）。 （5）.中位线（距离相等直线）不要算错常数项 到两平行线距离相等直线常数项是，不是。 （6）.将军饮马模型取等条件不检验 算出交点后，要看交点是否在题目给定的直线上；如果是线段上动点，交点落在线段外，要取线段端点作为最值点。 距离之差最大值，取等条件：三点共线，动点在延长线，不是两点中间。 （7）.坐标轴 、原点对称替换错误 关于原点对称是，；只替换忘记替换是常见错误。 （8）.平行条件求参数后不检验重合 由两直线平行解出参数，一定要回代检验，排除两直线重合的解。（37 题） （9）.三角形、几何综合，距离混淆 等腰直角三角形，直角边等于平行线之间距离；斜边不是，审题分清直角边还是斜边。 （10）.直线系方程，斜率不存在的直线漏掉讨论 过交点的直线，用点斜式做题，容易漏掉垂直 x 轴（斜率不存在）的那条直线。 必考题型全归纳： 题型一：两条平行直线间的距离公式 前提：两条直线必须是平行不重合，并且的系数完全对应相等。 直线， 平行线间距离公式： 解题步骤： 先确认两直线平行； 把两条直线化为系数完全相同的一般式； 代入公式计算距离。 拓展：两条平行直线上任意两点之间距离的最小值，就是平行线之间的距离。 1．直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】直线，直线，即， 故两直线平行，则根据平行直线的距离公式. 2．直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 3．若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】∵直线与直线之间的距离为，   ，，或（负值舍去）．． 4．若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意得，解得， 当时，不重合，故，可化为， 所以与的距离为. 题型二：到两条平行线距离相等的直线（中位线直线） 与、距离相等的直线，依然和它们平行，方程为： 性质： 该直线夹在两条平行线中间； 若动点分别在两条平行直线上移动，则动点连线的中点一定落在这条中位线直线上； 中点到原点的最小距离，等价于原点到这条中位线直线的距离。 5．若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析出M的轨迹，再求到原点的距离的最小值. 【详解】由题意可知：M点的轨迹为平行于直线和且到、距离相等的直线l， 因为直线和在轴上的截距分别为， 所以直线l在轴上的截距为，故其方程为：， 故到原点的距离的最小值为.故选：A 6．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】先求出点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原点到直线l的距离即得解. 【详解】依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离． 设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0， 根据平行线间的距离公式得，所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6， 即l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平行线间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 【答案】 【详解】，， 因为，所以到和距离相等的点在这两条直线的中位线上， 设中位线的方程为， 根据平行线间的距离公式可得到的距离为，到的距离为， ，解得，即， 当时，代入可得，即到直线和的距离相等. 8．已知点分别在直线和上，若的中点恰好在直线上，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】先分析两条直线是平行关系，那么中点在两条平行直线等距的直线上，求出那条直线，然后与联立即可求出答案. 【详解】直线与直线是平行关系，所以的中点在两直线等距且平行的直线上，设，因为直线与直线和直线等距，所以， 又因为在直线又在直线上，所以，解得，，即.故答案为：. 题型三：点关于直线对称（将军饮马模型） 求点关于直线的对称点，满足两个条件，缺一不可：，斜率垂直（斜率都存在：）； 的中点在直线上。 将军饮马两类模型： 距离和最小：直线上动点，求最小值，作其中一点的对称点，对称点与另一点连线长即为最小值； 距离差最大：直线上动点，求最大值，取等条件三点共线。 9.古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为.故选：C 10．已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】作出点关于直线的对称点为，数形结合并利用两点距离公式求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，故，所以， 所以，即当三点共线时取得最大值. 故选：D.    11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】求出点关于直线的对称点，利用轴对称性质及两点间线段最短求出最小值. 【详解】设点关于直线的对称点，则，解得，即点，因此，当且仅当为线段与直线的交点时取等号，所以的最小值是4.故选：D 12．已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可得出，于是得出，利用当点为线段与直线的交点时，取最小值即可得解. 【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，即，解得，即， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为.故答案为：.    题型四：直线关于点对称 性质：直线关于点对称，得到的新直线与原直线互相平行； 求法： ① 在原直线上任取两个点； ② 分别求两点关于对称中心的对称点； ③ 两个新点确定对称后的直线； 简易做法：任取原直线一点求对称点，结合平行得到斜率，点斜式写方程。 注意：若对称中心点在原直线上，则对称后直线和原直线重合 13．已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行，即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得.故选：C 14 (多选)．下列说法正确的有（   ） A．点关于直线的对称点为 B．直线关于点的对称直线为 C．经过点，且与直线平行的直线方程是 D．当时，直线与垂直 【答案】ABD 【分析】利用点关于直线的对称的性质求解判断A；利用直线关于点对称直线的求法求解以判断B；利用平行求出斜率，再利用点斜式求出直线方程判断C，利用直线垂直的系数关系判断D. 【详解】对于A，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即点关于直线的对称点为，正确；对于B，设直线上的点，其关于点的对称点为， 所以，则，则，即， 所以直线关于点对称的直线方程是，正确； 对于C，直线的斜率为2，所以所求直线的斜率也是2， 则所求直线为，即，错误； 对于D，当时，， 故直线与垂直，正确；故选：ABD. 15 (多选)．下列说法正确的有（ ） A．直线的倾斜角为 B．点在同一条直线上 C．直线关于点对称的直线方程是 D．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 【答案】BCD 【分析】A先求斜率，进而可得倾斜角；B利用两点的斜率公式即可判断；C求出直线上的点关于点的对称点，确定对称点横纵坐标关系判断；D根据两点式方程的变形进行判断即可. 【详解】对于A，直线的斜率，结合倾斜角范围知，直线倾斜角为，故错误； 对于B，，，显然所在直线的斜率相同且有共同点，则三点共线，故正确； 对于C，设直线上点，其关于点的对称点为， 所以，则，则，即， 所以直线关于点对称的直线方程是，故正确； 对于D，方程为直线两点式方程的变形， 可以表示经过任意两不同点，的直线，故正确.故选：BCD 16．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为______. 【答案】2 【分析】根据直线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，.故答案为：. 题型五：直线关于直线对称 分两种情况： 情况①：两条直线互相平行 与对称轴平行，则对称后的直线也与它们平行；利用平行线之间距离相等列方程求参数。 情况②：两条直线相交 第一步：求原直线和对称轴的交点，交点一定在对称后的直线上； 第二步：在原直线随便取一个点，求该点关于对称轴的对称点； 第三步：交点 + 对称点，两点确定对称后的直线。 17．已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线与直线的交点，再在直线上取点关于直线对称的点为，即，解出，利用点斜式即可求解. 【详解】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得，所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为，故对称直线的方程为，即，故选：B. 18．若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先求得关于直线的对称点，代入点的坐标于的方程，由此可求的值. 【详解】设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以， 又因为在直线上，所以，解得，故选：A. 19．直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 【答案】 【分析】根据已知直线平行，并求出它们的距离，再设所求直线为，根据对称性及平行线的距离公式求参数，即可得. 【详解】由、，显然两条直线平行，且它们的距离，可设所求直线为，则或（舍），所以，所求直线为.故答案为： 20．已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________． 【答案】. 【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为. 【详解】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为，则， 解得，即，将代入的方程得， 所以直线的方程为.故答案为： 题型六：坐标轴、原点对称（特殊直线对称） 关于y 轴对称：点，将原直线方程中替换成； 关于x 轴对称：点，将原直线方程中替换成； 关于原点对称：点，换成，换成。 21．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得，即所求直线的方程为．选：D． 22．与直线关于y轴对称的直线的方程为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点关于y轴对称的点为，利用相关点法求直线方程. 【详解】在所求直线上任取一点，则点关于y轴对称的点为， 可知点在直线上，可得，即， 所以所求直线方程为.故选：A. 题型七：综合题型（直线系、垂直、距离、三角形） 知识点详细说明 直线恒过定点：整理，令参数系数为 0 解方程组； 直线垂直：一般式； 等腰直角三角形：利用平行线距离等于直角边长，求顶点坐标； 直线系：过两直线交点的直线系，结合点到直线距离求直线方程。 23．以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设分析知，方程所得图形关于原点、轴对称且点在图形上，即可得. 【详解】由题设，方程所得图形关于原点、轴对称， 若在图形上，则、、均在图形上， 显然、满足，、不满足， 又图形是对角线在坐标轴上，边长为1的正方形， 所以，点在图形上，故方程为. 故选：D 24(多选)．已知直线，，，以下结论正确的是（    ） A．不论为何值时，与都互相垂直 B．当变化时，与分别经过定点和 C．不论为何值时，与都关于直线对称 D．如果与交于点，则的最大值是 【答案】ABD 【分析】分和两种情况讨论判断A；求出直线所过定点坐标即可判断B；在上任取点，表示出关于直线对称点的坐标，再代入，即可判断 C；求出两直线的交点的坐标，可求出的最大值，即可判断D. 【详解】对于A，如果 ，则，，分别平行于轴和轴，显然； 如果，则，，， 恒成立，故A正确； 对于B，对于直线，当时，恒成立，则过定点； 对于直线，当时，恒成立，则恒过定点，故B正确； 对于C，在上任取点，关于直线对称的点的坐标为， 代入方程知， 当时，则点在上， 当、时不成立，则点不在上， 即与不一定关于直线对称，故C错误； 对于D，联立，解得：，即， ，即的最大值是，故D正确； 故选：ABD． 25．求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程． 【答案】(1)或；(2)或. 【分析】（1）先求两直线的交点，再分斜率存在与不存在两种情况设直线方程，利用点到直线距离公式求解即可； （2）设平行直线方程，利用两平行直线距离公式列方程求参数，即可得所求直线方程. 【详解】（1）由题意，联立，解得，所以两直线的交点为， 当直线的斜率存在时，设的方程为，即， 则点到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为；当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 点到直线的距离为，成立；综上所述，直线的方程为或. （2）因为所求直线与直线平行，所以设所求直线为， 又所求直线到直线的距离为， 所以，解得或， 所以所求直线方程为或. 26．已知等腰直角三角形斜边所在直线过原点，且斜率为，一条直角边所在直线的方程为，且此三角形的面积为，求此直角三角形的直角顶点的坐标. 【答案】或 【分析】根据斜边所在直线方程和三角形面积可求得直角顶点到斜边所在直线的距离，由此可设，利用平行直线间距离公式可求得，解出与交点即为所求直角顶点坐标. 【详解】斜边所在直线过原点，且斜率为，斜边所在直线方程为； 设直角顶点为，到直线的距离为，则，解得：； 设是与直线平行且距离为的直线，则与的交点即为直角顶点， 设，则，解得：； 当时，由得：，； 当时，由得：，； 综上所述：此直角三角形直角顶点的坐标为或. 巩固提升： 1．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故，故选：A 2．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线， 因为，中点为，且， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为即. 故选：D 3．如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意易得AB所在的直线方程为：， 化简可得：. 设点关于直线的对称点， 则，解得，， 点P关于直线AB对称的点为，点P关于y轴对称的点为． 直线MN即直线，则直线MN的方程为，即． 故选：D 4．直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解. 【详解】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D 5．若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】联立，解得，即与l的交点为. 又点在上，设A关于l的对称点为， 则，解得，即，所以直线的斜率， 从而直线的方程为，即.故选：D 6．（多选）已知直线，，以下结论正确的是（    ） A．不论为何值时，与都互相垂直； B．当变化时，与分别经过定点和 C．如果与交于点，则的最大值是 D．不论为何值时，与都关于直线对称 【答案】AC 【分析】根据两直线的方程可判断两直线的位置关系，可判断A选项的正误；求出两直线所过定点的坐标，可判断B选项的正误；判断出、、、四点共圆，利用圆的几何性质可判断C选项的正误；利用直线的对称性可判断D选项的正误. 【详解】解：因为直线，，所以 ， 则不论为何值时，与 都互相垂直，故 A正确； 因为直线，当变化时，直线过定点， 直线 ，当变化时，直线过定点，故 B错误； 如下图所示： 易知，所以，、、、四点共圆，且该圆的直径为， 所以，当为该圆的直径时，取得最大值，C对； 在上任取点，可知点 关于直线 对称的点的坐标为 ， 可知点 不在 上，故D不正确； 故选：AC． 7．（多选）已知两点，点是直线：上的动点，则下列结论中正确的是（    ） A．存在使最小 B．存在使最小 C．存在使最小 D．存在使最小 【答案】ABD 【分析】A：先求关于的对称点，根据与的交点坐标即可判断； B：设出点坐标，根据二次函数的性质求解出取最小值时点坐标； C：结合图示进行分析判断； D：根据绝对值的特点先判断出取最小值时点的位置，然后联立对应直线方程求解出点坐标. 【详解】对于A：设点关于直线的对称点为，所以，所以，所以， 所以，当且仅当为与交点时满足题意， 又因为，即， 所以，所以，所以，故A正确； 对于B：设，所以， 所以，当且仅当时有最小值， 此时，所以，故B正确； 对于C：如下图，根据与的位置关系可判断出有最大值，无最小值，故C错误；    对于D：因为，取等号时，即为垂直平分线与的交点， 因为垂直平分线方程为，即， 所以，所以，所以，故D正确； 故选：ABD. 8．若点关于直线对称，则 ； ． 【详解】依题意，直线的斜率为，线段的中点， 于是，整理得，解得， 所以.故答案为：4；2 9．已知点 在直线 上，点，则当 的周长取得最小值时，点 的坐标为 . 【答案】 【分析】因为为定值，所以当 的周长取得最小值时，即取得最小，转化为“将军饮马”问题，即可求解. 【详解】解：因为为定值，所以当 的周长取得最小值时，即取得最小， 设点关于直线的对称点为，连接交直线于点，此时取得最小，如图所示： 则，解得，得，因为点，故所求点. 故答案为： 10．已知，则的最小值为 10． 【分析】由两点距离公式可将转化为 到，的距离和，先求得关于直线的对称点， 则即为距离和的最小值，由距离公式求即可. 【详解】， 设在直线上，点，， 则，， 则,    如图，关于直线的对称点为，则的最小值即为线段长， 设，则，解得，即， 故， 所以，故答案为： 11．已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. (1)求直线的方程和点C的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)，，(2). 【分析】（1）设点的坐标是，由的中点在直线上，求得点的坐标，再求出点关于直线的对称点即可求得直线的方程，联立方程组求出点坐标. （2）利用两点间距离公式及点到直线距离公式求出三角形面积. 【详解】（1）由点在上，设点的坐标是，则的中点在直线上， 于是，解得，即点， 设关于直线的对称点为，则有，解得，即， 显然点在直线上，直线的斜率为， 因此直线的方程为，即， 由，解得，则点， 所以直线的方程为，点C的坐标为.    （2）由（1）得，点到直线的距离，所以的面积. 12(多选)．下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设与直线平行的直线方程为，，然后由平行直线间的距离公式可得答案. 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，， 由两平行直线间的距离公式可得，解得或， 故所求直线方程为或． 故选：AC 13(多选)．到直线的距离为3且与此直线平行的直线方程有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设出该直线方程后，利用平行线间距离公式计算即可得. 【详解】设该直线为， 则有，化简得，则或， 故该直线为或.故选：AC. 14(多选)．下列说法正确的是（   ） A．若直线不经过第三象限，则 B．方程表示的直线都经过点 C．若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是 D．已知，，点在轴上，则的最小值是5 【答案】BD 【分析】对于A，分和两种情况讨论即可判断，对于B，由，令，解出即可判断，对于C，由，又，解出即可求解，对于D，先求点关于对称点，由，利用两点间距离即可求解. 【详解】对于A，由直线不经过第三象限， 当时，直线不经过第三象限，所以， 当时，直线不经过第三象限，所以， 故A错误； 对于B，由题意有，令，得， 解得，所以方程表示的直线都经过定点，故B正确； 对于C，由，又，所以或，故C错误； 对于D，由关于轴的对称点为，所以，所以的最小值是5，故D正确； 故选：BD. 15(多选)．下列结论错误的是（　　） A．过点的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，点在轴上，则的最小值是6 【答案】ACD 【分析】通过直线斜率、垂直条件、平行直线距离公式、对称点法，分别验证各选项的正确性，确定错误结论. 【详解】选项A： 过点、的直线斜率，倾斜角满足， 而，A选项错误. 选项B： 直线垂直的条件为斜率乘积为. 直线的斜率为， 直线的斜率为，故，解得，B选项正确. 选项C： 将直线化为， 两平行直线距离为，C选项错误. 选项D： 取关于轴的对称点， 的最小值为，D选项错误. 故选：ACD 16．平行直线与之间的距离为__________. 【答案】 【分析】利用两平行线间距离公式计算即可得. 【详解】. 17．平行线与之间的距离为________． 【答案】 【分析】利用两条平行线间的距离公式即可求出答案. 【详解】由题设，两直线平行，故它们的距离. 18．若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 【答案】 【分析】题空1：根据两直线平行的系数关系，可建立关于的方程并求解； 题空2：利用两平行直线间的距离公式计算最小值. 【详解】题空1：两条直线平行的条件是：对于，， 平行满足，且不重合，代入得：， 解得，验证，两直线不重合，故. 题空2：两平行直线上任意两点距离的最小值，就是两平行线之间的距离. 先将直线化为同系数形式：， 根据平行线距离公式可得：， 即的最小值为. 19．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，试写出满足条件的一个实数的值：__________________. 【答案】，，（只需写出其中一个值即可） 【分析】化简得到，然后根据情况，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由已知得，明显地，，整理得，又由， 看成有且仅有三条直线满足，和到直线：（不过原点）的距离均为， 由， （1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线， 以及与直线平行的两条直线和 （2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等， 注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去， 设点到的距离为， ①作为增根被舍去的直线，过原点和的中点，其方程为， 此时，，符合； ②作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为， 此时，，符合； 综上，满足题意的实数为，，； 故答案为：，，. 20．若直线与直线间的距离为1，则__________. 【答案】6或 【分析】由平行线间距离公式即可求解. 【详解】直线化为， 根据平行线间的距离公式：， 解得：或.故答案为：6或-14 21．已知点在轴上，在直线上，，则的周长的最小值为_____． 【答案】 【分析】利用对称性变换，再结合两点之间线段最短，即可得最小值. 【详解】 作点关于直线的对称点为， 再作点关于轴的对称点为， 由的周长， 因为， 所以的周长, 故答案为： 22．已知直线：和，若直线上存在点P使得最小，则最小值为___________. 【答案】 【分析】利用对称关系求出点关于直线的对称点为，则最小值为之间的距离. 【详解】因为在直线同侧， 点关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，得最小值为. 答案为： 23．在平面直角坐标系中，若直线l与直线关于直线对称，则直线l的方程为______. 【答案】 【分析】直接根据点的对称变换可得对称直线的方程. 【详解】设直线上任意一点坐标为，它关于直线的对称点坐标为， 该对称点在原直线上，代入得： ， 整理得直线的方程：. 24．已知直线和. (1)若，求实数的值； (2)当时，求直线与之间的距离. 【答案】(1) 或 (2) 【详解】（1）因为，故，故或. （2）因为，故，即，故或， 若，则，，此时与重合， 故，故，即， 故直线与之间的距离. 25．已知直线（其中）． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求它们之间的距离． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）借助两直线垂直性质计算即可得； （2）借助两直线平行性质计算可得，再利用两平行线间距离公式计算即可得. 【详解】（1）由直线与直线垂直，可得，解得， 将代入直线方程中，化简可得直线方程为； （2）由直线与直线平行，可得，解得， 将代入直线方程中，化简可得直线方程为， 设直线与直线间的距离为，由平行线间的距离公式可得： ， 即直线与直线间的距离为. 26．已知三条直线：，：，：，且与间的距离是. (1)求的值； (2)求过直线与的交点，且垂直于的直线方程； (3)求与平行且到，距离相等的直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将方程化为，利用两平行线距离公式列式求解即可； （2）先联立方程求得直线与的交点，然后利用垂直关系设所求直线方程为，将点的坐标代入计算即可； （3）由题可设所求直线方程为，利用平行线距离列式求得，即可得解. 【详解】（1）因为：，：， 所以与间的距离为， 即，因为，所以，解得； （2）由直线与的方程联立方程组，解得. 即两直线的交点坐标为， 设所求直线方程为，代入得解得， 故所求的直线方程为，即. （3）直线：，：， 由题可设所求直线方程为，则有， 所以，所以，解得， 故所求的直线方程为，即. 27．求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为3，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）设出过交点的直线系方程为为，结合点的直线距离列方程求参数，即可得； （2）根据平行关系设直线为，利用点线距离列方程求参数，即可得. 【详解】（1）设经过两直线交点的直线系方程为，即， ∵点到的距离为3，∴，即， ，或，直线的方程为或； （2）设所求直线方程为， 所求直线到直线的距离为， ，所以或， 所求直线方程为或. 28．已知直线与关于直线对称，求直线的方程. 【答案】 【分析】由直线斜率得与直线平行，由两条平行线距离公式得与直线间的距离，由对称关系得与平行和与距离，接着设直线方程，依据与距离列式求解并检验即可得解. 【详解】易知，所以与直线平行， 与直线间的距离为， 又因为与关于直线对称， 所以与平行，且两直线间的距离为， 设直线，所以，解得或， 当时，直线与直线间的距离为， 即直线与关于直线不对称； 当时，直线与直线间的距离为，符合， 所以. 29．已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）由于，所以，可设的方程为，在直线上取点，求出点关于直线的对称点，代入方程，即得解； （2）与的交点坐标为也在上，另取上不同于的一点，求出关于的对称点为，利用两个点坐标求出直线方程，即得解 【详解】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 30．已知直线与. （1）若、两点分别在直线、上运动，求的中点到原点的最短距离； （2）若，直线过点，且被直线、截得的线段长为，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】（1）的中点的运动轨迹为与、平行且在它们中间的直线得其斜率，再求两直线在y轴中点的坐标可得答案.   （2）设的直线方程，分别于、联立，解得交点坐标，再利用两点之间的距离公式可得斜率，然后根据点斜式方程求得答案. 【详解】（1）因为、两点分别在直线、上运动， 所以的中点的轨迹为与、平行且在它们中间的直线， 设其方程为， 、与y轴的交点分别为、，两点的中点为， 且中点在直线，所以，所以， 的中点到原点的最短距离即为原点到直线的距离，为. （2）过点且与x轴垂直的直线方程为， 与、的交点为和，两点之间的距离为不符合题意， 所以设的斜率为，直线方程为， 由直线与 即，交点为为， 由直线与 即，交点为 所以两交点之间的距离为， 解得，或， 所求直线方程为，或， 即或. 【点睛】本题考查两条直线的位置关系，两条平行直线之间的距离的问题. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六讲 两条平行线间距离 【学习目标】1.能将两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离，并会用点到直线距离公式导出两条平行直线间的距离公式； 2.能说明应用公式的前提条件，并能用公式求给定两条平行线间的距离． 【学习重点】两条平行线间距离公式． 【学习难点】直线与直线间距离向点到直线的距离的转化． 必掌握知识点： 1.几种距离 (1) 两点距离公式 平面上的两点间的距离公式. (2) 点到直线的距离公式 点到直线的距离. (3) 两平行直线间的距离 两条平行线与间的距离. 2.对称问题： （1）．点关于点对称的点为． （2）．点关于直线对称 方法：（垂直平分）设点关于直线对称点为， 则，解此关于的方程即可求得． 解得 ， （3）．曲线关于点对称的曲线方程为． （4）．曲线关于直线对称 （1）直线关于直线的对称 ① 若，则，可设对称直线的方程为，然后利用与的距离相等求得． ② 若与相交，其解题步骤为：1）求出交点坐标； 2）再在上找一点，求出这点关于直线的对称点，由两点式写出直线方程。 3.常见的几种对称的特殊情形 （1）点关于原点的对称点为； 曲线关于原点的对称曲线为． （2）点关于轴的对称点为； 曲线关于轴的对称曲线为． （3）点关于轴的对称点为； 曲线关于轴的对称曲线为． （4）点关于直线的对称点为； 曲线关于直线的对称曲线为． （5）点关于直线的对称点为； 曲线关于直线的对称曲线为． （6）点关于直线的对称点为； 曲线关于直线的对称曲线为． （7）点关于直线的对称点为； 曲线关于直线的对称曲线为． （8）点关于直线的对称点为； 曲线关于直线的对称曲线为． （9）点关于直线的对称点为； 曲线关于直线的对称曲线为 圆的六种方程： 4.易错点汇总 （1）平行线距离公式易错（最高频） 使用公式，必须保证两条直线完全相同；很多同学不统一系数直接拿原式的代入，计算结果错误。例：和，先要把第二条变成再计算。 同时要先判断直线不能重合，重合时距离为 0 （2）.点关于直线对称，漏条件 求对称点必须同时满足：①连线垂直；②中点在对称轴上。只写垂直条件，漏掉中点代入方程，直接算错坐标。将军饮马的所有题目，对称点算错整题全错。 （3）.直线关于点对称，误以为直线会相交 直线关于点对称得到的直线一定和原直线平行；如果对称中心落在原直线上，对称后和原直线重合。 （4）.直线关于直线对称分两类，不要混淆平行与相交情形 原直线与对称轴相交：交点一定属于对称后的直线； 原直线与对称轴平行：对称后三条直线互相平行，依靠距离相等计算，不要去求交点（无交点）。 （5）.中位线（距离相等直线）不要算错常数项 到两平行线距离相等直线常数项是，不是。 （6）.将军饮马模型取等条件不检验 算出交点后，要看交点是否在题目给定的直线上；如果是线段上动点，交点落在线段外，要取线段端点作为最值点。 距离之差最大值，取等条件：三点共线，动点在延长线，不是两点中间。 （7）.坐标轴 、原点对称替换错误 关于原点对称是，；只替换忘记替换是常见错误。 （8）.平行条件求参数后不检验重合 由两直线平行解出参数，一定要回代检验，排除两直线重合的解。（37 题） （9）.三角形、几何综合，距离混淆 等腰直角三角形，直角边等于平行线之间距离；斜边不是，审题分清直角边还是斜边。 （10）.直线系方程，斜率不存在的直线漏掉讨论 过交点的直线，用点斜式做题，容易漏掉垂直 x 轴（斜率不存在）的那条直线。 必考题型全归纳： 题型一：两条平行直线间的距离公式 1．直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 2．直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 4．若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 题型二：到两条平行线距离相等的直线（中位线直线） 5．若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 7．写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 8．已知点分别在直线和上，若的中点恰好在直线上，则点的坐标为___________． 题型三：点关于直线对称（将军饮马模型） 9.古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 10．已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 12．已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 题型四：直线关于点对称 13．已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 14 (多选)．下列说法正确的有（   ） A．点关于直线的对称点为 B．直线关于点的对称直线为 C．经过点，且与直线平行的直线方程是 D．当时，直线与垂直 15 (多选)．下列说法正确的有（ ） A．直线的倾斜角为 B．点在同一条直线上 C．直线关于点对称的直线方程是 D．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 16．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为______. 题型五：直线关于直线对称 17．已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 18．若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 19．直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 20．已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________． 题型六：坐标轴、原点对称（特殊直线对称） 21．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 22．与直线关于y轴对称的直线的方程为（   ）. A． B． C． D． 题型七：综合题型（直线系、垂直、距离、三角形） 23．以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为（    ）． A． B． C． D． 24(多选)．已知直线，，，以下结论正确的是（    ） A．不论为何值时，与都互相垂直 B．当变化时，与分别经过定点和 C．不论为何值时，与都关于直线对称 D．如果与交于点，则的最大值是 25．求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程． 26．已知等腰直角三角形斜边所在直线过原点，且斜率为，一条直角边所在直线的方程为，且此三角形的面积为，求此直角三角形的直角顶点的坐标. 巩固提升： 1．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 2．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（    ）    A． B． C． D． 4．直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知直线，，以下结论正确的是（    ） A．不论为何值时，与都互相垂直； B．当变化时，与分别经过定点和 C．如果与交于点，则的最大值是 D．不论为何值时，与都关于直线对称 7．（多选）已知两点，点是直线：上的动点，则下列结论中正确的是（    ） A．存在使最小 B．存在使最小 C．存在使最小 D．存在使最小 8．若点关于直线对称，则 ； ． 9．已知点 在直线 上，点，则当 的周长取得最小值时，点 的坐标为 . 10．已知，则的最小值为    11．已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. (1)求直线的方程和点C的坐标； (2)求的面积． 12(多选)．下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 13(多选)．到直线的距离为3且与此直线平行的直线方程有（    ） A． B． C． D． 14(多选)．下列说法正确的是（   ） A．若直线不经过第三象限，则 B．方程表示的直线都经过点 C．若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是 D．已知，，点在轴上，则的最小值是5 15(多选)．下列结论错误的是（　　） A．过点的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，点在轴上，则的最小值是6 16．平行直线与之间的距离为__________. 17．平行线与之间的距离为________． 18．若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 19．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，试写出满足条件的一个实数的值：__________________. 20．若直线与直线间的距离为1，则__________. 21．已知点在轴上，在直线上，，则的周长的最小值为_____． 22．已知直线：和，若直线上存在点P使得最小，则最小值为___________. 23．在平面直角坐标系中，若直线l与直线关于直线对称，则直线l的方程为______. 24．已知直线和. (1)若，求实数的值； (2)当时，求直线与之间的距离. 25．已知直线（其中）． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求它们之间的距离． 26．已知三条直线：，：，：，且与间的距离是. (1)求的值； (2)求过直线与的交点，且垂直于的直线方程； (3)求与平行且到，距离相等的直线的方程. 27．求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为3，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程. 28．已知直线与关于直线对称，求直线的方程. 29．已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 30．已知直线与. （1）若、两点分别在直线、上运动，求的中点到原点的最短距离； （2）若，直线过点，且被直线、截得的线段长为，求直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $