湖南衡阳市衡阳县第五中学2026-2027学年高三上学期开学数学试题

**基本信息** 高三开学考数学卷覆盖高考全内容，基础题（如集合、复数）与创新题（如“自导函数”新定义）结合，考查数学抽象、逻辑推理等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、二项式定理等|基础巩固，注重概念辨析| |多选|3/18|统计、圆与圆位置关系等|数据分析与空间想象结合| |填空|3/15|解三角形、导数几何意义等|几何直观与运算能力并重| |解答|5/77|数列、概率、立体几何、圆锥曲线、新定义函数|综合性强，如概率题结合比赛情境（模型观念），新定义题考查创新思维|

衡阳县五中2026-2027学年上学期开学考试卷 高三·数学 满分：150分 考试时间：120分钟 考试范围：高考全部内容 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.已知复数z满足，则( ) A. B. C. D.2 3.在的展开式中，常数项的二项式系数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 4.已知向量a，b满足，，则( ) A. B. C.0 D.1 5.若关于x的不等式在上有解，则实数m的取值范围为( ) A. B. C. D. 6.双曲线（，）的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且，则双曲线C的离心率为( ) A. B.2 C. D.3 7.已知命题是减函数，命题q：函数有两个零点，则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的外接球的表面积的数值与三棱锥的体积的数值的比值为( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.某汽车制造厂分别从A，B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个轮胎可使用的最远路程（单位：）. A类轮胎：94，96，99，99，105，107； B类轮胎：95，95，98，99，104，109 根据以上数据估计这两类轮胎的总体情况，下列说法正确的是( ) A.A类轮胎行驶的最远路程的众数大于B类轮胎行驶的最远路程的众数 B.A类轮胎行驶的最远路程的极差小于B类轮胎行驶的最远路程的极差 C.A类轮胎行驶的最远路程的平均数大于B类轮胎行驶的最远路程的平均数 D.A类轮胎的性能更加稳定 10.若圆和圆有且仅有一条公切线，则下列结论正确的是( ) A.圆与圆内切 B. C.公切线l的方程为 D.公切线l的方程为 11.函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是( ) A. B.函数的图象关于点对称 C.函数的图象关于直线对称 D.函数在区间上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S.若，则_________. 13.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的一般式方程是__________. 14.已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上的点，点Q为其准线上的点，且满足.若，则的面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 16.（15分）同学A参加学校举办的数学比赛活动，比赛规则是：该同学每轮比赛都需要回答2道“圆锥曲线”和2道“空间向量与立体几何”相关的题目.在每一轮比赛中，若答对题目不少于3题，则可以晋级1次.已知该同学答对每道“圆锥曲线”和“空间向量与立体几何”题的概率分别为，. （1）若，，求在第一轮比赛结束时，同学A可以晋级的概率. （2）若，且每轮比赛互不影响，每道题答对与否相互独立，如果同学A在此次数学比赛活动中晋级次数的期望为9，那么理论上他至少要进行多少轮比赛？ 17.（15分）如图，在三棱柱中，AE与BD相交于点O，G为CF的中点. （1）求证：平面GED. （2）若O为点C在平面ABED内的射影，，求二面角的余弦值. 18.（17分）已知右焦点为的椭圆过点. （1）求C的方程. （2）若点M在C上，点N为圆3上一点，求的最大值. （3）过点F的直线l与C交于点A，B，与抛物线交于点P，Q，是否存在常数m，使得为定值？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 19.（17分）函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数c为常数）.已知函数与定义域都是R，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；若且，则称与是“共轭互导函数”. （1）请判断函数（，）是不是“自导函数”，并说明理由. （2）若函数是“自导函数”，且满足，求证：. （3）若函数与是“共轭互导函数”，满足，，求证：，进而证明且. 高三·数学答案 1.答案：B 解析：由题得，，则，故选B. 2.答案：C 解析：法一：由题意得，所以，故选C. 法二：由题意得，故，故选C. 3.答案：A 解析：的展开式的通项为，，，由，得，则的展开式的常数项是第2项，所以常数项的二项式系数为. 4.答案：B 解析：由，，两式相加得，所以，所以，所以. 5.答案：C 解析：关于x的不等式在上有解，即在上有解，设，，，，因为，所以，，所以，恒成立，即在上单调递增，所以，所以. 6.答案：D 解析：如图，双曲线C的左焦点为，渐近线的方程为0，不妨令点D在上. 由点到直线的距离公式可得， 由勾股定理得. 在中，，则， 在中，，，， 则， 由余弦定理得，整理得，即.所以双曲线C的离心率.故选D. 7.答案：B 解析：由函数是减函数，得，即.由，得，则直线与函数的图象有两个交点.当时，作出直线与函数的图象，如图1.若直线与函数的图象有两个交点，则，解得. 当时，作出直线与函数的图象，如图2.因为，所以直线与函数的图象只有一个交点，不符合题意.综上，，所以p是q的必要不充分条件. 8.答案：D 解析：取AD的中点O，连接OB，OC，因为平面，平面BCD，所以，，又因为，所以，，因为，，，平面ABC，所以平面ABC，又因为平面ABC，所以，所以，所以，所以O为三棱锥的外接球的球心，设外接球的半径为R，则，所以外接球的表面积，三棱锥的体积，故.故选D. 9.答案：ABD 解析：A类轮胎行驶的最远路程的众数为99，B类轮胎行驶的最远路程的众数为95，A正确；A类轮胎行驶的最远路程的极差为13，B类轮胎行驶的最远路程的极差为14，B正确；A类轮胎行驶的最远路程的平均数为，B类轮胎行驶的最远路程的平均数为，C错误；A类轮胎行驶的最远路程的方差为，B类轮胎行驶的最远路程的方差为，因为，所以A类轮胎的性能更加稳定，D正确. 10.答案：ABD 解析：圆与圆有且仅有一条公切线l，则两圆内切，A正确.圆的圆心为，半径为，圆，即，圆心为，半径为.如图，由圆与内切，得，又，所以，解得，B正确.，，两圆方程作差，得，即，故两圆的公切线方程为，C错误，D正确. 11.答案：ABD 解析：函数，由题图可知，此时，，，.因为，所以，所以，故A正确；，所以关于点对称，故B正确；函数的图象向左平移个单位长度后得到，，当时，，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；，当时，，所以函数在区间上单调递减，故D正确.故选ABD. 12.答案： 解析：，，且，，则.又，. 13.答案： 解析：把代入，解得，即，由的斜率为2，得到.，，即所求切线的斜率为6，又，即所求直线与的切点坐标为，则所求切线的方程为，即. 14.答案： 解析：由题可知抛物线的焦点为，准线方程为，点P为抛物线上的点，且，设点P横坐标为，则由抛物线的定义可知，解得， 将代入抛物线方程中，解得，由对称性不妨取，设， 则，.因为，所以，解得，即，所以，所以的面积. 15.答案：（1） （2） 解析：（1）已知，当时，，故； 当时，，，则. 又，数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 故得，整理得. （2）由（1）知，，. ①， ②， 由得， . 16.答案：（1） （2）16轮 解析：（1）第一轮结束时，同学A可以晋级，即同学A答对3道题或答对4道题， 所以所求概率为. （2）同学A在一轮比赛中晋级的概率为 ， 由于，，，因此， 故. 令，，则， 当时，可得. 又同学A在n轮比赛中晋级的次数， 由，得，所以， 又，所以， 故如果晋级次数的期望为9，那么他理论上至少要进行16轮比赛. 17.答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）如图1，取DE的中点M，连接OM，GM，在中，，.又G为CF的中点，所以，，所以，.所以四边形OMGC为平行四边形，所以， 又平面，平面GED，所以平面GED. （2）因为O为点C在平面ABED内的射影，所以平面ABED，所以，，又，所以平行四边形ABED为菱形，所以. 以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 所以，. 设平面BCE的一个法向量为， 则即令，则，，所以. 易知为平面ACE的一个法向量， 设二面角的大小为，显然为锐角， 于是， 故二面角的余弦值为. 18.答案：（1） （2） （3）存在 解析：（1）由题意得解得 所以C的方程为. （2）设，由题意知，， 则，， 所以， 因为，所以当时，， 所以. （3）由题意得直线l的倾斜角不为0， 故设直线l的方程为， ，，，. 联立消去x并整理，得， 所以，，. 所以. 联立消去x并整理，得， 所以，，， 所以. 所以， 若为定值，则，即， 所以存在，使得为定值. 19.答案：（1）当时，是“自导函数”；当时，不是“自导函数”；理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 解析：（1）对求导，得. 若是“自导函数”，则，即， 因为，所以. 故当时，是“自导函数”；当时，不是“自导函数”. （2）因为函数是“自导函数”， 所以，则， 令，求导得 ，由题干条件可知（实数c为常数）， 又，所以，故，于是. （3）设， 由复合函数求导法则得， 因为函数与是“共轭互导函数”， 所以且， 于是， 故（实数c为常数），而， 所以. 下证且； 首先容易验证和是一对满足条件的“共轭互导函数”，再证明满足条件的函数只有和. 假设除了和外，还存在满足条件的一对“共轭互导函数”和，即且， 同时满足，，令， 则 ， 于是（实数为常数），又，所以，即①， 同理令， 则， 于是（实数为常数），又，所以，即②， 由①②可得，，与假设矛盾，由此知，满足条件的“共轭互导函数”只有一对， 所以且. 学科网（北京）股份有限公司 $