第27章反比例函数课前预习单2026-2027学年人教版九年级上册数学

**基本信息** 课前预习单聚焦反比例函数概念、图象性质及实际应用，通过概念拆解与阶梯练习，培养抽象能力、推理意识和模型意识，实现从知识理解到简单应用的过渡。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |概念识记|反比例函数定义、形式及图象画法|概念填空（如三种表达式填写），夯实基础| |概念辨析|函数类型判断、k值与图象关系|选择判断题（如函数类型识别），强化推理| |简单应用|待定系数法及实际问题建模|解答题（如矩形面积、路程问题），发展模型意识|

第27章 反比例函数 课前预习单 27.1 反比例函数的概念 课前预习单 1.理解反比例函数的概念，能准确判断一个函数是否为反比例函数； 2.掌握反比例函数的三种常见形式，会求反比例函数解析式中的待定系数； 3.会用待定系数法求反比例函数的解析式，能正确写出自变量的取值范围。 对照课本自主完成 1. 反比例函数的概念 一般地，形如 （k为常数，）的函数叫作反比例函数，其中x是 ，其取值范围是不等于0的一切实数。 概念拆解理解： 三个必备条件，缺一不可： ① 形如 （k为常数，），等号右边是分式，分母中含有自变量x； ② 比例系数k≠0，自变量x的次数为-1； ③ 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 2. 反比例函数的常见形式 ① （k为常数，）——分式形式； ② （k为常数，）——x的指数为-1； ③ （k为常数，）——积为定值形式。 3. 用待定系数法求反比例函数的解析式 在反比例函数 （k为常数，）中，只有一个待定系数k，因此只要给出 x、y的对应值，就可以求出待定系数k的值，从而确定反比例函数的解析式。 1.判断反比例函数三步法 ① 看分母：等号右边是分式，分母中只含自变量x，且x的次数为1； ② 看系数：比例系数k为常数且k≠0； ③ 看形式：能化为 或 的形式。 2.反比例函数注意点 ① 中，x与y的值均不为0； ② 反比例函数可等价变形为 或 的形式； ③ 判断一个函数是否为反比例函数，关键看能否化为 （）的形式。 3.待定系数法求解析式的步骤： 设——设解析式为 ； 代——把一组x、y的对应值代入； 求——求出待定系数k的值； 写——写出反比例函数的解析式。 课前简单练习 1.下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2.下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3.反比例函数 中，比例系数 k= ，自变量x的取值范围是 。 4.已知反比例函数 的图象经过点（2，-3），则 k= 。 5.若函数 是反比例函数，则 m= 。 6.已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6。求这个反比例函数的解析式，并写出自变量x的取值范围。 预习中不懂的知识点、题目，上课重点听讲： 参考答案 基础概念·识记答案 1. ；自变量 2. ① ；② ；③ 3. 一对 课前练习·自测答案 1.B 2.A 3. k=6；x≠0的一切实数 4. k=-6 5. m=-1 6.解：设反比例函数的解析式为 ，把x=2，y=6代入，得 ，解得k=12，所以 。自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 27.2 反比例函数的图象和性质 课前预习单 1.理解反比例函数图象的画法，会通过列表、描点、连线画出反比例函数的图象； 2.掌握反比例函数的图象与性质，能根据k的符号判断图象所在象限与增减性； 3.会利用反比例函数的图象与性质，进行识图、判断点是否在图象上等简单应用。 对照课本自主完成 1. 反比例函数图象的画法 ①列表——写出几组x与y的对应值； ②描点——以表中各组对应值为 ，在平面直角坐标系中描出相应的点； ③连线——用 顺次连接描出的点，就得到函数的图象。 2. 反比例函数的图象 反比例函数 （k为常数，）的图象是 ，它由两条曲线组成。 k>0： k<0： 图象位置：当k>0时，图象位于 象限；当k<0时，图象位于 象限。 3. 反比例函数的性质 增减性：在每一个象限内，当k>0时，y随x的增大而 ；当k<0时，y随x的增大而 。 对称性：反比例函数的图象既是 图形，又是 图形，对称中心是 ，对称轴是直线和。 1.由k的符号判断图象位置与增减性 ① k>0时，图象位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小； ② k<0时，图象位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。 2.反比例函数图象注意点 ① 图象是双曲线，无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交； ② 说增减性必须强调“在每一个象限内”，不能跨象限比较大小； ③ 图象关于原点中心对称，也关于直线、轴对称。 3.点与图象的关系 ① 若点（a，b）在反比例函数图象上，则，即； ② 已知图象所在象限可判断k的符号：图象在第一、三象限则k>0，在第二、四象限则k<0。 课前简单练习 1.反比例函数 的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 2.下列各点中，在反比例函数 的图象上的是（ ） A. （-2，3） B. （2，3） C. （3，2） D. （1，6） 3.反比例函数 的图象经过点（2，a），则 a= 。 4.反比例函数 的图象位于 象限，在每个象限内y随x的增大而 。 5.若反比例函数 的图象位于第一、三象限，则m的取值范围是 。 6.已知反比例函数 的图象经过点（3，-2），求该反比例函数的解析式，并说明图象位于哪些象限。 预习中不懂的知识点、题目，上课重点听讲： 参考答案 基础概念·识记答案 1. 坐标；光滑的曲线 2. 双曲线；第一、三；第二、四 3. 减小；增大；中心对称；轴对称；原点 课前练习·自测答案 1.A 2.A 3. 2 4. 第二、四象限；增大 5. 6.解：把（3，-2）代入 ，得 k=3×（-2）=-6，所以 。因为k=-6<0，所以图象位于第二、四象限。 27.3 实际问题与反比例函数 课前预习单 1.了解实际问题中常见的反比例关系，能根据题意列出反比例函数解析式； 2.会利用反比例函数解决简单的实际问题，体会数学建模思想； 3.能根据实际问题的意义，确定函数自变量的取值范围并检验结果是否合理。 对照课本自主完成 1. 实际问题中常见的反比例关系 路程型：当路程s一定时，时间t与平均速度v成反比例，即 （s是常数）； 矩形：当矩形面积S一定时，一边长a与该边的邻边长b成反比例，即 （S是常数）； 三角形：当三角形面积S一定时，一边a与该边上的高h成反比例，即 （S是常数）； 做功型：当功W一定时，力F与物体在力F方向上移动的距离s成反比例，即 （W是常数）； 压强型：当压力F一定时，压强p与受力面积S成反比例，即 （F是常数）； 电流型：当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例，即 （U是常数）； 当电功率P一定时，电压U与电流I成反比例，即 （P是常数）。 2. 用反比例函数解决实际问题的一般步骤 ① 审——审清题意，找出题目中的等量关系； ② 设——设出未知数（变量），列出关系式； ③ 代——代入已知数值，确定反比例函数的解析式； ④ 解——利用解析式解决问题，并检验结果是否符合实际意义。 1.判断实际问题中的函数类型 ① 两个变量的乘积为定值，即（k≠0）时，两变量成反比例关系； ② 当路程s、面积S、功W、压力F、电压U、电功率P等为常数时，对应的两个变量成反比例。 2.求函数解析式与确定自变量取值范围 ① 用待定系数法：把一组对应值代入 ，求出k的值； ② 自变量的取值范围要结合实际问题确定，一般取正数（如时间、体积、压强、速度等均大于0）。 3.利用图象与性质解决实际问题 ① 结合图象，根据自变量的取值范围确定对应函数值的范围； ② 注意实际问题的边界条件，对计算结果进行合理性检验。 课前简单练习 1.矩形的面积为6 cm²，它的长y（cm）与宽x（cm）之间的函数解析式为 ，自变量x的取值范围是 。 2.A、B两地相距240 km，汽车从A地开往B地，其行驶时间t（h）与平均速度v（km/h）之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. t=240+v 3.在闭合电路中，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例，当R=5时，I=2，则I关于R的函数解析式为 。 4.已知反比例函数的图象经过点（2，-4），则该函数的解析式为 。 5.一蓄水池的排水管每小时排水8 m³，6 h可将满池水全部排空。 （1）求满池水的体积； （2）若每小时排水量为Q（m³/h），排空所需时间为t（h），求t关于Q的函数解析式； （3）若要求不超过4 h将满池水排空，则每小时排水量至少为多少？ 6.三角形的面积为12，底边长为a，底边上的高为h，则h关于a的函数解析式为 。 预习中不懂的知识点、题目，上课重点听讲： 参考答案 基础概念·识记答案 1. ；；；；；； 2. ①审题；②设未知数；③代入求解析式；④解并检验。 课前练习·自测答案 1. ；x>0 2.A 3. 4. 5.解：（1）8×6=48（m³）。 （2）由题意得 Q·t=48，所以 （Q>0）。 （3）当t≤4时，≤4，解得Q≥12，所以每小时排水量至少为12 m³。 6. 学科网（北京）股份有限公司 $