27.2 反比例函数的图象和性质课前预习2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦反比例函数图象与性质，以题载法构建“概念-性质-应用”逻辑链，渗透抽象能力与几何直观 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-3、填空15|k符号判定象限，解析式确定方法|从k值抽象到图象分布，形成概念认知| |性质应用|单选4-5、填空11-13|增减性比较，k几何意义（矩形面积）|结合函数性质推导数量关系，发展推理意识| |综合拓展|解答16-20|函数与几何综合，实际问题建模|整合函数、几何与实际情境，培养应用意识|

27.2 反比例函数的图象和性质 课前预习2026-2027学年 人教版九年级数学上册 一、单选题 1．反比例函数 的图像所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 2．反比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．不存在 4．下列函数中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知矩形，，，函数的图象经过矩形对角线交点，交于，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．反比例函数与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 8．已知正比例函数与反比例函数，它们的图象的共同特征是（    ） A．这两个函数的图象都在第一象限与第三象限； B．当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐增大； C．当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐减小； D．点（，）与点（，）皆为这两个函数图象的公共点． 9．若反比例函数的图象经过点，则下列结论中不正确的是（    ） A．点位于第二或四象限 B．图象一定经过 C．在每个象限内，随的增大而减小 D．图象一定经过 10．若点在反比例函数（）的图象上，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．观察表格，如果x与y成正比例，那么m的值为 ___________________；如果x与y成反比例，那么m的值为 _____． x 4 m y 6 8 12．已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 13．如图，P是反比例函数图象上第二象限内的一点，且矩形PEOF的面积为4，则反比例函数的解析式是______． 14．已知，正比例函数（为常数，）与反比例函数的图像相交于点、，则的值为________． 15．已知反比例函数的图像经过点，则这个函数的图像位于第________象限． 三、解答题 16．已知在中，边BC的长为x，边BC上的高为y，的面积为6． (1)y与x的函数解析式为________，x的取值范围是________； (2)请在图中，画出该函数的图象； (3)若，是图象上的两个点，且，试判断，的大小． 17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象上与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点是轴上一点，且，求点坐标． 18．人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，已知视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数，当车速为时，视野为80度． (1)求与之间的函数关系式； (2)求当车速为时，视野的度数． 19．在直角坐标系内，反比例函数的图象过点． (1)若，求证：． (2)若，，，求该函数的表达式． 20．阅读理解：有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究、下面是小明探究的过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是：___________ (2)下表是y与x的几组对应值：则m的值为：___________ x … 0 1 2 4 5 6 7 8 … y … m 0 3 2 … (3)如图所示，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象； (4)观察图象，写出该函数的一条性质：___________ (5)若函数的图象上有三个点且，则间的大小关系为：___________ ． （用“<”连接） 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B A B B C D C A 1．【答案】C 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数的图像，反比例函数的图像位置由系数k的符号决定，时图像在第一、三象限，时图像在第二、四象限． 根据作答即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴其图像在第一、三象限． 故选：C． 2．【答案】A 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数的比例系数包括前面的符号是解题的关键．根据反比例函数图象的性质并结合其比例系数解答即可． 【详解】解：， 此函数图象在二、四象限， 故选：A． 3．【答案】B 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题主要考查反比例函数性质，结合题意得，解不等式即可求出． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴ ∴ 故选：B． 4．【答案】A 【知识点】判断一次函数的增减性、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的增减性，根据函数性质逐一判断时随的变化趋势，即可选出符合要求的选项． 【详解】解：、由知， ∴图象位于第一、三象限， ∴当时，函数值随的增大而减小，符合题意； 、由知， ∴随的增大而增大，不符合题意； 、由知， ∴随的增大而增大，不符合题意； 、由知， ∴图象位于第二、四象限， ∴当时，函数值随的增大而增大，不符合题意． 5．【答案】B 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．先判断四边形是矩形，得出，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解∶∵轴， 轴，轴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选∶B． 6．【答案】B 【知识点】反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了反比例函数的综合题，矩形的性质和用待定系数法求反比例函数的解析式． 先求得对角线的交点坐标，再求得反比例函数的解析式，求出点的坐标，即可得出的值． 【详解】解：四边形为矩形， 对角线的交点坐标， 反比例函数的解析式为， 点是与的交点， ， ． 故选：B． 7．【答案】C 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查二次函数图象与反比例函数图象的综合判定，根据二次函数图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：A、由二次函数图象开口向上，可得，由二次函数图象与y轴交点位于y轴的负半轴，可得，两者矛盾，故此选项错误； B、由二次函数图象开口向下 ，可得，由反比例函数图象位于第一、三象限，可得，两者矛盾，故此选项错误； C、由二次函数图象开口向上，可得，由二次函数图象与y轴交点位于y轴的正半轴，可得，由反比例函数图象位于第一、三象限，可得，符合要求，故此选项正确； D、由二次函数图象开口向下 ，可得，由二次函数图象与y轴交点位于y轴的正半轴，可得，两者矛盾，故此选项错误； 故选C． 8．【答案】D 【知识点】判断一次函数的增减性、判断反比例函数的增减性、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】根据函数图象经过的象限，增减性即函数的性质分别判断． 【详解】解：A、正比例函数的图象在第一、三象限且过原点，反比例函数的两个分支在第一、第三象限但不过原点，故该项错误； B、正比例函数，当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐增大；反比例函数，当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐减小，故该项错误； C、正比例函数，当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐增大；反比例函数，当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐减小，故该项错误； D、正比例函数，当x=1时y=2；当x=-1时y=-2，故点（，）与点（，）在此函数图象上；反比例函数，当x=1时y=2；当x=-1时y=-2，故点（，）与点（，）在此函数图象上；故点（，）与点（，）皆为这两个函数图象的公共点． 故选：D． 【点睛】此题考查了正比例函数与反比例函数的性质，熟记两者的性质是解题的关键． 9．【答案】C 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性 【分析】根据反比例函数的性质判断对错进行选择即可． 【详解】解：， ， 该反比例函数图象在第二或四象限，故A选项结论正确， 图象经过点， ， ， B和D选项结论正确， 该反比例函数图象在第二或四象限， 在每个象限内，随的增大而增大，故C选项结论不正确， 故选：C 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握系数和图象、坐标的关系是解题的关键． 10．【答案】A 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知当时，在第三象限内，y随x的增大而减小，由，可得，解得，由第三象限内的点坐标特点可知，即，，可求，进而可得a的取值范围． 【详解】解：∵， ∴当时，在第三象限内，y随x的增大而减小． ∵， ∴， 解得， ∵， ∴，， ∴， ∴a的取值范围是． 故选：A. 11．【答案】 3 【知识点】正比例函数的定义、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的定义，运用它们的定义进行计算即可得出答案． 【详解】解：当x与y成正比例时，设， 得， 解得， ， ， 解得：； 当x与y成反比例，设， 得， 解得， ， ， 解得：， 故答案为：；3． 12．【答案】 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象经过的象限，以及在每个象限内的函数增减性，结合两点的横坐标比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数 中，， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，的横坐标都为正， ∴这两点都在第一象限， 又∵ ， ∴． 13．【答案】/ 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|，再根据反比例函数的图象所在的象限确定k的值，即可求出反比例函数的解析式． 【详解】解：由图象上的点所构成的矩形PEOF的面积为4可知， S=|k|=4，k=±4． 又由于反比例函数的图象在第二、四象限，k＜0， 则k=-4，所以反比例函数的解析式为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|． 14．【答案】16 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数图形的性质，掌握对称性是解题的关键． 根据题意，正比例函数与反比例函数图象关于原点对称，则，根据整式的运算法则展开，再代入计算即可． 【详解】解：∵正比例函数（为常数，）与反比例函数的图像均关于原点对称， ∴， ∴， ∵点在反比例函数， ∴， ∴原式， 故答案为： ． 15．【答案】一、三/三、一 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数图象．熟练掌握反比例函数图象是解题的关键． 根据在第一或第三象限，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，在第一或第三象限， ∴反比例函数的图像位于第一、三象限， 故答案为：一、三． 16．【答案】(1)； (2) 画图如下： (3) 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、判断（画）反比例函数图象、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】（1）利用三角形的面积公式，求出函数解析式即可； （2）画出反比例函数的图象即可； （3）根据图象和反比例函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∵是边上的高， ∴； 故答案为：，； （2）解：，； 列表如下： 2 3 4 6 6 4 3 2 （3）解：由图象可知， y随x的增大而减小． ∵， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数的应用．根据题意，正确的求出反比例函数的解析式，利用，列表，描点，连线画出图象，是解题的关键． 17．【答案】(1)，； (2)或． 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式． （1）把点代入，解得，即可求得反比例函数的解析式以及B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式． （2）根据求得，进而即可求得D的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，得， 反比例函数的解析式为， 点的横坐标为， 将代入，得， ． 将，代入， 得，解得， 一次函数的解析式为； （2）由可知， ， ， 或． 18．【答案】(1) (2)当车速为时，视野的度数为40度． 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为（为常数，且）， 将代入，得， 解得， 与之间的函数关系式为． （2）当时， 当车速为时，视野的度数为40度 19．【答案】(1)0 (2) 【知识点】求反比例函数解析式、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． （1）根据题意得出，，然后由，即可证得． （2）由，，则，根据图象上点的坐标特征得出，，即可得到，，根据，得出，，即可得出，，进而求得，，代入即可求得的值． 【详解】（1）证明：反比例函数的图象过点． ，， ， ． （2）解：，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 该函数的表达式为． 20．【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)当x>3时，y随x的增大而减小（答案不唯一） (5) 【知识点】函数的三种表示方法、求自变量的取值范围、用描点法画函数图象、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】（1）根据分式有意义的条件求解即可； （2）把代入函数解析式求解即可； （3）描出了以上表中各对对应值为坐标的剩余的点，再用光滑曲线顺次连接起来即可； （4）根据函数增减性，写出性质即可； （5）根据函数图象直接求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：； （2）解：当时，， ∴； （3）解：补全函数图象如图所示： （4）解：由图象可得：当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）； （5）解：由图象可得：当时，y随x的增大而减小，且， ∵， ∴， 由图象可得：当时，y随x的增大而减小，且， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查函数图象与性质，熟练掌握用描点法作函数的图象，根据图象总结归纳函数的性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $