14.3 角平分线 分层分类训练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 以尺规作图为起点，通过性质定理、判定定理到实际应用的逻辑链条，系统训练角平分线知识，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |作角平分线|13题|尺规作图及与几何计算结合|操作基础，为性质应用铺垫| |性质定理|7题|距离计算、证明及实际工具应用|从理论到实践，体现应用意识| |判定定理|6题|多以证明题为主|性质逆用，培养推理能力| |实际应用|8题|位置确定（如加油站、喷水装置）|知识迁移，解决现实问题|

14.3角平分线 学校： 姓名： 班级： 考号： 考点1作角平分线（尺规作图） 考点2角平分线的性质定理 考点3角平分线的判定定理 考点4角平分线性质的实际应用 基础达标练 考点1作角平分线（尺规作图） 1.(25-26八年级上四川南充阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①以B为 圆心，任意长为半径作弧，分别交B4、BC于M、N两点：②分别以M、N为圆心，以大于}N的长 为半径作弧，两弧相交于点P:③作射线BP,交AC于D点.若AB=10,BC=6,AC=8,则线段CD的 长为() D D M A.3 B.5 C. 16 3 D.6 2.(25-26七年级下·广东茂名·期末)如图，在△ABC中，利用尺规作图作出了射线BP交AC于点P.根据 作图痕迹，下列说法不一定正确的是() B A.BP是∠ABC的平分线 B.S△ABr:S△cBP=AB:CB C.点P到AB,BC的距离相等 D.AP=PC 3.(25-26七年级下四川达州·期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径 试卷第1页（共14页） 画弧，分别交AC,AB于点M,再分别以点MN为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P, 作射线AP交边BC于点D,点E在AB上.若AC=7,CD=3,AB=9,当DE长度最小时，△BDE的面 积是() D M A E B A.1 B.2 C.3 D.6 4.（25-26八年级下河北保定·期末)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=38°，以点A为圆心，适当长 为半径面弧，交A8于点五，交4C于点卫，再分别以点区，万为圆，大于号F的长为半径可弧，两弧 (所在圆的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P,画射线AP与BC相交于点D,CD=3,下列结论正 确的是() NP E B A.AC=BD B.∠ADC=64° C.∠CAD=∠B D.B到AD的距离是3 5.(2026吉林长春·模拟预测)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以B为圆心，以适当长为半径画弧，交BA 于点D,交BC于点B:分别以DB为圆心、以大于，DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点P:作 射线BF交AC于点G.若CG=1,P为AB上一动点，连结GP,则GP的最小值为() A.无法确定 B. C.1 D.2 6.(25-26七年级下·辽宁沈阳·期末)如图，在△ABC中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交 AC、AB于点MN,再分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP交 边BC于点D,作DE⊥AB于点E,若DE=2,AB=8,△ABC的面积为13，则AC的长为 试卷第2页（共14页) B 7.(2026陕西西安模拟预测)如图，已知△ABC(AC<AB<BC),请用尺规作图法在AB上求作一点M, 使得点M到AC,BC的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法） 8.(25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测)如图，在△ABC中，AB=BC.请用尺规作图法作∠ABC的平分 线BD交边AC于点D(保留作图痕迹，不写作法). 9.(2026·陕西·模拟预测)如图，∠ACD是△ABC的外角，请用尺规作图法在∠ACD内部求作射线CP,使 得∠DCP-(A+∠B).(不写作法，保留作图痕迹) B C D 10.(25-26七年级下·福建福州期末)在四边形ABCD中，找到一点M,使点M到AB、DC的距离相等： 并且到A、C的距离之和最短.（请用尺规作图，并保留作图痕迹） D 11.(2026陕西西安·模拟预测)如图，己知在△ABC中，AB=3,AC=2.请用尺规作图法，在BC上求 作一点P,使得S△BP:SA4cP=3:2.(保留作图痕迹，不写作法) B 试卷第3页（共14页) 12.(25-26七年级下·吉林长春·期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD1AB于点D. D (1)尺规作图：作∠CAB的平分线，分别交CD、CB于点P、2(不写作法，保留作图痕迹). (2)在(1)的条件下，若∠B=58°，求∠CPQ的度数. 13.（25-26七年级下·河南郑州·期末)如图，已知△ABC. (I)用尺规作图法，在边AC上取一个点D,使得AB=AD; (2)用尺规作图法，作∠BAC的平分线AP,交BC于点P; (3)在（2)的条件下，连接PD,你能发现图中哪条线段与线段PD相等.请说明理由. A B 考点2角平分线的性质定理 14.(25-26七年级下·陕西西安·期末)如图，OC平分∠AOB,P是OC上一点，PH⊥OB于点H,2是射 线OA上的一个动点，若PH=3,则PQ长的最小值为() B A.3 B.4 C.5 D.6 试卷第4页（共14页) 15.(25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若 BC=5,BD=3,则点D到AB的距离是() D B A.1 B.2 C.3 D.5 16.（25-26八年级上·山东德州期中)如图，ABCD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P, 且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是() A.8 B.6 C.4 D.2 17.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测)如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD,CD=5BD,CI 平分∠ACB交AD于点I,IH⊥AC于点H,若BC=6,AC=8,SBD=2,则H的长为 18.(25-26七年级下·陕西咸阳·期末)如图，AD是△ABC的一条角平分线，BE是△ABD边AD上的中线， 若△ABC的面积是18，△ABE的面积是6，AC=3,则AB的长为 D 19.(26-27八年级上·全国·课后作业)如图，已知∠ADE=∠ADF,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E和 点F,BE=CF.求证：AB=AC. B D 试卷第5页（共14页） 20.(25-26八年级下·山西运城期中)如图，己知∠AOB,王老师提出一个问题：能不能利用有刻度的直 尺作出∠AOB的平分线？小宇同学利用两把完全相同的直尺，设计了一种独特的作一个角的平分线的方法： 在∠AOB中，将两把直尺按照如图所示的方式摆放，则射线OP为∠AOB的平分线.请你说明小宇的思路 有没有道理？请说明理由， A 2456789 考点3角平分线的判定定理 21.(25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末)如图，已知AD∥BC,∠B=∠C,求证：AD平分∠EAC. 证明：：AD∥BC ∠2=∠ ( ∠1=∠() 又∠B=∠C A=∠ ∴.AD平分∠EAC. 22.(25-26七年级下·上海宝山·期末)如图，AO平分∠DAC,CO平分∠ACE,求证：BO平分∠EBD B 试卷第6页（共14页） 23.(25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测)如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,AB=BC, 点P在BD上，PM⊥AD于点M,PN⊥CD于点N.试说明：PM=PN. 24.(25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测)如图，BP为∠MBN的平分线，点A、C分别在MB、BN上， 连接AC、AP,AP恰为∠MAC的平分线，过P作PE⊥BM于E,PF⊥AC于F,PG⊥BN于G.求证： 点P在∠ACN的平分线上. M B 25.(25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测)如图，在△ACE中，∠E=90°，点B在边AE上，点D在边CE 上，连接AD、BD,过点D作DF⊥AC于点F,BE=CF,DB=DC.求证：AD是∠BAC的平分线. 26.(25-26七年级下·吉林长春·阶段检测)如图，△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线交于点P,PM⊥AD 于点M,PN⊥CE于点N,判断点P是否在∠ABC的平分线上，并说明理由. D M 考点4角平分线性质的实际应用 27.(25-26八年级下.宁夏银川·期中)如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条 公路的距离相等，则可以供选择的地址有() 试卷第7页（共14页) A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 28.(25-26八年级下·辽宁辽阳·期末)如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动 喷水装置，要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在() A.三角形最长的边的中点处 B.三角形三条中线的交点处 C.三角形三条高线的交点处 D.三角形三条角平分线的交点处 29.(25-26七年级下·贵州毕节·阶段检测)如图所示的是一块三角形草坪ABC,现要在草坪上建一凉亭供 大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在() B A.△ABC三条中线的交点处 B.△ABC三条角平分线的交点处 C.△ABC三条高所在直线的交点处 D.△ABC三边的垂直平分线的交点处 30.(25-26八年级上·江西宜春·阶段检测)如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现 量得AB=I2cm,C恰好是AB的中点.当CD⊥AB,且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，此时点B到直线 DE的距离是() D 图1 图2 A.Acm B.6cm C.8cn D.12cm 31.(25-26八年级上·天津·期末)某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带AB∥CD, 绿化带MN交AB于点M,交CD于点N,若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选 择的喷灌处修建点有() 试卷第8页（共14页） A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 32.(25-26八年级上·贵州遵义·期中)某市政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的三角形平地上修 建一个度假村，如图所示.要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在() A.△ABC三条高线的交点处 B.△ABC三条角平分线的交点处 C.△ABC三条中线的交点处 D.以上都不对 33.(25-26八年级上·上海·期末)如图，三条公路两两相交于点A、B、C,现在要在公路边建一所加油站P, 要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等 (1)符合要求的位置有 (2)请你找出所有加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）： (3)你的作图依据是 34.(25-26七年级下·甘肃张掖·期末)如图，三条公路两两相交于点A、B、C,现在要在公路边建一所加 油站P,要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等. (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）： (2)你的作图依据是 试卷第9页（共14页) 能力提升练 35.(25-26七年级下·安徽宿州·期末)如图，分别以△ABC的边AB,AC为直角边，向外作等腰直角三角 形ABD,ACE,连接BE,CD,BE,CD交于点F,连接AF.下列结论中不一定成立的是() E D B C A.∠DAF=∠DCA B.∠EFC=90° C.FA平分∠BFC D.BE=CD 36.(26-27八年级上·湖北武汉·开学考试)己知△ABC中，BE平分∠ABC,BE交AC于点E,CD平分∠ACB, 交AB于点D,BE与CD交于点O 图1 图2 a)如图1.求证：∠B0C=90+BMC: (2)如图2，连接OA,求证：OA平分∠BAC. 试卷第10页（共14页） 37.(25-26七年级下.甘肃白银·期中)项目化学习 项目主题：确定三角形菜园的小门位置 项目背景：某中学积极响应劳动教育的号召，在校园内开辟了一处“青禾”劳动实践基地.七年级三班负责 管理一块形状为三角形的菜园.为了便于同学们日常进出浇水、施肥、采摘，同时最大程度避免踩踏菜畦， 班级劳动委员会决定在菜园靠路的一边修建一扇小门.现需要精确的施工图纸. 方案设计：第一步：绘制三角形菜园示意图△ABC； 第二步：确定菜园小门的位置 为确保通行便利和安全，希望小门的位置（点D)在靠路的一边AB上，且到菜园另外两边(AC和BC) 的距离相等.即：CD是∠ACB的角平分线 方案实施： (1)测量获得菜园的两个内角∠，B及其夹边长度（按比例缩至图纸尺寸为线段α），如图所示. 请你利用尺规作出△ABC（其中∠A=∠a,∠B=∠B,AB=a)(要求：保留作图痕迹，标注字母，不写 作法)： (2)小颗根据方案设计中的第二步，在(1)中所作的△ABC中作出了CD,确定小门的位置（点D),测得 ∠x=30°，∠B=60°，求出∠CDA的度数、 试卷第11页（共14页) 38.(25-26七年级下·广东佛山·期末)几何作图是直观探究图形性质、验证几何结论的重要途径.广义的 几何作图，是指依据给定的几何条件，在限定工具与规则的约束下，通过有限次规范操作，构造出满足要 求的几何图形的一类几何问题，也是核心的几何实践过程， (1)【活动一】尺规作图 工具要求：仅用一把无刻度的直尺和圆规 活动任务：如图1，作出∠AOB的角平分线，保留作图痕迹. D B B E 图1 图2 图3 (2)【活动二】量化作图 工具要求：仅用一把有刻度的直尺. 活动任务：如图2，作出∠AOB的角平分线，标出必要数据，简要说明作图依据， (3)【活动三】推理作图 工具要求：仅用一把无刻度的直尺。 活动任务：如图3，B、C、E三点共线.在Rt△ABE和Rt△CDE中，∠B=∠C=90°.AB=DC=EC, F是AE中点.作出∠DCE的角平分线，简要说明作图依据， (4)【活动四】反思感悟 有人说：“几何作图的魅力，恰恰藏在工具与规则的约束里.”除本题涉及的几何作图方法外，请再举出一 种几何作图方法，并简要说明其核心工具与作图规则. 试卷第12页（共14页) 真题提前练 39.(2026山东德州中考真题)如图，为了作出∠AOB的角平分线，小明利用尺规进行了如下操作：以点 O为圆心，任意长度为半径画弧分别交QA,OB于点C,D,再分别以C,D为圆心，大于CD的长度 为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E,连接OE并延长，射线OE则为∠AOB的角平分线.小明说，可 以通过判定△OCE≌△ODE得到对应角相等来证明射线OE是∠AOB的角平分线，他使用的全等判定方法 是() B A.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B.两条边及其夹角相等的两个三角形全等 C.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D.三条边分别相等的两个三角形全等 40.（2026山东·中考真题)如图，直线a‖b,直线c分别交a,b于点A,B,以点A为圆心，以适当长 为半径作弧，分别交a,c于点M,N;再分别以点M,N为圆心，以大于N的长为半径作弧，两弧 在∠MAN的内部交于点C:作射线AC交b于点D.若∠ABD=54°，则∠ADB的度数是() D B C A.36° B.54° C.63° D.72° 41.(2026四川宜宾中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，小于AC长为半径 画弧分别交AC、AB于点P、Q,又分别以P、Q为圆心，大于P见为半径画弧交于点M,连接AM交 BC于点D.已知AB=5,CD=1.5,则△ABD的面积是() A.2 B.3.75 C.4 D.5 试卷第13页（共14页） 42.(2026黑龙江齐齐哈尔.中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，适当长为半 径作弧，交AB于点M,交BC于点N,分别以M,N为圆心，大于】N的长为半径作弧，两弧在∠ABC 内部交于点P,作射线BP交AC于点D.若CD=2,AB=7,则△ABD的面积为 M IN 试卷第14页（共14页） 14.3 角平分线 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点1 作角平分线（尺规作图） 考点2 角平分线的性质定理 考点3 角平分线的判定定理 考点4 角平分线性质的实际应用 基 础 达 标 练 考点1 作角平分线（尺规作图） 1．（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（     ） A．3 B．5 C． D．6 2.（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在中，利用尺规作图作出了射线交于点P．根据作图痕迹，下列说法不一定正确的是（     ） A．是的平分线 B． C．点P到，的距离相等 D． 3．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当长度最小时，的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 4.（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 5.（2026·吉林长春·模拟预测）如图，中，，以B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点D，交于点E；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若为上一动点，连结，则的最小值为（     ） A．无法确定 B． C．1 D．2 6.（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 7．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知，请用尺规作图法在上求作一点M，使得点M到，的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 8．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，．请用尺规作图法作的平分线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）． 9.（2026·陕西·模拟预测）如图，是的外角，请用尺规作图法在内部求作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 10．（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，找到一点，使点到、的距离相等；并且到、的距离之和最短．（请用尺规作图，并保留作图痕迹） 11．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知在中，，．请用尺规作图法，在上求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 12．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，于点D． (1)尺规作图：作的平分线，分别交、于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 13.（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图,已知． (1)用尺规作图法,在边上取一个点D，使得； (2)用尺规作图法,作的平分线，交于点P； (3)在（2）的条件下，连接，你能发现图中哪条线段与线段相等．请说明理由． 考点2 角平分线的性质定理 14．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，平分是上一点，于点，是射线上的一个动点，若，则长的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 15．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 16.（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 （     ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，点在边上，连接，，平分交于点，于点，若，则的长为_____． 18．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 19.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知，垂足分别为点E和点．求证：． 20．（25-26八年级下·山西运城·期中）如图，已知，王老师提出一个问题：能不能利用有刻度的直尺作出的平分线？小宇同学利用两把完全相同的直尺，设计了一种独特的作一个角的平分线的方法：在中，将两把直尺按照如图所示的方式摆放，则射线为的平分线．请你说明小宇的思路有没有道理？请说明理由． 考点3 角平分线的判定定理 21.（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知，，求证：平分． 证明： ________（     ） ________（     ） 又 ________ 平分． 22．（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，平分，平分，求证：平分． 23．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，对角线平分，点在上，于点于点．试说明：． 24．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 25.（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，过点作于点，，．求证：是的平分线． 26．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，的外角和的平分线交于点P，于点M，于点N，判断点P是否在的平分线上，并说明理由． 考点4 角平分线性质的实际应用 27.（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的地址有（     ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 28．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（     ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条中线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条角平分线的交点处 29.（25-26七年级下·贵州毕节·阶段检测）如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 30.（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 31.（25-26八年级上·天津·期末）某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 32.（25-26八年级上·贵州遵义·期中）某市政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的三角形平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．以上都不对 33．（25-26八年级上·上海·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等． (1)符合要求的位置有__________个； (2)请你找出所有加油站的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (3)你的作图依据是__________． 34．（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (2)你的作图依据是 ． 能 力 提 升 练 35.（25-26七年级下·安徽宿州·期末）如图，分别以的边，为直角边，向外作等腰直角三角形，，连接，，，交于点，连接．下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C．平分 D． 36.（26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 37．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）项目化学习 项目主题：确定三角形菜园的小门位置 项目背景：某中学积极响应劳动教育的号召，在校园内开辟了一处“青禾”劳动实践基地．七年级三班负责管理一块形状为三角形的菜园．为了便于同学们日常进出浇水、施肥、采摘，同时最大程度避免踩踏菜畦，班级劳动委员会决定在菜园靠路的一边修建一扇小门．现需要精确的施工图纸． 方案设计：第一步：绘制三角形菜园示意图； 第二步：确定菜园小门的位置． 为确保通行便利和安全，希望小门的位置（点）在靠路的一边上，且到菜园另外两边（和）的距离相等．即：是的角平分线 方案实施： (1)测量获得菜园的两个内角，及其夹边长度（按比例缩至图纸尺寸为线段），如图所示． 请你利用尺规作出（其中，，）（要求：保留作图痕迹，标注字母，不写作法）； (2)小颖根据方案设计中的第二步，在（1）中所作的中作出了，确定小门的位置（点），测得，，求出的度数． 38．（25-26七年级下·广东佛山·期末）几何作图是直观探究图形性质、验证几何结论的重要途径．广义的几何作图，是指依据给定的几何条件，在限定工具与规则的约束下，通过有限次规范操作，构造出满足要求的几何图形的一类几何问题，也是核心的几何实践过程． (1)【活动一】尺规作图 工具要求：仅用一把无刻度的直尺和圆规． 活动任务：如图1，作出的角平分线，保留作图痕迹． (2)【活动二】量化作图 工具要求：仅用一把有刻度的直尺． 活动任务：如图2，作出的角平分线，标出必要数据，简要说明作图依据． (3)【活动三】推理作图 工具要求：仅用一把无刻度的直尺． 活动任务：如图3，、、三点共线．在和中，．，是中点．作出的角平分线，简要说明作图依据． (4)【活动四】反思感悟 有人说：“几何作图的魅力，恰恰藏在工具与规则的约束里．”除本题涉及的几何作图方法外，请再举出一种几何作图方法，并简要说明其核心工具与作图规则． 真 题 提 前 练 39．（2026·山东德州·中考真题）如图，为了作出的角平分线，小明利用尺规进行了如下操作：以点为圆心，任意长度为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧在内部交于点，连接并延长，射线则为的角平分线．小明说，可以通过判定得到对应角相等来证明射线是的角平分线，他使用的全等判定方法是（     ） A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．两条边及其夹角相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D．三条边分别相等的两个三角形全等 40．（2026·山东·中考真题）如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 41．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 42.（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的面积为___________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.3 角平分线 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点1 作角平分线（尺规作图） 考点2 角平分线的性质定理 考点3 角平分线的判定定理 考点4 角平分线性质的实际应用 基 础 达 标 练 考点1 作角平分线（尺规作图） 1．（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（     ） A．3 B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】过点D作于点E，根据基本作图，得，设，根据三角形的面积不变，得，求解即可； 【详解】解：过点D作于点E，根据基本作图，得， ， ， 设，根据三角形的面积不变，得， ，，， ， 解得； 故线段的长为3. 2.（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在中，利用尺规作图作出了射线交于点P．根据作图痕迹，下列说法不一定正确的是（     ） A．是的平分线 B． C．点P到，的距离相等 D． 【答案】D 【分析】根据尺规作图痕迹判断为的平分线，利用角平分线的性质及三角形面积公式逐项判断． 【详解】解：由作图痕迹可知为的平分线， 故A选项说法一定正确，不合题意； 为的平分线， 点P到，的距离相等， 故C选项说法一定正确，不合题意； 设点P到，的距离为h， 则， 故B选项说法一定正确，不合题意； 根据现有条件不能得出， 故D选项说法不一定正确，符合题意． 3．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当长度最小时，的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】由垂线段最短可知，当时，长度最小，由作图过程可知平分，结合角平分线性质得到，证明，利用全等三角形性质得到，进而得到，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，长度最小， 由作图过程可知平分， ，， ， ， ， ， ， 的面积是． 4.（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余结合尺规作图得到的角平分线推导即可． 【详解】解：由题意得为的平分线， ，， ， ， ，故C不正确； ，故B正确； 如图，过点作，垂足为， 由角平分线定理可得，无法推出，到的距离是，故A、D不正确． 5.（2026·吉林长春·模拟预测）如图，中，，以B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点D，交于点E；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若为上一动点，连结，则的最小值为（     ） A．无法确定 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据基本作图得到平分，过G点作于H点，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短解决问题． 【详解】解：由作法得平分， 过G点作于H点，如图，    ∵为的平分线，，， ∴， ∵P为上一动点， ∴的最小值为的长， 即的最小值为1． 6.（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 【答案】 5 【分析】根据尺规作图痕迹可知平分，过点作于点，利用角平分线的性质可得，再根据列方程求解； 【详解】解：过点作于点， 由作图痕迹可知，平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 7．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知，请用尺规作图法在上求作一点M，使得点M到，的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求 【分析】由角平分线的性质定理可得，作出的角平分线即可． 【详解】略． 8．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，．请用尺规作图法作的平分线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，即为所作．（作法不唯一） 【分析】根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】略 9.（2026·陕西·模拟预测）如图，是的外角，请用尺规作图法在内部求作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与、交于点、，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于一点，连接点与两弧的交点并延长，即为所求射线． 【详解】解：∵是的外角， ， ， ， 是的平分线． 如图，作的平分线，射线即为所求． 10．（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，找到一点，使点到、的距离相等；并且到、的距离之和最短．（请用尺规作图，并保留作图痕迹） 【答案】 【分析】延长和交于一点，作的角平分线，连接与角平分线交点即为所求点． 11．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知在中，，．请用尺规作图法，在上求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求； 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，以及等高三角形的面积比等于底边比，作的角平分线，交于，则点到的距离相等，则，满足题意，故点即为所求. 12．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，于点D． (1)尺规作图：作的平分线，分别交、于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的作法画出图形即可； （2）由三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，再根据三角形内角和定理和对顶角的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ， 平分， ， ， ， ∴． 13.（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图,已知． (1)用尺规作图法,在边上取一个点D，使得； (2)用尺规作图法,作的平分线，交于点P； (3)在（2）的条件下，连接，你能发现图中哪条线段与线段相等．请说明理由． 【答案】(1)如图，点D，使得； (2)如图，作的平分线，交于点P； (3)，理由如下： 在（2）的条件下，的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）以为圆心，为半径画弧交于点，即可得到； （2）尺规作图法,作的平分线即可； （3）证明即可得到． 考点2 角平分线的性质定理 14．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，平分是上一点，于点，是射线上的一个动点，若，则长的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】当时，有最小值，利用角平分线的性质可得，即可解答． 【详解】解：如图， 当时，有最小值， ∵平分，，， ∴， ∴长的最小值为3． 15．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作，根据角平分线的性质得到，即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵，是的平分线， ∴ ∵， ∴ ∴点D到的距离是． 16.（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，那么，又，进而求出长． 【详解】解：过点作于，如图， ∵，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ． 17．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，点在边上，连接，，平分交于点，于点，若，则的长为_____． 【答案】/ 【分析】过点I作于点E，根据角平分线的性质得到，根据得到，，根据求解即可． 【详解】解：过点I作于点E， 平分交于点，于点， ， ，， ，， ，， ， ， 解得． 18．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 【答案】6 【分析】先根据三角形中线的性质求出，即可求解，过点D作于F，过D作于G，然后根据角平分线的性质定理得到，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵的面积是6，是边上的中线， ∴， ∵的面积是18 ∴ 如图所示，过点D作于F，过D作于G， 是的角平分线， ， ， ， ∴． 19.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知，垂足分别为点E和点．求证：． 【答案】 证明：，， ∴． ∵， ， ∴． 【分析】由角平分线的性质得到；再结合，通过线段相加即可证出． 【详解】略 20．（25-26八年级下·山西运城·期中）如图，已知，王老师提出一个问题：能不能利用有刻度的直尺作出的平分线？小宇同学利用两把完全相同的直尺，设计了一种独特的作一个角的平分线的方法：在中，将两把直尺按照如图所示的方式摆放，则射线为的平分线．请你说明小宇的思路有没有道理？请说明理由． 【答案】小宇的思路有道理，理由见解析 【分析】作，垂足为，根据题意，可得，根据角平分线的判定定理，可得点在的角平分线上，即可说明射线为的平分线． 【详解】解：小宇的思路有道理， 理由如下：作，垂足为， 根据题意，两把直尺完全相同，即宽度相同， ， ，， 点在的角平分线上， 射线为的平分线． 考点3 角平分线的判定定理 21.（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知，，求证：平分． 证明： ________（     ） ________（     ） 又 ________ 平分． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；2； 【分析】根据平行线的性质推导角度的关系证明即可． 【详解】证明：， （两直线平行，内错角相等） （两直线平行，同位角相等） 又， ， 平分． 22．（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，平分，平分，求证：平分． 【答案】过点O作 ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴平分． 【详解】解：略 23．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，对角线平分，点在上，于点于点．试说明：． 【答案】证明：∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】利用角平分线的定义得出，证明，由全等三角形的性质得出，根据角平分线的性质即可得出． 【详解】略 24．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 【答案】证明：为的平分线，恰为的平分线， ，， ， ，， ∴点P在的平分线上． 【分析】根据角平分线的性质定理得到，，可知，根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】略． 25.（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，过点作于点，，．求证：是的平分线． 【答案】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线． 【分析】先证明，则，再根据角平分线的判定定理可得是的平分线． 【详解】略 26．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，的外角和的平分线交于点P，于点M，于点N，判断点P是否在的平分线上，并说明理由． 【答案】解：点在的平分线上，理由如下： 如图，过点作于点，连接， ∵和的平分线交于点，且，，， ∴，， ∴， 又∵点在的内部， ∴点在的平分线上． 【分析】过点作于点，连接，先根据角平分线的性质定理可得，，则可得，再根据角平分线的判定定理即可得． 【详解】解：略． 考点4 角平分线性质的实际应用 27.（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的地址有（     ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】到三条直线距离相等的点，即为这三条直线所围成三角形的内角平分线或外角平分线的交点． 【详解】解：三条直线两两相交围成一个三角形； ∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴到三条直线距离相等的点必在角的平分线上，三角形内部有一个点，即三条内角平分线的交点；三角形外部有三个点，即两条外角平分线与一条内角平分线的交点； ∴共有处可供选择的地址． 28．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（     ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条中线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条角平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边距离相等，根据角平分线的性质即可得出答案． 【详解】解：要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在三角形三条角平分线的交点处． 29.（25-26七年级下·贵州毕节·阶段检测）如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 【答案】B 【详解】解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置． 30.（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 31.（25-26八年级上·天津·期末）某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质， 由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的修建点有2个． 【详解】解：作和的平分线相交于，过作于E，于F，于G，    ∴， 即和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； 同理∶ 和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个； 故选：B． 32.（25-26八年级上·贵州遵义·期中）某市政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的三角形平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【详解】解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， ∴度假村应该在三条角平分线的交点处． 故选：B． 33．（25-26八年级上·上海·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等． (1)符合要求的位置有__________个； (2)请你找出所有加油站的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (3)你的作图依据是__________． 【答案】(1)4 (2) 如图所示，、、、即为加油站的位置， (3)角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的性质，尺规作图-作角平分线等知识，掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）利用角平分线的性质即可得出结论； （2）利用角平分线的性质作出图形即可； （3）利用角平分线的判定解答即可． 【详解】（1）解：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，三角形相邻两个外角（共三组）的平分线交点到三角形三边的距离相等， 故符合要求的位置有4个， 故答案为：4； （2）略 （3）解：作图的依据是角平分线的判定定理， 故答案为：角平分线的判定定理． 34．（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (2)你的作图依据是 ． 【答案】(1)如图，点即为所求． (2)到角两边距离相等的点在角的平分线上 【分析】（1）利用角平分线的性质作出图形即可； （2）利用角平分线的判定解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 能 力 提 升 练 35.（25-26七年级下·安徽宿州·期末）如图，分别以的边，为直角边，向外作等腰直角三角形，，连接，，，交于点，连接．下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C．平分 D． 【答案】A 【分析】首先利用证明，可得，；利用三角形外角性质以及全等三角形的性质可证；利用全等三角形面积相等及底边相等可得对应高相等，进而根据角平分线的判定定理证得平分；对于，现有条件无法证明． 【详解】解：由题意得， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故D成立，不符合题意； ∵， ∴， 设与交于点，， ∵ ∴， ∴，故B成立，不符合题意； 过点作于点，过点作于点， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ， ∴平分，故C成立，不符合题意； 现有条件不足以证明，故A不一定成立，符合题意． 36.（26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 【答案】(1)证明：平分，平分， 设，， ，， ； (2)证明：过作于点，作于点，作于点， 平分， ， 平分， ， ． 平分． 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，，即可得到结论； （2）过作于点，作于点，作于点，根据角平分线的性质得到，，则．根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 37．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）项目化学习 项目主题：确定三角形菜园的小门位置 项目背景：某中学积极响应劳动教育的号召，在校园内开辟了一处“青禾”劳动实践基地．七年级三班负责管理一块形状为三角形的菜园．为了便于同学们日常进出浇水、施肥、采摘，同时最大程度避免踩踏菜畦，班级劳动委员会决定在菜园靠路的一边修建一扇小门．现需要精确的施工图纸． 方案设计：第一步：绘制三角形菜园示意图； 第二步：确定菜园小门的位置． 为确保通行便利和安全，希望小门的位置（点）在靠路的一边上，且到菜园另外两边（和）的距离相等．即：是的角平分线 方案实施： (1)测量获得菜园的两个内角，及其夹边长度（按比例缩至图纸尺寸为线段），如图所示． 请你利用尺规作出（其中，，）（要求：保留作图痕迹，标注字母，不写作法）； (2)小颖根据方案设计中的第二步，在（1）中所作的中作出了，确定小门的位置（点），测得，，求出的度数． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)如图，即为所求； 【分析】（1）先作出线段线段，然后在点，处分别作出，即可； （2）作的角平分线与的交点即为点，根据三角形内角和定理先求出的度数，再由角平分线的定义可得的度数，最后再由三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】（1）略 （2）解：图略； ，， ， 是的角平分线， ， ． 38．（25-26七年级下·广东佛山·期末）几何作图是直观探究图形性质、验证几何结论的重要途径．广义的几何作图，是指依据给定的几何条件，在限定工具与规则的约束下，通过有限次规范操作，构造出满足要求的几何图形的一类几何问题，也是核心的几何实践过程． (1)【活动一】尺规作图 工具要求：仅用一把无刻度的直尺和圆规． 活动任务：如图1，作出的角平分线，保留作图痕迹． (2)【活动二】量化作图 工具要求：仅用一把有刻度的直尺． 活动任务：如图2，作出的角平分线，标出必要数据，简要说明作图依据． (3)【活动三】推理作图 工具要求：仅用一把无刻度的直尺． 活动任务：如图3，、、三点共线．在和中，．，是中点．作出的角平分线，简要说明作图依据． (4)【活动四】反思感悟 有人说：“几何作图的魅力，恰恰藏在工具与规则的约束里．”除本题涉及的几何作图方法外，请再举出一种几何作图方法，并简要说明其核心工具与作图规则． 【答案】(1)如图：射线即为所求 (2)如图：射线即为所求， 用直尺量出，量出的长，取的中点P． 依据：等腰三角形三线合一（，为等腰三角形，底边中线即为顶角角平分线）． (3)解：如图所示：即为所求． 依据： ， ，， ， 连接， 在与中 ， ， ， ， 是中点 ，， ， ， ， ， ， 平分． (4)方法名称：折纸作图法 核心工具：无需额外作图工具，仅以纸为载体，可徒手完成折叠操作 作图规则：将纸作为作图载体，利用图形轴对称性质，通过有限次对齐、折叠，使目标图形部分重合，得到的折痕就是所求的直线． 示例：作角平分线时，将角的两边对齐重合折叠，得到的折痕就是该角的角平分线，原理是角平分线是角的对称轴； 【分析】（1）以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、；分别以、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧在内部交于点；画射线，即为所求角平分线． （2）在、上分别量取，连接，构造等腰三角形，然后根据等腰三角形三线合一，量出长度取中点，即可解答； （3）连接，延长交于点，连接，射线即为的角平分线．即为所求． （4）先选定折纸作图法，说明仅用纸作载体、依靠折叠操作，再点明作图核心规则是利用轴对称，通过折叠让角两边重合产生折痕，最后举例折叠角使两边重合得到角平分线，结合角平分线为角对称轴的原理解释即可． 真 题 提 前 练 39．（2026·山东德州·中考真题）如图，为了作出的角平分线，小明利用尺规进行了如下操作：以点为圆心，任意长度为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧在内部交于点，连接并延长，射线则为的角平分线．小明说，可以通过判定得到对应角相等来证明射线是的角平分线，他使用的全等判定方法是（     ） A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．两条边及其夹角相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D．三条边分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【分析】根据尺规作图的步骤，可以得到，，再加上公共边，利用“边边边”判定定理即可证明三角形全等． 【详解】如图： 由作图步骤可知， 在和中， 使用的全等判定方法是三条边分别相等的两个三角形全等． 40．（2026·山东·中考真题）如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图痕迹可知平分，利用平行线的性质求出的度数，进而求出，最后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中， 41．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图痕迹可知是的角平分线，利用角平分线的性质可得点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，是的角平分线， 过点作于点， ，即， ， ． 42.（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的面积为___________． 【答案】7 【分析】过点作，由题意可得，然后进行求解即可． 【详解】解：过点作交于点E，如图所示， 由题可知，平分， 又， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $