14.3《角平分线》分层作业（基础过关+进阶思维+中考链接） 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到中考衔接，覆盖角平分线全知识点，梯度合理，适配新授课教学，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|尺规作图、性质/判定定理、内心性质等单一知识点|含作图题（如作角平分线）、选择填空（性质应用）及基础证明（证线段相等），夯实基础| |进阶思维题|性质与判定综合、面积计算、内心角度计算|多知识点融合（如结合中点证角平分线），选择填空解答结合，提升推理能力| |中考链接题|中考真题综合应用|直接选用中考题（如全等证明、面积求解），对接中考，强化应用意识|

人教版八年级上册 第14章 全等三角形 14.3角平分线 本节知识点总结 1．角平分线的尺规作图：①以顶点为圆心作弧交两边于两点；②分别以这两点为圆心作弧交于一点；③过顶点和交点作射线即为角平分线。 2．角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等。（"距离"指垂线段的长度） 3．角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。（性质定理的逆定理） 4．性质定理与判定定理的区别：性质定理是"已知角平分线→距离相等"；判定定理是"已知距离相等→在角平分线上"。 5．三角形三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等。 6．角平分线性质的应用：证明线段相等、求点到直线的距离、确定到两边距离相等的点的位置。 7．几何命题证明的一般步骤：①明确已知和求证；②画出图形，用数学符号表示；③分析并写出证明过程。 8．注意："距离"必须是垂线段的长度，不是任意线段；运用性质定理时必须先说明点在角平分线上，且有垂直条件。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 角平分线的尺规作图 1．（2024秋·北京海淀·期中）用尺规作图作一个角的平分线，不写作法，保留作图痕迹。已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB。 2．（2024秋·上海浦东·月考）用尺规作图作角平分线时，下列说法正确的是（　　） A．以角的顶点为圆心，任意长为半径作弧 B．分别以两交点为圆心，任意长为半径作弧 C．两弧的交点一定在角的内部 D．所作射线就是角平分线，不需要证明 3．（2024秋·广东深圳·单元测）如图，用尺规作图作∠AOB的平分线OC，作图痕迹中，弧DE是以______为圆心，适当长为半径作的弧；两弧的交点C到点D和点E的距离______（填"相等"或"不相等"）。 题型02 角平分线性质定理的理解与识别 4．（2024秋·江苏南京·期中）如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E。若PD=3，则PE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 5．（2024秋·浙江杭州·月考）下列说法正确的是（　　） A．角平分线上的点到角两边的线段相等 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．到角两边距离相等的点在角平分线上 D．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 6．（2024秋·山东济南·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E。若CD=4，则点D到AB的距离为______。 题型03 利用角平分线性质证明线段相等 7．（2024秋·湖北武汉·月考）如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E。求证：PD=PE。 8．（2024秋·湖南长沙·期中）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF。求证：BD=CD。 9．（2024秋·河南郑州·月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，点F在AC上，且DF=DB。求证：CF=EB。 题型04 角平分线判定定理的应用 10．（2024秋·河北石家庄·期中）如图，点P在∠AOB的内部，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE。下列结论正确的是（　　） A．OP平分∠AOB B．OP是∠AOB的平分线 C．点P在∠AOB的平分线上 D．以上都正确 11．（2024秋·陕西西安·月考）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF。求证：AD平分∠BAC。 12．（2024秋·辽宁沈阳·期中）如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，且BD=CD。求证：AD平分∠BAC。 题型05 三角形角平分线交点（内心）的性质 13．（2024秋·重庆沙坪坝·月考）三角形三条角平分线的交点叫做三角形的（　　） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 14．（2024秋·天津南开·期中）在△ABC中，∠A=60°，∠B=80°，点I是△ABC的内心，则∠BIC=______。 15．（2024秋·四川成都·月考）在△ABC中，点O是△ABC的内心，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F。求证：OD=OE=OF。 题型06 角平分线性质的综合应用 16．（2024秋·安徽合肥·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，且AB=10，AC=8，BC=6。求△BDE的周长。 17．（2024秋·福建福州·月考）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=8，AC=6，△ABC的面积为28。求DE的长。 18.（2024秋·江西南昌·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E，AC=10。求△DEC的周长。 题型07 角平分线在实际问题中的应用 19．（2024秋·广西南宁·月考） 如图，两条公路OA、OB相交于点O，在∠AOB的内部有一个村庄P。现要在两条公路之间建一个仓库，使仓库到两条公路的距离相等，且到村庄P的距离最近。请用尺规作图确定仓库的位置（不写作法，保留作图痕迹）。 20．（2024秋·云南昆明·期中）某市有一块三角形的空地ABC，现要在这块空地上建一个花坛，使花坛中心到三条边的距离相等。请说明花坛中心的位置，并简述理由。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024秋·北京朝阳·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E。下列结论错误的是（　　） A．BD+DE=BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠CDE D．AC=AE 2．（2024秋·上海闵行·月考）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。下列结论正确的个数是（　　） ①AD上任意一点到AB、AC的距离相等； ②AD上任意一点到B、C的距离相等； ③AE=AF； ④∠BDE=∠CDF。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024-2025八年级上·广东广州·单元测）在△ABC中，点O是△ABC的内心，若∠AOB=125°，则∠C的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 4．（2024秋·江苏苏州·期中）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。若AB=10，AC=8，△ABD的面积为20，则△ACD的面积为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 5．（2024-2025八年级上·浙江宁波·月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E。若AB=6，则△DBE的周长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 6．（2024秋·山东青岛·期中）如图，在△ABC中，点P是∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F。下列结论中不一定正确的是（　　） A．PE=PF B．AE=AF C．AP垂直平分EF D．PE=AP （二）填空题 7．（2024秋·湖北武汉·月考）在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若DC=3，AB=8，则△ABD的面积为______。 8.（2024秋·湖南长沙·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，AC=3，且CD=1.5，则点D到AB的距离为______。 9．（2024秋·河南郑州·月考）在△ABC中，点O是内心，若∠BOC=130°，则∠A=______。 10．（2024秋·河北石家庄·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，且DE=3，BD=5，则BC=______。 11．（2024秋·陕西西安·月考）在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点O是△ABC的内心，则∠BOC=______。 （三）解答题 12．（2024秋·辽宁沈阳·期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF。 （1）求证：AD平分∠BAC； （2）若AB=8，AC=6，且△ABC的面积为28，求DE的长。 13．（2024秋·重庆渝中·月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，点F在AC上，且BD=DF。 （1）求证：CF=EB； （2）若AE=6，BE=3，求AF的长。 14．（2024秋·天津和平·期中）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接EF。 （1）求证：AE=AF； （2）求证：AD垂直平分EF。 三、中考链接题 1．（2024·四川成都中考）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD。若AC=5，AB=7，则△ACD的周长为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 2．（2024·浙江杭州中考）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。下列结论中正确的是（　　） A．BD=CD B．AE=BE C．AD=BC D．∠B=∠BAD 3．（2024·山东济南中考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且DF=DB。 （1）求证：CF=EB； （2）若AE=5，EB=2，求AF的长。 4．（2024·湖北武汉中考）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。 （1）求证：△ADE≌△ADF； （2）若AB=10，AC=6，△ABC的面积为32，求DE的长。 5．（2024·陕西中考）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接EF交AD于点O。 （1）求证：AE=AF； （2）求证：AD垂直平分EF。 6.（2024·河南中考）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。 （1）求证：DE=DF； （2）若AB=10，△ABC的面积为40，求DE的长。 7．（2024·河北中考）如图，在△ABC中，AB=10，BC=8，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E。 （1）求证：△ACD≌△AED； （2）若S△ABD=10，求BD的长。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级上册 第14章 全等三角形 14.3角平分线 本节知识点总结 1．角平分线的尺规作图：①以顶点为圆心作弧交两边于两点；②分别以这两点为圆心作弧交于一点；③过顶点和交点作射线即为角平分线。 2．角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等。（"距离"指垂线段的长度） 3．角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。（性质定理的逆定理） 4．性质定理与判定定理的区别：性质定理是"已知角平分线→距离相等"；判定定理是"已知距离相等→在角平分线上"。 5．三角形三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等。 6．角平分线性质的应用：证明线段相等、求点到直线的距离、确定到两边距离相等的点的位置。 7．几何命题证明的一般步骤：①明确已知和求证；②画出图形，用数学符号表示；③分析并写出证明过程。 8．注意："距离"必须是垂线段的长度，不是任意线段；运用性质定理时必须先说明点在角平分线上，且有垂直条件。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 角平分线的尺规作图 1．（2024秋·北京海淀·期中）用尺规作图作一个角的平分线，不写作法，保留作图痕迹。已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB。 【答案】作图见详解 【分析】按照尺规作角平分线的三步法作图：以O为圆心作弧交OA、OB于D、E，再分别以D、E为圆心作弧交于C，作射线OC。 【详解】作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点D，交OB于点E； （2）分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C； （3）作射线OC。 则射线OC即为所求作的∠AOB的平分线。 作图依据：由作图可知OD=OE，DC=EC，又OC=OC，∴△ODC≌△OEC（SSS），∴∠DOC=∠EOC，即OC平分∠AOB。 2．（2024秋·上海浦东·月考）用尺规作图作角平分线时，下列说法正确的是（　　） A．以角的顶点为圆心，任意长为半径作弧 B．分别以两交点为圆心，任意长为半径作弧 C．两弧的交点一定在角的内部 D．所作射线就是角平分线，不需要证明 【答案】C 【分析】根据尺规作角平分线的步骤和原理判断。 【详解】解：A选项，应以适当长为半径，不是任意长（太短可能交不到两边），错误； B选项，应以大于½两交点间距离的长为半径，不是任意长，错误； C选项，两弧的交点在角的内部，正确； D选项，所作射线需要通过SSS全等证明是角平分线，错误。 故选：C。 3．（2024秋·广东深圳·单元测）如图，用尺规作图作∠AOB的平分线OC，作图痕迹中，弧DE是以__点O____为圆心，适当长为半径作的弧；两弧的交点C到点D和点E的距离___相等___（填"相等"或"不相等"）。 【答案】点O；相等 【分析】第一步以O为圆心作弧交两边于D、E；第二步以D、E为圆心作弧交于C，所以CD=CE。 【详解】解：由尺规作角平分线的步骤可知： 第一步以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于D，交OB于E，所以弧DE是以点O为圆心的弧。 第二步分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于C，所以CD=CE，即点C到D和E的距离相等。 故答案为：点O；相等。 题型02 角平分线性质定理的理解与识别 4．（2024秋·江苏南京·期中）如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E。若PD=3，则PE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等，PD和PE都是点P到角两边的距离。 【详解】解：∵ OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ 根据角平分线的性质定理，PD = PE。 ∵ PD = 3，∴ PE = 3。 故选：B。 5．（2024秋·浙江杭州·月考）下列说法正确的是（　　） A．角平分线上的点到角两边的线段相等 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．到角两边距离相等的点在角平分线上 D．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 【答案】B 【分析】区分性质定理和判定定理，注意"距离"是垂线段长度。 【详解】解：A选项，应为"距离相等"，不是"线段相等"，错误； B选项，角平分线的性质定理，正确； C选项，缺少"角的内部"这个条件，在角外部也可能有到两边距离相等的点，错误； D选项是判定定理，虽然本身正确，但本题问的是性质定理的理解，B更直接。 故选：B。 6．（2024秋·山东济南·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E。若CD=4，则点D到AB的距离为___4___。 【答案】4 【分析】AD是角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，根据角平分线性质定理，DE=CD=4。 【详解】解：∵ ∠C=90°，∴ DC⊥AC。 ∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴ 根据角平分线的性质定理，DE = CD。 ∵ CD = 4，∴ DE = 4。 即点D到AB的距离为4。 题型03 利用角平分线性质证明线段相等 7．（2024秋·湖北武汉·月考）如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E。求证：PD=PE。 【答案】PD=PE，证明见详解 【分析】利用AAS证明△OPD≌△OPE，从而得到PD=PE。 【详解】证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠ODP = ∠OEP = 90°。 ∵ OC是∠AOB的平分线，∴ ∠DOP = ∠EOP。 在△OPD和△OPE中： ∠ODP = ∠OEP（已证）， ∠DOP = ∠EOP（已证）， OP = OP（公共边）， ∴ △OPD ≌ △OPE（AAS）。 ∴ PD = PE（全等三角形的对应边相等）。 8．（2024秋·湖南长沙·期中）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF。求证：BD=CD。 【答案】BD=CD，证明见详解 【分析】先由角平分线性质得DE=DF，再利用HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF。 【详解】证明：∵ AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 ∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴ ∠DEB = ∠DFC = 90°。 在Rt△BDE和Rt△CDF中： DE = DF（已证）， BE = CF（已知）， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL）。 ∴ BD = CD（全等三角形的对应边相等）。 9．（2024秋·河南郑州·月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，点F在AC上，且DF=DB。求证：CF=EB。 【答案】CF=EB，证明见详解 【分析】先由角平分线性质得DC=DE，再利用HL证明Rt△DCF≌Rt△DEB。 【详解】证明：∵ ∠C=90°，∴ DC⊥AC。 ∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴ DC = DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 ∵ DE⊥AB，∴ ∠DEB = 90° = ∠C。 在Rt△DCF和Rt△DEB中： DF = DB（已知）， DC = DE（已证）， ∴ Rt△DCF ≌ Rt△DEB（HL）。 ∴ CF = EB（全等三角形的对应边相等）。 题型04 角平分线判定定理的应用 10．（2024秋·河北石家庄·期中）如图，点P在∠AOB的内部，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE。下列结论正确的是（　　） A．OP平分∠AOB B．OP是∠AOB的平分线 C．点P在∠AOB的平分线上 D．以上都正确 【答案】D 【分析】角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以OP是角平分线。 【详解】解：∵ 点P在∠AOB的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE， ∴ 根据角平分线的判定定理，点P在∠AOB的平分线上。 即OP平分∠AOB，OP是∠AOB的平分线。 A、B、C三个选项都正确。 故选：D。 11．（2024秋·陕西西安·月考）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF。求证：AD平分∠BAC。 【答案】AD平分∠BAC，证明见详解 【分析】由DE=DF且DE⊥AB、DF⊥AC，根据角平分线判定定理，点D在∠BAC的平分线上。 【详解】证明：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，且DE = DF， ∴ 点D在∠BAC的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。 ∴ AD平分∠BAC。 12．（2024秋·辽宁沈阳·期中）如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，且BD=CD。求证：AD平分∠BAC。 【答案】AD平分∠BAC，证明见详解 【分析】先证△BDF≌△CDE（AAS），得DF=DE，再由判定定理得AD平分∠BAC。 【详解】证明：∵ BE⊥AC，CF⊥AB，∴ ∠BFD = ∠CED = 90°。 在△BDF和△CDE中： ∠BFD = ∠CED（已证）， ∠BDF = ∠CDE（对顶角相等）， BD = CD（已知）， ∴ △BDF ≌ △CDE（AAS）。 ∴ DF = DE（全等三角形的对应边相等）。 又∵ DF⊥AB，DE⊥AC， ∴ 点D在∠BAC的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。 ∴ AD平分∠BAC。 题型05 三角形角平分线交点（内心）的性质 13．（2024秋·重庆沙坪坝·月考）三角形三条角平分线的交点叫做三角形的（　　） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 【答案】C 【分析】三角形三条角平分线交于一点，这个点叫做内心。 【详解】解：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，内心到三边的距离相等。 重心是三条中线的交点，垂心是三条高的交点，外心是三边垂直平分线的交点。 故选：C。 14．（2024秋·天津南开·期中）在△ABC中，∠A=60°，∠B=80°，点I是△ABC的内心，则∠BIC=___110°___。 【答案】110° 【分析】内心是角平分线交点，∠IBC=½∠B=40°，∠ICB=½∠C=20°，∠BIC=180°-40°-20°=120°。 【详解】解：在△ABC中，∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 60° - 80° = 40°。 ∵ 点I是△ABC的内心，∴ BI平分∠ABC，CI平分∠ACB。 ∴ ∠IBC = ∠ABC = ×80° = 40°， ∠ICB = ∠ACB = ×40° = 20°。 在△IBC中，∠BIC = 180° - ∠IBC - ∠ICB = 180° - 40° - 20° = 120°。 故答案为：120°。 15．（2024秋·四川成都·月考）在△ABC中，点O是△ABC的内心，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F。求证：OD=OE=OF。 【答案】OD=OE=OF，证明见详解 【分析】内心是三条角平分线的交点，分别在三个角的平分线上，由性质定理得OD=OE，OE=OF。 【详解】证明：∵ 点O是△ABC的内心， ∴ 点O在∠ABC的平分线上，也在∠ACB的平分线上。 ∵ 点O在∠ABC的平分线上，OD⊥BC，OF⊥AB， ∴ OD = OF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 ∵ 点O在∠ACB的平分线上，OD⊥BC，OE⊥AC， ∴ OD = OE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 ∴ OD = OE = OF。 题型06 角平分线性质的综合应用 16．（2024秋·安徽合肥·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，且AB=10，AC=8，BC=6。求△BDE的周长。 【答案】△BDE的周长为8 【分析】由角平分线性质得CD=DE，证△ACD≌△AED得AC=AE=8，BE=AB-AE=2，△BDE周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=6+2=8。 【详解】解：∵ AD平分∠BAC，∠C=90°即DC⊥AC，DE⊥AB， ∴ CD = DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 在Rt△ACD和Rt△AED中： AD = AD（公共边）， CD = DE（已证）， ∴ Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL）。 ∴ AC = AE = 8（全等三角形的对应边相等）。 ∴ BE = AB - AE = 10 - 6 = 4。 △BDE的周长 = BD + DE + BE = BD + CD + BE = BC + BE = 6 + 2 = 8。 答：△BDE的周长为8。 17．（2024秋·福建福州·月考）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=8，AC=6，△ABC的面积为28。求DE的长。 【答案】DE=4 【分析】由角平分线性质得DE=DF，S△ABC=S△ABD+S△ACD=AB·DE+AC·DF=(AB+AC)·DE。 【详解】解：∵ AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 S△ABC = S△ABD + S△ACD = ·AB·DE + ·AC·DF = ·AB·DE + ·AC·DE = (AB + AC)·DE。 ∵ S△ABC = 28，AB = 8，AC = 6， ∴ (8 + 6)·DE = 28，即 7DE = 28， 解得 DE = 4。 答：DE的长为4。 18.（2024秋·江西南昌·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E，AC=10。求△DEC的周长。 【答案】△DEC的周长为10 【分析】由角平分线性质得BD=DE，证△ABD≌△AED得AB=AE，△DEC周长=DE+DC+EC=BD+DC+EC=BC+EC=AB+EC=AE+EC=AC=10。 【详解】解：∵ AD平分∠BAC，∠B=90°即DB⊥AB，DE⊥AC， ∴ BD = DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 在Rt△ABD和Rt△AED中： AD = AD（公共边）， BD = DE（已证）， ∴ Rt△ABD ≌ Rt△AED（HL）。 ∴ AB = AE（全等三角形的对应边相等）。 ∵ AB = BC，∴ AE = BC。 △DEC的周长 = DE + DC + EC = BD + DC + EC = BC + EC = AE + EC = AC = 10。 答：△DEC的周长为10。 题型07 角平分线在实际问题中的应用 19．（2024秋·广西南宁·月考） 如图，两条公路OA、OB相交于点O，在∠AOB的内部有一个村庄P。现要在两条公路之间建一个仓库，使仓库到两条公路的距离相等，且到村庄P的距离最近。请用尺规作图确定仓库的位置（不写作法，保留作图痕迹）。 【答案】仓库在∠AOB的平分线与过P且垂直于角平分线的直线的交点处 【分析】到两条公路距离相等的点在∠AOB的平分线上，到P距离最近的点是P到角平分线的垂足。 【详解】解：（1）作∠AOB的平分线OC； （2）过点P作PD⊥OC于点D，则点D即为所求仓库的位置。 理由：∵ 点D在∠AOB的平分线上，∴ 点D到OA、OB的距离相等。 又∵ PD⊥OC，∴ 点D是角平分线上到点P距离最近的点（垂线段最短）。 20．（2024秋·云南昆明·期中）某市有一块三角形的空地ABC，现要在这块空地上建一个花坛，使花坛中心到三条边的距离相等。请说明花坛中心的位置，并简述理由。 【答案】花坛中心是△ABC三条角平分线的交点（内心） 【分析】到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点，即内心。 【详解】解：花坛中心应建在△ABC三条角平分线的交点处（即△ABC的内心）。 理由：设点I是△ABC三条角平分线的交点。 ∵ 点I在∠A的平分线上，∴ 点I到AB、AC的距离相等。 ∵ 点I在∠B的平分线上，∴ 点I到AB、BC的距离相等。 ∴ 点I到AB、BC、AC三边的距离都相等。 因此，花坛中心建在三条角平分线的交点处，到三条边的距离相等。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024秋·北京朝阳·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E。下列结论错误的是（　　） A．BD+DE=BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠CDE D．AC=AE 【答案】B 【分析】由角平分线性质得CD=DE，证△ACD≌△AED得AC=AE、∠CDA=∠EDA。 【详解】解：∵ AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB， ∴ CD=DE，∴ BD+DE=BD+CD=BC，A正确。 在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD，CD=DE， ∴ Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴ AC=AE，D正确。 ∴ ∠CDA=∠EDA，即AD平分∠CDE，C正确。 B选项DE平分∠ADB不一定成立，错误。 故选：B。 2．（2024秋·上海闵行·月考）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。下列结论正确的个数是（　　） ①AD上任意一点到AB、AC的距离相等； ②AD上任意一点到B、C的距离相等； ③AE=AF； ④∠BDE=∠CDF。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①角平分线性质；②等腰三角形三线合一，AD是BC的垂直平分线；③④由全等可得。 【详解】解：①∵ AD是角平分线，∴ AD上任意一点到AB、AC的距离相等，正确； ②∵ AB=AC，AD是角平分线，∴ AD也是BC边上的中线和高，即AD垂直平分BC，∴ AD上任意一点到B、C的距离相等，正确； ③由角平分线性质得DE=DF，又AD=AD，∴ Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴ AE=AF，正确； ④∵ AB=AC，∴ ∠B=∠C，又∠BED=∠CFD=90°，∴ ∠BDE=∠CDF，正确。 4个结论都正确， 故选：D。 3．（2024-2025八年级上·广东广州·单元测）在△ABC中，点O是△ABC的内心，若∠AOB=125°，则∠C的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 【答案】B 【分析】内心是角平分线交点，∠AOB=90°+∠C，所以∠C=2(125°-90°)=70°。 【详解】解：∵ 点O是△ABC的内心， ∴ OA平分∠BAC，OB平分∠ABC。 ∴ ∠OAB = ∠BAC，∠OBA = ∠ABC。 在△AOB中，∠AOB = 180° - (∠OAB + ∠OBA) = 180° - (∠BAC + ∠ABC) = 180° - (180° - ∠C) = 90° + ∠C。 ∵ ∠AOB = 125°，∴ 90° + ∠C = 125°， 解得 ∠C = 70°。 故选：B。 4．（2024秋·江苏苏州·期中）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。若AB=10，AC=8，△ABD的面积为20，则△ACD的面积为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】由角平分线性质得DE=DF，先由△ABD面积求DE，再求△ACD面积。 【详解】解：∵ AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ DE=DF。 ∵ S△ABD = ·AB·DE = 20，AB=10， ∴ ×10×DE = 20，解得 DE = 4。 ∴ DF = DE = 4。 S△ACD = ·AC·DF = ×8×4 = 16。 故选：B。 5．（2024-2025八年级上·浙江宁波·月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E。若AB=6，则△DBE的周长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由角平分线性质得CD=DE，证△ACD≌△AED得AC=AE，△DBE周长=BD+DE+BE=BC+BE=AE+BE=AB=6。 【详解】解：∵ AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴ CD=DE。 在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD，CD=DE， ∴ Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴ AC=AE。 ∵ AC=BC，∴ AE=BC。 △DBE的周长 = BD+DE+BE = BD+CD+BE = BC+BE = AE+BE = AB = 6。 故选：C。 6．（2024秋·山东青岛·期中）如图，在△ABC中，点P是∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F。下列结论中不一定正确的是（　　） A．PE=PF B．AE=AF C．AP垂直平分EF D．PE=AP 【答案】D 【分析】A由性质定理；B由HL全等；C由等腰三角形三线合一；D不一定成立。 【详解】解：A选项，∵ AP平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC，∴ PE=PF，正确； B选项，在Rt△APE和Rt△APF中，AP=AP，PE=PF，∴ Rt△APE≌Rt△APF（HL），∴ AE=AF，正确； C选项，∵ AE=AF，AP平分∠EAF，∴ AP垂直平分EF（等腰三角形三线合一），正确； D选项，PE=AP只有在∠PAE=30°时才成立，不一定正确。 故选：D。 （二）填空题 7．（2024秋·湖北武汉·月考）在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若DC=3，AB=8，则△ABD的面积为___12___。 【答案】12 【分析】由角平分线性质，点D到AB的距离等于DC=3，S△ABD=½×8×3=12。 【详解】解：过点D作DE⊥AB于E。 ∵ AD平分∠BAC，∠C=90°即DC⊥AC，DE⊥AB， ∴ DE = DC = 3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 S△ABD = ·AB·DE = ×8×3 = 12。 故答案为：12。 8.（2024秋·湖南长沙·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，AC=3，且CD=1.5，则点D到AB的距离为_1.5_____。 【答案】1.5 【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等，点D到AB的距离=CD=1.5。 【详解】解：∵ AD平分∠BAC，∠C=90°即DC⊥AC， ∴ 点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即等于CD的长。 ∵ CD = 1.5，∴ 点D到AB的距离为1.5。 故答案为：1.5。 9．（2024秋·河南郑州·月考）在△ABC中，点O是内心，若∠BOC=130°，则∠A=___80°___。 【答案】80° 【分析】∠BOC=90°+½∠A，所以∠A=2(130°-90°)=80°。 【详解】解：∵ 点O是△ABC的内心， ∴ OB平分∠ABC，OC平分∠ACB。 ∴ ∠OBC = ∠ABC，∠OCB = ½∠ACB。 ∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 180° - (180° - ∠A) = 90° + ∠A。 ∵ ∠BOC = 130°，∴ 90° + ∠A = 130°， 解得 ∠A = 80°。 故答案为：80°。 10．（2024秋·河北石家庄·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，且DE=3，BD=5，则BC=__8____。 【答案】8 【分析】由角平分线性质得CD=DE=3，BC=CD+BD=3+5=8。 【详解】解：∵ AD平分∠BAC，∠C=90°即DC⊥AC，DE⊥AB， ∴ CD = DE = 3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 ∴ BC = CD + BD = 3 + 5 = 8。 故答案为：8。 11．（2024秋·陕西西安·月考）在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点O是△ABC的内心，则∠BOC=___110°___。 【答案】110° 【分析】先求∠B=∠C=70°，内心处∠BOC=90°+½∠A=90°+20°=110°。 【详解】解：∵ AB=AC，∠A=40°， ∴ ∠B = ∠C = °= 70°。 ∵ 点O是△ABC的内心， ∴ ∠BOC = 90° + ∠A = 90° + 20° = 110°。 故答案为：110°。 （三）解答题 12．（2024秋·辽宁沈阳·期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF。 （1）求证：AD平分∠BAC； （2）若AB=8，AC=6，且△ABC的面积为28，求DE的长。 【答案】（1）证明见详解；（2）DE=4 【分析】（1）先证△BDE≌△CDF得DE=DF，再由判定定理得AD平分∠BAC；（2）S△ABC=(AB+AC)·DE。 【详解】（1）证明：∵ D是BC的中点，∴ BD=CD。 ∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴ ∠DEB=∠DFC=90°。 在Rt△BDE和Rt△CDF中： BD=CD（已证），BE=CF（已知）， ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）。 ∴ DE=DF（全等三角形的对应边相等）。 又∵ DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ 点D在∠BAC的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。 ∴ AD平分∠BAC。 （2）解：∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ DE=DF。 S△ABC = S△ABD + S△ACD = ·AB·DE + ·AC·DF = (AB+AC)·DE = (8+6)·DE = 7DE。 ∵ S△ABC = 28，∴ 7DE = 28，解得 DE = 4。 答：DE的长为4。 13．（2024秋·重庆渝中·月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，点F在AC上，且BD=DF。 （1）求证：CF=EB； （2）若AE=6，BE=3，求AF的长。 【答案】（1）证明见详解；（2）AF=3 【分析】（1）由角平分线性质得DC=DE，证Rt△DCF≌Rt△DEB（HL）；（2）由全等得AC=AE，AF=AC-CF=AE-EB=6-3=3。 【详解】（1）证明：∵ ∠C=90°，∴ DC⊥AC。 ∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴ DC=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 在Rt△DCF和Rt△DEB中： DF=DB（已知），DC=DE（已证）， ∴ Rt△DCF≌Rt△DEB（HL）。 ∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）。 （2）解：在Rt△ACD和Rt△AED中： AD=AD（公共边），DC=DE（已证）， ∴ Rt△ACD≌Rt△AED（HL）。 ∴ AC=AE=6（全等三角形的对应边相等）。 由（1）知CF=EB=3， ∴ AF = AC - CF = 6 - 3 = 3。 答：AF的长为3。 14．（2024秋·天津和平·期中）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接EF。 （1）求证：AE=AF； （2）求证：AD垂直平分EF。 【答案】证明见详解 【分析】（1）由角平分线性质得DE=DF，证Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）；（2）由AE=AF且AD平分∠EAF，等腰三角形三线合一。 【详解】（1）证明：∵ AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 在Rt△ADE和Rt△ADF中： AD=AD（公共边），DE=DF（已证）， ∴ Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）。 ∴ AE=AF（全等三角形的对应边相等）。 （2）证明：由（1）知AE=AF， ∴ △AEF是等腰三角形。 又∵ AD平分∠BAC，即AD平分等腰△AEF的顶角∠EAF， ∴ AD垂直平分EF（等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线和高）。 三、中考链接题 1．（2024·四川成都中考）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD。若AC=5，AB=7，则△ACD的周长为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】MN是BC的垂直平分线，所以CD=BD，△ACD周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=5+7=12。 【详解】解：由作图可知，MN是BC的垂直平分线。 ∵ 点D在MN上，∴ CD = BD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。 △ACD的周长 = AC + AD + CD = AC + AD + BD = AC + AB = 5 + 7 = 12。 故选：A。 2．（2024·浙江杭州中考）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。下列结论中正确的是（　　） A．BD=CD B．AE=BE C．AD=BC D．∠B=∠BAD 【答案】A 【分析】等腰三角形三线合一，AD是角平分线也是中线和高，所以BD=CD。 【详解】解：∵ AB=AC，AD是角平分线， ∴ AD也是BC边上的中线和高（等腰三角形三线合一）， ∴ BD=CD，A正确。 B选项AE=BE不一定成立；C选项AD=BC不一定成立；D选项∠B=∠BAD不一定成立。 故选：A。 3．（2024·山东济南中考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且DF=DB。 （1）求证：CF=EB； （2）若AE=5，EB=2，求AF的长。 【答案】（1）证明见详解；（2）AF=3 【分析】（1）由角平分线性质得DC=DE，证Rt△DCF≌Rt△DEB；（2）AC=AE=5，CF=EB=2，AF=AC-CF=3。 【详解】（1）证明：∵ ∠C=90°，∴ DC⊥AC。 ∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴ DC=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 在Rt△DCF和Rt△DEB中： DF=DB（已知），DC=DE（已证）， ∴ Rt△DCF≌Rt△DEB（HL）。 ∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）。 （2）解：在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD，DC=DE， ∴ Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴ AC=AE=5。 由（1）知CF=EB=2， ∴ AF = AC - CF = 5 - 2 = 3。 答：AF的长为3。 4．（2024·湖北武汉中考）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。 （1）求证：△ADE≌△ADF； （2）若AB=10，AC=6，△ABC的面积为32，求DE的长。 【答案】（1）证明见详解；（2）DE=4 【分析】（1）由角平分线性质得DE=DF，HL全等；（2）S△ABC=(AB+AC)·DE。 【详解】（1）证明：∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 在Rt△ADE和Rt△ADF中： AD=AD（公共边），DE=DF（已证）， ∴ Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）。 （2）解：∵ DE=DF， S△ABC = S△ABD + S△ACD = ·AB·DE + ·AC·DF = (AB+AC)·DE = (10+6)·DE = 8DE。 ∵ S△ABC = 32，∴ 8DE = 32，解得 DE = 4。 答：DE的长为4。 5．（2024·陕西中考）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接EF交AD于点O。 （1）求证：AE=AF； （2）求证：AD垂直平分EF。 【答案】证明见详解 【分析】（1）由角平分线性质得DE=DF，HL全等；（2）等腰三角形三线合一。 【详解】（1）证明：∵ AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=AD，DE=DF， ∴ Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴ AE=AF（全等三角形的对应边相等）。 （2）证明：∵ AE=AF，∴ △AEF是等腰三角形。 又∵ AD平分∠BAC，即AD平分∠EAF， ∴ AD垂直平分EF（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）。 6.（2024·河南中考）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。 （1）求证：DE=DF； （2）若AB=10，△ABC的面积为40，求DE的长。 【答案】（1）证明见详解；（2）DE=4 【分析】（1）角平分线性质定理；（2）S△ABC=2×S△ABD=AB·DE。 【详解】（1）证明：∵ AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 （2）解：∵ AB=AC，AD是角平分线，∴ AD也是BC边上的中线， ∴ S△ABD = S△ACD = S△ABC = 20。 又∵ S△ABD = ·AB·DE = ×10×DE = 5DE， ∴ 5DE = 20，解得 DE = 4。 答：DE的长为4。 7．（2024·河北中考）如图，在△ABC中，AB=10，BC=8，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E。 （1）求证：△ACD≌△AED； （2）若S△ABD=10，求BD的长。 【答案】（1）证明见详解；（2）BD=4 【分析】（1）由角平分线性质得CD=DE，HL全等；（2）在Rt△BDE中，∠B=30°，BD=2DE=2CD=4。 【详解】（1）证明：∵ AD平分∠BAC，∠C=90°即DC⊥AC，DE⊥AB， ∴ CD=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 在Rt△ACD和Rt△AED中： AD=AD（公共边），CD=DE（已证）， ∴ Rt△ACD≌Rt△AED（HL）。 （2）解：∵S△ABD=×AB×DE=10，AB=10， ∴×10×DE=10， ∴DE=2. ∵CD=DE， ∴CD=2,。 ∵AB=8， ∴BD=AB-CD=8-2=4 答：BD的长为4。 学科网（北京）股份有限公司 $