1.2 集合间的基本关系 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合间的基本关系，涵盖子集、真子集、空集、集合相等概念及Venn图表示。通过类比实数大小关系导入，回顾集合概念后提出探究问题，搭建从已有认知到新概念的思维支架，衔接前后知识脉络。 此资料以实例递进式追问引导概念形成，如对比集合A={1,2,3}与B={1,2,3,4,5}，培养学生用数学眼光观察的抽象能力。概念深化环节通过符号∈与⊆辨析、空集性质讨论，发展用数学思维思考的推理意识。应用举例含参集合分类讨论，提升用数学语言表达的逻辑能力，助力学生构建知识体系，帮助教师突破重难点，提升教学效率。

高一 1.2 集合间的基本关系 人教A版 必修第一册 教学设计-2026-2027学年 数学 一、教材分析 本节内容选自人教A版必修第一册第一章1.2，是在学生已经学习集合的概念与元素表示法之后，进一步研究集合与集合之间的内在关联。教材沿着"类比实数的大小关系"这一主线，依次引出子集、集合相等、真子集与空集的概念，并用Venn图进行直观刻画。这些概念是后续学习集合的交、并、补运算以及函数定义域、值域等知识的逻辑基石，在高中数学知识体系中起着承上启下的关键作用。 二、教学重难点 教学重点：子集、真子集、空集的概念与符号表示，集合相等的双向包含判定方法，以及用Venn图直观表示集合间关系。 教学难点：符号∈与⊆在语义上的区分（元素与集合的关系同集合与集合的关系之别），空集作为任何集合子集这一规定的理解，含参集合关系中端点值的取舍与分类讨论。 三、教学过程 本节课的教学流程按照课堂时间顺序依次展开为引言、研究探讨、概念形成、概念深化、应用举例、归纳总结与课后作业七个环节。 四、引言 教师活动：教师引导学生回顾上一节所学的集合概念，提出问题——实数之间有大小关系，如3<5，那么集合与集合之间是否也存在类似的关系？能否类比实数的大小来定义集合之间的"大小"？ 学生活动：学生回忆实数大小关系的判定方法，思考并尝试举出具体的集合实例进行对比，如A={1,2}与B={1,2,3}，直观感知两个集合间存在元素多与少的包含现象。 设计意图：通过类比实数大小关系，激活学生已有认知，产生探究集合间关系的内在需求，为新概念的引入搭建思维支架。 五、研究探讨 教师活动：教师给出两个具体集合A={1,2,3}与B={1,2,3,4,5}，引导学生观察集合A中的元素与集合B中元素的对应关系，追问：集合A的每一个元素是否都在集合B中？反过来，集合B的元素是否都在集合A中？ 学生活动：学生逐一核验，发现集合A的元素1、2、3均在集合B中，但集合B的元素4、5不在集合A中，由此体会到集合A"完全被包含"于集合B之中。 教师活动：教师进一步追问：若将集合A的元素扩展为B的全部元素，即A=B={1,2,3,4,5}，此时包含关系是否依然成立？这揭示了什么？ 学生活动：学生发现当A与B元素完全一致时，A的元素都在B中，B的元素也都在A中，包含关系双向成立，由此引出集合相等的直观认识。 设计意图：通过具体实例的递进式追问，让学生在观察与对比中自主发现子集与集合相等的本质特征，为抽象出严谨定义积累感性经验。 六、概念形成 1. 子集的定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集（subset），记作A⊆B（或B⊇A），读作"A包含于B"（或"B包含A"）。 教师活动：教师强调"任意一个"的含义，即集合A中不存在任何例外元素，并指出子集刻画的是集合与集合之间的包含关系。 2. Venn图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。教师演示用两个嵌套的封闭区域分别表示集合A与B，直观呈现A⊆B的图形特征。 3. 集合相等 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B。也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A=B。 4. 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作A⫋B（或B⫌A），读作"A真包含于B"（或"B真包含A"）。 5. 空集 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集（empty set），记为∅，并规定：空集是任何集合的子集。 6. 重要结论 由集合之间的基本关系可得：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C。 设计意图：按教材口径逐一给出定义与符号，配合Venn图直观演示，确保概念表述准确严谨，同时通过层层递进的概念链条帮助学生建立完整的知识体系。 七、概念深化 1. 区分∈与⊆ 教师活动：教师板书两组关系：{a}⊆A与a∈A，引导学生辨析二者的区别。设A={1,2,3}，提问：{1}⊆A与1∈A分别表示什么含义？能否写成{1}∈A或1⊆A？ 学生活动：学生讨论后回答：{1}⊆A表示集合{1}是集合A的子集，是集合与集合之间的关系；1∈A表示元素1属于集合A，是元素与集合之间的关系。不能写成{1}∈A或1⊆A，因为关系符号左右两端的对象类型不匹配。 2. 空集的性质深化 教师活动：教师提问：∅⊆A对任意集合A都成立，那么∅⫋A是否也恒成立？请举例说明。 学生活动：学生思考后回答：当A≠∅时，∅⫋A成立，因为∅中没有元素而A中至少有一个元素；但当A=∅时，∅⫋∅不成立，因为不存在属于∅而不属于A的元素。所以∅⫋A在A≠∅时为真，在A=∅时为假。 3. 子集的有序写出 教师活动：教师以集合{a,b}为例，引导学生按元素个数从少到多有序写出所有子集。提问：{a,b}的子集有哪些？真子集有哪些？ 学生活动：学生按0个、1个、2个元素的顺序依次写出：子集为∅，{a}，{b}，{a,b}；真子集为∅，{a}，{b}（真子集不含{a,b}本身）。 设计意图：聚焦本节核心难点，通过辨析与举例让学生在对比中厘清符号语义，在有序列举中体会子集的构成规律，为后续含参讨论奠定方法论基础。 八、应用举例 例1 写出集合{a,b}的所有子集和真子集。 解题过程：按元素个数从少到多依次列举。0个元素的子集为∅；1个元素的子集为{a}，{b}；2个元素的子集为{a,b}。因此集合{a,b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a,b}。真子集是在子集的基础上去掉集合自身，故真子集为∅，{a}，{b}。 答案：子集为∅，{a}，{b}，{a,b}；真子集为∅，{a}，{b}。 例2 判断下列各组集合的关系：（1）A={1,2,3}，B={1,2,3,4}；（2）A={x|x是矩形}，B={x|x是平行四边形}。 解题过程：（1）集合A的元素1、2、3均在集合B中，但B中元素4不在A中，故A⫋B。（2）矩形是特殊的平行四边形，即矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形（如菱形），所以集合A的任意元素都属于集合B，且B中存在不属于A的元素，故A⫋B。 答案：（1）A⫋B；（2）A⫋B。 例3 已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|0≤x≤4}，判断A与B的关系。 解题过程：集合A表示从1到3的所有实数，集合B表示从0到4的所有实数。由于[1,3]⊆[0,4]，即A中任意元素x都满足0≤x≤4，故x∈B。反之，B中元素如0、4不在A中，故存在x∈B且x∉A。因此A⫋B。 答案：A⫋B。 例4 设集合A={1,2}，B={x|x⊆A}，用列举法表示集合B。 解题过程：集合B的元素是集合A的所有子集。由例1知A的子集为∅，{1}，{2}，{1,2}，故B={∅，{1}，{2}，{1,2}}。注意此处∅和{1}等都是集合B的元素，即∅∈B。 答案：B={∅，{1}，{2}，{1,2}}。 例5 已知集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m−1}，若A⊇B，求实数m的取值范围。 解题过程：由A⊇B知B⊆A，即B是A的子集。需分两种情况讨论。 情形一：当B=∅时，区间端点满足m+1>2m−1，解得m<2。此时B为空集，∅⊆A恒成立，故m<2符合题意。 情形二：当B≠∅时，需满足m+1≤2m−1，即m≥2。同时B⊆A要求区间[m+1, 2m−1]包含于[−2, 5]，故需满足端点条件m+1≥−2且2m−1≤5。由m+1≥−2得m≥−3，由2m−1≤5得m≤3。结合m≥2，得2≤m≤3。 综合两种情形，取并集，得m的取值范围为m<2或2≤m≤3，即m≤3。 答案：实数m的取值范围为{m|m≤3}。 易错提醒：在含参集合包含关系问题中，务必优先考虑B=∅的情形，否则极易漏解；同时注意区间端点的取舍需严格依据不等式方向逐一验证。 九、归纳总结 教师活动：教师引导学生回顾本节课所学的核心概念与结论，提出问题：本节课学习了哪些集合间的基本关系？子集与真子集的区别是什么？空集有哪些特殊规定？∈与⊆在用法上有何不同？ 学生活动：学生梳理并回答：本节课学习了子集（A⊆B）、集合相等（若A⊆B且B⊆A则A=B）、真子集（A⫋B）和空集（∅）四个核心概念。子集允许集合相等，真子集则要求B中至少存在一个不属于A的元素。空集是不含任何元素的集合，规定空集是任何集合的子集。∈表示元素与集合的属于关系，⊆表示集合与集合的包含关系，二者不能混用。 设计意图：通过问题链驱动学生自主回顾，梳理知识脉络，强化对核心概念与易错点的记忆，形成结构化的认知框架。 十、课后作业 1. 写出集合{a,b,c}的所有子集和真子集。 答案：子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b,c}，共8个；真子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}，共7个。 2. 判断下列命题的真假：（1）空集没有子集；（2）任何一个集合至少有两个子集。 答案：（1）假命题。空集是任何集合的子集，而空集本身也是集合，故∅⊆∅，空集至少有一个子集即它自身。（2）假命题。当集合为空集时，它只有一个子集即∅自身，并非至少两个。 3. 设集合A={x|0≤x≤4}，B={x|1≤x≤3}，判断A与B的包含关系，并用Venn图表示。 答案：因为B中任意元素x满足1≤x≤3，从而0≤x≤4，即x∈A，故B⊆A。又A中元素如0、4不在B中，故B⫋A。Venn图用大圆表示A，小圆嵌套于大圆内部表示B。 4. 已知集合A={x|−3≤x≤4}，B={x|2m≤x≤m+3}，若B⊆A，求实数m的取值范围。 答案：分两种情形讨论。当B=∅时，2m>m+3，解得m<−3，此时∅⊆A成立。当B≠∅时，需2m≤m+3即m≥−3，且端点满足2m≥−3且m+3≤4，解得m≥−且m≤1，取交集得−≤m≤1。综合得m的取值范围为m≤1。 学科网（北京）股份有限公司 $