第13章三角形 单元检测卷-2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 该卷为初中数学三角形单元复习检测卷，全面覆盖三角形定义、性质及应用，通过基础题与综合探究题结合，培养抽象能力、推理意识和几何直观，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|三角形对边对角、高、三边关系、内角和|基础概念辨析，如第3题三边关系判断| |填空题|8/16|中线性质、动态旋转、面积关系|结合动态情境，如三角板旋转求t值| |解答题|7/64|等腰三角形应用、飞镖模型、重心探究|综合探究，如重心性质及面积计算，体现模型思想与推理能力|

第13章三角形单元检测卷 一、选择题（共20分） 1．在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，是边上高的线段为（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 3．下面是三根小棒的长度（单位：），能围成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．3，4，8 C．5，5，10 D．2，8，7 4．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，撕掉的角的度数是（     ） A．10° B．40° C．50° D．80° 5．已知三角形的三边长分别为3，5，x，则第三边长x的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 6．图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 7．如图，是的外角，过点作射线，若，，则（     ） A． B． C． D． 8．中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 9．下列图中能说明一定成立的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，，A，D分别是直线上的点，平分交于点E，，，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共16分） 11．在中，若，则，其依据是___________． 12．如图，在中， ，若的周长为，则______． 13．设的三边长是a，b，c．若，，则a的取值范围是______________． 14．如图，若，则________． 15．若平面内两个角、的两边一边互相平行，另一边互相垂直，且，则________． 16．在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 17．将一副三角板如图所示摆放，，，若三角板保持不动，将三角板绕点E以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，当斜边与三角板的一条边平行时，所有满足条件的t为__________秒． 18．如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点．给出下面四个结论：①；②；③当时，；④的最小值为；上述结论中，正确结论的序号是_______． 三、解答题（共64分） 19．在中，，，求的度数． 20．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果底边长是腰长的一半，求腰长； (2)等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分为，求等腰三角形的底边长． 21．已知四条线段的长度为a，b，c，p（它们是从小到大的连续正整数），且． (1)求p的值； (2)已知a，b，x为三角形的三条边长，若x为整数，求三角形周长的最大值． 22．如图，在中，与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，． （1）的度数为______； （2）的度数为______． 23．【模型认识】如图，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型． 【初步探索】 (1)如图，已知，，，求的度数． 【归纳结论】 (2)、、和的数量关系是________． 【深入探究】 (3)如图，若，，且，直接写出的度数． 24．在数学活动课上，善思小组的同学以“两条平行线，和一块含的直角三角板（，，逆时针方向排列，其中，）”为主题展开数学活动，点始终在直线上． (1)如图1，当时，边，分别交于点，，求的度数； (2)如图2，三角板绕点旋转，当点在下方，点在两条平行线之间时，的延长线交于点，的平分线与的平分线交于点，请探究的度数是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，三角板的顶点在直线上，边交于点，将三角板沿翻折，点落在点处，，为边延长线上一点，连接，的平分线所在直线交于点，直接写出与之间的数量关系． 25．三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．反之，连接三角形的任一顶点与重心，将该线段延长并与顶点的对边相交，所得交点即为这条对边的中点．如图①，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平平衡状态． 【解决问题】 (1)利用图①，求的值； (2)如图②，的重心为点，的面积为，点是的中点，连接交的延长线于点，求的面积； (3)如图③，在（2）的条件下，点为线段上一点，连接并延长交于点，若是的中点，求的值． 参考答案 1．D 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【解答】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 2．C 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段就叫做这条边上的高求解即可． 【解答】解：A，是的边上的高； B，是的边上的高； C，是中边上高； D，不是图中任何线段上的垂线． 3．D 【解答】解：选项A中，选项B中，选项C中，不符合三角形任意两边之和大于第三边，所以均不能围成三角形，选项D中，符合三角形任意两边之和大于第三边，所以能围成三角形． 4．C 【分析】本题目考查三角形内角和定理，根据三角形内角和为即可求出撕掉的角的度数． 【解答】根据三角形内角和定理，三角形撕掉的角的度数是：． 5．D 【分析】根据三角形三边关系定理确定第三边的取值范围，再对应数轴表示即可． 【解答】解：∵三角形两边长分别为，， ∴第三边长x应满足， 即， 在数轴上表示为： 6．C 【解答】解：如图， 三角形有，一共有6个． 7．A 【分析】先证明，再利用平行线的性质求解即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴． 8．A 【分析】根据三角形的中线平分该三角形的面积求解即可． 【解答】解：∵，点D是边上的中点， ∴， ∵点E是边上的中点， ∴，， ∴， ∵点F是边上的中点， ∴． 9．B 【分析】根据对顶角相等，三角形外角的定性质，平行线的性质，以及三角形内角和为判断选项即可． 【解答】解：A选项，与是对顶角，则，不能说明成立； B选项，标记如图， 由三角形外角的定义可知，，则一定成立； C选项，由平行线的性质可知，若两条直线平行，内错角相等， 则，不能说明成立； D选项，标记如图， 由图可知，，，即， 则成立，不能说明成立． 10．C 【分析】证明，可得，证明，可得，可得，故①正确；证明，可得平分，故③正确；证明，若，则，故②错误；证明．可得．证明，可得，，故④正确． 【解答】解：标注角度如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴平分，故③正确； ∵，， ∴， 若， ∴， ∴，此结论不一定成立，故②错误； ∵， ∴． ∵和的平分线交于点F， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论有①③④，共3个． 11． 在同一个三角形中，大角对大边 【解答】解：在中，边所对的内角为，边所对的内角为，由可推出，其依据是三角形的边角基本性质，即在同一个三角形中，大角对大边， 故答案为：在同一个三角形中，大角对大边． 12． 【分析】本题考查三角形的周长，根据的周长减去可得结论． 【解答】解：根据题意得， ∵， ∴， 故答案为：18． 13． 【分析】已知三角形两边长，求第三边的取值范围，利用三角形三边关系计算即可． 【解答】解：∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，，， ∴边长a满足不等式， 将，代入不等式得， 化简得． 14． 【分析】利用三角形内角和为求得，结合推导出的数值． 【解答】解：如图， ， ∴， ∵， ∴， ， ． 15．或 【分析】根据题意分两种情况画出图形，利用平行线的性质与垂直的定义，结合角度的和差关系计算的度数． 【解答】解：分两种情况讨论： (1) 当的一边与的一边平行，另一边互相垂直，得到钝角时： ，， ∴ 又 另一边互相垂直，即， ； (2) 当的一边与的一边平行，另一边互相垂直，得到锐角时： ，， ∴ 又 另一边互相垂直，即， 综上可知，或． 16．2 【分析】这道题的解题关键在于巧妙地运用“同高不同底”的几何性质来转化面积关系，首先，利用中点 将大三角形 分割成面积相等的两部分，并进一步推导出 与 的面积相等，接着，根据“等高三角形面积比等于底边比”，由 可直接推导：在 中， 与 等高，故 。设 ，则 ，进而 ，同理，对以 为顶点的 ，也有 ，利用面积差 及 ，可推得 ，所以 ，即可解得 ，从而将所有相关面积统一用 表示，最后列方程即可求解． 【解答】解：连接 ， 为 边的中点 设 ， 则 ． 17．或或 【分析】根据题意分三种情况进行讨论，画出图形，根据平行线的性质以及角的和差进行求解． 【解答】解：①如图，当时，，过点作， ∴， ∴， ∴； ②如图，当时，交直线于点，过点作， ∴， ∴， ∴， ∴； ③如图，当时，过点作， ∴， ∴， ∴； 综上，所有满足条件的t为或或． 18．①③④ 【分析】利用三角形面积公式计算，即可判断①正确；根据的值不确定，即可判断②错误；根据同角的余角相等即可判断③正确；由垂线段最短，并结合三角形面积公式计算即可判断④正确． 【解答】解：∵在中，，为边上的高，， ∴，故①正确，符合题意； ∵P为上一动点， ∴的值不确定， ∴不一定与相等，故②错误，不符合题意； 当时，， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 由垂线段最短得，当时，的值最小，此时， ∴， ∴的最小值为，故④正确； 综上所述，正确结论的序号是①③④． 19． 【分析】根据三角形三个内角的关系设未知数，结合三角形内角和为列方程即可求解． 【解答】解：设，则，， 任意三角形的内角和为，即， ， 解得，即． 20．(1)腰长为； (2)底边长为或． 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系，明确题意，利用分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键． （1）根据题意和底边长是腰长的一半，即可列出相应的方程，从而可以求得各边的长； （2）设腰长为，分①当时，②当时，两种情况讨论，然后得出底边长度． 【解答】（1）解：设底边为，则腰为， 由题意得， 解得， 腰长为； （2）解：设腰长为， ①当时，得， 腰长， 底边长为， 能构成三角形； ②当时，得， 腰长， 底边长为， 能构成三角形； 综上所述：底边长为或． 21．(1) (2) 【分析】（1）易得，，，代入，求解即可； （2）根据三角形的三边关系进行求解即可． 【解答】（1）解：由题意得，，， 则，解得． （2）解：由（1）可知：，， 根据三边关系可知：，即， ∵x为整数， ∴x的最大值为6， ∴三角形周长的最大值为． 22． /80度 /40度 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角的性质，解题的关键是利用角平分线将角进行等分，结合三角形内角和与外角关系推导未知角度． （1）先在中，由内角和求出与的和，再根据BD、CD是角平分线得出与的和，最后用内角和求出； （2）利用三角形外角性质，结合外角平分线与平分线的关系，推导与的数量关系，再代入的度数求出． 【解答】（1）解：在中， ∵，， ∴； ∵BD平分，CD平分， ∴，， ∴； 在中，∵， ∴， 故答案为：； （2）设的外角为， ∵CE平分， ∴； 由三角形外角性质，，又BD平分， ∴； ∵是的外角， ∴， ∴，化简得； ∵， ∴， 故答案为： 23．(1) (2) (3) 【分析】（1）连接并延长到点E，由三角形外角的性质可得，，则可推出，据此代入求解即可； （2）由（1）可得答案； （3）由（1）得，，求出的度数，则可得到的度数，据此可得答案． 【解答】（1）解：如图1所示，连接并延长到点E， ∴，， ∴， ∵，，， ∴； （2）解；由（1）可得； （3）解：由（1）得， ， ∵，， ∴， ∵且， ∴， ∴． 24．(1) (2)的度数不发生变化，理由如下： 分别过点，作的平行线，，如图， 设，， ∵的平分线与的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的度数不发生变化； (3) 【分析】（1）利用平行线的性质及三角形内角和即可求解； （2）的度数不发生变化；分别过点，作的平行线，，设，，利用平行线的性质及角的和差运算可求得，即； （3）由翻折得，再由可求得、的度数，由平行线的性质得，；设，则可表示出相关角，进而可得与之间的数量关系． 【解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由翻折知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设， 则，， ∵的平分线所在直线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）设，，利用三角形中线的性质求得，根据等高的两个三角形面积的比等于底边的比得到，据此计算即可求解； （2）延长交于点，延长交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，如图，利用（1）的结论求得，设，求得，根据的面积为，求得，再证明的重心为点，再利用（1）的结论求解即可； （3）连接，，，，延长交于点，如图，设，，求得，，得到，根据，求得，据此计算即可求解． 【解答】（1）解：设，， ∵分别为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长交于点，延长交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，如图， ∵的重心为点，由（1）知，，， 设， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴的重心为点， ∴，， ∴； （3）解：连接，，，，延长交于点，如图， 设，， ∵是的中点， ∴，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 同理， ∵的重心为点， ∴， ∴， ∴， ∵的重心为点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $