北京市中关村中学2026-2027学年高三上学期8月练习数学试题

2027届中关村中学高三年级练习 数学 2026.08 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题共40分） 一、本部分共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．下列函数中，与函数定义域相同的函数为（ ） A． B． C． D． 3．已知且，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知是定义域为的奇函数，且单调递增，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 5．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则（ ） A． B． C． D． 6．若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知的三个顶点，，的坐标分别是，，，为坐标原点，动点满足，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 8．设无穷等比数列的前项和为．若，则（ ） A．为递减数列 B．为递增数列 C．数列有最小项 D．数列有最大项 9．已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（ ） A．当时，有3个零点：当时，有2个零点 B．当时，有4个零点：当时，有1个零点 C．无论为何值，均有2个零点 D．无论为何值，均有4个零点 10．用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合，则（ ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题共110分） 二．填空题共5个小题，每小题5分，共25分． 11．在复平面内，复数对应的点与原点的距离是_________． 12．二项式的展开式中的常数项是_________；二项式系数和是_________． 13．能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是_________． 14．股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为，已知某支股票的当前价格为16元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到80元每股，则的最小值为_________．（参考数据：，） 15．满足一定条件的连续函数的定义域为，如果存在，使得，那么我们称函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点．在数学中，这被称为布劳威尔不动点定理，此定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔，是拓扑学里一个非常重要的不动点定理． 现新定义：若满足，则称为的次不动点．给出下列四个结论： ①对于函数，既存在不动点，也存在次不动点； ②对于函数，存在不动点，但不存在次不动点； ③函数的不动点和次不动点的个数都是2； ④若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，则的取值范围是．其中所有正确结论的序号是_________． 三．解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题13分） 已知函数． （I）求的单调递增区间 （II）求在区间上的最小值及取得最小值时自变量的值． 17．（本小题13分） 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间（包括35，75）空气质量为二级：在75微克/立方米以上空气质量为超标． 某城市环保局从该市市区2025年全年每天的监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）． （I）从这15天的日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率； （II）从这15天的数据中任取三天数据，记表示抽到监测数据超标的天数，求的分布列和数学期望； （III）用样本方差估计全年日均值的波动情况．记15天样本的方差为，将原15天样本数据去掉一个最大值和一个最小值，记去掉最值后13天数据的样本方差为，判断，的大小．（结论不要求证明） 18．（本小题14分） 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值； （III）在棱上是否存在点，满足？若存在，求出的值：若不存在，说明理由． 19．（本小题15分） 已知椭圆，直线与相交于，两点，与轴、轴分别相交于、两点，为坐标原点． （I）求椭圆的长轴长和离心率； （II）判断是否存在直线，满足条件：，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 20．（本小题15分） 设函数． （I）若函数在点处的切线斜率为1，求的值； （II）讨论的单调性； （III）若有两个极值点，，记过点，的直线斜率为，问：是否存在实数，使若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 21．（本小题15分） 定义：若无穷数列满足：①对任意，；②存在常数，对任意，，则称数列为“数列”． （I）若数列的通项为，证明：数列为“数列”： （II）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：对任意，； （III）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：存在，使得数列为等差数列． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $