4.2.1 指数函数的概念（教学设计）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦指数函数概念，通过A、B两地景区游客人次变化和碳14衰减实例导入，衔接函数概念与幂函数知识，引导学生从实际问题中发现指数增长与衰减规律，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于以数学建模为主线，通过游客人次除法运算发现增长率、碳14衰减率计算，培养数学抽象与数学思维，用函数关系式表达规律体现数学语言。小组合作与计算工具辅助提升学生探究能力，为教师提供清晰教学路径，助力学生建立函数研究的一般观念。

教案设计 科 目 数学 年 级 高一 主备教师 课 型 新授课 课时数 1 授课教师 设计主题 4.2.1 指数函数的概念 设计时间 授课时间 课标要求 1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． 2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 教材分析 指数函数是刻画现实世界中单位时间内增长率（衰减率）保持不变的变化现象的数学模型. 现实世界中存在着大量“指数增长（衰减）”的问题.例如，自然条件下，细胞的分裂、人口的增长、放射性物质的衰减等，复利方式计算利率也符合指数增长的规律.这类问题都可以通过建立指数函数模型来刻画它们的变化规律. 假设 满足指数增长（或衰减）规律，根据“单位时间内增长率（衰减率）保持不变”就有： 当，△x=1时，上式即： 这就是建立指数函数概念的数学方法——借助数学运算（除法）发现规律.对指数函数的研究，遵循研究函数的基本路径：实例→指数函数定义→图象→性质→应用.其特殊之处在于，研究过程中，要利用指数的定义、运算性质，而这些恰是指数函数变化规律的体现。例如，(>0)；对任意x，y(>0),.教科书在研究指数函数图象时，根据，建立函数与函数的联系，通过作函数的图象关于y轴的对称图象，得出函数y=的图象，就是利用了负数指数幂的定义. 从上述分析可以发现，指数函数的学习可以促进学生的数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理和数学建模等素养的发展，对学生建立“通过运算发现规律、研究规律”的一般观念也有重要作用. 学情分析 学生已经学习了函数的概念和性质，并研究了幂函数，了解了研究一个函数的基本路径，具有了用高中所要求的函数“话语方式”进行表达的经验，这是学习本单元的基础.在幂函数及之前其他函数的学习过程中，变量之间关系的建立比较直接，指数函数部分加强了概念的形成过程，A,B两地景区游客人次变化的规律需要学生运用代数学习中培养起来的一般观念来解决，即通过运算发现规律的意识和能力，而这一点无论在思想层面还是操作层面都比较薄弱，不仅学生，甚至教师也是如此，因此造成了学习难点.碳14衰减变化的规律似乎明显，但是要正确表达也不是能一步到位的，对学生而言有一定难度． 突破上述难点的办法是，教师首先要具备研究代数问题的一般观念，知道减法和除法是发现变化规律的重要方法，并类比不等式性质的学习，帮助学生回忆研究方法，培养学生探索发现的眼光和能力，然后再进入具体操作环节．对于碳14含量衰减变化的规律，要引导学生分析解决问题，需要先找到每年的衰减率这一基本量，从而建立方程，利用半衰期求解，之后进入常规问题的求解环节. 在以往的学习中，学生已经历过画图象、观察图象获得性质的过程.在指数函数的图象与性质的研究中，除了用“列表→描点→连线”的“传统”做法，还强调利用指数的定义和性质，通过两个对应关系（如与之间的变换得出图象之间的关系，通过代数运算的方法研究函数性质，这是学生以往经验中不具备的. 为破解此难点，教师要在研究一类函数的基本路径指引下，通过设计恰当的问题，引导学生关注指数函数的特点，明确指出通过指数定义、性质及指数幂的运算性质研究函数性质的思路，使学生逐步建立通过函数图象和代数运算的方法研究函数的思维习惯. 单元教学目标 1.经历通过代数运算发现指数增长（衰减）变化规律进而抽象出指数函数概念的过程，知道指数函数是刻画现实世界中增长率（衰减率）不变的规律的数学模型. 2.能利用指数的定义和运算性质，借助计算工具画出具体指数函数的图象，通过指数函数图象和指数运算的方法得出指数函数的性质. 单元教学重点 难点 1.教学重点：指数函数的概念、图象和性质，用函数图象和代数运算的方法研究函数 2.教学难点：指数增长（衰减）规律的发现，用函数图象和指数运算的方法研究指数函数. 单元课时分配 本单元分2课时： 第1课时，指数函数的概念； 第2课时，指数函数的图象和性质． 第一课时 课时学习目标 基础性目标：★ 通过任务一，通过具体实例，了解指数函数的实际意义. 拓展性目标：★★ 通过任务二，从实际问题中抽象出指数函数的概念，理解指数函数的概念，并能求解指数函数的解析式. 挑战性目标: ★★★ 通过任务三，初步应用指数函数概念解决简单的实际问题，进一步熟悉指数函数的定义. 课时学习重难点 教学重点：指数函数的概念． 教学难点：指数增长（衰减）规律的发现． 课时学习评价 教学过程 教师活动 学生活动 教学效果 1、 创设情境，提出问题： 在上一单元，我们已经将指数幂从整数指数幂推广到实数指数幂，从而为指数函数的研究做好了准备，接下来我们就来研究这类函数.回顾一下，幂函数研究的基本路径是：实例→函数定义→图象→性质.这个路径对于研究其他基本初等函数具有普适性，本单元将按照这样的路径开展研究. 2、 预习课本： 问题1：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，A,B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B 地则取消了景区门票．表4.2-1给出了A,B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量． 表4.2-1 时间／年 A地景区 B地景区 人次／万次 年增加量／万次 人次／万次 年增加量／万次 2001 600 278 2002 609 9 309 31 2003 620 11 344 35 2004 631 11 383 39 2005 641 10 427 44 2006 650 9 475 48 2007 661 11 528 53 2008 671 10 588 60 2009 681 10 655 67 2010 691 10 729 74 2011 702 11 811 82 2012 711 9 903 92 2013 721 10 1005 102 2014 732 11 1118 113 2015 743 11 1244 126 比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？ 问题2： 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过 5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 预习评估： 问题：（1）问题1、2中研究的变量分别是什么？ （2）为了方便直观比较问题1中，两地景区游客人次的变化情况，请你画出A、B两地人次与时间关系的图象。 答：（1）问题1研究的变量是A、B两地人次与时间的关系，问题2研究的变量是生物体内碳14含量与死亡年数的关系。 （2）A地： 图4.2-1 B地： 图4.2-2 三、目标一：学生通过具体实例，了解指数函数的实际意义. 任务一：了解问题1中指数函数的实际意义 思考1 ：（1）观察表4.2-1，图4.2-1与图4.2-2，你能发现两地景区游客人次的变化规律吗？ （2）代数运算是发现规律的重要方法．回顾不等式性质的发现、分数指数幂概念的形成过程，代数运算都发挥了重要的作用.我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的，通过年增加量可以看出A地景区的游客人次的变化规律. 那么，能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？你想到哪种运算了？请你试一试. 答： （1）A地景区游客人次逐年增加量大致相等（约为10万次），近似于直线上升，即线性增长．B地景区游客人次逐年增加量越来越大，从开始的31万次增长到最后的126万次，但是从图和表中都难以看出变化规律. （2） 答：从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到： ..... 结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数. 教师讲解：像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长.因此，B地景区的游客人次变化规律近似于指数增长. 我们已经发现了B地景区游客人次变化的规律，从上述对A,B两地景区游客人次变化规律的发现过程可以看出：做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率.增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量.对于增加量不变的现象，可以用一次函数刻画，对于增长率不变的现象. 追问:如果设经过x 年后游客人次为2001年的 y倍，那么y关于x的函数关系式是什么？请你写出这个问题中涉及的变量、常量，并写出它们之间的关系式. 答： 从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为： 1年后，游客人次是2001年的1.111倍； 2年后，游客人次是2001年的1.112倍； 3年后，游客人次是2001年的1.113倍； ..... x年后，游客人次是2001年的1.11倍； 如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么 ① 评估一：了解问题2中指数函数的实际意义 （小组合作）思考2 ：（1） 你能类比问题1的研究过程，解决这个问题2吗？可以将它转化成一个怎样的数学问题？ （2） 对比问题1追问，还需要知道一年的衰减率，设年衰减率为 ，如何求？与哪个量有关？ （3） 请你写出死亡生物体内碳14含量与生物死亡年数之间的关系式. 答： （1）问题2中的变量有：死亡生物体内碳14含量随生物体死亡年数的变化而变化，半衰期是常量。 （2）设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为 ，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么 死亡1年后，生物体内碳14含量为 死亡2年后，生物体内碳14含量为 死亡3年后，生物体内碳14含量为· ...... 死亡5730年后，生物体内碳14含量为 根据已知条件，，从而，所以年衰减率为． （3）已知碳14含量的年衰减率为 ，设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y，那么，即 ② 教师讲解：这也是一个函数，指数x是自变量．死亡生物体内碳14含量每年都以的衰减率衰减．像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减．因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减． 四、目标二：学生从实际问题中抽象出指数函数的概念，理解指数函数的概念，并能求解指数函数的解析式. 任务二：学生从实际问题中抽象出指数函数的概念，理解指数函数的概念. 思考3：（1）比较①和②两式，如果用字母代替其中的底数1.11和，那么函数和y=就可以表示为 的形式，其中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常数．于是得到一个新的函数．请你阅读教科书第113页，说说这个函数的定义是什么？ （2）在①②两式中，函数的定义域与上述定义中定义域的规定是不同的.如何解释？ 答：（1） 1.指数函数的定义：一般地，函数，且≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. （2）①②两式中的函数都是具有现实背景的，因此其定义域由实际意义决定；指数函数的定义是从数学意义给出的，其定义域是根据指数幂是否有意义而确定的，因为对任意x∈R,，且≠1)都有意义，所以指数函数的定义域为 R. 评估二：学生能求解指数函数的解析式. 例1. 已知指数函数，且≠1)，且=π，求，，的值. 解: 因为，且f(3)=π，则，解得 于是 所以， 五、目标三：学生初步应用指数函数概念解决简单的实际问题，进一步熟悉指数函数的定义. 任务三：学生初步应用指数函数概念解决简单的实际问题. 例2. 在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？ 解：设生物死亡x年后，它体内碳14含量为． 如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么 当x=10000时，利用计算工具求得 所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30%． 评估三：进一步熟悉指数函数的定义. 例3.在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A,B两地旅游收入变化情况． 解（1）设经过 年，游客给A,B两地带来的收入分别为 和，则 =1150×(10+600) 利用计算工具可得， 当=0时，-=412000. 当≈10.22时，≈ 图4.2-3 结合图4.2-3可知： 当<10.22时，>, 当>10.22时，<. 当=14时，-≈347303. 这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412000万元；随后10年，虽然>，但的增长速度大于；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年3月某个时刻就有=，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，<，游客给B地带来的收入超过了A地；由于增长得越来越快，在2015年，B地的收入已经比A地多了347303万元了． 教师讲解: 在实际问题中，经常会遇到类似于例3中的指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为 ，经过 次增长，该量增长到 ，则.形如，且≠0;>0且≠1）的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型． 阅读课本111~113页上问题1、2，多次阅读理解问题含义。 请学生找到这两个中问题中要研究的变量，教师核对. 学生可以根据表4.2-1中的数据先描点，再用光滑的曲线将离散的点连起来，得到两个地区的图象. 学生观察表4.2-1和图4.2-1，4.2-2，用自己的语言进行叙述，教师予以完善，给出直线上升（线性增长）的名词. 让学生独立思考，在上述一般观念的指导下，结合数据的现实含义，学生应该能想到通过做除法运算发现规律.经过交流，达成统一认识之后，由学生独立完成通过计算发现具体规律的过程. 学生先独立思考，再小组合作，找到碳14含量一年的衰减率与半衰期有关，能列方程求解，形成小组答案，上台展示。 （1）由学生独立完成.（2）让学生思考、交流后，教师帮助总结. 教师提示与前面学习过的函数解析式方法相同，学生可以同桌交流确定求解思路（待定系数法）. 学生自主完成.并总结方法：先求出的值，再求具体的函数值. 学生独立思考，发现本题与例1相同，也是求函数的一个具体的值． 学生独立思考，联系之前学习的不等式知识，能想到需要比较15年间A,B两地收入的大小关系，因此需要表示出两地每年的旅游收入，这又是一个函数.之后做减法比大小.但是其中的数据比较复杂，所以可以用计算工具进行计算.教师还可以用软件画出两地旅游收入对应的函数图象，让学生观察，看到它们的变化趋势. 这是一个数学建模的过程.面对实际问题：A,B两地景区游客人次的变化，先观察表和图发现规律，再从代数运算的角度发现规律，然后将实际问题转化为一个数学问题并解决，即求出其关系式，为下一步的抽象概括做好铺垫．在这个过程中，通过师生互动，将代数研究的一般观念渗透其中，及时揭示减法和除法在发现变化规律中的重要作用. 通过教师讲解，将实际问题归类，给出直线上升（线性增长）、指数增长、增加量、增长率等用语，方便交流. 这也是一个数学建模的过程，但是与问题1不同，其变化规律是已知的，只要借助于已知条件（半衰期）求出年衰减率即可，然后将实际问题进一步数学化，转化为一个数学问题求解，建立实际问题对应的函数关系式，为下一步的抽象概括做好铺垫．在这个过程中，着重培养学生分析问题的能力，并通过教师讲解，给出衰减率、指数衰减等用语，方便交流. 通过用字母表示数，将①②两个式子统一为一种形式，显示出它们的共性，于是抽象得到指数函数的概念，通过阅读获得定义的准确表达.通过比较从实际问题中抽象出的函数与通过数学定义给出的指数函数中自变量取值范围的不同，使学生明确指数函数定义的一般性，在这个过程中提升学生的数学抽象素养. 熟悉指数函数的解析式. 初步应用指数函数概念解决简单的实际问题，进一步熟悉指数函数的定义. 应用指数函数分析和解决实际问题，具体感受函数是刻画现实世界中变化规律的数学模型，建立模型之后可以用数学的方法对现实世界的变化规律进行研究，初步感受线性增长与指数增长之间的差异．通过教师讲解，让学生了解例3中使用的指数增长模型的关系式． 课堂小结 1.指数增长； 2.指数函数的定义； 3.求解指数函数的解析式； 4.初步应用指数函数分析和解决实际问题. 学生作业 1.基础性作业：教科书第页练习第1、2、3题； 答案：1.C 2.＝3× ;＝2=3× ; ＝2=4=3× ;＝2=8=3× ; ...... ＝2=3× ; 所以函数的解析式为 ＝3× 3.令＝， 则＝≈6.16， 所以该湖泊的蓝藻变为原来的6.16倍. 2.提升性作业：教科书第118~119页习题4.2第1、2、4、5题； 答案： 1. (１)对任意的ｘ∈Ｒ,函数都有意义,所以的定义域为(－∞,＋∞ ). (２)对任意的ｘ∈Ｒ,函数都有意义,所以的定义域为(－∞,＋∞ ). (３)对任意的ｘ∈Ｒ,函数都有意义,所以 的定义域为(－∞,＋∞ ). (４)∵ｘ≠０∴的定义域为(－∞,０)∪(０,＋∞ ). 2.由题意得，经过1年后，年产量为=(1+), 过2年后,年产量为(1+)+(1+)=(1+)2, 过3年后,年产量为(1+)2+(1+)2=(1+)3, ...... 过年后,年产量为(1+)x, ∴,(ｘ∈Ｎ∗,ｘ≤ｍ). 4. (1)20.23=Ｑ０(１＋ｒ)10 ① 23.26 ＝Ｑ０(１＋ｒ)11② 由 得， =１＋ｒ，ｒ= -1≈0.15 (2)由(1)知,Ｑ０≈５,５×(1＋0.15)12=５×1.1512≈26.75. 5.(１)设＝3.5(>0且≠１),由＝4.20, 得＝1.2, ∴＝3.5× . (２)设ｇ(ｘ)＝c(ｃ≠０,>0且≠１), 由ｇ(-１)＝８,ｇ(１)＝2得,得， ∴＝4× 3.拓展性作业:阅读教科书第115页“阅读与思考：放射性物质的衰减”． 板书设计 教学反思 成功之处 不足之处及原因 分析 改进措施 学科网（北京）股份有限公司 $