1.2 集合间的基本关系教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合间的基本关系，涵盖子集、集合相等、真子集、空集等核心概念及符号表示。通过类比实数大小关系导入，从学生已知的实数关系出发，观察集合A={1,2}与B={1,2,3}的元素包含情况，自然引出集合间关系，搭建新旧知识的学习支架。 此资料以问题链驱动概念建构，结合Venn图直观演示发展直观想象，通过分层例题如含参集合关系讨论（例2）和空集分类探究（例3），培养逻辑推理与数学抽象素养。有序列举子集（例1）等方法提升学生严谨思维，为教师提供清晰教学路径与分层练习资源，助力高效教学与学生能力提升。

高一 人教A版 教学设计-2026-2027学年 数学 必修第一册 1.2 集合间的基本关系 一、教学目标 （1）理解子集、集合相等、真子集、空集等概念，能准确运用符号⊆、⫋、=、∅表示集合间的基本关系，发展数学抽象素养。 （2）能用Venn图直观表示集合间的包含关系，区分∈与⊆的本质不同，提升逻辑推理与直观想象能力。 （3）掌握写集合子集的有序方法，能在含参集合关系问题中正确进行端点值的分类讨论，培养运算求解与严谨思维能力。 二、教学重难点 （1）重点：子集、真子集、空集的概念与符号表示，集合相等的双向包含判定方法，Venn图的直观表示。 （2）难点：∈与⊆的区别（元素与集合的关系同集合与集合的关系之辨析），空集是任何集合的子集这一规定的理解，含参集合关系中端点取舍的分类讨论。 三、教学方法 （1）采用类比引入法，由实数大小关系类比引出集合间包含关系，降低认知台阶。 （2）以问题链驱动学生观察、归纳，结合Venn图直观演示，在师生互动中逐步建构概念。 （3）通过分层例题与变式练习，在讲练结合中巩固子集书写方法与含参讨论技能。 四、教学过程 （1）导入环节——类比实数关系引入集合关系。教师引导学生回顾：对实数a，b，有a<b、a=b或a>b三种关系。类似地，两个集合之间是否存在类似的关系呢？观察集合A={1，2}与B={1，2，3}，学生易见A的所有元素都在B中。教师追问：这种关系如何定义和表示？由此自然引出本节课题。预设回答：集合A的元素全都在集合B里，说明集合A被集合B包含。 （2）新授环节——子集与Venn图。教师给出教材口径定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作"A包含于B"（或"B包含A"）。教师强调"任意一个"即全部元素，并用Venn图演示：画一个封闭曲线表示B，在其内部画封闭曲线表示A。 （3）新授环节——集合相等与真子集。教师提问：若A⊆B且B⊆A，A与B是什么关系？引导学生发现两集合元素完全相同。教师给出定义：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B。也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A=B。接着指出：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B（或B⫌A），读作"A真包含于B"（或"B真包含A"）。预设回答：两个集合互相包含，说明元素一模一样，所以相等。 （4）新授环节——空集与重要结论。教师介绍：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集。随后给出两条重要结论：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C。教师追问：∅有真子集吗？预设回答：∅没有元素，所以不存在比它元素更少的非空集合作为真子集，但∅⊆∅成立，不过不是真子集。 （5）新授环节——辨析∈与⊆。教师出示对比：a∈A表示元素a属于集合A，是元素与集合的关系；{a}⊆A表示以a为唯一元素的集合是A的子集，是集合与集合的关系。教师追问：若a∈A，能否推出{a}⊆A？预设回答：能，因为a∈A意味着a是A的元素，那么只含a的集合{a}的元素都在A中，所以{a}⊆A成立。 （6）例题精讲——子集的写法。例1：写出集合{a，b}的所有子集和真子集。教师引导学生按元素个数从少到多有序列举：先写∅，再写单元素子集{a}、{b}，最后写自身{a，b}。所以子集为∅，{a}，{b}，{a，b}；真子集为∅，{a}，{b}。教师追问：n个元素的集合有多少个子集？预设回答：2ⁿ个子集。 （7）例题精讲——含参子集关系。例2：已知集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|a≤x≤a+1}，若B⊆A，求实数a的取值范围。教师引导分析：B⊆A意味着B的区间完全落在A的区间内，需满足左端点不小于A的左端点且右端点不大于A的右端点。列不等式组：a≥−1且a+1≤2，解得−1≤a≤1。答案：实数a的取值范围为[−1，1]。教师追问：若B⫋A，结果是否改变？预设回答：不改变，因为当a=−1或a=1时，B的区间端点与A重合，但仍存在A中元素不在B中，故仍为真子集。 （8）例题精讲——空集讨论。例3：已知集合A={1，2}，B={x|x²−ax+1=0}，若B⊆A，求实数a的值。教师引导分析：B⊆A意味着B的元素只能是A的子集，需分情况讨论。情况一：若B=∅，则方程无实根，Δ=a²−4<0，即−2<a<2。情况二：若B={1}，则1是方程的根，代入得1−a+1=0，解得a=2，此时方程为x²−2x+1=0，根为1（重根），B={1}⊆A成立。情况三：若B={2}，则2是方程的根，代入得4−2a+1=0，解得a=，此时方程为x²−x+1=0，根为2和，B=，但∉A，故B⊆A不成立，舍去。情况四：若B={1，2}，则1和2都是方程的根，由韦达定理1×2=1，矛盾，不成立。综上，a=2或−2<a<2。答案：实数a的取值集合为{a|−2<a≤2}。 （9）巩固练习。练习1：判断下列关系是否正确：①0∈{0}；②0⊆{0}；③∅⊆{0}；④{0}⊆∅。教师引导逐一辨析。答案：①正确，0是{0}的元素；②错误，0是元素不是集合，不能用⊆；③正确，空集是任何集合的子集；④错误，{0}不是空集的子集。练习2：已知M={x|x=2k，k∈Z}，N={x|x=4k，k∈Z}，判断M与N的关系。答案：N⊆M且N⫋M。理由：4k=2·(2k)，N中任意元素都是偶数，属于M；但M中元素如2不在N中，故N⫋M。 （10）课堂小结。教师引导学生回顾本节核心：子集定义A⊆B、集合相等A⊆B且B⊆A⇒A=B、真子集A⫋B、空集∅及规定∅⊆A、传递性A⊆B且B⊆C⇒A⊆C，以及∈与⊆的区别。强调写子集要按元素个数有序列举不遗漏，含参问题注意端点讨论与空集情况。 （11）课后作业。作业1：写出集合{a，b，c}的所有子集和真子集。答案：子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，共8个；真子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，共7个。作业2：已知A={x|1≤x≤3}，B={x|m−1≤x≤m+1}，若B⊆A，求m的取值范围。答案：由m−1≥1且m+1≤3，解得2≤m≤2，即m=2。作业3：设A={x|x²−4x+3=0}，B={x|x²−ax+a−1=0}，若B⊆A，求a的值。答案：A={1，3}。对B：x²−ax+(a−1)=(x−1)(x−(a−1))=0，根为1和a−1。若B⊆A，则a−1∈A，即a−1=1或a−1=3，解得a=2或a=4。当a=2时B={1}⊆A；当a=4时B={1，3}⊆A。故a=2或a=4。 学科网（北京）股份有限公司 $