专题 1.8 二次函数区间最值（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义通过知识框架系统梳理二次函数区间最值的知识体系，将最值类型（定轴定区间、定轴动区间等四类）、解题方法（三点一轴及开口）、三种区间分类等要点按“类型-方法-应用”逻辑组织，结合图像示例呈现对称轴与区间位置关系的内在联系。 讲义亮点在于“题型分层精析”设计，如【题型1】定轴定区间通过例题及变式题，引导学生用数形结合分析对称轴与区间关系，培养几何直观和推理意识。同步检测分选择、填空、解答题，基础题巩固方法，综合题提升运算能力，教师可据此实施分层教学，学生能自主检测薄弱点。

专题 1.8 二次函数区间最值（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点1】最值类型 1 【知识点2】解题方法 1 【知识点3】三种区间 2 【知识点4】总结归纳 3 二.题型精析 3 【题型1】定轴定区间 3 【题型2】定轴动区间 4 【题型3】动轴定区间 5 【题型4】动轴动区间 5 三.同步检测 6 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 6 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 7 （三）解答题（本大题共4个小题,每小题9分,共36分） 7 一.知识梳理与解读 【知识点1】最值类型 为了形象和记忆方便，特别作以下规定：轴：表示对称轴，区间：表示自变量的取值范围，动：表示含有参数，二次函数区间最值类型有以下四种： （1）定轴定区间：即对称轴，区间都固定求最值； （2）定轴动区间：即对称轴固定，区间动求最值； （3）动轴定区间：即对称轴动，区间固定求最值； （4）动轴动区间：即对称轴动，区间都动求最值。 【知识点2】解题方法 （1）三点：表示区间的两个端点和中点； （2）一轴：表示二次函数对称轴； （3）开口：表示二次函数的开口方向； 以上三要素统称为：“三点一轴及开口”，通过数形结合方法，根据函数的增减性分类讨论解决问题。 【知识点3】三种区间 对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），求以下区间的最值。 1、若：且 （1）当a0时，抛物线开口向上，当时，函数有最小值；当x=n时，函数有最大值，如图（1）； （2）当a0时，抛物线开口向下，当时，函数有最大值；当x=n时，函数有最小值，如图（2）； 图（1） 图（2） 注意：这里一定要注意m,n与的水平距离，距离越远的点，才是最值，一定要结合实际情况。 2、若，且对称轴在区间的右边时 （1）当a0时，抛物线开口向上，当x=m时，函数有最大值；当x=n时，函数有最小值，如图（3）； （2）当a0时，抛物线开口向下，当x=m时，函数有最小值；当x=n时，函数有最大值，如图（4）； 图（3） 图（4） 3、若，且对称轴在区间的左边时 （1）当a0时，抛物线开口向上，当x=m时，函数有最小值；当x=n时，函数有最大值，如图（5） （2）当a0时，抛物线开口向下，当x=m时，函数有最大值；当x=n时，函数有最小值，如图（6） 图（5） 图（6） 【知识点4】总结归纳 1、根据题意画草图； 2、根据题意确定类型： （1）对称轴在区间的左侧；（2）对称轴在区间的中间；（3）对称轴在区间的右侧. 3、画出最高点和最低点，确定最值。 二.题型精析 【题型1】定轴定区间 【例题1】（23-24九年级上·陕西延安·期中）求二次函数在范围内的最小值和最大值． 【变式1】（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数的图象（）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　）    A．函数有最小值1，有最大值3 B．函数有最小值，有最大值0 C．函数有最小值，有最大值3 D．函数有最小值，无最大值 【变式2】（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）二次函数在范围内的最大值与最小值的差为______． 【变式3】（24-25九年级下·湖南常德·阶段检测）已知二次函数的图象为抛物线C． （1）抛物线C顶点坐标为 ； （2）当时，求该二次函数的函数值y的取值范围； （3）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，求出抛物线的解析式． 【题型2】定轴动区间 【例题2】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段检测）已知二次函数． （1）当时，函数的最小值是多少？ （2）当时，函数的最大值为4，最小值为0，求n的值． 【变式1】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）当时，函数的最小值为1，则a的值为（   ） A．0 B．2 C．0或2 D．0或3 【变式2】（2025·山东临沂·二模）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是_______． 【变式3】（第二十二章二次函数突破12二次函数与区间最值（二）定轴动区间）已知二次函数． （1）求该抛物线的对称轴； （2）当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值为p，最小值为q，且，求m的值． 【题型3】动轴定区间 【例题3】（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数的图象经过，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当时，直接写出y的取值范围． 【变式1】（2026·福建福州·模拟预测）若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【变式2】（23-24九年级上·河南周口·阶段检测）二次函数，当，有最小值1，则m的值为___________． 【变式3】（2026·江苏淮安·一模）已知二次函数（m为常数）． （1）当时，二次函数图像的顶点坐标为__________； （2）当时，y的最大值是8，求m的值； （3）如果点、点、点都在这个二次函数的图像上，且，请直接写出m的取值范围． 【题型4】动轴动区间 【例题4】（2026·云南昆明·二模）已知抛物线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，记． （1）求的值； （2）若点在该抛物线上，当时，函数的最大值与最小值之差为，求的值． 【变式1】（2026·陕西汉中·模拟预测）已知二次函数（为常数），当时，函数值的最大值与最小值之和为15，则的值为（   ） A．0 B．8 C．0或8 D． 【变式2】（2026·吉林长春·模拟预测）二次函数，为常数，且，若对于任意的满足，函数值的最小值为，则的值是______． 【变式3】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知点是二次函数图象上的点． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当时，求函数的最大值与最小值的和； （3）当时，若函数的最大值与最小值的和为10，求的值． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 1．（24-25九年级上·山东德州·阶段检测）已知二次函数，当时，函数y的最小值为，则a的值为（   ） A． B．2 C． D． 2．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数，当时，y有最大值a，最小值b，则的值为（    ） A．13 B．5 C．11 D．14 3．（2026·陕西宝鸡·一模）已知抛物线（为常数，），当时，取得最小值，当时，取得最大值，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）二次函数（m为常数），当时，y的最大值为6，则m的值为（   ） A．1 B． C．或2 D．1或 5．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，当时，函数的最大值是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）当时，二次函数的最小值为8，则的值为（    ） A．或5 B．5或8 C．或8 D．0或5 7．（24-25八年级下·重庆北碚·期末）当时，二次函数的最小值为8，则a的值为（　　） A．或5 B．0或6 C．或6 D．0或5 8．（2025·内蒙古·模拟预测）已知二次函数（为常数），当时，函数有最大值，则的值为（   ） A． B．1或 C．或 D．1或 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）二次函数，当时， y的范围_____________． 10．（23-24九年级上·浙江台州·期中）已知点在二次函数的图像上，则的最大值______． 11．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，则当时，的最大值与最小值的差为________． 12．（2026·辽宁·一模）已知抛物线，当时，函数的最大值是_____． 13．（2025·辽宁沈阳·二模）已知二次函数，当时，无论取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，则的取值范围是______． 14．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知点是二次函数图象上一点，当时，b的最大值为4，则实数m的值为______． 15．（2025·江苏泰州·二模）已知二次函数，当时，函数y的最大值为_______． 16．（2026·江苏南通·一模）若时，二次函数的最小值为，则________． （三）解答题（本大题共4个小题,每小题9分,共36分） 17．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）在直角坐标系中，已知抛物线的表达式为． （1）求抛物线的顶点坐标，并直接写出当满足什么条件时，随的增大而增大． （2）当时，函数的最大值与最小值之和为，求的值． 18．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）在平面直角坐标系中，有抛物线（为实数）． （1）若抛物线的对称轴为直线，求的值． （2）点为该抛物线的顶点，点是否在的图象上？请说明理由． （3）设函数在内的最大值为，最小值为，若，求的值． 19．（2025·浙江杭州·三模）在平面直角坐标系中，，在二次函数的图象上． （1）当时，求该函数图象的顶点坐标． （2）若，求的取值范围． （3）若，且当时，有最小值，求的值． 20．（2026·山东日照·模拟预测）已知抛物线． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）已知，是该抛物线上的两个点，且，求的值： （3）当时，函数的最大值为32． ①求的值； ②若，是该抛物线上两点且位于其对称轴的两侧，在点和点之间的抛物线部分，最高点与最低点的纵坐标之差为2，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.8 二次函数区间最值（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点1】最值类型 1 【知识点2】解题方法 1 【知识点3】四种区间 2 【知识点4】总结归纳 3 二.题型精析 3 【题型1】定轴定区间 3 【题型2】定轴动区间 6 【题型3】动轴定区间 9 【题型4】动轴动区间 13 三.同步检测 17 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 17 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 23 （三）解答题（本大题共4个小题,每小题9分,共36分） 28 一.知识梳理与解读 【知识点1】最值类型 为了形象和记忆方便，特别作以下规定：轴：表示对称轴，区间：表示自变量的取值范围，动：表示含有参数，二次函数区间最值类型有以下四种： （1）定轴定区间：即对称轴，区间都固定求最值； （2）定轴动区间：即对称轴固定，区间动求最值； （3）动轴定区间：即对称轴动，区间固定求最值； （4）动轴动区间：即对称轴动，区间都动求最值。 【知识点2】解题方法 （1）三点：表示区间的两个端点和中点； （2）一轴：表示二次函数对称轴； （3）开口：表示二次函数的开口方向； 以上三要素统称为：“三点一轴及开口”，通过数形结合方法，根据函数的增减性分类讨论解决问题。 【知识点3】三种区间 对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），求以下区间的最值。 1、若：且 （1）当a0时，抛物线开口向上，当时，函数有最小值；当x=n时，函数有最大值，如图（1）； （2）当a0时，抛物线开口向下，当时，函数有最大值；当x=n时，函数有最小值，如图（2）； 图（1） 图（2） 注意：这里一定要注意m,n与的水平距离，距离越远的点，才是最值，一定要结合实际情况。 2、若，且对称轴在区间的右边时 （1）当a0时，抛物线开口向上，当x=m时，函数有最大值；当x=n时，函数有最小值，如图（3）； （2）当a0时，抛物线开口向下，当x=m时，函数有最小值；当x=n时，函数有最大值，如图（4）； 图（3） 图（4） 3、若，且对称轴在区间的左边时 （1）当a0时，抛物线开口向上，当x=m时，函数有最小值；当x=n时，函数有最大值，如图（5） （2）当a0时，抛物线开口向下，当x=m时，函数有最大值；当x=n时，函数有最小值，如图（6） 图（5） 图（6） 【知识点4】总结归纳 1、根据题意画草图； 2、根据题意确定类型： （1）对称轴在区间的左侧；（2）对称轴在区间的中间；（3）对称轴在区间的右侧. 3、画出最高点和最低点，确定最值。 二.题型精析 【题型1】定轴定区间 【例题1】（23-24九年级上·陕西延安·期中）求二次函数在范围内的最小值和最大值． 【答案】最小值为2，最大值为6 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求得对称轴与顶点坐标，进而根据二次函数的性质，求得最小值，即可求解． 解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为，顶点坐标为， ∵， ∴当时，取得最大值；当时，取得最小值． ∴二次函数在范围内的最小值为，最大值为． 【变式1】（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数的图象（）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　）    A．函数有最小值1，有最大值3 B．函数有最小值，有最大值0 C．函数有最小值，有最大值3 D．函数有最小值，无最大值 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和最值，能根据x的取值范围利用数形结合求解是解答此题的关键．由图象可直接得出当时，函数有最小值；当时，函数有最大值3，即可解答． 解：由图象可知该函数在所给自变量取值范围内，当时，函数有最小值；当时，函数有最大值3． 故选C． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）二次函数在范围内的最大值与最小值的差为______． 【答案】36 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，已知自变量的值求函数值，正确理解函数的开口方向确定最值是解题的关键． 将函数化为顶点式，确定函数的最小值，再分别计算时，当时的函数值，得到函数值的范围即可． 解：， 抛物线开口向上，抛物线对轴为直线，当时，有最小值0， 当时，， 当时，， 当时，最大值为36，最小值为0， 二次函数在范围内的最大值与最小值的差为：． 故答案为：36． 【变式3】（24-25九年级下·湖南常德·阶段检测）已知二次函数的图象为抛物线C． （1）抛物线C顶点坐标为 ； （2）当时，求该二次函数的函数值y的取值范围； （3）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，求出抛物线的解析式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得抛物线C的顶点坐标； （2）根据二次函数的性质可得出答案； （3）根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式． （1）解：， ∴抛物线C的顶点坐标为； 故答案为： （2）解：∵，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴ 当时，该二次函数的函数值y的取值最小，最小值为1； 当时，； 当时，； ∴当时，二次函数的函数值y的取值范围为； （3）解：∵将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，且抛物线C的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，平移的规律，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【题型2】定轴动区间 【例题2】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段检测）已知二次函数． （1）当时，函数的最小值是多少？ （2）当时，函数的最大值为4，最小值为0，求n的值． 【答案】（1）当时，函数的最小值是；（2）n的值为或 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴的计算，二次函数最值的计算方法是解题的关键． （1）根据二次函数解析式得到对称轴直线，根据二次函数增减性，最值的计算方法即可求解； （2）将二次函数化为顶点式可知，当时函数有最大值为4，再求出函数值为0时的值，分类讨论即可求解． （1）解：二次函数，， ∴函数图象的开口向下，对称轴直线为， ∴离对称轴直线距离越远，值越小， ∴当时，函数值最小，最小值为， ∴当时，函数的最小值是； （2）解：， 当时，函数有最大值为4， 令，则， 解得：，， 当时，，则，此时函数的最大值为4，最小值为0，符合题意； 当时，，则，此时函数的最大值为4，最小值为0，符合题意； 综上所述，n的值为或． 【变式1】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）当时，函数的最小值为1，则a的值为（   ） A．0 B．2 C．0或2 D．0或3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时x的值是解题的关键．利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时x的值，结合当时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 解：当时，有， 解得：，， ∵当时，函数有最小值1， ∴或， 解得：或， 故答案为：D． 【变式2】（2025·山东临沂·二模）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 先配方可得抛物线的性质，再根据题意得，求出解集即可． 解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴是，当时，有最小值，离对称轴越远函数值越大． ∵，当时，函数取最大值，当时，函数取最小值， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式3】（第二十二章二次函数突破12二次函数与区间最值（二）定轴动区间）已知二次函数． （1）求该抛物线的对称轴； （2）当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值为p，最小值为q，且，求m的值． 【答案】（1）直线；（2）m的值或． 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是数形结合． （1）根据抛物线的对称轴公式求解即可； （2）抛物线对称轴与取值范围分为 4 种情况，①时；②时；③时；④时，分别求得最大值和最小值求解即可． （1）解：， ， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ①如图1，当时，当时，， 当时，， ， 解得（舍）；           图1                      图2 ②如图2，当时，即， 当时，，当时， ， ， 解得或（舍）； ③如图3，当时，即， 当时，，当时，， ， 解得（舍）或；      图3                图4 ④如图4，当时，即， 当时，， 当时，， ， 解得（舍）； 综上所述，m的值或． 【题型3】动轴定区间 【例题3】（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数的图象经过，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用待定系数法，代入已知两点坐标求解系数，即可得到二次函数解析式； （2）将解析式配方为顶点式，当时，y取得最小值；再计算当，时，分别对应的函数值，即可得到y的取值范围． （1）解：把，代入 得， 解得 ∴二次函数的解析式为； （2）解：将二次函数配方得， 函数的对称轴为直线 ∵ ∴二次函数开口向上， ∴当时，y取得最小值； 当时，， 当时，； 即在时，y的取值范围是． 【变式1】（2026·福建福州·模拟预测）若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【答案】B 【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与的位置关系，计算即可判断结果． 解：对二次函数配方得，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即 时，函数在，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，时，有最大值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数在，随着的增大而减小， 当时，有最大值，时，有最小值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含， 综上，所有情况的都只与有关，不含，因此与有关，与无关． 【变式2】（23-24九年级上·河南周口·阶段检测）二次函数，当，有最小值1，则m的值为___________． 【答案】4或7 【分析】根据二次函数的解析式及时的值，画出草图，结合函数在的范围内有最小值1可知或，据此可得答案． 解：， 当时，， 解得：或，    ∵当时，有最小值1， ∴由图象可知，当时，图象在直线上方， 且或时，函数有最小值1， 则或， 即：的值为4或7； 故答案为：4或7． 【点拨】本题主要考查二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值，借助数形结合的数学思想是解决问题的关键． 【变式3】（2026·江苏淮安·一模）已知二次函数（m为常数）． （1）当时，二次函数图像的顶点坐标为__________； （2）当时，y的最大值是8，求m的值； （3）如果点、点、点都在这个二次函数的图像上，且，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3）或 【分析】（1）将代入解析式，利用配方法求顶点坐标． （2）根据抛物线开口向下，按对称轴与的位置关系分三种情况讨论最大值． （3）由、纵坐标相同可知它们关于对称轴对称，到对称轴距离均为；根据开口向下，说明点比点、更远离对称轴，即． （1）解：当时，， ， ， ， 顶点坐标为． （2）解：，对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， ①当时，函数在时增大而减小， 当时，取得最大值， ， 令，解得， ， 符合题意， ②当时，函数在处取得最大值， ， 令，解得， ， 舍去， ， 符合题意， ③当时，函数在在时增大而增大， 当时，取得最大值， ， 令，解得， ， 舍去， 综上所述，或． （3）解：，纵坐标相同， 点、关于对称轴对称， 点、到对称轴的距离均为， ，且抛物线开口向下， 点到对称轴的距离大于， 即， 或， 解得或． 【题型4】动轴动区间 【例题4】（2026·云南昆明·二模）已知抛物线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，记． （1）求的值； （2）若点在该抛物线上，当时，函数的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】（1）2；（2）或 【分析】（1）抛物线对称轴，代入，对称轴可得，； （2）由（1）得抛物线解析式为，代入得，故，，分三种情况讨论：①，②，③，分别分析各个情况的最大值最小值，代入条件求t的值即可． （1）解：由题意可知，对称轴是直线，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， ∵点在该抛物线上，， ∴， ∴，即，，， ∴， ∴， ∴， ， 该抛物线的顶点坐标为， 分三种情况讨论： ①当，即时， 当时，函数值最大：， 当时，函数值最小：， ∵函数的最大值与最小值之差为，即， ∴，解得：，符合； ②当，即时， 函数最小值为顶点纵坐标， ， 最大值最大能在或时取得， 当时，，当时，， 最大值减最小值最大只能为，不可能等于6， 故t不可能取到； ③当时， 当时，函数值最大， 当，函数值最小， ∴，解得：，符合； 综上所述：或． 【变式1】（2026·陕西汉中·模拟预测）已知二次函数（为常数），当时，函数值的最大值与最小值之和为15，则的值为（   ） A．0 B．8 C．0或8 D． 【答案】A 【分析】求出抛物线的对称轴为直线，可得当时，y随x的增大而增大，即可求解． 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵且， 此时y随x的增大而增大， 当时，函数取得最小值，为， 当时，函数取得最大值，为， ∵函数值的最大值与最小值之和为15， ∴， 解得：（舍去）或0． 【变式2】（2026·吉林长春·模拟预测）二次函数，为常数，且，若对于任意的满足，函数值的最小值为，则的值是______． 【答案】 【分析】根据开口向上的二次函数的增减性，按对称轴与给定区间的位置关系分情况讨论，计算不同情况下的最小值，结合已知条件筛选出符合要求的的值即可． 解：由二次函数可得，抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点的纵坐标为， ∵，的取值范围是， ∴分情况讨论： 若，解得，与已知条件矛盾，舍去此情况； 若，解不等式得， 又，则， 此时函数最小值为顶点纵坐标，不符合最小值为的条件，舍去此情况； 若，解得，符合的要求， 此时整个区间都在对称轴左侧，开口向上的二次函数在对称轴左侧随增大而减小， 因此最小值在处取得， 将代入函数得， 整理得， ∴或， 解得或， 因为，舍去， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知点是二次函数图象上的点． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当时，求函数的最大值与最小值的和； （3）当时，若函数的最大值与最小值的和为10，求的值． 【答案】（1）；（2）8；（3）或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标； （2）根据二次函数图象上点的坐标特征，即可得到当时，，当时，，从而求得结论； （3）先求出点关于对称轴的对称点为，分三种情况讨论：当时；当时；当时．分别求出最大值和最小值，根据最大值与最小值的和为10，列方程求解即可． （1）解：∵已知是二次函数图象上的点， ∴， 解得， ∴此二次函数的解析式为：， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当时， ∴当时，有最小值，当时，有最大值， ∴当时，函数的最大值与最小值的和为； （3）解： 当时，， 当时，， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为，点关于对称轴的对称点为， 分以下三种情况讨论： 当时，当时，随的增大而减小，当时，有最小值，当时，有最大值， ∴， 解得， ∴，； 当时，当时，有最小值，当时，有最大值， ，不符合题意； 当时，当时，有最大值，当时，有最小值， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，的值为或． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 1．（24-25九年级上·山东德州·阶段检测）已知二次函数，当时，函数y的最小值为，则a的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据开口向下，越远离对称轴的所对应的函数值越小，再根据当时，函数y的最小值为即可作答． 解：∵， ∴函数的开口向下，函数的对称轴为直线， ∴越远离对称轴的所对应的函数值越小， 把代入得， ∴函数的顶点坐标为， ∴当时，， ∵当时，函数y的最小值为， ∴在函数上 ∴， 解得或（舍去）． 故选：D． 2．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数，当时，y有最大值a，最小值b，则的值为（    ） A．13 B．5 C．11 D．14 【答案】A 【分析】直接利用配方法求出二次函数最小值b，进而利用二次函数增减性得出a的值，即可得出答案． 解： 整理得： 故当时，y有最小值b为2； 当时，y有最大值a为11； 故； 故选：A． 【点拨】此题主要考查了二次函数的最值，利用二次函数增减性得出其最值是解题的关键． 3．（2026·陕西宝鸡·一模）已知抛物线（为常数，），当时，取得最小值，当时，取得最大值，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴，再根据最值位置确定区间端点的范围，解不等式得到m的取值范围． 解：对抛物线配方得：， ， ∴抛物线开口向下，对称轴为，在处取得最大值， ∵，且时取得最大值， ∴， 解得 ， 又时取得最小值，二次函数在闭区间的最小值出现在离对称轴更远的端点处，到对称轴的距离为，因此区间右端点到对称轴的距离不超过3，即： 化简得， 解得 ， 取两个不等式的交集得， 故选：A． 4．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）二次函数（m为常数），当时，y的最大值为6，则m的值为（   ） A．1 B． C．或2 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，本题中不知道是正数还是负数，所以要分情况讨论．二次函数的对称轴为，所以可知当时，二次函数有最大值；当时，二次函数有最小值，因为，所以可知当时，二次函数有最大值，可得关于的方程，解方程求出的值． 解：二次函数的对称轴为， 当时，二次函数有最大值， 解得：， 当时，二次函数有最小值， 二次函数的对称轴为， ， 当时，有最大值， 可得：， 解得：， 综上所述的值为或． 故选：D． 5．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，当时，函数的最大值是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，由，可得当时，取最大值是，又当时，函数的最大值是，故，进而计算可以得解． 解：由题意，， 当时，取最大值是． 又当时，函数的最大值是， ． ． 故选：C． 6．（23-24九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）当时，二次函数的最小值为8，则的值为（    ） A．或5 B．5或8 C．或8 D．0或5 【答案】C 【分析】分类讨论对称轴的位置即可求解． 解：二次函数的对称轴为直线 时，当时，二次函数有最小值 即： 解得：（舍去） 时，当时，二次函数有最小值 即： 解得：（舍去） 故：的值为或8 故选：C 【点拨】本题考查二次函数的最值问题．根据对称轴的位置确定二次函数的最值是解题关键． 7．（24-25八年级下·重庆北碚·期末）当时，二次函数的最小值为8，则a的值为（　　） A．或5 B．0或6 C．或6 D．0或5 【答案】C 【分析】由，可知二次函数对称轴为直线，且图象开口向上，当时，，计算求出满足要求的值即可；当，即时，，计算求出满足要求的值即可． 解：， ∴二次函数对称轴为直线，且图象开口向上， ∴当时，，解得，或（舍去）， 当，即时，，解得，或（舍去）， 综上，a的值为或6， 故选：C． 【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 8．（2025·内蒙古·模拟预测）已知二次函数（为常数），当时，函数有最大值，则的值为（   ） A． B．1或 C．或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值、二次函数的性质以及解一元一次（一元二次）方程，分、以及三种情况找出关于的方程是解题的关键．将抛物线解析式变形为顶点式可得出抛物线开口方向及对称轴，分、以及三种情况画出函数图象，由当时，函数有最大值，即可得出关于的方程，解之即可得出结论． 解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线． 当，即时，时取最大值（如图1所示）， ， 解得：，（不合题意，舍去）； 当，即时，时取最大值（如图2所示）， ， 解得：； 当，即时，时取最大值（如图3所示）， ， 解得：（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）． 综上所述，的值为或． 故选：C． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）二次函数，当时， y的范围_____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先根据开口确定最大值，再分别计算出，时的函数值，即可求解取值范围． 解：∵，， ∴开口方向向下，对称轴为直线：，在对称轴处取得最大值， 则越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大 ∵， ∴当时，， 当时，； 当时，， ∴当时，y的范围是， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·浙江台州·期中）已知点在二次函数的图像上，则的最大值______． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的最值，根据，得到，计算即可． 解：∵点在二次函数的图像上， ∴，得到 ∴， ∴最大值为3， 故答案为：3． 11．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，则当时，的最大值与最小值的差为________． 【答案】// 【分析】首先根据二次函数的性质得到开口向上，对称轴为，然后将和代入求解即可． 解：∵二次函数， ∵， ∴开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴当时， ∴当时，y取得最小值，即， ∵当时，即， 当时，即， ∴当时，y取得最大值4， ∴， ∴的最大值与最小值的差为． 故答案为：． 【点拨】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 12．（2026·辽宁·一模）已知抛物线，当时，函数的最大值是_____． 【答案】6 【分析】先将抛物线解析式配方，得到抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，在给定范围内，代入端点计算后比较得到最大值． 解：对抛物线解析式配方得：， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 已知的取值范围为， 分别代入端点计算函数值：当时，， 当时，， 比较得， 因此的最大值为． 13．（2025·辽宁沈阳·二模）已知二次函数，当时，无论取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，可得和的函数值相等，再根据无论取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，可得函数的最小值为顶点的纵坐标，最大值为对应的函数值，进而即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，且图象的点离对称轴的距离越近函数值越小， ∴和的函数值相等， ∵当时，无论取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值， ∴函数的最小值为顶点的纵坐标，最大值为对应的函数值， ∴， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知点是二次函数图象上一点，当时，b的最大值为4，则实数m的值为______． 【答案】或 【分析】分、、三种情况，根据b的最大值为4，结合二次函数的性质求解即可． 解：对于来说， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小， ①若， 当时，， 解得， ∵， ∴不合题意，舍去， ②若， 当时，， 解得，符合题意， ③若， 当时，， 即， 解得或， ∵， ∴符合题意， 综上可知，或， 故答案为：或 【点拨】此题考查了二次函数的最值问题，能根据二次函数的顶点式确定最值是解答本题的关键． 15．（2025·江苏泰州·二模）已知二次函数，当时，函数y的最大值为_______． 【答案】5 【分析】先求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可． 解：∵二次函数， ∴对称轴是：， ∵， ∴时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， 由图象可知：在内，时，y有最大值，， ∴函数y的最大值为5， 故答案为：5． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象可得函数的最值是解题的关键． 16．（2026·江苏南通·一模）若时，二次函数的最小值为，则________________． 【答案】5 【分析】先判断二次函数开口方向，求出对称轴，根据对称轴与区间的位置关系分三种情况讨论，舍去不符合条件的解，即可得到正确结果. 解：∵ 二次函数的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， 分三种情况讨论： ①当，即时， 在范围内，y随x的增大而增大，当时，y取得最小值， ， 解得， ∵ ，不符合条件，舍去； ②当，即时， 二次函数最小值在对称轴处取得，将代入得： ， 解得，均不在范围内，舍去； ③ 当，即时， 在范围内，y随x的增大而减小，当时，y取得最小值， ， 解得，符合的条件. （三）解答题（本大题共4个小题,每小题9分,共36分） 17．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）在直角坐标系中，已知抛物线的表达式为． （1）求抛物线的顶点坐标，并直接写出当满足什么条件时，随的增大而增大． （2）当时，函数的最大值与最小值之和为，求的值． 【答案】（1）顶点坐标为，当时，随的增大而增大；（2）的值为或. 【分析】（1）把二次函数解析式化成顶点式即可求解； （2）结合开口方向以及函数的对称轴再分类讨论即可． （1）解：∵二次函数， 化成顶点式为：， 故抛物线的顶点坐标为：，当时，随的增大而增大； （2）解：由（1）得：抛物线的对称轴为直线，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少； 令，则， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点为：，； ∵， ∴当时，则函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， ∵函数的最大值与最小值之和为， ∴， 解得：或，（此时不符合题意，舍去） 当时， 则函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， ∴函数的最大值与最小值之和为，不符合题意舍去， 当时， 则函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， ∵函数的最大值与最小值之和为， ∴ ， 解得：或，（此时不符合题意，舍去，） 综上：或. 18．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）在平面直角坐标系中，有抛物线（为实数）． （1）若抛物线的对称轴为直线，求的值． （2）点为该抛物线的顶点，点是否在的图象上？请说明理由． （3）设函数在内的最大值为，最小值为，若，求的值． 【答案】（1）1；（2）在，理由见解析；（3）或 【分析】本题考查二次函数的性质、对称轴、最值等知识点，熟练掌握以上知识点，会用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． （1）根据对称轴为即可； （2）将抛物线化为顶点式，得出点，代入判断即可； （3）根据对称轴的位置分为四种情况进行分类讨论，①当时，在内随着的增大而减小；②当，且时，即，此时对称轴更接近；③当，且时，即，此时对称轴更接近； ④当时，即时，在内随着的增大而增大，分别确定最大值、最小值即可． 解：（1）由题意可得：， 解得； （2）， ， 当时，，所以点在的图象上； （3）， ①当时，即时，在内随着的增大而减小， 则最大值，最小值， ， ； ②当，且时，即， 则， 即， （舍去）； ③当，且时，即， 则， （舍去）， ④当时，即时，在内随着的增大而增大， 则， ， 综上，或． 19．（2025·浙江杭州·三模）在平面直角坐标系中，，在二次函数的图象上． （1）当时，求该函数图象的顶点坐标． （2）若，求的取值范围． （3）若，且当时，有最小值，求的值． 【答案】（1）该函数图象的顶点坐标；（2）；（3）的值是或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据的值，得到在二次函数图象上，化成顶点式，得到顶点坐标； （2）根据点坐标，表示出，代入到，得到结果； （3）根据题意，得到解析式，结合题意，求得值即可． （1）解：， ∴在二次函数图象上， ， 该函数图象的顶点坐标； （2）解：∵，在二次函数的图象上 ∴，， ， ∴ ， （3）解：， ， ， ， 该函数图象的对称轴为直线， 当时，该函数在处取到最小值， ， 解得，符合题意， 当时，该函数在处取到最小值， ， 解得，不合题意舍去， 当时，该函数在处取到最小值， ， 解得不合题意舍去， 综上所述，的值是或． 20．（2026·山东日照·模拟预测）已知抛物线． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）已知，是该抛物线上的两个点，且，求的值： （3）当时，函数的最大值为32． ①求的值； ②若，是该抛物线上两点且位于其对称轴的两侧，在点和点之间的抛物线部分，最高点与最低点的纵坐标之差为2，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）； 【分析】（1）将函数解析式化为顶点式求解即可； （2）求出抛物线的对称轴，根据抛物线对称性列方程计算即可； （3）①分情况讨论：若时，则当时，的最大值为0，不符合题意；当时，由二次函数的性质可求出的值； ②求出点和点之间的抛物线上的最高点的纵坐标为2，求出，，由或可求出答案． （1）解：∵， ∴该抛物线的顶点坐标是； （2）解：∵抛物线的对称轴为，，是该抛物线上的两个点，且， ∴， 解得； （3）解：①∵由（1）知该抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上， ∵， ∴当时，的最大值为32，则，解得； 当时，抛物线开口向下，，则当时，的最大值为0，这与的最大值为32相矛盾，故不符合题意． 综上，的值为2； ②由①知该抛物线的表达式为， ∵抛物线的对称轴为直线，顶点为， ∴的最小值为0． ∵，两点在对称轴两侧， ∴， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为2， ∴点M和点N之间的抛物线上的最高点的纵坐标为2， 当时，得，解得，， 即抛物线上纵坐标为2的点为和， 当时，则，解得， 当时，则，得，解得， 综上，t的取值范围是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $