专题01二次函数的意义与图象精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数的意义与图象，系统梳理定义判定（标准式、三条件）、基础抛物线y=ax²图像特征（开口方向、对称轴、顶点）、平移变换规律（上下左右平移、顶点式）、解析式互化（配方法）及作图方法，构建从定义到图像再到应用的知识脉络，为后续增减性、最值学习筑牢底层支架。 该资料以实际情境建模培养模型意识（数学语言），通过易错点分析引导严谨推理（数学思维），题型分级与解题思路助力抽象能力和几何直观（数学眼光）。课中辅助教师层次教学，课后易错点与题型练习帮助学生查漏补缺，提升学习效率。

专题01二次函数的意义与图象精讲学案 课堂核心立意 结合实际情境构建二次函数模型，牢牢把控二次函数判定核心条件，以基础抛物线y=ax^2为切入点，掌握抛物线平移规则、一般式与顶点式配方互化，建立解析式与抛物线数形结合思想，为二次函数增减性、最值、函数综合题型筑牢底层知识根基。 1.二次函数定义判定规则 ①标准解析式y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），函数解析式必须为整式形式； ②三大判定条件：自变量最高次数为2、表达式为整式、二次项系数a≠0，三者缺一不可； ③系数说明：a决定抛物线开口方向与宽窄，禁止取0；一次项系数b、常数项c可取0； ④三类特殊解析式：y=ax2、y=ax2+c、y=ax2+bx，对应缺少一次项常数项、无一次项、无常数项的特殊抛物线； ⑤实际建模步骤：梳理等量关系，设定自变量、因变量，整理为标准二次函数形式，结合实际场景标注自变量取值范围。 2.基础抛物线y=ax2图像核心特征 ①图像为抛物线，属于轴对称图形，对称轴为直线x=0（y轴），顶点坐标(0,0)； ②a>0开口向上，顶点为最低点；a<0开口向下，顶点为最高点； ③|a|越大，抛物线开口越窄；|a|越小，抛物线开口走势越平缓。 3.抛物线平移变换核心规律 ①上下平移y=ax2+k：k>0向上平移k个单位，k<0向下平移|k|个单位，对称轴保持不变； ②左右平移y=a(x-h)2，口诀：左加右减（仅对自变量x整体变换），h>0向右平移，h<0向左平移； ③综合顶点式y=a(x-h)2+k，由基础抛物线先后完成左右、上下平移得到，平移不改变二次项系数a； ④顶点式直接读取信息：对称轴直线x=h，顶点坐标(h,k)，快速判断顶点位置与函数最值。 4.解析式互化与抛物线作图 ①配方法转化：一般式y=ax2+bx+c提出二次项系数，对含x代数式凑完全平方式，改写为顶点式； ②描点法作图流程：确定对称轴，在对称轴两侧对称选取x取值，代入计算函数值列表，坐标系内描点后用平滑曲线连接形成抛物线。 ①仅凭借式子含有x2直接判定二次函数，忽略a≠0硬性条件； ②把分式、根式内含自变量的式子判定为二次函数，二次函数限定为整式函数； ③实际问题写出函数解析式后，遗漏自变量取值范围限制； ④抛物线左右平移误用口诀，直接对常数项加减，未对x整体变形； ⑤顶点式y=a(x-h)2+k顶点横坐标符号写错，误写顶点(-h,k)； ⑥配方法时提取系数a后，常数项未同步缩放计算，配方结果出错； ⑦绘制抛物线使用折线连接描点，未使用平滑曲线绘图； ⑧混淆a本身和|a|，误以为a数值越大开口越宽； ⑨多次平移时颠倒平移先后顺序，造成解析式变换错误。 题型 考察方向 难度 题型一 列二次函数关系式 ★★ 题型二 二次函数的识别 ★★ 题型三 根据二次函数的定义求参数 ★★★ 题型四 y=ax2图象与性质 ★★ 题型五 y=ax2+k图象与性质 ★★ 题型六 y=a(x-h)2图象与性质 ★★★ 题型七 y=a(x-h)2+k图象与性质 ★★★★ 题型八 二次函数图象的平移 ★★★★ 题型九 把y=ax2+bx+c化成顶点式 ★★★ 题型十 画y=ax2+bx+c的图象 ★★ 题型十一 y=ax2+bx+c的图象与性质 ★★★★ 题型十二 二次函数图象与各项系数符号 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★高频易错；★★★★考试重难点题 题型一：列二次函数关系式 解题思路： ①读题梳理题干的等量关系，合理设置自变量x与因变量y； ②根据等量关系列出式子，整理化简为整式形式y=ax2+bx+c； ③若是实际应用类题目，必须补充自变量的取值范围； 核心提醒：取值范围要贴合现实意义，例如边长、长度必须大于0。 1．已知长方形的边长分别为、，如果将它的长和宽都缩短后，那么它减少的面积y关于x的函数解析式为_________． 2．兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．一个正方形的边长为5，如果边长增加x，那么面积增加y与x之间的函数表达式是：________． 4．如图1，一张边长为a、的长方形纸片的面积等于，将它通过割、拼，再补一个正方形，拼成一个新的正方形（如图2），k可以取得的最小整数是______． 题型二：二次函数的识别 解题思路： 先对原式化简整理，同时满足3个条件才属于二次函数： 1.自变量的最高次数为2； 2.表达式是整式，分母、根号内部不能含有自变量； 3.二次项系数a≠0； 核心提醒：化简之后二次项系数为0，直接判定不是二次函数。 5．下列函数，图象不是一条直线的是（    ）． A． B． C． D． 6．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 7．下列各点中，在二次函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 题型三：根据二次函数的定义求参数 解题思路： 分两步计算，缺一不可： ①根据二次函数定义，令自变量最高次数等于2，求解参数； ②将求得的参数回代，检验二次项系数不能为0，舍去使二次项系数等于0的解； 核心提醒：本题最容易丢分，学生经常只考虑次数条件，忽略系数不为0的限制。 8．已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 10．若是二次函数，则________． 11．若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 题型四：y=ax2图象与性质 解题思路： 抓住函数三要素：开口方向、对称轴、顶点。 ①看a的正负判断开口：a>0开口向上，顶点是最低点；a<0开口向下，顶点是最高点； ②对称轴固定是直线x=0（y轴），顶点坐标(0,0)； ③|a|决定开口宽窄：|a|越大，开口越窄； 核心提醒：区分a和|a|，开口宽窄只和绝对值有关。 12．若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 13．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 14．已知二次函数的图象经过原点，且当时，y随x的增大而减小，写出一个符合题意的二次函数的解析式______． 15．抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 题型五：y=ax2+k图象与性质 解题思路： 该函数由y=ax2上下平移得到，口诀“上加下减”。 ①a不变，开口大小、方向保持不变； ②对称轴依旧为直线x=0，顶点坐标(0,k)； ③k>0，图像向上平移k个单位；k<0，图像向下平移|k|个单位； 核心提醒：上下平移只改变顶点纵坐标，对称轴不变。 16．已知抛物线有最低点，那么的取值范围是_____． 17．抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 18．若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”） 19．若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 题型六：y=a(xh)2图象与性质 解题思路： 该函数由y=ax^2左右平移得到，口诀“左加右减，只针对x”。 ①a不变，开口大小、方向不变； ②对称轴是直线x=h，顶点坐标(h,0)； ③看到y=a(x+m)2，需要转化为y=a(x-(-m))2，此时h=-m； 核心提醒：高频易错，很多同学看错h的符号，把顶点横坐标搞错。 20．若，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________（请按从小到大的顺序排列）． 21．已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A．B．C．D． 22．如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 23．如图，点从点出发沿线段做匀速运动，到点后立即按原路返回．用表示以点为圆心，线段的长为半径的圆的面积，用表示点的运动时间．下列图象适合表示与的对应关系的是（    ） A． B． C． D． 题型七：y=a(xh)2+k图象与性质 解题思路： 顶点式核心题型，直接读出图像关键信息。 ①a决定开口方向与开口宽窄； ②对称轴：直线x=h，顶点坐标(h,k)； ③由y=ax2先左右、后上下平移得到，平移不会改变a； 核心提醒：做题优先找h、k，注意h前面是减号，注意符号陷阱。 24．已知函数，当时，y的取值范围____________． 25．抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 26．同一平面直角坐标系中，抛物线与关于原点成中心对称，则代数式的值为______． 27．当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 题型八：二次函数图象的平移 解题思路： 方法一（解析式变换）：左加右减只改变括号内的x，上加下减改变常数项； 方法二（点平移法，推荐给学生）：抓住顶点，只平移顶点坐标，a保持不变，再写出新的顶点式； 核心提醒：①左右平移，加减写在x身上；上下平移，加减写括号外面；②颠倒平移顺序容易算错，优先移动顶点更稳妥。 28．将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 29．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 30．将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为_______． 31．如图，将抛物线向下平移，过原点O，与x轴交于点A，则的长为______． 题型九：把y=ax2+bx+c化成顶点式 解题思路：配方法，固定操作步骤 ①提出二次项系数a，只对括号内的x部分配方； ②括号内加上一次项系数一半的平方，同时要减去这个数； ③整理化简写成y=a(x-h)2+k顶点式； 核心提醒：提取a之后，括号外一定要把a乘回去，学生常犯常数项没有同步缩放的错误。 32．将二次函数化为的形式是________． 33．将二次函数化为顶点式正确的是（   ） A． B． C． D． 34．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是______． 35．坐标平面上，若移动二次函数的图象，使其与轴交于两点，且此两点的距离为个单位，则移动方式可为（   ） A．向上平移个单位 B．向左平移个单位 C．向下平移个单位 D．向右平移个单位 题型十：画y=ax2+bx+c的图象 解题思路：描点法画图四步走 ①先用配方法或者公式求出顶点坐标、对称轴； ②在对称轴左右两侧，对称选取若干x的取值； ③代入解析式算出对应的y值，列表； ④平面直角坐标系描点，用平滑曲线连接，不能画折线； 核心提醒：画图禁止折线，必须是平滑抛物线。 36．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 37．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，如果将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有______________个． 38．如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型十一：y=ax2+bx+c的图象与性质 解题思路： ①看a判断开口方向； ②对称轴公式：直线x=-； ③代入对称轴x，求出顶点纵坐标，得到顶点坐标； ④结合对称轴，判断增减性：开口向上，对称轴左侧递减，右侧递增；开口向下，对称轴左侧递增，右侧递减； 核心提醒：研究增减性必须以对称轴作为分界线。 39．写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②过原点，则这个二次函数解析式可以是________． 40．二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 41．已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为________．（用连接） 42．如图，已知的顶点坐标分别为、、，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是__________ 题型十二：二次函数图象与各项系数符号 解题思路：图像读符号，逐个判断 ①a：看开口，开口向上a>0，开口向下a<0； ②b：看对称轴位置，口诀“左同右异”：对称轴在y轴左边，a、b符号相同；对称轴在y轴右边，a、b符号相反；对称轴是y轴，则b=0； ③c：看抛物线与y轴交点，交点在y轴正半轴c>0；负半轴c<0；过原点c=0； ④b2-4ac：看和x轴交点个数； 核心提醒：综合题高频考点，每一个系数都从图像特征找依据，不能主观猜测。 43．已知抛物线开口向下，那么的取值范围是__________． 44．如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 45．如图所示，在直角坐标系中，根据抛物线的位置判断a，b，c的正负，则a___0，b___0，c___0．（选用“”“”及“”号填写） 46．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解答题 1．设圆的半径为r，面积为S． (1)试写出S与r之间的函数关系式； (2)画出这个函数的图象． 2．已知函数是关于的二次函数． (1)求满足条件的的值． (2)当为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点．为何值时，随的增大而增大？ (3)当为何值时，函数有最小值？最小值是多少？为何值时，随的增大而减小？ 3．如图，已知二次函数． (1)先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； x 0 1 2 3 y 5 0 (2)指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． 4．已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 5．已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 6．将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位． (1)用配方法将写成的形式； (2)求平移后的解析式； (3)求平移后抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标； (4)对于平移后的抛物线，当取何值时，随着的增大而减小？ 7．在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小． (3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次函数的意义与图象精讲学案 课堂核心立意 结合实际情境构建二次函数模型，牢牢把控二次函数判定核心条件，以基础抛物线y=ax^2为切入点，掌握抛物线平移规则、一般式与顶点式配方互化，建立解析式与抛物线数形结合思想，为二次函数增减性、最值、函数综合题型筑牢底层知识根基。 1.二次函数定义判定规则 ①标准解析式y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），函数解析式必须为整式形式； ②三大判定条件：自变量最高次数为2、表达式为整式、二次项系数a≠0，三者缺一不可； ③系数说明：a决定抛物线开口方向与宽窄，禁止取0；一次项系数b、常数项c可取0； ④三类特殊解析式：y=ax2、y=ax2+c、y=ax2+bx，对应缺少一次项常数项、无一次项、无常数项的特殊抛物线； ⑤实际建模步骤：梳理等量关系，设定自变量、因变量，整理为标准二次函数形式，结合实际场景标注自变量取值范围。 2.基础抛物线y=ax2图像核心特征 ①图像为抛物线，属于轴对称图形，对称轴为直线x=0（y轴），顶点坐标(0,0)； ②a>0开口向上，顶点为最低点；a<0开口向下，顶点为最高点； ③|a|越大，抛物线开口越窄；|a|越小，抛物线开口走势越平缓。 3.抛物线平移变换核心规律 ①上下平移y=ax2+k：k>0向上平移k个单位，k<0向下平移|k|个单位，对称轴保持不变； ②左右平移y=a(x-h)2，口诀：左加右减（仅对自变量x整体变换），h>0向右平移，h<0向左平移； ③综合顶点式y=a(x-h)2+k，由基础抛物线先后完成左右、上下平移得到，平移不改变二次项系数a； ④顶点式直接读取信息：对称轴直线x=h，顶点坐标(h,k)，快速判断顶点位置与函数最值。 4.解析式互化与抛物线作图 ①配方法转化：一般式y=ax2+bx+c提出二次项系数，对含x代数式凑完全平方式，改写为顶点式； ②描点法作图流程：确定对称轴，在对称轴两侧对称选取x取值，代入计算函数值列表，坐标系内描点后用平滑曲线连接形成抛物线。 ①仅凭借式子含有x2直接判定二次函数，忽略a≠0硬性条件； ②把分式、根式内含自变量的式子判定为二次函数，二次函数限定为整式函数； ③实际问题写出函数解析式后，遗漏自变量取值范围限制； ④抛物线左右平移误用口诀，直接对常数项加减，未对x整体变形； ⑤顶点式y=a(x-h)2+k顶点横坐标符号写错，误写顶点(-h,k)； ⑥配方法时提取系数a后，常数项未同步缩放计算，配方结果出错； ⑦绘制抛物线使用折线连接描点，未使用平滑曲线绘图； ⑧混淆a本身和|a|，误以为a数值越大开口越宽； ⑨多次平移时颠倒平移先后顺序，造成解析式变换错误。 题型 考察方向 难度 题型一 列二次函数关系式 ★★ 题型二 二次函数的识别 ★★ 题型三 根据二次函数的定义求参数 ★★★ 题型四 y=ax2图象与性质 ★★ 题型五 y=ax2+k图象与性质 ★★ 题型六 y=a(x-h)2图象与性质 ★★★ 题型七 y=a(x-h)2+k图象与性质 ★★★★ 题型八 二次函数图象的平移 ★★★★ 题型九 把y=ax2+bx+c化成顶点式 ★★★ 题型十 画y=ax2+bx+c的图象 ★★ 题型十一 y=ax2+bx+c的图象与性质 ★★★★ 题型十二 二次函数图象与各项系数符号 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★高频易错；★★★★考试重难点题 题型一：列二次函数关系式 解题思路： ①读题梳理题干的等量关系，合理设置自变量x与因变量y； ②根据等量关系列出式子，整理化简为整式形式y=ax2+bx+c； ③若是实际应用类题目，必须补充自变量的取值范围； 核心提醒：取值范围要贴合现实意义，例如边长、长度必须大于0。 1．已知长方形的边长分别为、，如果将它的长和宽都缩短后，那么它减少的面积y关于x的函数解析式为_________． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是正确表示出长方形的面积．先表示出边长缩短后的长方形的长和宽，计算出边长缩短后的长方形的面积，再计算出原长方形的面积，作差即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：长和宽缩短后的长方形的长为：，宽为， 边长缩短后的长方形的面积为： ， 原长方形的面积为：， 它减少的面积为：， 它减少的面积关于的函数解析式为， 故答案为：． 2．兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出降价后每斤的盈利及销售量，再相乘即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每降价元多售出斤， ∴降价元多售出斤， ∴销售量为斤， ∴， 故选：． 3．一个正方形的边长为5，如果边长增加x，那么面积增加y与x之间的函数表达式是：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数表达式，解题的关键是找到相应的等量关系． 根据正方形的面积公式列出函数表达式即可． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为：． 4．如图1，一张边长为a、的长方形纸片的面积等于，将它通过割、拼，再补一个正方形，拼成一个新的正方形（如图2），k可以取得的最小整数是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 利用长方形的面积公式，可得出k关于a的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】根据题意，得， ∴， ∴， ∵，且， ∴当时，k随a的增大而增大， ∴当时，k可以取得最小整数，此时． 故答案为： 题型二：二次函数的识别 解题思路： 先对原式化简整理，同时满足3个条件才属于二次函数： 1.自变量的最高次数为2； 2.表达式是整式，分母、根号内部不能含有自变量； 3.二次项系数a≠0； 核心提醒：化简之后二次项系数为0，直接判定不是二次函数。 5．下列函数，图象不是一条直线的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图象特征作出判断即可． 【详解】解：对于选项A：是二次函数，图象是一条抛物线，符合题意； 对于选项B： 是一次函数，图象是一条直线，不符合题意； 对于选项C： 是一条平行于轴的直线，不符合题意； 对于选项D： 是正比例函数，图象是一条直线，不符合题意． 6．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的概念和解析式的形式．整理后根据二次函数的定义和条件判断即可． 【详解】解：A、是反比例函数，该选项不符合题意； B、，是一次函数，该选项不符合题意； C、，右边不是整式，不是二次函数，该选项不符合题意； D、是二次函数，该选项符合题意； 故选：D． 7．下列各点中，在二次函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把选项坐标代入二次函数验证即可． 【详解】A． ，选项错误，不符合题意； B． ，选项正确，符合题意； C． ，选项错误，不符合题意； D． ，选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数，解题的关键是把选项坐标代入二次函数验证． 题型三：根据二次函数的定义求参数 解题思路： 分两步计算，缺一不可： ①根据二次函数定义，令自变量最高次数等于2，求解参数； ②将求得的参数回代，检验二次项系数不能为0，舍去使二次项系数等于0的解； 核心提醒：本题最容易丢分，学生经常只考虑次数条件，忽略系数不为0的限制。 8．已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 9．若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 10．若是二次函数，则________． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出方程与不等式求解即可得到的值． 【详解】解：是二次函数， 根据二次函数的定义可得， 解方程得，即． 由不等式得， ． 11．若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】分两种情况分析：①当时，②当时，分别利用一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题求解即可． 【详解】解：①当时，直线与轴有交点， ∴符合题意． ②当时，抛物线与轴有交点，即关于的方程有实数根， ∴，解得． ∴当且时，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 题型四：y=ax2图象与性质 解题思路： 抓住函数三要素：开口方向、对称轴、顶点。 ①看a的正负判断开口：a>0开口向上，顶点是最低点；a<0开口向下，顶点是最高点； ②对称轴固定是直线x=0（y轴），顶点坐标(0,0)； ③|a|决定开口宽窄：|a|越大，开口越窄； 核心提醒：区分a和|a|，开口宽窄只和绝对值有关。 12．若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 【答案】 【分析】将两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应函数值，再比较大小即可． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 13．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆开口方向和大小与a的关系是解题关键． 直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a的关系进而得出答案． 【详解】解：如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 14．已知二次函数的图象经过原点，且当时，y随x的增大而减小，写出一个符合题意的二次函数的解析式______． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，由图象经过原点可得；由当时，y随x的增大而减小，可知抛物线开口向下且对称轴不在y轴右侧，进而可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过原点， ∴可设二次函数解析式为：， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向下，且对称轴不在y轴右侧， ∴可令，对称轴为轴， 此时二次函数解析式为， 故答案为：（答案不唯一）． 15．抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果 【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵ ，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴ 抛物线的开口最大， 题型五：y=ax2+k图象与性质 解题思路： 该函数由y=ax2上下平移得到，口诀“上加下减”。 ①a不变，开口大小、方向保持不变； ②对称轴依旧为直线x=0，顶点坐标(0,k)； ③k>0，图像向上平移k个单位；k<0，图像向下平移|k|个单位； 核心提醒：上下平移只改变顶点纵坐标，对称轴不变。 16．已知抛物线有最低点，那么的取值范围是_____． 【答案】 【分析】抛物线有最低点说明抛物线开口向上，则二次项系数大于0，由此可以确定的取值范围． 【详解】解：抛物线有最低点， ， 解得． 17．抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 【答案】A 【分析】本题考查了利用抛物线的性质求解参数，抛物线的形状和开口方向由二次项系数a决定，形状与开口方向相同的抛物线二次项系数a相同，再将顶点坐标代入解析式即可求出c． 【详解】∵抛物线的形状及开口方向与相同， ∴， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴将，代入解析式得： ， ∴． 18．若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据已知条件判断点A和点B到对称轴的距离大小，根据二次函数的性质比较和的大小． 【详解】解：对于二次函数， ， 抛物线开口向上，对称轴为轴（即直线），开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，点到轴的距离为横坐标的绝对值，因此比较与的大小， ，， ， 当时，，可得，即； 当时，，可得，即， 综上可得，即点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，又抛物线开口向上，故． 19．若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，由正比例函数得出，从而得出二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，再判断出正比例函数与二次函数图象没有交点即可得解． 【详解】解：∵正比例函数，随的增大而增大， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，故A、C不符合题意； 联立得：， 则， 故正比例函数与二次函数图象没有交点，故D符合题意； 故选：D． 题型六：y=a(xh)2图象与性质 解题思路： 该函数由y=ax^2左右平移得到，口诀“左加右减，只针对x”。 ①a不变，开口大小、方向不变； ②对称轴是直线x=h，顶点坐标(h,0)； ③看到y=a(x+m)2，需要转化为y=a(x-(-m))2，此时h=-m； 核心提醒：高频易错，很多同学看错h的符号，把顶点横坐标搞错。 20．若，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________（请按从小到大的顺序排列）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 通过计算二次函数在各点的函数值，比较，，的大小． 【详解】解：对于点，， 对于点，， 对于点，， ∴． 故答案为：． 21．已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标以及开口方向，结合 确定顶点在坐标系中的位置即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为 ， ∴该抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口向上， ∵ ， ∴顶点 在 x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意． 22．如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 【答案】/0.5 【分析】求出抛物线的顶点坐标及与y轴的交点坐标，再根据列式求解． 【详解】解：的顶点坐标为， 将代入，得：， 结合图象可得，， 是等腰直角三角形，， ， ， 解得． 23．如图，点从点出发沿线段做匀速运动，到点后立即按原路返回．用表示以点为圆心，线段的长为半径的圆的面积，用表示点的运动时间．下列图象适合表示与的对应关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象及二次函数的图象，注意分类讨论；设线段，点P运动速度为1，当点P从A向B运动时，，则可得S的表达式；当点P从B返回时，，亦可得S的表达式，即可确定函数图象． 【详解】解：设线段，点P运动速度为1． 当点P从A向B运动时，此时，， 则； 当点P从B返回时，此时，， 则， 综上：． 其图象如下： 故选：A． 题型七：y=a(xh)2+k图象与性质 解题思路： 顶点式核心题型，直接读出图像关键信息。 ①a决定开口方向与开口宽窄； ②对称轴：直线x=h，顶点坐标(h,k)； ③由y=ax2先左右、后上下平移得到，平移不会改变a； 核心提醒：做题优先找h、k，注意h前面是减号，注意符号陷阱。 24．已知函数，当时，y的取值范围____________． 【答案】 【分析】首先得到该二次函数图象的开口向下，当时，函数有最大值2，然后分别将和代入求解判断即可． 【详解】解：∵中，， ∴该二次函数图象的开口向下， 当时，函数有最大值2， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是． 25．抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次函数顶点式的顶点坐标为． 【详解】解：抛物线顶点坐标为． 26．同一平面直角坐标系中，抛物线与关于原点成中心对称，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为，根据抛物线与关于原点成中心对称，在抛物线上，得， 从而或，求解即可． 【详解】解：设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为， 那么在抛物线上， 代入可得， 整理得， ∴或， ∴． 27．当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质与图象的轴对称变换，得出两条关于轴对称的抛物线开口大小方向一致，顶点关于轴对称，先求出的顶点坐标，再得到对称顶点，对应得到和的值，即可计算出结果 【详解】解：抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线， 二者开口大小方向一致，顶点坐标关于轴对称， 对配方得 ， 的顶点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为，即的顶点坐标为， 又的顶点式为，其顶点坐标为， ，， 题型八：二次函数图象的平移 解题思路： 方法一（解析式变换）：左加右减只改变括号内的x，上加下减改变常数项； 方法二（点平移法，推荐给学生）：抓住顶点，只平移顶点坐标，a保持不变，再写出新的顶点式； 核心提醒：①左右平移，加减写在x身上；上下平移，加减写括号外面；②颠倒平移顺序容易算错，优先移动顶点更稳妥。 28．将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 【答案】 【分析】先根据二次函数平移规律得到平移后抛物线的解析式，再令 求出的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：将抛物线 向右平移 个单位，根据二次函数平移规律“左加右减”，可得平移后抛物线的解析式为， 令 ，则， 平移后的抛物线与轴交点的坐标是． 29．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将抛物线解析式转化为顶点式，得到原函数的顶点坐标，再将顶点坐标按照要求平移即可． 【详解】解：， ∴原抛物线顶点坐标为， ∵抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即平移后抛物线的顶点坐标为． 30．将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为_______． 【答案】 【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”求得平移后的函数解析式，再根据二次函数顶点式的性质确定顶点坐标即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，可得平移后抛物线解析式为， 整理得， 所以平移后抛物线的顶点坐标为． 31．如图，将抛物线向下平移，过原点O，与x轴交于点A，则的长为______． 【答案】6 【分析】根据解析式可得平移前的抛物线的对称轴，进而得到平移后的抛物线的对称轴，再根据平移后的抛物线经过原点可得点A的坐标，则可得到答案． 【详解】解：∵原抛物线解析式为， ∴原抛物线的对称轴为直线， ∵将抛物线向下平移，过原点O，与x轴交于点A， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， ∴点A的坐标为， ∴． 题型九：把y=ax2+bx+c化成顶点式 解题思路：配方法，固定操作步骤 ①提出二次项系数a，只对括号内的x部分配方； ②括号内加上一次项系数一半的平方，同时要减去这个数； ③整理化简写成y=a(x-h)2+k顶点式； 核心提醒：提取a之后，括号外一定要把a乘回去，学生常犯常数项没有同步缩放的错误。 32．将二次函数化为的形式是________． 【答案】 【详解】解：． 33．将二次函数化为顶点式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标，配方法的关键是添加和减去一次项系数一半的平方，以形成完全平方式． 通过配方法将二次函数的一般式化为顶点式，即完成平方并简化常数项． 【详解】解：∵ 故选D. 34．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，以及二次函数一般式化顶点式．先把配成顶点式，再把函数先向左平移2个单位长度，向上平移4个单位长度，得到平移后的顶点式，即可得到平移后的抛物线的顶点坐标． 【详解】解：将抛物线化为顶点式有， 向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度， 得， 故平移后的抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 35．坐标平面上，若移动二次函数的图象，使其与轴交于两点，且此两点的距离为个单位，则移动方式可为（   ） A．向上平移个单位 B．向左平移个单位 C．向下平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，二次函数平移与交点距离的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 通过将二次函数化为顶点式，确定与轴交点距离的表达式，垂直平移改变常数项，从而改变交点距离，水平平移不改变交点距离，设垂直平移量，令平移后交点距离为，求解即可． 【详解】解：将化为顶点式：即， 令，得， ∴， 解得， ∴交点距离为， 设垂直平移个单位，新函数为， 令，得， ∴交点距离为， 令，则， ∴， 解得， 即向下平移5个单位， 水平平移不改变交点距离，故选项B和D无效， 故选：C． 题型十：画y=ax2+bx+c的图象 解题思路：描点法画图四步走 ①先用配方法或者公式求出顶点坐标、对称轴； ②在对称轴左右两侧，对称选取若干x的取值； ③代入解析式算出对应的y值，列表； ④平面直角坐标系描点，用平滑曲线连接，不能画折线； 核心提醒：画图禁止折线，必须是平滑抛物线。 36．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入式子中相应的位置即可求出函数值． 【详解】将代入得 ． 37．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，如果将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有______________个． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，画二次函数图象，二次函数与坐标轴交点问题，根据题意画出二次函数的图象，结合坐标系，写出整点个数，即可求解． 【详解】解：， 令得 解得：或5， 如图所示， ∴在红色区域内部及其边界上的整点为，共15个． 故答案为：． 38．如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由a=2，b>0，c<0，推出-<0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴，由此即可判断． 【详解】解：∵a=2，b>0，c<0， ∴-<0， ∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题． 题型十一：y=ax2+bx+c的图象与性质 解题思路： ①看a判断开口方向； ②对称轴公式：直线x=-； ③代入对称轴x，求出顶点纵坐标，得到顶点坐标； ④结合对称轴，判断增减性：开口向上，对称轴左侧递减，右侧递增；开口向下，对称轴左侧递增，右侧递减； 核心提醒：研究增减性必须以对称轴作为分界线。 39．写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②过原点，则这个二次函数解析式可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的图象与性质，只需二次函数满足二次项系数小于0，常数项为0即可符合要求． 【详解】解：设二次函数的解析式为，其中， 二次函数图象开口向下， ， 二次函数图象过原点， ， 取，时，二次函数的解析式为． 40．二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ∴，，． 根据二次函数顶点坐标公式，可得： ，． ∴二次函数的顶点坐标为． 41．已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为________．（用连接） 【答案】 【分析】先求出抛物线对称轴，根据开口向下的抛物线的性质：点到对称轴的距离越大，函数值越小，计算各点到对称轴的距离即可比较大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为，抛物线开口向下，且点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， ∵到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，且， ∴． 42．如图，已知的顶点坐标分别为、、，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是__________ 【答案】 【分析】由对称轴时，二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与y轴的交点为， 又∵， ∴对称轴时，二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点， ∴． 题型十二：二次函数图象与各项系数符号 解题思路：图像读符号，逐个判断 ①a：看开口，开口向上a>0，开口向下a<0； ②b：看对称轴位置，口诀“左同右异”：对称轴在y轴左边，a、b符号相同；对称轴在y轴右边，a、b符号相反；对称轴是y轴，则b=0； ③c：看抛物线与y轴交点，交点在y轴正半轴c>0；负半轴c<0；过原点c=0； ④b2-4ac：看和x轴交点个数； 核心提醒：综合题高频考点，每一个系数都从图像特征找依据，不能主观猜测。 43．已知抛物线开口向下，那么的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，抛物线的开口方向由二次项系数决定：当二次项系数大于0时，抛物线开口向上；当二次项系数小于0时，抛物线开口向下． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数，解得， 故答案为：． 44．如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴ ∴的值可以是2． 45．如图所示，在直角坐标系中，根据抛物线的位置判断a，b，c的正负，则a___0，b___0，c___0．（选用“”“”及“”号填写） 【答案】 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置求解． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴． 46．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊值点等方面逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个． 解答题 1．设圆的半径为r，面积为S． (1)试写出S与r之间的函数关系式； (2)画出这个函数的图象． 【答案】(1). (2) 【分析】（1）由圆的面积公式写出函数关系式即可； （2）根据函数关系式，列表描点连线，即可画出函数图象． 【详解】（1）解：由圆的面积公式可得，； （2）解：由（1）得， 列表可得， 描点连线，图象略 2．已知函数是关于的二次函数． (1)求满足条件的的值． (2)当为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点．为何值时，随的增大而增大？ (3)当为何值时，函数有最小值？最小值是多少？为何值时，随的增大而减小？ 【答案】(1) (2)；最高点的坐标为；当时，随的增大而增大 (3)；最小值为；当时，随的增大而减小 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）由于函数是二次函数，所以的次数为，且系数不为，即可求出满足条件的的值； （2）抛物线有最高点，所以开口向下，系数小于，再根据（1）中结论即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质作答； （3）函数有最小值，则开口向上，系数大于，根据（1）中结论即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质作答． 【详解】（1）解：函数是关于的二次函数， 且， 解得：． （2）解：当抛物线有最高点时，抛物线开口向下，即， ， 最高点的坐标为． 当时，随的增大而增大． （3）解：当函数有最小值时，抛物线开口向上，即， ， 最小值为． 当时，随的增大而减小． 3．如图，已知二次函数． (1)先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； x 0 1 2 3 y 5 0 (2)指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) 填表如下： x 0 1 2 3 y 5 0 0 5 画图如下： (2)图象的开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为直线． 【分析】此题考查的是二次函数的图象和性质． （1）分别将各数代入中求出对应的y值，再根据描点法画出函数图象； （2）根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； （2）解：由函数图象可知，图象的开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为直线． 4．已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【分析】（1）根据列表，描点，连线的步骤画出图象； （2）根据二次函数的图象及性质即可解答； （3）求出当和时的函数值，结合函数图象即可解答． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … 描点，连线 （2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：当时，， 当时，， ∴由图象可得时，． 5．已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)点在此抛物线上 (2)，理由： ∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，抛物线上离对称轴越远的点函数值越大， ∴’． 【分析】本题主要考查二次函数的性质． （1）判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入抛物线解析式，看得到的纵坐标是否与该点的纵坐标相等； （2）比较函数值的大小，可根据抛物线的开口方向和点离对称轴的远近进行判断，即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入抛物线解析式中， 当时，， 点在此抛物线上； （2）略 6．将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位． (1)用配方法将写成的形式； (2)求平移后的解析式； (3)求平移后抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标； (4)对于平移后的抛物线，当取何值时，随着的增大而减小？ 【答案】(1) (2) (3)对称轴为直线，与轴交点坐标为 (4)当时，随着的增大而减小 【分析】（1）利用配方法将原一般式抛物线化为顶点式即可； （2）根据抛物线平移“左加右减．上加下减”的规律得到平移后的解析式； （3）利用二次函数性质求解对称轴与y轴交点坐标； （4）根据开口方向和对称轴判断y随x变化的取值范围． 【详解】（1）解： （2）解：根据抛物线平移规律可知平移后的解析式为： ； （3）解：平移后的抛物线顶点式为， 可得对称轴为直线， 令，代入得， 因此平移后抛物线与轴的交点坐标为； （4）解：平移后抛物线中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， 因此当时，随着的增大而减小． 7．在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小． (3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把，代入函数解析式整理并化成顶点式即可求解． （2）根据对称轴为直线得出，把和分别代入二次函数求出对应的和，然后相减即可得出答案． （3）根据二次函数顶点坐标得出把点代入，得出，根据顶点坐标得出，，根据h的取值范围即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：当，时， 函数可化为． 整理得：． ∴该函数图象的顶点坐标为． （2）解：已知函数， 其对称轴为， ∵，即对称轴为， ∴， ∴， 将代入函数中，可得， 将代入函数中，可得， ∴， ∴． （3）解：把点代入， 得， ∴， 已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $