专题 1.14 二次函数复习专题——二次函数与存在性问题（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义以二次函数与存在性问题为核心，通过知识框架图系统梳理存在性问题的解法步骤、等腰/直角三角形及平行四边形的几何模型，用分类表格呈现“两圆一线”“两线一圆”等解题策略，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“题型精析+同步检测”的分层设计，如等腰三角形存在性例题搭配4道变式题，同步检测10道解答题覆盖各类存在性问题。方法指导注重推理意识培养，如用距离平方公式简化计算，中点公式解决平行四边形存在性，帮助学生构建模型意识，教师可据此实施精准复习教学。

专题 1.14 二次函数复习专题——二次函数与存在性问题（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】存在性问题解法 1 【知识点二】等腰三角形存在性问题 2 【知识点三】直角三角形存在性问题 2 【知识点四】平行四边形存在性问题 3 二.题型精析 4 【题型1】等腰三角形存在性 4 【题型2】直角三角形存在性 5 【题型3】平行四边形存在性 7 【题型4】特殊平行四边形存在性 8 三.同步检测 10 解答题（本大题共10个小题,每小题10分,共100分） 10 一.知识梳理与解读 【知识点一】存在性问题解法 常见设问形式：是否存在点 ，使得图形满足指定几何条件？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。 步骤1：求基础条件 先完整求解题干核心条件：抛物线解析式、顶点坐标、与坐标轴交点坐标、相关直线解析式，梳理所有定点坐标，为后续计算铺垫。 步骤2：规范设动点坐标 根据动点所在轨迹，统一规范设点方式： ① 抛物线上动点：设 ② 抛物线对称轴上动点（对称轴 ）：设 ③ 轴上动点：设 ④ 轴上动点：设 步骤3：完整分类讨论 根据目标图形的几何性质全面分类，严格遵循不重不漏原则，杜绝漏解、错解。 步骤4：列方程求解 利用两点距离公式、勾股定理、中点坐标公式建立方程，求解未知参数。 步骤5：检验取舍（核心关键） ① 检验解是否在动点运动轨迹范围内； ② 检验是否存在三点共线、点与已知点重合的情况（无法构成图形，直接舍去）； ③ 检验是否符合题干所有限制条件； ④ 最终规范书写结论。 计算技巧：计算线段长度相等时，优先使用距离平方计算，规避根号运算，简化计算过程。 两点 、 距离平方公式： 【知识点二】等腰三角形存在性问题 题型特征：已知两个定点，在抛物线、对称轴、坐标轴上寻找动点，使三点构成等腰三角形。 几何解题模型：两圆一线 ① 以定点 为圆心、 长为半径画圆； ② 以定点 为圆心、 长为半径画圆； ③ 作线段 的垂直平分线； 圆与垂直平分线和动点轨迹的交点，即为所有符合条件的动点。 分类（必分3类） 已知定点 、，动点 ： ① （ 为等腰三角形顶角顶点） ② （ 为等腰三角形顶角顶点） ③ （ 为等腰三角形顶角顶点） 易错提醒：求解后必须检验，三点共线无法构成三角形，此类解一律舍去。 【知识点三】直角三角形存在性问题 题型特征：已知两个定点，寻找动点 ，使三点构成直角三角形。 几何解题模型：两线一圆 ① 过定点 作线段 的垂线； ② 过定点 作线段 的垂线； ③ 以线段 为直径作圆（直径所对的圆周角为直角）； 垂线与圆和动点轨迹的交点，即为所有符合条件的动点。 代数标准分类（按直角顶点分3类） ① ，满足： ②，满足： ③ ，满足： 补充技巧：坐标系中水平、竖直直线可直接判定垂直，无需计算斜率；通用垂直结论：两直线斜率 。 易错提醒：严格剔除三点共线、点重合的无效解。 【知识点四】平行四边形存在性问题 核心性质：平行四边形对角线互相平分 两条对角线的中点坐标完全重合。 中点公式：若 四点构成平行四边形，则对角顶点横、纵坐标之和分别相等： 题型1：三定一动（3个定点+1个动点） 分类依据：分别将三条定线段 作为对角线，共3种情况，代入中点公式直接求解，无遗漏。 题型2：两定两动（2个定点+2个动点） 分两大类讨论： ① 定线段作为平行四边形的边； ② 定线段作为平行四边形的对角线。 特殊平行四边形叠加条件 ① 矩形：平行四边形基础上，叠加对角线相等或邻边垂直条件； ② 菱形：平行四边形基础上，叠加一组邻边相等条件； ③ 正方形：平行四边形基础上，叠加邻边相等+邻边垂直双条件。 易错提醒：求解后需检验四点不共线、点不重合，杜绝无效解。 二.题型精析 【题型1】等腰三角形存在性 【例题1】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．顶点为D． （1）求该二次函数的解析式； （2）求顶点D的坐标； （3）在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）已知二次函数的图象与轴交于两点（A在左侧），与轴交于点C． （1）求A、B、C的坐标； （2）设抛物线的顶点为，求四边形的面积； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使为等腰三角形，若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求出，，点的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（24-25九年级上·内蒙古通辽·期中）如图，抛物线的对称轴为，该抛物线与轴交于、两点，且点坐标为，交轴于，设抛物线的顶点为． （1）求该抛物线的解析式与顶点的坐标； （2）在对称轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型2】直角三角形存在性 【例题2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式： （2）证明：为直角三角形： （3）在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线过点． （1）求该抛物线的解析式及点A、点B的坐标； （2）如图1，连接AC，抛物线的对称轴上是否存在点M，使是直角三角形？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25九年级上·重庆长寿·阶段检测）如图，直线与轴、轴分别交于点．抛物线经过，并与轴交于另一点，其顶点为， （1）求的值； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，求的周长；若不存在，请说明理由； （3）抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得是直角三角形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）求点A的坐标； （3）连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 【题型3】平行四边形存在性 【例题3】（2026·陕西西安·三模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求两点的坐标； （2）已知直线与抛物线交于点，在抛物线上是否存在一点，在直线上是否存在一点，使得以为边，且四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2026·云南昭通·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求该二次函数的解析式． （2）过点作直线平行于轴，交抛物线于点，求四边形的面积． （3）是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C． （1）求抛物线的对称轴； （2）若点D是抛物线上的一点，当的面积为10时，求点D的坐标； （3）点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）点在第二、四象限的抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型4】特殊平行四边形存在性 【例题4】（24-25九年级上·广东东莞·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，该抛物线的顶点为C、点P为该抛物线上一点，其横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式； （2）当轴时，求的面积； （3）过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，构造矩形．当点P在x轴上方时，此时矩形的周长L是否存在最值？若存在，请求出最值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2026九年级下·海南海口·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，的取值范围是，求的值； （3）点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点， ①求线段的最大值， ②在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【变式2】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． （1）求A、B，C三点的坐标． （2）点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式3】（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． （1）求点的坐标； （2）求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； （3）在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 三.同步检测 解答题（本大题共10个小题,每小题10分,共100分） 1．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标． （2）在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若在y轴上存在一点E，使为等腰三角形，请直接写出以为腰时点E的坐标． 2．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）证明为直角三角形； （3）在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． （1）求抛物线的函数解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，抛物线经过点、，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点P坐标； （3）点F是平面直角坐标系内一点，在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形是以为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． 6．（2026·陕西商洛·二模）已知抛物线与轴交于，两点． （1）求，的值； （2）若抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，则在抛物线或上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 7．（21.3二次函数与一元二次方程（4知识点 5题型 强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪科版））如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，抛物线的对称轴与x轴交于点M． 问题：矩形的边在x轴负半轴上，边在第二象限，，，将矩形沿x轴正方向平移得到矩形，直线与直线分别交抛物线于点G、H．在平移过程中，是否存在以点、、G、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出平移距离；若不存在，请说明理由． 8．（2024·广东揭阳·二模）定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． （1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是 ； （2）如图②，已知点，是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点．连接，，，求的面积； （3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，点为平面内一点，是否存在点、，使得以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 9．（24-25九年级下·全国·二轮复习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为交轴于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 10．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，对称轴上是否存在点E，使周长最小，求出此时点E的坐标和周长最小值； （3）如图2，点F为第二象限抛物线上一动点，连接交于点D，，是否存在点F，使K取最大值，如果存在，求出此时点F的坐标和最值；若不存在，请说明理由； （4）已知点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面内一点，点是第二象限抛物线上一点，点是线段上一点，轴，当线段取得最大值时，是否存在点M，N使得四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.14 二次函数复习专题——二次函数与存在性问题（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】存在性问题解法 1 【知识点二】等腰三角形存在性问题 2 【知识点三】直角三角形存在性问题 2 【知识点四】平行四边形存在性问题 3 二.题型精析 4 【题型1】等腰三角形存在性 4 【题型2】直角三角形存在性 10 【题型3】平行四边形存在性 18 【题型4】特殊平行四边形存在性 25 三.同步检测 33 解答题（本大题共10个小题,每小题10分,共100分） 33 一.知识梳理与解读 【知识点一】存在性问题解法 常见设问形式：是否存在点 ，使得图形满足指定几何条件？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。 步骤1：求基础条件 先完整求解题干核心条件：抛物线解析式、顶点坐标、与坐标轴交点坐标、相关直线解析式，梳理所有定点坐标，为后续计算铺垫。 步骤2：规范设动点坐标 根据动点所在轨迹，统一规范设点方式： ① 抛物线上动点：设 ② 抛物线对称轴上动点（对称轴 ）：设 ③ 轴上动点：设 ④ 轴上动点：设 步骤3：完整分类讨论 根据目标图形的几何性质全面分类，严格遵循不重不漏原则，杜绝漏解、错解。 步骤4：列方程求解 利用两点距离公式、勾股定理、中点坐标公式建立方程，求解未知参数。 步骤5：检验取舍（核心关键） ① 检验解是否在动点运动轨迹范围内； ② 检验是否存在三点共线、点与已知点重合的情况（无法构成图形，直接舍去）； ③ 检验是否符合题干所有限制条件； ④ 最终规范书写结论。 计算技巧：计算线段长度相等时，优先使用距离平方计算，规避根号运算，简化计算过程。 两点 、 距离平方公式： 【知识点二】等腰三角形存在性问题 题型特征：已知两个定点，在抛物线、对称轴、坐标轴上寻找动点，使三点构成等腰三角形。 几何解题模型：两圆一线 ① 以定点 为圆心、 长为半径画圆； ② 以定点 为圆心、 长为半径画圆； ③ 作线段 的垂直平分线； 圆与垂直平分线和动点轨迹的交点，即为所有符合条件的动点。 分类（必分3类） 已知定点 、，动点 ： ① （ 为等腰三角形顶角顶点） ② （ 为等腰三角形顶角顶点） ③ （ 为等腰三角形顶角顶点） 易错提醒：求解后必须检验，三点共线无法构成三角形，此类解一律舍去。 【知识点三】直角三角形存在性问题 题型特征：已知两个定点，寻找动点 ，使三点构成直角三角形。 几何解题模型：两线一圆 ① 过定点 作线段 的垂线； ② 过定点 作线段 的垂线； ③ 以线段 为直径作圆（直径所对的圆周角为直角）； 垂线与圆和动点轨迹的交点，即为所有符合条件的动点。 代数标准分类（按直角顶点分3类） ① ，满足： ②，满足： ③ ，满足： 补充技巧：坐标系中水平、竖直直线可直接判定垂直，无需计算斜率；通用垂直结论：两直线斜率 。 易错提醒：严格剔除三点共线、点重合的无效解。 【知识点四】平行四边形存在性问题 核心性质：平行四边形对角线互相平分 两条对角线的中点坐标完全重合。 中点公式：若 四点构成平行四边形，则对角顶点横、纵坐标之和分别相等： 题型1：三定一动（3个定点+1个动点） 分类依据：分别将三条定线段 作为对角线，共3种情况，代入中点公式直接求解，无遗漏。 题型2：两定两动（2个定点+2个动点） 分两大类讨论： ① 定线段作为平行四边形的边； ② 定线段作为平行四边形的对角线。 特殊平行四边形叠加条件 ① 矩形：平行四边形基础上，叠加对角线相等或邻边垂直条件； ② 菱形：平行四边形基础上，叠加一组邻边相等条件； ③ 正方形：平行四边形基础上，叠加邻边相等+邻边垂直双条件。 易错提醒：求解后需检验四点不共线、点不重合，杜绝无效解。 二.题型精析 【题型1】等腰三角形存在性 【例题1】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．顶点为D． （1）求该二次函数的解析式； （2）求顶点D的坐标； （3）在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点P坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，顶点坐标，根据等腰三角形的性质求点的坐标，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据顶点坐标公式进行求解即可； （3）连接，作线段的垂直平分线交轴于点，假设，根据等边列出方程求解即可． （1）解：将代入得， ， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：顶点横坐标为， 顶点纵坐标为， ∴顶点D的坐标为； （3）解：存在，理由如下： 连接，作线段的垂直平分线交轴于点， ∴, 此时，为等腰三角形， 假设， 根据勾股定理得， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 根据勾股定理得,， 分别以点为圆心，以长为半径画圆，与轴无交点， ∴点P的坐标只有． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）已知二次函数的图象与轴交于两点（A在左侧），与轴交于点C． （1）求A、B、C的坐标； （2）设抛物线的顶点为，求四边形的面积； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使为等腰三角形，若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）9；（3）存在，点P的坐标为，，， 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点、顶点坐标、四边形面积以及等腰三角形的存在性问题等知识点． （1）分别令和，即可求解抛物线与坐标轴的交点； （2）先求出故顶点，过点作轴于点，再由即可求解； （3）先求出，然后分三种情况求解即可． （1）解：令，则， 解得或， ∴抛物线与轴交于点，； 当， ∴抛物线与轴交于点； （2）解：， 故顶点， 过点作轴于点， ∵， ∴； （3）解：存在， ∵，， ∴， ①时，而， ∴或； ②时， 由等腰三角形的性质可得点关于轴对称， ∴； ③时，设， 解得， ∴， 综上：存在，点P的坐标为，，，． 【变式2】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求出，，点的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）、、；（2）或或或或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，等腰三角形的性质，勾股定理； （1）对于，当时，，令，则或，即可求解； （2）当时，则，即可求解；当或时，同理可解． （1）解：对于，当时，，令，则或， 即，，点的坐标分别为：、、； （2）存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，设点， 由、、的坐标得，，，， 当时，则，则， 即点或； 当或时， 同理可得：或，则或， 即点或或； 综上，或或或或． 【变式3】（24-25九年级上·内蒙古通辽·期中）如图，抛物线的对称轴为，该抛物线与轴交于、两点，且点坐标为，交轴于，设抛物线的顶点为． （1）求该抛物线的解析式与顶点的坐标； （2）在对称轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），顶点为；（2）存在满足条件的点，其坐标为或或或． 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理； （1）根据抛物线的对称性得到点的坐标为，故设抛物线为两点式方程，把点的坐标代入即可求得的值；利用配方法将抛物线解析式转化为顶点式，即可得到顶点的坐标； （2）可设出，则可分别表示出、、的长度，分、和三种情况分别可得到关于的方程，可求得点坐标． （1）解：点关于的对称点，， 设过、的抛物线为， 该抛物线又过，则有：，解得， 即，顶点为 （2）解：设， ，， ，，， 为等腰三角形， 有、和三种情况， ①当时，则有，即，解得，此时 ②当时，则有，即，解得，此时或 ③当时，则有，即，解得或，此时或 设直线解析式为，代入、， ∴ ∴ ∴直线解析式为， 当时，则在直线上， 综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或． 【题型2】直角三角形存在性 【例题2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式： （2）证明：为直角三角形： （3）在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）、、， ， ， ， ， ，则， 是直角三角形； （3）存在， 【分析】（1）将、、的坐标代入抛物线解析式，求解即可； （2）由（1）得到边，，的长，再根据勾股定理的逆定理来判定为直角三角形； （3）根据抛物线的对称性可得另一点的坐标． （1）解： 与轴交于、两点，与轴交于点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）略 （3）解：存在， 当轴，即点与点是关于抛物线对称轴的对称点，而点坐标为， ， 把代入得：， ，． 点坐标为．    【点拨】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，勾股定理的逆定理，两点间的距离公式，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线过点． （1）求该抛物线的解析式及点A、点B的坐标； （2）如图1，连接AC，抛物线的对称轴上是否存在点M，使是直角三角形？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）存在，的坐标为或或或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，勾股定理等，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）把代入可得，故抛物线的解析式为，令解得或，从而； （2）求出，抛物线的对称轴为直线，设，可得，，，分三种情况，用勾股定理列方程可解得答案． （1）解：把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 在中，令得：， 解得：或， ，； （2）解：抛物线的对称轴上存在点，使是直角三角形，理由如下： 在中，令，得， ， ， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ， ，，， ①当为斜边时，， 解得：或， 或， ②当为斜边时，， 解得：， ， ③当为斜边时，， 解得：， 综上所述，的坐标为或或或． 【变式2】（24-25九年级上·重庆长寿·阶段检测）如图，直线与轴、轴分别交于点．抛物线经过，并与轴交于另一点，其顶点为， （1）求的值； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，求的周长；若不存在，请说明理由； （3）抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得是直角三角形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，；（3）或或或 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，轴对称的性质，勾股定理． （1）先求出点A和点B的坐标，再将其代入，即可求出a和k的值； （2）求出点C的坐标，连接，交抛物线对称轴于点M，此时的周长最小，即可解答； （3）根据题意进行分类讨论：①当时，②当时，③当时，再根据勾股定理，列出方程求解即可． （1）解：把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 把，代入得： ， 解得：； （2）解：∵， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线解析式为直线， ∵， ∴， 连接，交抛物线对称轴于点M，此时的周长最小， ∵， ∴，， ∴的周长最小值． （3）解：设， ∴，， ∵，， ∴， ①当时，， 则， 解得： ， ∴， ②当时，， 即， 解得：， ∴， ③当时，， 即， 解得：， ∴或， 综上：或或或． 【变式3】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）求点A的坐标； （3）连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或． 【分析】本题考查了二次函数综合题，需要综合运用抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理等． （1）将、代入得方程组，解方程组即可； （2）令，则，解方程即可求出点A的坐标； （3）设点P的坐标为，先由两点间的距离公式得，，，再分两种情况讨论：当为斜边时，则；当为斜边时，则；分别解方程即可． （1）解：将、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴点A的坐标为； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴； 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，存在符合条件的P点，，． 【题型3】平行四边形存在性 【例题3】（2026·陕西西安·三模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求两点的坐标； （2）已知直线与抛物线交于点，在抛物线上是否存在一点，在直线上是否存在一点，使得以为边，且四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）或或 【分析】（1）令，解方程即可； （2）首先求出直线，求出，然后由平行四边形的性质得到，，设，然后分两种情况讨论，分别表示出点D的坐标，代入求解即可． （1）解：在中，令，得， 解得，， ∴，； （2）解：∵直线与抛物线交于点， ∴ ∴ ∴直线 ∵， ∴ ∵以为边，且四点为顶点的四边形是平行四边形 ∴， ∴设 当点D在点E左边时， 将代入得， 解得或 ∴，或， ∴点的坐标为或； 当点D在点E右边时， 将代入得， 解得或 ∴，（舍去）或， ∴点的坐标为 综上所述，点的坐标为或或． 【变式1】（2026·云南昭通·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求该二次函数的解析式． （2）过点作直线平行于轴，交抛物线于点，求四边形的面积． （3）是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）12；（3）或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可求出二次函数的对称轴，根据直线平行于轴得到点B和点C关于对称轴对称，据此求出点C的坐标，再根据列式求解即可； （3）设出点P的坐标，分三种情况：为对角线，为对角线和为对角线，根据平行四边形的两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可． （1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵直线平行于轴，交抛物线于点， ∴点B和点C关于对称轴对称， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ； （3）解：设， 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴点P的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴点P的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 【变式2】（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C． （1）求抛物线的对称轴； （2）若点D是抛物线上的一点，当的面积为10时，求点D的坐标； （3）点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3）存在，Q点的坐标为或或 【分析】（1）根据抛物线与轴的两个交点求解即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为：，设点D的坐标为，则，解方程即可得到点D的坐标； （3）设，，则，分两种情况讨论：①当为边时，此时四边形和是平行四边形；②当为四边形的对角线时，此时四边形是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等求解即可． （1）解：抛物线与轴交于两点， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：将、代入得， ，解得：， ∴抛物线的解析式为：， 设点D的坐标为， 、， ， ∴，即， ∴或（无解舍去）， 解得：，， ∴点D的坐标为或； （3）解：由（1）可知，抛物线的对称轴为：， 设，， ， 分两种情况讨论： ①当为边时，此时四边形和是平行四边形， ，，，， ∴，, 解得：，， 此时点Q的坐标为或． ②当为四边形的对角线时，此时四边形是平行四边形， ，， ∴，即， 此时点Q的坐标为； 综上所述，存在满足条件的Q点的坐标为或或． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）点在第二、四象限的抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，点的坐标为或 【分析】题目主要考查二次函数的综合问题，平行四边形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意设点A的坐标为，点B的坐标为，得出相应的方程组求解确定点A的坐标为，点B的坐标为，由待定系数法即可确定函数解析式； （2）设，分两种情况分析：当为对角线时，当为对角线时，由平行四边形的性质求解即可． （1）解：∵， 当时，， 设点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， 联立①②：解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 将点A代入函数解析式得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）存在，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∴当为对角线时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； ∴当为对角线时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； 综上可得：点的坐标为或． 【题型4】特殊平行四边形存在性 【例题4】（24-25九年级上·广东东莞·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，该抛物线的顶点为C、点P为该抛物线上一点，其横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式； （2）当轴时，求的面积； （3）过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，构造矩形．当点P在x轴上方时，此时矩形的周长L是否存在最值？若存在，请求出最值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）1；（3）存在， 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）由，可知对称轴为直线，，由轴，可得，根据，计算求解即可； （3）由对称性可知，，由题意知，，或，则，，当时，矩形的周长为，此情况无最值；当时，矩形的周长为，当时，有最大值，然后求解作答即可． （1）解：将代入得，， 解得，， ∴； （2）解：∵， ∴对称轴为直线，， ∵轴， ∴， ∴， ∴的面积为1； （3）解：周长L存在最值， 由对称性可知，， 由题意知，，或，则，， 当时，矩形的周长为， ∵， ∴当时，不符合题意，舍去； 当时，矩形的周长为， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴周长L存在最值，最大值为． 【点拨】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，二次函数与周长综合，坐标与图形等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，二次函数与周长综合，坐标与图形是解题的关键． 【变式1】（2026九年级下·海南海口·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，的取值范围是，求的值； （3）点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点， ①求线段的最大值， ②在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②存在，边长为或2 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）①根据题意求出点坐标，得到直线的解析式，设，则，进而可得即可；②分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． （1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：， 故； （3）①当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴， 故线段的最大值为； ②存在； 由①知，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 【变式2】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． （1）求A、B，C三点的坐标． （2）点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）存在；或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数图象和性质、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键． （1）分别令，，即可求出三点的坐标； （2）根据三点的坐标求直线的函数表达式，根据直线的表达式设点D的坐标为，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可． （1）解：对于来说， 当时 ，； 故点， 当时，有， 解得：， ∴，； （2）解：存在： 设直线的表达式为：； 将，代入得： ， 解得： 故直线的表达式为： ； 设点D的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或； 【变式3】（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． （1）求点的坐标； （2）求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； （3）在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2），顶点坐标为；（3）， 【分析】（1）如图，作轴于点，证明出，得到，，进而求解即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即可得到顶点坐标为； （3）如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于，同（1）可证，求出点坐标为，点坐标为．然后分别代入抛物线验证即可． 解：（1）如图，作轴于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴顶点坐标为； （3）在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于， 同（1）可证， ∴，， ∴点坐标为，点坐标为． 由（2）抛物线， 当时，；当时，． ∴、在抛物线上． 故在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 【点拨】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和四边形综合，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三.同步检测 解答题（本大题共10个小题,每小题10分,共100分） 1．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标． （2）在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若在y轴上存在一点E，使为等腰三角形，请直接写出以为腰时点E的坐标． 【答案】（1），顶点D坐标为；（2）存在，；（3）点E坐标为或或或 【分析】（1）先将点，代入求得抛物线解析式，再求出顶点坐标； （2）先利用对称性求得，从而可得，再求出点B关于y轴对称点，从而可得，于是可得周长， 当且仅当B、M、D三点共线时取等，再求得直线表达式为，从而可求得； （3）分两种情况：、，再利用两点距离公式建立方程求解即可． （1）解：将点，代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为， ， ∴对称轴为直线，当时，， ∴顶点D坐标为； （2）存在，； ∵，对称轴为直线，与是关于对称轴对称的对应点， ∴， ∴， 作点B关于y轴对称点， 则， ∴周长 ， 当且仅当B、M、D三点共线时取等， 设的解析式为， ∵和， ∴， 解得：， ∴直线表达式为， 令，得， ∴； （3）设点， 则，，， 由题意可分两种情况： ①，即， 解得：， ∴或； ②，即， 解得：， ∴或； 综上，点E坐标为或或或． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把化成顶点式，利用二次函数对称性求最短路径，特殊三角形问题（二次函数综合）等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 2．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，分三种情况：，，即可求解． （1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 3．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）证明为直角三角形； （3）在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在， 【分析】（1）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，分别将，代入求得、、的坐标； （2）由（1）得到边，，的长，再根据勾股定理的逆定理来判定为直角三角形； （3）根据抛物线的对称性可得另一点的坐标． （1）解： 抛物线与轴交于、两点， ．即． 解之得：，． 点、的坐标为，、，． 将代入，得点的坐标为； （2）解：由两点间的距离公式得：，，， ，则， 是直角三角形； （3）解：当轴，即点与点是关于抛物线对称轴的对称点，而点坐标为 设，把代入得： ， ，． 点坐标为，． 【点拨】此题考查了二次函数与轴的交点的纵坐标为0；与轴的交点的横坐标为0；直角三角形的判定，二次函数的对称性等知识点． 4．（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． （1）求抛物线的函数解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，点的坐标为或； 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）将点和代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，进而设点，利用坐标两点距离公式，得到，再根据是以为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到点的坐标； （1）解：抛物线交轴于，交轴于点， ， 解得：， 抛物线的函数解析式为． （2）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设点， ， ， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：， 存在点使得是以为斜边的直角三角形，点的坐标为或． 5．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，抛物线经过点、，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点P坐标； （3）点F是平面直角坐标系内一点，在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形是以为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为，对称轴为；（2）满足的值为最小的点P坐标为；（3）存在，点E的坐标为或 【分析】（1）把点、代入，得到关于a，b的二元一次方程组，求解方程组，即可得到解析式；然后利用抛物线对称轴公式求出对称轴； （2）根据两点之间线段最短，当B、P、C三点共线时，的值最小，所以先求出直线的解析式，再求其与对称轴的交点即为点P； （3）先根据面积求出点E的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，同时结合点E在第四象限的条件筛选出符合的坐标． 解：（1）把点、代入，得， 解得， 抛物线的解析式为． 函数的对称轴为直线． （2）如图1，连接交对称轴于点P，因为点A、B关于对称轴对称，∴的最小值为， 易得C点的坐标为， 将点B、C的坐标代入一次函数表达式：得：， 解得， 直线BC的表达式为：， 当时，， 故点． （3）存在，理由： 如图2，图3，四边形是以为对角线且面积为12的平行四边形， 则， 点E在第四象限，则， 将该坐标代入二次函数表达式得：． 解得：或4， 故点E的坐标为或． 6．（2026·陕西商洛·二模）已知抛物线与轴交于，两点． （1）求，的值； （2）若抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，则在抛物线或上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）符合条件的点坐标为或 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）先求解抛物线的函数表达式，再分类当为边时，与当为对角线时这两种情况，作图求解坐标即可． （1）解：抛物线与轴交于，两点， ，解得， 即； （2）解：存在，        由（1）得抛物线， 抛物线与抛物线关于轴对称， 抛物线与抛物线上对应点的横坐标相反，纵坐标相等， ， 抛物线的函数表达式为， 令，解得，， 点在点左侧， ，， 当时，，          以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， ①当为边时，有，且， ， 如答案图①，当点在抛物线上时， ， 解得，（舍去）， ，且， 点符合题意；        如答案图②，当点在抛物线上时， 同理， 解得，（舍）， ，且， 点符合题意；        ②当为对角线时，令的中点为， ，，， ， 令， 则，得，，得， 则， 将代入中，得， 将代入中，得， 点不符合题意． 综上所述，符合条件的点坐标为或 7．（21.3二次函数与一元二次方程（4知识点 5题型 强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪科版））如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，抛物线的对称轴与x轴交于点M． 问题：矩形的边在x轴负半轴上，边在第二象限，，，将矩形沿x轴正方向平移得到矩形，直线与直线分别交抛物线于点G、H．在平移过程中，是否存在以点、、G、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出平移距离；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，平移距离为或 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、图形的运动与抛物线的综合应用、平行四边形的判定，解题关键是能根据点的坐标表示线段的长，能建立方程求解，本题涉及到了数形结合的思想方法． 先设出平移距离，并表示出、、G、H的坐标，再利用建立方程求解即可． 解：存在，设平移的距离为m， 令，则，解得，， ∴点A的坐标为，点D的坐标为， 又∵， ∴点F的坐标为，点E的坐标为， ∴， ∴，即， ，即， ∵要使以点、、G、H为顶点的四边形是平行四边形，且， ∴， ∴或， ∴平移距离为或． 8．（2024·广东揭阳·二模）定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． （1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是 ； （2）如图②，已知点，是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点．连接，，，求的面积； （3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，点为平面内一点，是否存在点、，使得以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在，或 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，菱形的性质，理解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键． （1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或边上； （2）根据“梦之点”的定义和二次函数的解析式，求得，的坐标；根据二次函数的顶点式，求出抛物线的顶点，点的坐标，抛物线的对称轴，根据，即可求得答案； （3）设，由以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形可得，利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案． 解：（1）∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴设矩形的“梦之点”为，满足，， ∴点，，中，是矩形“梦之点”为点，． 故答案为：，． （2）∵，是抛物线上的“梦之点” ∴点，是直线上的点， ∴， ∴，， ∴，； ∵， ∴二次函数的顶点，二次函数的对称轴为， 设抛物线的对称轴交于， ∴， ∴ ∴ ． （3）存在，理由如下： 设， ∵以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形， ∴， ∴， 解得：， 当，， ∴点； 当，， ∴点； 综上所述，点的坐标为：或者． 9．（24-25九年级下·全国·二轮复习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为交轴于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，的横坐标为或或或 【分析】（1）根据二次函数的顶点坐标列出关于的方程组，求解即可； （2）分三种情况：①若是斜边，则；②若是斜边，则；③若是斜边，则，分别列出方程求解即可． （1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线交轴于、两点， 当时，得， 解得：或， ∴，， 设，则， ，， ∵构成的四边形是矩形， ∴是直角三角形， ①若是斜边，则， ∴， 解得：，（舍去），（舍去），此时点的横坐标为或； ②若是斜边，则， ∴， 解得：或（舍去），此时点的横坐标是； ③若是斜边，则， ∴， 解得：或（舍去），此时点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或或或． 【点拨】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与几何图形的综合，矩形的性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握二次函数与几何图形的综合运用，矩形的性质是解题的关键． 10．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，对称轴上是否存在点E，使周长最小，求出此时点E的坐标和周长最小值； （3）如图2，点F为第二象限抛物线上一动点，连接交于点D，，是否存在点F，使K取最大值，如果存在，求出此时点F的坐标和最值；若不存在，请说明理由； （4）已知点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面内一点，点是第二象限抛物线上一点，点是线段上一点，轴，当线段取得最大值时，是否存在点M，N使得四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为；（2）；周长最小值；（3）时，取得最大值为；（4）存在，点M的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，轴对称的性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将点和点代入利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）先求得点的坐标，根据抛物线的性质以及轴对称的性质，可得点即为抛物线对称轴与的交点，进而勾股定理求得的长，即可求解； （3）过点作轴交的延长线于点，设，则，证明，根据：，得出，根据二次函数的性质即可求解； （4）设，则得出关于的解析式，根据二次函数的性质，求得当时，线段取得最大值，进而得出，根据菱形的性质可得，建立方程，解一元二次方程，即可求解． （1）解：将点和点代入得， 解得： ∴； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，，则， 设直线的解析式为，将点代入得，， 解得： ∴直线的解析式为； ∵关于对称， 如图所示，连接交于点，连接， ∵ ∴当共线时，的周长最小，则点即为所求， ∴当时，，则； ∵，，， ∴，， ∴的周长为； （3）解：如图所示，过点作轴交的延长线于点， 设， ∵轴，的纵坐标等于的纵坐标， ∴的横坐标为，即 ∴， ∵，， ∴ ∵轴 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴当时，即时，取得最大值为； （4）解：依题意，设，则 ∴ 则当时，线段取得最大值 则， 又 ∴ ∵点是抛物线对称轴上一点，设，依题意，四边形是菱形， ∴ ∴ 解得： ∴点M的坐标为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $