专题 1.4 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0) 的图象与性质基础知识专项突破讲与练（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数的图象与性质核心知识点，系统梳理一般式与顶点式互化（配方法）、对称轴及顶点坐标公式、一般式图象性质、系数a,b,c几何意义及易错点，构建从基础互化到性质应用的递进学习支架。 资料特色在于分层题型设计，夯实基础题型（如配方法、增减性比较）与巩固提升题型（如符号判断、最短路径）结合，同步检测全面。通过例题变式培养推理意识，易错点归纳助学生用数学眼光发现问题，课中辅助分层教学，课后便于查漏补缺。

专题 1.4 二次函数 的图象与性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】一般式与顶点式互化（配方法） 1 【知识点二】两大必考公式 1 【知识点三】二次函数一般式图象与性质 1 【知识点四】系数a、b、c的几何意义（必考） 2 【知识点五】易错点归纳 2 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】配方法化顶点式+求顶点、对称轴、最值 3 【题型 2】增减性与函数值大小比较 4 【题型 3】待定系数法求二次函数解析式 7 【题型 4】二次函数的对称性求函数值 10 【题型 5】抛物线的对称性求对称轴 13 三.题型精析（巩固提升） 15 【题型 6】根据二次函数的图象判断式子的符号 15 【题型 7】根据二次函数的对称性求最短路径 19 【题型 8】二次函数与面积问题 24 四.同步检测 29 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 29 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 35 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 40 一.知识梳理 【知识点一】一般式与顶点式互化（配方法） 二次函数一般式： 通过配方可化为顶点式： 【知识点二】两大必考公式 对称轴公式： ； 顶点坐标公式：。 【知识点三】二次函数一般式图象与性质 函数性质 （开口向上） （开口向下） 开口方向 向上，抛物线有最低点 向下，抛物线有最高点 对称轴 直线 直线 顶点坐标 最值 当时， 当时， 增减性 1. ，随增大而减小 2. ，随增大而增大 1.，随增大而增大 2. ，随增大而减小 【知识点四】系数a、b、c的几何意义（必考） a的作用：决定开口方向与开口宽窄，。 a、b共同作用（对称轴位置）口诀：左同右异 1. 同号（），对称轴在y轴左侧； 2. 异号（），对称轴在y轴右侧； 3. ，对称轴为y轴。 c的作用（与y轴交点） 抛物线与轴交于点；交y轴正半轴；交y轴负半轴；过原点。 【知识点五】易错点归纳 1：套用对称轴公式忘记负号， 符号极易出错。 2：配方时常数项计算错误，漏乘、漏变号。 3：混淆最值，开口向上只有最小值，开口向下只有最大值。 4：增减性不分对称轴左右区间，直接说递增或递减。 5：忽略自变量取值范围，直接套用顶点最值（实际区间最值需比较端点与顶点）。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】配方法化顶点式+求顶点、对称轴、最值 【例题1】（25-26八年级下·山东济南·期末）用配方法把二次函数化成的形式． 【答案】 解： ． 【变式1】（25-26九年级上·广西百色·期中）将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查将一般式转化为顶点式，通过配方法将二次函数的一般式转换为顶点式即可. 解：， ； 故选A. 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）抛物线化成顶点式是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查将抛物线化为顶点式，熟练掌握顶点式是解题的关键．根据顶点式进行配方即可得到答案． 解：． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）求下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： 【答案】开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题主要考查了把一般式化成顶点式，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 解：， ∴二次函数对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴二次函数图象的开口向上． 【题型 2】增减性与函数值大小比较 【例题2】（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知二次函数 （1）求该函数图象的对称轴； （2）若点在该函数图象上，比较，的大小并说明理由． 【答案】（1）直线；（2）当时，；当时，．理由见分析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，正确掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）运用二次函数的对称轴直线代入数值化简，即可作答． （2）先得出，要进行分类讨论，即可作答． 解：（1）解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 故答案为：； （2）解：当时，；当时，．理由如下： ∵点，在该函数图像上， ∴， 则， 当时，则，即； 当时，则，即． 综上：当时，；当时，． 【变式1】（25-26八年级下·福建福州·期末）若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，利用开口方向和点到对称轴的距离判断函数值大小，先求出抛物线对称轴，再根据开口向上的性质比较即可． 解：∵二次函数解析式为 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线开口向上时，点到对称轴的距离越大， 对应的函数值越大分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： ∵ ∴． 【变式2】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）已知点，，都在函数的图象上，则、、的大小关系是___________． 【答案】/ 【分析】根据函数表达式可知抛物线开口向下，对称轴，在对称轴处，函数取得最大值，分别计算点、点、点横坐标到对称轴距离进行比较即可． 解：由函数表达式可知，函数图象为抛物线，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随着增大而增大，当时，随着增大而减小，在对称轴处，函数取得最大值， ∴距离对称轴越近的点，函数值越大，距离对称轴越远的点，函数值越小， 分别计算，点，三点的横坐标到对称轴的距离： 点的横坐标为，到对称轴的距离为， 点的横坐标为 ，到对称轴的距离为， 点的横坐标为 ，到对称轴的距离为， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线过点，设抛物线的对称轴为， （1）求的值； （2）如果点，，是抛物线上的点，且总有，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把代入求出得到抛物线的对称轴为直线，即可得到答案； （2）根据二次函数的性质得到抛物线开口向上，得出，分情况讨论即可得到答案． 解：（1）解：抛物线过点， ， ， 抛物线的对称轴为直线， （2）解：点，，是抛物线上的点， ， 抛物线开口向上，且总有， ， ， 当时，，不成立； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，不成立； 的取值范围是． 【题型 3】待定系数法求二次函数解析式 【例题3】（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】先利用抛物线对称轴求出点的对称点，得到抛物线与轴两个交点，设交点式解析式；将点坐标代入求出的值，再展开整理为一般式． 解：点关于直线的对称点是， 设抛物线的解析式为. 把点的坐标代入解析式，得 ， 解得. 抛物线的解析式为. 【变式1】（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线过点、和，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】点和纵坐标相同，可得抛物线的对称轴，用顶点式设抛物线方程，代入点和求出参数，再展开为一般式计算． 解：抛物线过点、，两点纵坐标相等， 对称轴为：， 设抛物线的顶点式为：． 将点，代入，得方程组： ， 化简：， 两式相减，得：，， 将代入，得： ，， 将顶点式展开：， ，，， ． 【变式2】（2024·湖北荆州·模拟预测）已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 【答案】 【分析】设二次函数的表达式为，再把代入表达式，即可求解． 解：抛物线的顶点坐标为 设二次函数的表达式为， 抛物线经过坐标原点， 将代入表达式得， 解得 ， ∴抛物线解析式为． 【变式3】（24-25九年级上·山东泰安·期中）二次函数的图象经过，，三点． （1）求这个函数的解析式； （2）求函数顶点的坐标； （3）当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入到解析式中求解即可； （2）将二次函数一般式转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数的增减性求得在内函数的最大值与最小值，得到的取值范围． 解：（1）解：∵二次函数经过点，， ∴设二次函数解析式为， 又∵二次函数的图象经过， 将点代入中， 得，解得， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴二次函数的顶点为． （3）解：∵二次函数的二次项系数为， ∴二次函数开口向下， 由（2）知，二次函数的对称轴为，且在内， ∴二次函数在顶点处取得最大值，最大值为， ∵二次函数开口向下 ∴二次函数上的点离对称轴越近函数值越大， ∵， ∴二次函数在处取得最小值， 将代入中，解得， ∴时，． 【题型 4】二次函数的对称性求函数值 【例题4】（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知二次函数中的x，y取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 1 2 1 n … （1）根据表格，则n的值为______； （2）求此二次函数的表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查二次函数的性质、求二次函数解析式等知识点，掌握二次函数对称性是解题的关键． （1）由表格数据可得抛物线对称轴，再由抛物线的对称性求解即可； （2）由表格数据运用待定系数法求解即可． 解：（1）解：由表格可得抛物线经过，， ∴抛物线对称轴为直线， ∵与关于对称轴对称， ∴． 故答案为：． （2）解：由表格可知抛物线过点，，， ∴， 解得： ， ∴二次函数的表达式为． 【变式1】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表，那么方程的根是（   ） x … 0 … y … 0 2 2 … A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质．由表格可知，当时，故是方程的一个根；由于二次函数对称，且与时y值均为2，故对称轴为，因此与关于对称，即，即可作答． 解：∵时， ∴是方程的一个根； ∵与时y值均为2， 故对称轴为， 设另一个根为， 则与关于对称，即； 解得 ∴方程的根为，， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知抛物线的图象经过点，若，则k的值为_________． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称性，求出抛物线与轴的交点坐标，对称性求出对称轴，再根据题意，得到两点关于对称轴对称，即可得出结果． 解：∵， ∴当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∵图象过点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴两点关于对称轴对称， ∴； 故答案为：4． 【变式3】（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且它的对称轴为直线． （1）当时，求的值； （2）如果点，在抛物线上，当时，比较和的大小，并说明理由． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）把代入，求出，得到抛物线表达式，再根据对称轴公式求解； （2）先确定点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，求出点关于对称轴直线的对称点为：，可得，再根据二次函数的性质求解即可． 解：（1）解：当时，把代入， 则， 解得：， ∴抛物线为：， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， ∴点关于对称轴直线的对称点为：， ∵， ∴， ∵抛物线开口向上， ∴在对称轴左侧随增大而减小， ∴． 【题型 5】抛物线的对称性求对称轴 【例题5】（25-26九年级上·福建福州·期中）已知某二次函数与自变量的部分对应值如表： 1 2 3 7 7 （1）求该二次函数的解析式； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查二次函数的解析式求解与对称性，涉及的知识点有二次函数的顶点式、抛物线的对称性．解题中用到的思想是对称思想（利用抛物线的轴对称性简化计算）；方法技巧是通过表格中对称的函数值确定对称轴，优先选择顶点式求解析式，再利用对称性求参数．解题关键是准确识别抛物线的对称轴，避免解析式设为一般式增加计算量．易错点是忽略函数值相等的点的对称性，或在解方程时计算失误． （1）通过表格中对称的函数值，确定抛物线的对称轴和顶点，设顶点式并代入已知点求出解析式； （2）利用二次函数中，函数值相等的两点关于对称轴对称的性质，结合对称轴建立方程求解t． 解：（1）（1）由表可得：二次函数的顶点坐标为：，经过点 设该二次函数的解析式为： 当时， ， 解得：． 该二次函数的解析式为： （2）（2）关于直线对称 解得：． 【变式1】（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： … 0 1 2 4 6 7 … … 0 7 … 则二次函数的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键．若抛物线上两点关于对称轴对称，则此两点的纵坐标即函数值相同，据悉解答即可． 解：观察表格，发现当和时，函数值相同为， 则两点关于对称轴对称， 则二次函数的对称轴为直线． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 【答案】 【分析】根据点A和点B的纵坐标相同求出对称轴为直线，根据函数图象开口向上时，在对称轴处取得最小值可确定对称轴为直线，据此建立方程求解即可． 解：∵二次函数图象经过点和点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵在中，， ∴该二次函数的图象开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值， 又∵当时函数取得最小值， ∴该函数的对称轴为直线， ∴， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）二次函数的图象与x轴的交点是，． （1）这个二次函数图象的对称轴为直线________； （2）若该二次函数图象上的最高点到x轴的距离为2．求该二次函数的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据对称点坐标求对称轴，利用待定系数法求函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）根据对称点的坐标求函数对称轴即可； （2）根据题意得出顶点坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可． 解：（1）解：对称轴为直线， 故答案为：； （2）解：根据题意得顶点坐标为， 假设二次函数的解析式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 6】根据二次函数的图象判断式子的符号 【例题6】（2026·宁夏银川·三模）二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与轴交点坐标即可判断；③根据图象与轴的交点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出的关系即可判断． 解：关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意； 综上，共有4个符合题意． 【变式1】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的有________（填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题等知识点，利用数形结合的思想是解题的关键． 由抛物线开口方向得到，由图象可得抛物线与轴有两个交点，则，利用对称得出抛物线与轴正半轴相交，确定，再由，结合得到，，即可判断①②；再将和代入中，即可判断④． 解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线，抛物线与轴一个交点在和之间， ∴抛物线与轴另一个交点在和之间， ∴抛物线与轴正半轴相交，且，故③正确； ∴， ∵对称轴为直线，则，而， ∴，， ∴，， 故①错误，②正确； 当时，， 当时，， ∴， ∴，故④正确． ∴正确的为②③④， 故答案为：②③④． 【变式2】（25-26八年级下·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置以及最值性质，逐项判断各结论的正确性即可． 解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； 对称轴为直线， 与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时，，即，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 【变式3】（25-26九年级上·吉林长春·期末）在二次函数中，y与x的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 … 下列结论： ①抛物线开口向下；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确的结论有_________．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，对称轴，抛物线的增减性，熟练掌握待定系数法，准确判断符号与系数的关系，用好二次函数的增减性是解题的关键． 利用待定系数法确定二次函数的解析式，根据解析式求解即可． 解：∵抛物线经过，和， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴抛物线开口向下，故①正确； ∴抛物线的对称轴为直线，故⑤错误； ②∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； 当时，，故③正确； ∵和是对称点，且抛物线开口向下， ∴当时，，故④错误． 综上所述，其中正确结论的个数是3． 故答案为：①②③． 【题型 7】根据二次函数的对称性求最短路径 【例题7】（25-26九年级上·江西赣州·阶段检测）如图，已知关于的二次函数的图象的对称轴是直线，与轴交于两点且交轴于点为函数图象上的一点，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作二次函数图象上点关于直线对称的点． （2）在图2中二次函数图象的对称轴上找一点，使的周长最短． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）连接交直线l于E，连接并延长交抛物线于点D，则点D即为所求； （2）连接交直线l于点P，则点P即为所求；由对称性可得，则的周长，则当D、Q、P三点共线时，的周长有最小值． 解：（1）解：如图所示，点D即为所求； （2）解：如图所示，点P即为所求． 【变式1】（2026·广西贺州·二模）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据对称轴和点的坐标求出抛物线解析式，进而求出点和抛物线与轴另一交点的坐标；利用抛物线的对称性可知，将转化为，根据两点之间线段最短可知当、、三点共线时，最小，最小值为的长，利用勾股定理求解即可． 解：抛物线交轴于点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线解析式为， 令，得， ， 根据对称性可得，抛物线与轴另一交点为， 如图所示，连接， 点与点关于对称轴对称，点在对称轴上， ， ， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长， 在中，，， ， 的最小值为． 【变式2】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 【答案】 【分析】连接，由点M在对称轴上，根据对称性可得，根据两点间线段最短可得，确定当点M在上时，最小，利用待定系数法求出的解析式，再求抛物线对称轴与的交点M的坐标即可． 解：连接， ∵点M在对称轴上， ∴， ∴， ∴当点M在上时，的最小值，此时的周长最小， ∵点， 设解析式为，把点A、C的坐标代入得：， 解得， ∴解析式为， 当时， 则点． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，正比例函数的图象与抛物线相交于点． （1）求与的值． （2）已知抛物线的顶点是，若是轴上的一个动点，求当最小时点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先把的坐标代入，求得，再把的坐标代入，即可求解； （2）由（1）得抛物线，求得其对称轴和顶点坐标，作点C关于x轴的对称点，连接交轴于点，此时最小，设直线的表达式是，利用待定系数法求得直线的表达式，令，即可求解点的坐标． 解：（1）解：将代入正比例函数，解得：， 点的坐标为， 将代入，得：，解得：． （2）解：由（1）得：抛物线， 抛物线的对称轴是，顶点是， 点C关于x轴的对称点的坐标为． 如图，连接交轴于点，此时最小． 设直线的表达式是， 把，代入， 得：，解得：， 直线的表达式是． 令，则，解得：， 点的坐标是． 【题型 8】二次函数与面积问题 【例题8】（2026·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）点的坐标为 【分析】（1）由题意易得，，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）连接，由题意易得，，设点，且，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可． 解：（1）解：把代入直线得：，解得：， ∴， 把代入直线得：， ∴， ∵抛物线经过，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图所示： ∴， ∵，， ∴，， 设点，由题意知， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，此时点的坐标为． 【变式1】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称—最短路径问题、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积． 解：联立得， 解得或， 点的坐标为，点的坐标为， ， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， 直线的函数解析式为， 当时，， 即点的坐标为， 过点作于点D， 将代入直线中，得， ∵点的坐标为， ∴直线与轴的夹角是， ∴是等腰直角三角形， ∴， 的面积， 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为___________． 【答案】或或或． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求解析式和抛物线上点的坐标和特征，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 利用待定系数法求出函数解析式，再根据三角形面积求出P点的纵坐标，进而由函数解析式求出横坐标． 解：依题意得： ，解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵，， ∴， 令得，解得，； 令得，解得，． 所以P坐标为或或或． 【变式3】（25-26八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点A．过点P作轴于点B． （1）当时，求点A和点B的坐标，并求的面积； （2）当时，求点A的纵坐标的最小值． 【答案】（1），，的面积为；（2）3 【分析】（1）当，得到点的横坐标，根据点在抛物线上，求出点的坐标，进一步得到点的坐标；根据点在抛物线上且在轴上，即，即可求出点的坐标；进而可求出的面积； （2）根据点在抛物线上且在轴上，即，则；根据点抛物线上，则，等量代换，得到，求出最值，即可解答． 解：（1）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点 ∴； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴； ∴，， ∴的面积为． （2）解：∵点在抛物线上且在轴上， ∴； ∵点在抛物线上， ∴， ∴， 得到关于的二次函数，其中开口向上，对称轴为：， 当时，随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为：． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·福建·期末）抛物线经过点和原点．该抛物线的对称轴是（    ） A．轴 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的性质．利用抛物线经过原点和点（2,0）的条件，求出，，再代入对称轴公式，进行化简，即可作答． 解：∵抛物线经过点和原点． ∴把和代入， 得 解得，， 则该抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 2．（24-25九年级下·广西桂林·阶段检测）用配方法将二次函数化为的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．根据完全平方公式进行配方得到顶点式即可得到答案． 解：， 故选D． 3．（2024·广东湛江·模拟预测）如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 解：∵抛物线开口向上， ∴ ∴的值可以是2． 4．（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）二次函数的部分对应值如下表：二次函数图象的对称轴是（    ） x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … A．直线 B．y轴 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题考查了对称点的判定，对称轴的计算，熟练掌握对称点的判定和对称轴的计算是解题的关键．根据纵坐标相等的两个点是对称点，对称点的横坐标和的一半是对称轴解答即可． 解：根据题意，得是对称点， 抛物线的对称轴为直线， 故选：． 5．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）在函数的图象上有三点，，，，则下列各式中，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 由于，则二次函数开口向下，对称轴为，点在对称轴上，最大，点和在对称轴两侧，通过比较距离对称轴的远近，得出函数值的大小即可． 解：函数的对称轴为， 由于， 则二次函数开口向下，在处取得最大值，即为最大值， 由于点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， 则点离对称轴更近，函数值更大， 因此， 故选：D． 6．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）和一次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数及一次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数及一次函数的图像与性质是解题的关键；因此此题可分当和两种情况进行分类讨论，则问题可求解． 解：当时，则二次函数开口向上，一次函数图像经过第一、三、四象限，故排除B、D； 当时，则二次函数开口向下，一次函数图像经过第二、三、四象限，故排除A；C选项符合题意； 故选C． 7．（25-26九年级上·河南周口·期末）关于二次函数下列说法正确的是（   ） A．该函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数有最大值，最大值是 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点式的性质，分析开口方向、顶点坐标、最值和增减性． 解：根据二次函数解析式，可知， A、，开口向上，故选项A错误，不符合题目要求； B、顶点坐标为，故选项B错误，不符合题目要求； C、开口向上，函数有最小值，最小值为，故选项C错误，不符合题目要求； D、对称轴为，且开口向上，当时，y随x的增大而增大，故选项D正确，符合题目要求． 故选：D． 8．（2022·天津河西·模拟预测）二次函数图象的顶点坐标为，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题已知二次函数顶点坐标，利用二次函数顶点横坐标公式和顶点在函数图象上的性质，联立求出和的值，再逐一判断选项即可得到错误结论． 解：二次函数的顶点坐标为， 整理得，即，故A选项正确； 顶点在二次函数的图象上 将代入函数得 整理得 将代入得， 解得，故D选项正确； 将代入得，故C选项错误； 验证B选项：，故B选项正确． 9．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数 的图像不经过第三、四象限，且当 时， 随的增大而增大，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数开口向上，图像不经过第三、四象限，说明抛物线与x轴最多有一个交点，可得判别式 ，再根据当时 随增大而增大，可得对称轴位置满足不等式，联立两个不等式即可得到 的取值范围． 解： 二次函数 中， ， ∴抛物线开口向上，且图像不经过第三、四象限， 抛物线与轴最多有一个交点，即判别式 ∴ 解得 ， 又 二次函数的对称轴为直线 ，且当时， 随的增大而增大， 对称轴满足 ， 综上，实数 的取值范围是． 10．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，点，，均在二次函数的图象上，为线段的中点，轴，且．设，两点的横坐标分别为，，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】设点坐标为，则，由为线段的中点，得到，，从而求出． 解：设点坐标为， 轴，， ， 、、三点均在二次函数的图象上， ， 为线段的中点， ，， ， ， ， ， ， ． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11．（2025九年级·全国·专题练习）二次函数的一般形式是________________，二次项系数和常数项的和是________． 【答案】 1 【分析】本题考查二次函数的定义，正确记忆二次函数一般式的特点是解题关键． 将二次函数的顶点式化为一般式，再求二次项系数与常数项之和。 解：将二次函数化为一般式得：， 其中二次项系数为，常数项为，它们的和为， 故答案为 ：，． 12．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如果抛物线有最高点，那么的取值范围是_____． 【答案】 【分析】此题主要考查二次函数的图象与性质，抛物线有最高点需满足二次项系数小于零，即开口向下． 解：抛物线 有最高点， 二次项系数， 解得， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·陕西延安·阶段检测）二次函数（a、b、c是常数，）的图象如图所示，则点在第__________象限． 【答案】三 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，以及象限内点的坐标特征，根据图象可知，，，即可判断点所在象限，即可解题． 解：由图知，，，对称轴为直线 ∴ 点在第三象限． 故答案为：三． 14．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过第______象限． 【答案】二 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断．根据开口向下和对称轴在y轴右侧得到，，据此可得一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 解：∵二次函数开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 15．（24-25九年级上·广东湛江·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有______．（填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左，当与异号时，对称轴在轴右，常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于，是解答本题的关键． 解：由图可知，二次函数图像开口向上，图像与轴的交点在负半轴， ，，故①正确； 二次函数图像的对称轴，， ， ，故②正确； 由图可知，当时，，故③正确； 由对称轴，可得， ∴ 故④正确， 综上所述，正确的有：①②③④； 故答案为：①②③④． 16．（25-26九年级上·天津东丽·期中）当时，二次函数的最大值为______． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数在给定范围内的最值问题． 由于二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点横坐标在给定范围内，故最大值在顶点处取得． 解：二次函数的顶点横坐标为， 由于，且， 故当时，取得最大值，最大值为． 故答案为：2． 17．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）设二次函数，，是常数，，如表列出了、的部分对应值． 1 2 3 0 则方程的解是____． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．根据函数与方程及不等式的关系求解． 解：当时，，当时，， 二次函数的对称轴为直线． 当时，， 当时，． 方程的解是或． 故答案为：或． 18．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图，抛物线与都经过轴负半轴上的点和轴上的点．点都在第二象限，且分别在上，轴，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式及线段最值问题，熟练掌握利用坐标差表示平行于轴的线段长度，以及二次函数的最值求法是解题的关键．先通过抛物线求出点的坐标，再代入求出的值；设点、的横坐标为（），分别写出两点的纵坐标，从而得到的长度表达式，最后利用二次函数的性质求出其最大值． 解：中，令，则， 解得或， ， 过点， ， ， ， ， 轴，设， ， ∴当时，的最大值为， 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·陕西安康·期中）某抛物线的部分图象如图所示，求该抛物线的顶点坐标． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线的顶点式，解答的关键是根据图象得到相关信息． 设抛物线方程为，再根据待定系数法求解即可． 解：设抛物线方程为， 由图可知抛物线开口向下，对称轴为，过点， 先把代入得，则， 再代入对称轴和， ，解得， ， 当时，， 所以该抛物线的顶点坐标． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·全国·单元测试）已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势，其中． （1）求抛物线的对称轴． （2）二次函数有最大值还是最小值？请求出这个最值． 【答案】（1）；（2）有最小值，最小值为1 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，二次函数的图像与性质，解题的关键是确定顶点是抛物线的最高点或者最低点． （1）已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势,则,进而求解； （2），故抛物线有最小值，即可求解． 解：（1）解：已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势， 则抛物线开口向上，， 由，则， 则抛物线的表达式为：， 则抛物线的对称轴为直线； （2）解：，抛物线有最小值， 当时，， 即二次函数有最小值，这个最小值为1． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，小林将两块完全相同的含角的三角板放置于平面直角坐标系中，三角板的斜边与轴重合，直角顶点在抛物线上，三角板的直角边与轴重合．   （1）求的值． （2）通过计算，判断点是否在抛物线上． 【答案】（1）；（2）是 【分析】该题考查了勾股定理，二次函数的性质． （1）将点代入抛物线中解答即可． （2）先求出点的坐标，再判断即可． 解：（1）解：将点代入抛物线中， 得，解得：． （2）解：∵， ∴， ∴， 将代入抛物线中， 得， ∴点在抛物线上． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． （1）求直线l的表达式； （2）点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分别求出，，设：，将，代入求解即可； （2）设，，求出的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 解：（1）解：令，， 解得，， ， 将代入得， ， 设：， 将，代入， 解得， ：； （2）解：设，， ， ∴当时，有最大值． 23．（本小题满分10分）（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数，其中为常数． （1）若，求此函数图象的顶点坐标； （2）当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将代入二次函数中，得到，即可得到函数图象的顶点坐标为； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，根据当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，得到，即可求得的取值范围． 解：（1）解：∵， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，解得； ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． 24．（本小题满分12分）（2025·广西崇左·模拟预测）课堂上，数学老师组织同学们围绕二次函数展开探究． 【问题探究】 （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）若，当时，函数的最大值为，求实数的值； 【问题拓展】 （3）若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 【答案】（1）对称轴直线为；（2）；（3）实数的取值范围为或 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数对称轴直线，图象开口，增减性是解题的关键． （1）根据对称轴直线的计算公式计算即可； （2）根据函数图象及对称轴得到，当时，函数取得最大值，最大值为：，结合自变量的取值范围得到，由此即可求解； （3）根据题意，确定二次函数图象的开口，对称轴直线，根据自变量取值范围得到对应函数值的取值范围，，即对应点的坐标为，根据，函数图象的对称性即可求解． 解：（1）二次函数， ∴对称轴直线为； （2）∵， ∴二次函数图象开口向下，且对称轴直线为， ∴当时，函数取得最大值，最大值为：， 当时，函数的最大值为， ∴，整理得，， 解得，（舍去）， ∴； （3）当时，二次函数为， ∴函数图象开口向上，对称轴直线为， ∵， ∴， ∴当在范围时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∵， ∴当时，，整理得，，且， 解得，（负值舍去）， ∴， ∵当时，总有，当时，随的增大而增大， ∴，即， ∵点关于对称轴直线的对称点为， ∴当时，， 综上所述，实数的取值范围为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.4 二次函数 的图象与性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】一般式与顶点式互化（配方法） 1 【知识点二】两大必考公式 2 【知识点三】二次函数一般式图象与性质 2 【知识点四】系数a、b、c的几何意义（必考） 2 【知识点五】易错点归纳 2 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】配方法化顶点式+求顶点、对称轴、最值 3 【题型 2】增减性与函数值大小比较 3 【题型 3】待定系数法求二次函数解析式 4 【题型 4】二次函数的对称性求函数值 4 【题型 5】抛物线的对称性求对称轴 5 三.题型精析（巩固提升） 6 【题型 6】根据二次函数的图象判断式子的符号 6 【题型 7】根据二次函数的对称性求最短路径 7 【题型 8】二次函数与面积问题 8 四.同步检测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 一.知识梳理 【知识点一】一般式与顶点式互化（配方法） 二次函数一般式： 通过配方可化为顶点式： 【知识点二】两大必考公式 对称轴公式： ； 顶点坐标公式：。 【知识点三】二次函数一般式图象与性质 函数性质 （开口向上） （开口向下） 开口方向 向上，抛物线有最低点 向下，抛物线有最高点 对称轴 直线 直线 顶点坐标 最值 当时， 当时， 增减性 1. ，随增大而减小 2. ，随增大而增大 1.，随增大而增大 2. ，随增大而减小 【知识点四】系数a、b、c的几何意义（必考） a的作用：决定开口方向与开口宽窄，。 a、b共同作用（对称轴位置）口诀：左同右异 1. 同号（），对称轴在y轴左侧； 2. 异号（），对称轴在y轴右侧； 3. ，对称轴为y轴。 c的作用（与y轴交点） 抛物线与轴交于点；交y轴正半轴；交y轴负半轴；过原点。 【知识点五】易错点归纳 1：套用对称轴公式忘记负号， 符号极易出错。 2：配方时常数项计算错误，漏乘、漏变号。 3：混淆最值，开口向上只有最小值，开口向下只有最大值。 4：增减性不分对称轴左右区间，直接说递增或递减。 5：忽略自变量取值范围，直接套用顶点最值（实际区间最值需比较端点与顶点）。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】配方法化顶点式+求顶点、对称轴、最值 【例题1】（25-26八年级下·山东济南·期末）用配方法把二次函数化成的形式． 【变式1】（25-26九年级上·广西百色·期中）将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）抛物线化成顶点式是____________． 【变式3】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）求下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： 【题型 2】增减性与函数值大小比较 【例题2】（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知二次函数 （1）求该函数图象的对称轴； （2）若点在该函数图象上，比较，的大小并说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·福建福州·期末）若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）已知点，，都在函数的图象上，则、、的大小关系是___________． 【变式3】（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线过点，设抛物线的对称轴为， （1）求的值； （2）如果点，，是抛物线上的点，且总有，求的取值范围． 【题型 3】待定系数法求二次函数解析式 【例题3】（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式． 【变式1】（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线过点、和，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（2024·湖北荆州·模拟预测）已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 【变式3】（24-25九年级上·山东泰安·期中）二次函数的图象经过，，三点． （1）求这个函数的解析式； （2）求函数顶点的坐标； （3）当时，直接写出y的取值范围． 【题型 4】二次函数的对称性求函数值 【例题4】（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知二次函数中的x，y取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 1 2 1 n … （1）根据表格，则n的值为______； （2）求此二次函数的表达式． 【变式1】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表，那么方程的根是（   ） x … 0 … y … 0 2 2 … A． B．， C．， D．， 【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知抛物线的图象经过点，若，则k的值为_________． 【变式3】（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且它的对称轴为直线． （1）当时，求的值； （2）如果点，在抛物线上，当时，比较和的大小，并说明理由． 【题型 5】抛物线的对称性求对称轴 【例题5】（25-26九年级上·福建福州·期中）已知某二次函数与自变量的部分对应值如表： 1 2 3 7 7 （1）求该二次函数的解析式； （2）求的值． 【变式1】（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： … 0 1 2 4 6 7 … … 0 7 … 则二次函数的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 【变式3】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）二次函数的图象与x轴的交点是，． （1）这个二次函数图象的对称轴为直线________； （2）若该二次函数图象上的最高点到x轴的距离为2．求该二次函数的解析式． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 6】根据二次函数的图象判断式子的符号 【例题6】（2026·宁夏银川·三模）二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的有________（填序号）． 【变式2】（25-26八年级下·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式3】（25-26九年级上·吉林长春·期末）在二次函数中，y与x的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 … 下列结论： ①抛物线开口向下；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确的结论有_________．（只填序号） 【题型 7】根据二次函数的对称性求最短路径 【例题7】（25-26九年级上·江西赣州·阶段检测）如图，已知关于的二次函数的图象的对称轴是直线，与轴交于两点且交轴于点为函数图象上的一点，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作二次函数图象上点关于直线对称的点． （2）在图2中二次函数图象的对称轴上找一点，使的周长最短． 【变式1】（2026·广西贺州·二模）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，正比例函数的图象与抛物线相交于点． （1）求与的值． （2）已知抛物线的顶点是，若是轴上的一个动点，求当最小时点的坐标． 【题型 8】二次函数与面积问题 【例题8】（2026·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 【变式1】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 【变式2】（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为___________． 【变式3】（25-26八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点A．过点P作轴于点B． （1）当时，求点A和点B的坐标，并求的面积； （2）当时，求点A的纵坐标的最小值． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·福建·期末）抛物线经过点和原点．该抛物线的对称轴是（    ） A．轴 B． C． D． 2．（24-25九年级下·广西桂林·阶段检测）用配方法将二次函数化为的形式为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东湛江·模拟预测）如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 4．（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）二次函数的部分对应值如下表：二次函数图象的对称轴是（    ） x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … A．直线 B．y轴 C．直线 D．直线 5．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）在函数的图象上有三点，，，，则下列各式中，正确的是（  ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）和一次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河南周口·期末）关于二次函数下列说法正确的是（   ） A．该函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数有最大值，最大值是 D．当时，y随x的增大而增大 8．（2024·天津河西·模拟预测）二次函数图象的顶点坐标为，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 9．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数 的图像不经过第三、四象限，且当 时， 随的增大而增大，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，点，，均在二次函数的图象上，为线段的中点，轴，且．设，两点的横坐标分别为，，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11．（2025九年级·全国·专题练习）二次函数的一般形式是________________，二次项系数和常数项的和是________． 12．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如果抛物线有最高点，那么的取值范围是_____． 13．（24-25九年级上·陕西延安·阶段检测）二次函数（a、b、c是常数，）的图象如图所示，则点在第__________象限． 14．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过第______象限． 15．（24-25九年级上·广东湛江·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有______．（填写序号） 16．（25-26九年级上·天津东丽·期中）当时，二次函数的最大值为______． 17．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）设二次函数，，是常数，，如表列出了、的部分对应值． 1 2 3 0 则方程的解是____． 18．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图，抛物线与都经过轴负半轴上的点和轴上的点．点都在第二象限，且分别在上，轴，则的最大值为___________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·陕西安康·期中）某抛物线的部分图象如图所示，求该抛物线的顶点坐标． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·全国·单元测试）已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势，其中． （1）求抛物线的对称轴． （2）二次函数有最大值还是最小值？请求出这个最值． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，小林将两块完全相同的含角的三角板放置于平面直角坐标系中，三角板的斜边与轴重合，直角顶点在抛物线上，三角板的直角边与轴重合．   （1）求的值． （2）通过计算，判断点是否在抛物线上． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． （1）求直线l的表达式； （2）点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 23．（本小题满分10分）（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数，其中为常数． （1）若，求此函数图象的顶点坐标； （2）当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 24．（本小题满分12分）（2025·广西崇左·模拟预测）课堂上，数学老师组织同学们围绕二次函数展开探究． 【问题探究】 （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）若，当时，函数的最大值为，求实数的值； 【问题拓展】 （3）若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $