专题 1.9 二次函数复习专题——二次函数解析式（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义通过目录模块系统构建二次函数解析式的复习体系，知识梳理部分用对比表格呈现一般式、顶点式、交点式的表达式、对称轴及适用条件，明确待定系数法步骤和表达式转化方法，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，夯实基础部分通过用顶点式求解析式等例题及变式，培养运算能力与推理意识，综合提升题型融入对称轴应用等综合问题，同步检测分选择、填空、解答题分层训练，助力不同层次学生提升，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

专题 1.9 二次函数复习专题——二次函数解析式（知识梳理+ 题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】二次函数解析式三种形式 1 【知识点二】三种表达式对比 3 【知识点三】待定系数法求二次函数解析式 3 【知识点四】表达式之间的转化 3 二.题型精析（夯实基础） 4 【题型1】用一般式求二次函数解析式 4 【题型2】用顶点式求二次函数解析式 5 【题型3】用交点式求二次函数解析式 6 三.题型精析（综合提升） 7 【题型4】一般式与顶点式的互化（配方法） 7 【题型5】根据对称轴和一个点求解析式 7 【题型6】二次函数解析式的综合应用 8 四.同步检测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 一.知识梳理与解读 【知识点一】二次函数解析式三种形式 1、一般式 表达式：（） 对称轴： 顶点坐标： 【要点提示】 （1） a、b、c分别为二次项系数、一次项系数和常数项； （2） a决定抛物线的开口方向和开口大小：a > 0时开口向上，a < 0时开口向下； （3） c是抛物线与y轴交点的纵坐标，即抛物线与y轴交于点(0， c)； 4. 已知抛物线上任意三个点的坐标时，通常选用一般式，用待定系数法求解。 2、顶点式 表达式： 对称轴： 顶点坐标： 【要点提示】 （1） (h, k)为抛物线的顶点坐标，h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标； （2） 对称轴为直线x = h，顶点在对称轴上； （3） 当a > 0时，顶点为最低点，k为函数的最小值；当a < 0时，顶点为最高点，k为函数的最大值； （4） 已知抛物线的顶点坐标或对称轴和最值时，通常选用顶点式，只需再代入一个点即可求出a的值。 3、两点式（交点式） 表达式： 对称轴： 顶点坐标： 【要点提示】二次函数图像与x轴有两个交点，即判别式 。 （1）、 是抛物线与x轴两个交点的横坐标，即抛物线与x轴交于点 和 ； （2）对称轴为两交点横坐标的平均数，即； （3）顶点的横坐标与对称轴相同，纵坐标可通过将横坐标代入解析式求得； （4）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，通常选用两点式，只需再代入一个点即可求出a的值； （5）若抛物线与x轴只有一个交点（Δ = 0），则两点式退化为顶点式 y = a(x - x₁)²；若抛物线与x轴没有交点（Δ < 0），则不能使用两点式。 【知识点二】三种表达式对比 形式 表达式 对称轴 顶点坐标 一般式 顶点式 两点式 适用条件 已知任意三点 已知顶点或对称轴+最值 已知与x轴两交点 【知识点三】待定系数法求二次函数解析式 1. 待定系数法的基本步骤 ① 设：根据已知条件设出合适的解析式形式（一般式、顶点式或交点式）； ② 代：将已知点的坐标代入所设解析式，得到关于待定系数的方程（组）； ③ 解：解方程（组），求出待定系数的值； ④ 写：将求出的系数代回所设解析式，写出最终的函数解析式。 2. 根据已知条件选择解析式形式 已知条件 选用解析式形式 所需点数 任意三个点的坐标 一般式 y = ax² + bx + c 3个点 顶点坐标(h,k)或对称轴+最值 顶点式 y = a(x-h)² + k 顶点+1个点 与x轴两交点(x₁,0),(x₂,0) 交点式 y = a(x-x₁)(x-x₂) 两交点+1个点 【知识点四】表达式之间的转化 1、一般式 → 顶点式（配方法） 步骤：①提取二次项系数a；②配方（加上并减去一次项系数一半的平方）；③化为完全平方形式；④合并常数项。 2、顶点式 → 一般式（展开法） 步骤：利用完全平方公式展开，再合并同类项。 3、两点式 → 一般式（展开法） 步骤：利用多项式乘法展开，再合并同类项。 4、一般式 → 两点式（因式分解法） 当抛物线与x轴有两个交点时，可通过求一元二次方程ax² + bx + c = 0的两个根x₁、x₂，将一般式化为两点式 y = a(x - x₁)(x - x₂)。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】用一般式求二次函数解析式 【例题1】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： （1）点的坐标； （2）这个二次函数的解析式． 【变式1】（2026·陕西西安·三模）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： 0 1 5 0 7 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（   ） A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴的交点坐标为和 【变式2】（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【变式3】（25-26九年级下·贵州贵阳·阶段检测）已知二次函数的图象经过、、三点，求这个二次函数的解析式． 【解题技巧】已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式。将三点坐标代入得到三元一次方程组，解方程组求出a, b, c。注意：若有一点在y轴上（x=0），可直接求出c的值，简化计算。 【题型2】用顶点式求二次函数解析式 【例题2】（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． （1）求二次函数的表达式． （2）求的面积． 【变式1】（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖北荆州·模拟预测）已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 【变式3】（25-26九年级上·广东广州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． （1）求该二次函数解析式． （2）当时，求y的取值范围． 【解题技巧】已知顶点坐标或对称轴和最值时，选用顶点式。只需再代入一个点的坐标即可求出a的值。顶点式的优势是直接体现顶点坐标和对称轴，便于分析函数性质。 【题型3】用交点式求二次函数解析式 【例题3】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）求出符合下列条件的二次函数解析式: （1）二次函数图象经过点，求该抛物线的解析式； （2）已知抛物线的顶点坐标是，并且抛物线与x轴的一个交点坐标为，试求该抛物线的解析式． 【变式1】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）若一个抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相反，且与x轴相交于点，，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江·单元复习）已知抛物线经过点，，，则抛物线的解析式________________________． 【变式3】（2026·广东云浮·一模）二次函数经过（1，0），（3，0）和（0，3）． （1）求该二次函数解析式； （2）将该二次函数图像以轴为对称轴作轴对称变换得到新的抛物线，请求出新抛物线的解析式． 【解题技巧】已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，选用交点式。交点式中x₁和x₂就是两个交点的横坐标，注意符号：交点为(x₁,0)时，因式为(x - x₁)。代入第三个点求出a的值。 三.题型精析（综合提升） 【题型4】一般式与顶点式的互化（配方法） 【例题4】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）根据题意，求解二次函数的解析式． （1）求过点，，的抛物线的解析式． （2）已知二次函数的顶点坐标为，并且图像与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式． 【变式1】（25-26九年级上·云南红河·期末）已知抛物线的顶点坐标是，且与y轴交于点，这个抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·北京·期中）已知将抛物线沿轴向左或向右平移后经过点，则平移后抛物线的解析式是__________． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）根据条件写出下列函数的解析式 （1）已知二次函数的图象经过，，三点，求二次函数的解析式； （2）已知二次函数的图象的顶点坐标为，且抛物线过，求二次函数的解析式． 【题型5】根据对称轴和一个点求解析式 【例题5】（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，该对称轴与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M为抛物线对称轴上一动点，当的值最小时，请你求出点M的坐标； 【变式1】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，，且对称轴为直线，则该二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）若抛物线 与轴两交点距离为，对称轴为，则抛物线解析式为_____________． 【变式3】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式： （2）在抛物线对称轴上求作一个点，使的周长最小，并求出点的坐标． 【题型6】二次函数解析式的综合应用 【例题6】（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，已知抛物线的解析式为，顶点为点，其对称轴为直线． （1）求该拋物线的解析式和点的坐标； （2）将抛物线向下平移个单位长度后，抛物线的解析式为，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·浙江台州·期中）如图， 在平面直角坐标系中放置， 点．现将 沿 轴的正方向无滑动翻转，依次得到 连续翻转 14 次， 则经过三顶点的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·全国·期中）如图，正方形的边在x轴上，，，若抛物线经过A，B两点，将正方形绕A点顺时针旋转后点D转到位置，且在抛物线上，则抛物线的解析式为__________． 【变式3】（2025九年级上·福建厦门·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，且，轴于点C且，，点A是抛物线的最高点． （1）求直线的解析式； （2）求抛物线所在二次函数的解析式，并求它与x轴正半轴的交点E的坐标． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知抛物线经过和两点，则的值为（   ） A．0 B．4 C．8 D． 2．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知二次函数 的图象经过点，，，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·天津红桥·期中）若抛物线的顶点坐标为，与轴相交于点，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山东济南·阶段检测）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西榆林·三模）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A． B．函数图象开口向下 C．当时，随的增大而减小 D．的最小值是 7．（26-27九年级上·北京·课堂例题）若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的实数根为（     ） A．， B．， C．， D．， 8．（2026·湖北恩施·二模）如图，抛物线与直线交于B，C两点，与轴交于点，已知点C的坐标为，点B的横坐标为3，轴．下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．当时， 9．（2026·安徽·模拟预测）已知二次函数的图象与轴有两个不同的交点，，函数的最小值为，则正数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 10．（2026·山西临汾·一模）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … 0 1 … … 则下列关于这个二次函数的结论错误的是（    ） A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．图象经过第三、第四象限 D．当时，随的增大而增大 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·上海普陀·模拟预测）如果抛物线向左平移2个单位长度后经过原点，则的值为___________． 12．（2026·河南周口·一模）已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点，则该二次函数的解析式为_____． 13．（25-26九年级上·山东威海·期末）表中与满足某种函数关系，其函数表达式为_____． … … … … 14．（25-26九年级上·江西抚州·期末）已知二次函数与x轴交于点和，则二次函数的顶点坐标为________． 15．（2025·江西吉安·二模）已知二次函数关于x轴对称的图象经过点，则a的值为______________． 16．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知二次函数，关于x的一元二次方程的两个实数根是和，则这个二次函数的解析式为_______________． 17．（2025九年级·全国·专题练习）若抛物线与轴的两个交点的坐标分别为，，其形状与抛物线相同，则该抛物线的表达式为_________________． 18．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． （1）这条抛物线所对应的函数的表达式为________； （2）点为抛物线上一点，且以为顶点的三角形的面积等于以为顶点的三角形的面积，则点的坐标为________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知一个二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·江西景德镇·期末）二次函数图象与轴交于点，． （1）求该二次函数解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，点在抛物线上． （1）求抛物线的函数解析式；（2）求的面积． 22．（本小题满分10分）（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线经过 （1）求抛物线的解析式； （2）将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点，那么平移的方法是_____． 23．（本小题满分10分）（26-27九年级上·北京·课后作业）在平面直角坐标系中，抛物线过两点． （1）若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； （2）如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 24．（本小题满分12分）（2025·四川眉山·模拟预测）如图，直线与x轴，y轴分别交于，两点，过，两点的抛物线与x轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，若点E是线段上的一个动点（不与，重合），过点E作，交于点F，当的面积是时，求点E的坐标； （3）在（2）的结论下，将绕点F旋转得，试判断点是否在抛物线上，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.9 二次函数复习专题——二次函数解析式（知识梳理+ 题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】二次函数解析式三种形式 1 【知识点二】三种表达式对比 3 【知识点三】待定系数法求二次函数解析式 3 【知识点四】表达式之间的转化 3 二.题型精析（夯实基础） 4 【题型1】用一般式求二次函数解析式 4 【题型2】用顶点式求二次函数解析式 7 【题型3】用交点式求二次函数解析式 10 三.题型精析（综合提升） 12 【题型4】一般式与顶点式的互化（配方法） 12 【题型5】根据对称轴和一个点求解析式 15 【题型6】二次函数解析式的综合应用 20 四.同步检测 25 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 25 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 31 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 36 一.知识梳理与解读 【知识点一】二次函数解析式三种形式 1、一般式 表达式：（） 对称轴： 顶点坐标： 【要点提示】 （1） a、b、c分别为二次项系数、一次项系数和常数项； （2） a决定抛物线的开口方向和开口大小：a > 0时开口向上，a < 0时开口向下； （3） c是抛物线与y轴交点的纵坐标，即抛物线与y轴交于点(0， c)； 4. 已知抛物线上任意三个点的坐标时，通常选用一般式，用待定系数法求解。 2、顶点式 表达式： 对称轴： 顶点坐标： 【要点提示】 （1） (h, k)为抛物线的顶点坐标，h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标； （2） 对称轴为直线x = h，顶点在对称轴上； （3） 当a > 0时，顶点为最低点，k为函数的最小值；当a < 0时，顶点为最高点，k为函数的最大值； （4） 已知抛物线的顶点坐标或对称轴和最值时，通常选用顶点式，只需再代入一个点即可求出a的值。 3、两点式（交点式） 表达式： 对称轴： 顶点坐标： 【要点提示】二次函数图像与x轴有两个交点，即判别式 。 （1）、 是抛物线与x轴两个交点的横坐标，即抛物线与x轴交于点 和 ； （2）对称轴为两交点横坐标的平均数，即； （3）顶点的横坐标与对称轴相同，纵坐标可通过将横坐标代入解析式求得； （4）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，通常选用两点式，只需再代入一个点即可求出a的值； （5）若抛物线与x轴只有一个交点（Δ = 0），则两点式退化为顶点式 y = a(x - x₁)²；若抛物线与x轴没有交点（Δ < 0），则不能使用两点式。 【知识点二】三种表达式对比 形式 表达式 对称轴 顶点坐标 一般式 顶点式 两点式 适用条件 已知任意三点 已知顶点或对称轴+最值 已知与x轴两交点 【知识点三】待定系数法求二次函数解析式 1. 待定系数法的基本步骤 ① 设：根据已知条件设出合适的解析式形式（一般式、顶点式或交点式）； ② 代：将已知点的坐标代入所设解析式，得到关于待定系数的方程（组）； ③ 解：解方程（组），求出待定系数的值； ④ 写：将求出的系数代回所设解析式，写出最终的函数解析式。 2. 根据已知条件选择解析式形式 已知条件 选用解析式形式 所需点数 任意三个点的坐标 一般式 y = ax² + bx + c 3个点 顶点坐标(h,k)或对称轴+最值 顶点式 y = a(x-h)² + k 顶点+1个点 与x轴两交点(x₁,0),(x₂,0) 交点式 y = a(x-x₁)(x-x₂) 两交点+1个点 【知识点四】表达式之间的转化 1、一般式 → 顶点式（配方法） 步骤：①提取二次项系数a；②配方（加上并减去一次项系数一半的平方）；③化为完全平方形式；④合并常数项。 2、顶点式 → 一般式（展开法） 步骤：利用完全平方公式展开，再合并同类项。 3、两点式 → 一般式（展开法） 步骤：利用多项式乘法展开，再合并同类项。 4、一般式 → 两点式（因式分解法） 当抛物线与x轴有两个交点时，可通过求一元二次方程ax² + bx + c = 0的两个根x₁、x₂，将一般式化为两点式 y = a(x - x₁)(x - x₂)。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】用一般式求二次函数解析式 【例题1】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： （1）点的坐标； （2）这个二次函数的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由的坐标可以求出的距离，从而求出点的坐标； （2）已知二次函数过三个点，即可设二次函数的一般式，用待定系数法求解即可． （1）解：点，， ． ， ． 点在轴的正半轴上， ∴点的坐标是． （2）解：设二次函数的解析式为， 二次函数经过三个点，，， ， 解得， 这个二次函数的解析式为． 【变式1】（2026·陕西西安·三模）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： 0 1 5 0 7 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（   ） A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴的交点坐标为和 【答案】C 【分析】先根据表格给出的三组对应值求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质逐一判断各选项即可． 解：把表格中三组对应值， ， 代入， ，解得， 因此二次函数解析式为 ， 逐一判断选项： A．，∴图象开口向上，A错误； B．对称轴为，不是，B错误； C．开口向上，对称轴为，∴时，随的增大而增大，又，∴当时，随的增大而增大，C正确； D．令，得，因式分解得，解得或，因此图象与轴交点为和，D错误． 【变式2】（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 【变式3】（25-26九年级下·贵州贵阳·阶段检测）已知二次函数的图象经过、、三点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 解：设二次函数的解析式为，把点、、代入得， ，解得， ∴这个二次函数的解析式为． 【解题技巧】已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式。将三点坐标代入得到三元一次方程组，解方程组求出a, b, c。注意：若有一点在y轴上（x=0），可直接求出c的值，简化计算。 【题型2】用顶点式求二次函数解析式 【例题2】（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． （1）求二次函数的表达式． （2）求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点M作y轴的平行线交于点H，利用分割法求出三角形的面积即可. （1）解：设函数的表达式为， 将点代入得，解得， 故二次函数的表达式为， 即； （2）解：∵， ∴当时，， ． ∵A点坐标为，对称轴为直线， ， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线函数表达式为， 把代入得， 过点M作y轴的平行线交于点H，则点， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据顶点坐标，利用待定系数法求解． 解：由顶点坐标可设二次函数表达式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴该二次函数的表达式是． 【变式2】（2026·湖北荆州·模拟预测）已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 【答案】 【分析】设二次函数的表达式为，再把代入表达式，即可求解． 解：抛物线的顶点坐标为 设二次函数的表达式为， 抛物线经过坐标原点， 将代入表达式得， 解得 ， ∴抛物线解析式为． 【变式3】（25-26九年级上·广东广州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． （1）求该二次函数解析式． （2）当时，求y的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质． （1）利用待定系数法即可求得； （2）先由知，函数有最小值为，据此分别求出，时的值即可得答案． （1）解：∵顶点为， ∴二次函数解析式为， 代入点得，， 解得， 该二次函数解析式为； （2）解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，函数有最小值为， 当时，， 当时，， 当时，y的取值范围是． 【解题技巧】已知顶点坐标或对称轴和最值时，选用顶点式。只需再代入一个点的坐标即可求出a的值。顶点式的优势是直接体现顶点坐标和对称轴，便于分析函数性质。 【题型3】用交点式求二次函数解析式 【例题3】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）求出符合下列条件的二次函数解析式: （1）二次函数图象经过点，求该抛物线的解析式； （2）已知抛物线的顶点坐标是，并且抛物线与x轴的一个交点坐标为，试求该抛物线的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的三种形式． （1）根据抛物线与x轴的交点坐标可设该抛物线的解析式为，由抛物线过点，利用待定系数法即可求出该抛物线的解析式． （2）根据二次函数图象的顶点坐标可设该二次函数的解析式为，由二次函数图象过，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式． （1）解：∵抛物线与x轴的交点坐标为， ∴设该抛物线的解析式为． ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：∵二次函数的图象的顶点坐标为， ∴设该二次函数的解析式为． ∵二次函数图象过点， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为． 【变式1】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）若一个抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相反，且与x轴相交于点，，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求解抛物线的解析式，由题意设抛物线为，结合抛物线与x轴相交于点，，可得答案． 解：∵抛物线与二次函数图象的开口大小相同，开口方向相反， ∴设这样的抛物线为， ∵抛物线与x轴相交于点，， ∴，， ∴抛物线为； 故选：A 【变式2】（25-26九年级上·浙江·单元复习）已知抛物线经过点，，，则抛物线的解析式________________________． 【答案】 【分析】本题考查求抛物线解析式．掌握交点式和利用待定系数法求解析式是解题关键．根据题意可设抛物线的解析式为：，再将点代入，求出a的值，最后化为一般式即可． 解：∵抛物线经过点，， 故可设该抛物线的解析式为：， ∵该抛物线又经过点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：， 整理，得：． 故答案为：． 【变式3】（2026·广东云浮·一模）二次函数经过（1，0），（3，0）和（0，3）． （1）求该二次函数解析式； （2）将该二次函数图像以轴为对称轴作轴对称变换得到新的抛物线，请求出新抛物线的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据二次函数图像与x轴的交点坐标，设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3），再将（0，3）代入关系式，求出a的值即可； （2）由题意可知新抛物线与x轴的交点坐标，可设交点式，再将点（0，-3）代入求出m的值即可. 解：（1）设该二次函数解析式为 把（0，3）代入解析式得 ∴该二次函数解析式为 （2）由题意可知，抛物线与x轴的交点是（1，0）和（3，0），且经过点（0，-3）. 设新二次函数解析式为， 再代入（0，-3），得到m=-1 ∴轴对称变换后二次函数解析式为 【点拨】本题主要考查了求二次函数关系式，掌握交点式y=a（x-x1）（x-x2）是解题的关键. 【解题技巧】已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，选用交点式。交点式中x₁和x₂就是两个交点的横坐标，注意符号：交点为(x₁,0)时，因式为(x - x₁)。代入第三个点求出a的值。 三.题型精析（综合提升） 【题型4】一般式与顶点式的互化（配方法） 【例题4】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）根据题意，求解二次函数的解析式． （1）求过点，，的抛物线的解析式． （2）已知二次函数的顶点坐标为，并且图像与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数． （1）通过设二次函数一般式，代入三点坐标建立方程组求解系数，得到解析式； （2）利用顶点式，结合抛物线对称性和与轴交点距离确定交点坐标，代入求解系数得解析式． 解：（1）设二次函数的解析式为：， ∵ 图像过，，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）设二次函数的解析式为：， ∵ 抛物线的顶点坐标为， ∴，对称轴为直线， ∵图像与x轴两交点间的距离为4， ∴两交点到对称轴的距离均为， 交点坐标为或 将交点坐标代入得： 解得： ∴ 二次函数的解析式为：． 【变式1】（25-26九年级上·云南红河·期末）已知抛物线的顶点坐标是，且与y轴交于点，这个抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用待定系数法确定解析式，对照选择即可． 解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入解析式，得 ， 解得ａ=1， ∴， 故选A． 【点拨】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，熟练掌握解析式是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·北京·期中）已知将抛物线沿轴向左或向右平移后经过点，则平移后抛物线的解析式是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线图象的性质，平移的性质，设沿轴向左平移个单位，列出平移后的抛物线解析式，再根据经过点，将其代入即可得出的值，再将代入即可得出答案． 解：设沿轴向左平移个单位后，抛物线经过点， ∵， ∴平移后的抛物线解析式为， ∴， 解得：或， ∴平移后的抛物线解析式为或， 故答案为：或． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）根据条件写出下列函数的解析式 （1）已知二次函数的图象经过，，三点，求二次函数的解析式； （2）已知二次函数的图象的顶点坐标为，且抛物线过，求二次函数的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，熟练掌握待定系数法求解二次函数解析式是解题的关键 （1）根据二次函数图象过原点，设二次函数解析式为，直接把，代入，得到关于a，b的方程组，然后解方程组求出即可； （2）设抛物线的解析式为，把代入，求出a的值即可． （1）解：二次函数图象过原点， 设所求二次函数为， 将，代入， 解这个方程组，得，， 二次函数的解析式为：； （2）解：顶点坐标， 设抛物线的解析式为， 把代入得：， ， ． 【题型5】根据对称轴和一个点求解析式 【例题5】（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，该对称轴与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M为抛物线对称轴上一动点，当的值最小时，请你求出点M的坐标； 【答案】（1）；（2） 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，三角形三边关系定理求线段差的最大值，利用线段和差求最值问题是解题的关键． （1）利用待定系数法直接得出结论； （2）先判断出最小时，，建立方程求解即可得出结论； （1）解：对于， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵点C在抛物线上， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵最小， ∴， ∴， ∴， 设点， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴点． 【变式1】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，，且对称轴为直线，则该二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数对称轴的性质，已知条件列方程组求解系数即可得到结果． 解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴由对称轴公式可得 ，即， 将点，代入函数解析式可得， 解得 ， ∴该二次函数的解析式为． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）若抛物线 与轴两交点距离为，对称轴为，则抛物线解析式为_____________． 【答案】 【分析】本题利用抛物线对称轴公式求出参数，再结合抛物线与轴两交点的距离，根据根与系数的关系求出参数，即可得到抛物线解析式． 解：对于抛物线，可得二次项系数，一次项系数，常数项． 已知抛物线对称轴为，由抛物线对称轴公式，得： 解得． 设抛物线与轴两交点的横坐标分别为，，由题意得两交点距离为，即： 等式两边同时平方，得： 由完全平方公式变形得： 根据根与系数的关系，可得，， 将代入得，代入上式得： 整理得： 解得． 将，代入原抛物线方程，得抛物线解析式为． 【变式3】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式： （2）在抛物线对称轴上求作一个点，使的周长最小，并求出点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据对称轴，可求出的值，再代入点的坐标即可求出的值，即可解答； （2）连接交对称轴于点，利用两点之间线段最短可得出此时的周长最小，利用二次函数图象上的点的坐标特征，可求出点B的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，即可求出点P坐标． （1）解：由对称轴，可得， 将代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接交对称轴于点，此时的周长最小，   根据二次函数的对称轴，利用中点公式可得点的横坐标为， ， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入，可得： ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，根据待定系数法求一次函数，轴对称中最短路径问题，利用两点之间线段最短找出使得的周长最小的点的位置是解题的关键． 【题型6】二次函数解析式的综合应用 【例题6】（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，已知抛物线的解析式为，顶点为点，其对称轴为直线． （1）求该拋物线的解析式和点的坐标； （2）将抛物线向下平移个单位长度后，抛物线的解析式为，求的值． 【答案】（1）；；（2） 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的性质，用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键． （1）由对称轴为直线得到求出的值，即可得到函数解析式，将解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标． （2）由“上加下减”得到平移后的解析式为得到答案． （1）解：对称轴为直线， ，即， 解得， 故拋物线的解析式为， 将解析式化为顶点式得到， ； （2）解：由“上加下减”得平移后解析式为， 抛物线的解析式为， ， ， 解得． 【变式1】（25-26九年级上·浙江台州·期中）如图， 在平面直角坐标系中放置， 点．现将 沿 轴的正方向无滑动翻转，依次得到 连续翻转 14 次， 则经过三顶点的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过B２作B２D２⊥x轴于D２，根据点．求出三角形三边分别为OB=3，AB=4，OA=，根据三角形有三条边，连线翻转3次是一个循环，14÷3=4余2，可得与△A2B2C2位置相同，一个周期长为3+4+5=12，然后求出A3（7，0），B２（，），C２（12，0），利用待定系数法求过A２（7，0），B２（，），C２（12，0）的抛物线解析式为，再利用向右平移48个单位即可． 解：过B2作B２D２⊥x轴于D２， ∵在平面直角坐标系中放置， 点． ∴OB=3，AB=4，OA=， ∵三角形有三条边，连线翻转3次是一个循环，14÷3=4．．．2， ∴与△A2B2C2位置相同，一个周期长为3+4+5=12， ∵OA2=OB+B1A1=3+4=7，OC２=OB+B1A1+A2C2=3+4+5=12， ∵△A２B２C２是直角三角形， ∴S△A２B２C２=B２D２·A２C２=A２B２·B２C２，即， ∴， ∴A2D2=，OD2=， ∴A２（7，0），B２（，），C２（12，0）， ∴设过A２（7，0），B２（，），C２（12，0）的抛物线解析式为y=a（x-7）（x-12）， 把点B２（，）代入抛物线解析式，， 解得， 过△A2B2C2的抛物线解析式为， 将抛物线向右平移四个循环4×12=48，得抛物线为． 故选D． 【点拨】本题考查三角形翻滚规律探究，待定系数法求抛物线解析式，三角形面积桥，勾股定理，抛物线平移，掌握三角形翻滚规律探究，待定系数法求抛物线解析式，三角形面积桥，勾股定理，抛物线平移是解题关键． 【变式2】（25-26九年级上·全国·期中）如图，正方形的边在x轴上，，，若抛物线经过A，B两点，将正方形绕A点顺时针旋转后点D转到位置，且在抛物线上，则抛物线的解析式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形以及待定系数法求二次函数解析式． 如图，过点作轴于点E．根据旋转的性质推知直角中的，，通过解该直角三角形即可求得、的长度，从而求得点的坐标，然后将其代入二次函数解析式，从而求得a的值． 解：根据题意，可设该二次函数解析式为， 如图，过点作轴于点E． ∵， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，． 又∵由旋转的性质知，，， ∴在直角中，， ∴． ∵点在抛物线上， ∴， 解得，， ∴该二次函数解析式是：． 故答案为：． 【变式3】（2025九年级上·福建厦门·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，且，轴于点C且，，点A是抛物线的最高点． （1）求直线的解析式； （2）求抛物线所在二次函数的解析式，并求它与x轴正半轴的交点E的坐标． 【答案】（1）；（2）； 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数，二次函数与轴的交点，正确求得函数解析式是解题的关键． （1）表示出点坐标，利用待定系数法即可解答； （2）利用待定系数法求得抛物线解析式，再求得点坐标． （1）解：轴于点C且，， ， 点A在y轴上，且， ， 设直线的解析式为， 代入，， 可得， 解得， 所以直线的解析式为； （2）解：点A是抛物线的最高点， 设抛物线的解析式为， 把代入可得 ， 解得， 所以抛物线的解析式为； 当时，可得， 解得， 所以它与x轴正半轴的交点E的坐标 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知抛物线经过和两点，则的值为（   ） A．0 B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数解析式． 根据待定系数法求解即可． 解：∵抛物线经过和两点， ∴， 解得：． 故选：C． 2．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知二次函数 的图象经过点，，，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，通过解方程组求解参数是解题的关键． 将三个点代入二次函数解析式，得到关于a、b、c的方程组，解方程组求a． 解：二次函数 的图象经过点，，， 则 解得 因此a的值为， 故选：A． 3．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质，求二次函数的解析式； 由于抛物线的形状和开口方向相同，二次项系数相同；根据顶点坐标，直接写出顶点式． 解：∵抛物线的形状、开口方向与相同， ∴． ∵顶点为， ∴抛物线的解析式为． 故选：C． 4．（25-26九年级上·天津红桥·期中）若抛物线的顶点坐标为，与轴相交于点，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据顶点坐标设抛物线解析式为，再代入点，求出系数，问题得解． 解：∵抛物线顶点为， ∴设解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴解抛物线析式为． 故选：A 5．（24-25九年级上·山东济南·阶段检测）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的表达式，理解二次函数的形状、开口方向、顶点坐标，熟练掌握二次函数的顶点式是解决问题的关键．根据抛物线的形状、开口方向与抛物线相同得出再结合顶点为即可得出抛物线的解析式． 解：抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为． 该抛物线的解析式为∶ ． 故选∶B 6．（2025·陕西榆林·三模）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A． B．函数图象开口向下 C．当时，随的增大而减小 D．的最小值是 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据表格的数据，把代入，求出再根据二次函数的图象性质进行分析，得对称轴是直线，当时，函数取得最小值，，据此进行逐项分析，即可作答． 解：把代入， 得 解得 ∴二次函数的解析式为 函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴是直线 ∴当时，函数取得最小值， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 由以上分析知，B、C不符合题意， D符合题意； ， 故A不符合题意． 故选 D 7．（26-27九年级上·北京·课堂例题）若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的实数根为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先把代入二次函数中解得，再将代入方程求解即可． 解：∵二次函数的图象经过点， ∴，解得， 将代入方程， 得， 移项得， 开方得， ∴，． 8．（2026·湖北恩施·二模）如图，抛物线与直线交于B，C两点，与轴交于点，已知点C的坐标为，点B的横坐标为3，轴．下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．当时， 【答案】D 【分析】求出点坐标，待定系数法求出函数解析式，结合函数图象，逐一进行判断即可. 解：∵点在直线上，且B的横坐标为3， ∴点的纵坐标为3， ∴， ∵轴， ∴， 把，，代入，得 ，解得， ∴， ∴，； 由图象可知，当时，抛物线在直线的下方，故； 即； 综上：只有选项D错误. 9．（2026·安徽·模拟预测）已知二次函数的图象与轴有两个不同的交点，，函数的最小值为，则正数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用二次函数与x轴交点的对称性得到顶点横坐标，结合已知最小值写出顶点式，代入交点坐标即可求解正数． 解：根据题意得：二次函数与轴的交点为和， 二次函数的对称轴为直线， 函数最小值为， 顶点坐标为且， 将函数写为顶点式得， 将点代入顶点式得：， 整理得， ， ， 解得， 为正数， ． 10．（2026·山西临汾·一模）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … 0 1 … … 则下列关于这个二次函数的结论错误的是（    ） A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．图象经过第三、第四象限 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】先根据表格中y值相等的对应点求出二次函数对称轴，再用待定系数法求出解析式，结合二次函数性质逐一判断选项，找出错误结论． 解：∵和时，的值都为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项B结论正确，不符合要求； ∴抛物线的顶点坐标为， 设二次函数解析式为，将，代入得： ，解得， ∵， ∴图象开口向下，选项A结论正确，不符合要求； ∵二次函数解析式为，函数的最大值为，即所有点的纵坐标都小于0， ∴图象经过第三、四象限，选项C结论正确，不符合要求； ∵图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵满足， ∴当时，随的增大而减小，选项D结论错误，符合要求． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·上海普陀·模拟预测）如果抛物线向左平移2个单位长度后经过原点，则的值为___________． 【答案】4 【分析】先根据平移规则得到平移后抛物线的解析式，再将原点坐标代入解析式即可求出的值． 解：抛物线向左平移2个单位长度后，平移后的抛物线解析式为， 平移后抛物线经过原点， ∴， 解得． 12．（2026·河南周口·一模）已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点，则该二次函数的解析式为_____． 【答案】 【分析】利用待定系数法将，，代入求解即可． 解：将，，代入得， 解得 ∴该二次函数的解析式为． 13．（25-26九年级上·山东威海·期末）表中与满足某种函数关系，其函数表达式为_____． … … … … 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，能够从表格中选取合适的点代入求解是解题的关键． 先观察表格内，根据表中与的数据设函数关系式为：，将表中、、代入函数关系式求解即可． 解：根据表中与的数据设函数关系式为：， 将表中、、代入函数关系式，得： ， 解得：， ∴这个函数的表达式为． 14．（25-26九年级上·江西抚州·期末）已知二次函数与x轴交于点和，则二次函数的顶点坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的性质．由二次函数与x轴的交点坐标，利用根与系数的关系可求出对称轴，进而求得顶点坐标，即可作答． 解：∵二次函数与x轴交于点和， ∴设二次函数为， 则对称轴为直线， 将代入函数解析式，得， 故顶点坐标为， 故答案为：． 15．（2025·江西吉安·二模）已知二次函数关于x轴对称的图象经过点，则a的值为______________． 【答案】2 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，利用待定系数法求二次函数表达式．二次函数图象上的点的坐标都满足函数关系式，掌握以上知识是解题的关键． 由题意可知二次函数的图象经过点，再将代入求解即可． 解：∵二次函数关于x轴对称的的图象经过点， ∴二次函数的图象经过点， 将点代入，得， 整理得， 解得． 故答案为：2． 16．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知二次函数，关于x的一元二次方程的两个实数根是和，则这个二次函数的解析式为_______________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系． 根据方程的两个根得到抛物线与轴的两个交点坐标，利用交点式，写出二次函数的解析式即可． 解：∵一元二次方程的两个根分别为、， ∴的图象与轴的交点坐标为，， ∴函数解析式可以为：． 故答案为：． 17．（2025九年级·全国·专题练习）若抛物线与轴的两个交点的坐标分别为，，其形状与抛物线相同，则该抛物线的表达式为_________________． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，灵活运用待定系数法求二次函数解析式是解题关键． 根据抛物线形状相同则的值相同，再将交点坐标代入交点式求出表达式即可． 解：∵抛物线与轴的两个交点为，， ∴设抛物线解析式为 ． ∵其形状与抛物线相同， ∴， 即或． 当时，； 当时，． ∴该抛物线的表达式为或． 故答案为：或． 18．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． （1）这条抛物线所对应的函数的表达式为________； （2）点为抛物线上一点，且以为顶点的三角形的面积等于以为顶点的三角形的面积，则点的坐标为________． 【答案】 或或 【分析】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的有关性质并求出二次函数解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据为顶点的三角形的面积等于以为顶点的三角形的面积列出方程，解方程即可得到答案． 解：（1）将点代入抛物线解析式 可得：， 解得：， 则拋物线解析式为：． 故答案为： （2）设点P的坐标为， ∵，， ∴， ∵以为顶点的三角形的面积等于以为顶点的三角形的面积， ∴ 则或， 解得，， 当时，与重合，故舍去， ∴点的坐标为或或 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知一个二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】设出二次函数的一般式，然后将三个已知点的坐标分别代入一般式，得到关于、、的三元一次方程组，再解方程组求出、、的值，最后确定二次函数的表达式． 解：由题知，设这个二次函数的表达式为， 将，，代入，得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·江西景德镇·期末）二次函数图象与轴交于点，． （1）求该二次函数解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握解析式的求法、函数的最值及函数图象的交点是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，由，进而结合求解即可． （1）解：∵二次函数图象与轴交于点，， ∴把，代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为9； 又当时，； 当时，； 所以，当时，． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，点在抛物线上． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）10 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）将点，点代入抛物线的解析式，求出a、b的值即可； （2）根据对称性求出点A的坐标，进一步求出的长，再求出的面积即可． （1）解：∵经过，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴相交于A、B两点，点B的坐标为， ∴点A坐标为：，即， ∴， ∴的面积为：． 22．（本小题满分10分）（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线经过 （1）求抛物线的解析式； （2）将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点，那么平移的方法是_____． 【答案】（1）；（2）向右平移个单位，再向上平移个单位 【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数图象的平移，熟练掌握待定系数法求函数解析式，以及平移规则是解题的关键： （1）待定系数法求函数解析式，即可； （2）求出原抛物线的顶点坐标，进行判断即可． （1）解：把代入得： ，解得， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵平移后的顶点移动到点，，； 故平移的方法是先向右平移个单位，再向上平移个单位． 23．（本小题满分10分）（26-27九年级上·北京·课后作业）在平面直角坐标系中，抛物线过两点． （1）若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； （2）如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 【答案】（1）抛物线的顶点坐标为；（2） 【分析】（1）根据题意得到，据此求解即可； （2）用含的代数式表示和，据此求解即可． （1）解：∵抛物线经过， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：连接，由题意，得， ， ，而， ， 过M作轴于D， ∵， ． 24．（本小题满分12分）（2025·四川眉山·模拟预测）如图，直线与x轴，y轴分别交于，两点，过，两点的抛物线与x轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，若点E是线段上的一个动点（不与，重合），过点E作，交于点F，当的面积是时，求点E的坐标； （3）在（2）的结论下，将绕点F旋转得，试判断点是否在抛物线上，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）点不在抛物线上，理由如下： 由（2）知，，， 点， 绕点F旋转得， 点与点E关于点F对称， 则点， 当时，， 故点不在抛物线上． 【分析】（1）求出点，的坐标分别为，，即可求解； （2）利用，即可求解； （3）绕点F旋转得，则点，将该点坐标代入二次函数表达式即可检验． 解：（1）， 令，，令，则， 故点、的坐标分别为、， 抛物线过点， 抛物线的表达式可设为， 把代入得，解得， ， 故抛物线的表达式为； （2）解：设点， 设直线表达式为， ，， 解得 直线表达式为， ， 直线的表达式可设为， 将点E坐标代入上式得， ， 直线的表达式为， 解方程组得 即， ， 解得， 故点； （3）略． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $