专题 1.11 二次函数复习专题— 二次函数系数与式子符号（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

该初中数学讲义通过“知识梳理与解读”模块系统构建二次函数系数与式子符号的知识体系，分七个知识点细化a、b、c符号、判别式、对称轴与2a±b关系等内容，以“六步核心流程”梳理综合判断逻辑，结合“左同右异”等口诀和几何直观呈现知识内在联系。 讲义亮点是分层题型设计与方法指导，“夯实基础”设根据图象判断a、b、c符号等基础题型，“综合提升”含多式子符号判断等综合题，解题技巧如“三步法判断a、b、c符号”培养推理意识，同步检测分选择、填空、解答题适配不同学生，助力教师实施精准分层教学。

专题 1.11 二次函数复习专题——二次函数系数与式子符号（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】系数a的符号与图象开口方向 1 【知识点二】系数c的符号与图象和y轴交点 2 【知识点三】系数b的符号与对称轴位置 2 【知识点四】判别式的符号与x轴交点个数 2 【知识点五】对称轴位置与2a±b的符号 3 【知识点六】特殊点函数值的符号 3 【知识点七】综合判断系数与式子符号的方法 4 二.题型精析（夯实基础） 4 【题型1】根据图象判断a、b、c的符号 4 【题型2】根据图象判断判别式Δ的符号 7 【题型3】根据对称轴位置判断2a+b的符号 10 【题型4】根据图象判断a+b+c的符号 14 三.题型精析（综合提升） 18 【题型5】综合判断多个式子的符号 18 【题型6】系数与式子符号的综合应用 22 四.同步检测 30 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 30 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 38 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 46 一.知识梳理与解读 【知识点一】系数a的符号与图象开口方向 1. a的符号决定开口方向 ① 当时，抛物线开口向上；② 当时，抛物线开口向下。 2. |a|决定开口大小 ① ||越大，抛物线的开口越窄；② ||越小，抛物线的开口越宽。 注意：a不能等于0，否则不是二次函数。 【知识点二】系数c的符号与图象和y轴交点 1. c的几何意义 是抛物线与轴交点的纵坐标，即抛物线与轴交于点。 2. c的符号判断 ① 当时，抛物线与轴交于正半轴； ② 当时，抛物线与轴交于负半轴； ③ 当时，抛物线经过原点。 【知识点三】系数b的符号与对称轴位置 1. 对称轴公式 二次函数的对称轴为直线 2. b的符号判断（左同右异） ① 当对称轴在轴左侧时，a、b同号（即则，则）； ② 当对称轴在轴右侧时，a、b异号（即则，则）； ③ 当对称轴为轴时，。 口诀：左同右异（对称轴在轴左侧，a、b同号；在右侧，a、b异号）。 【知识点四】判别式的符号与x轴交点个数 1. 判别式公式 判别式 2. Δ的符号与交点个数的关系 ① 当时，抛物线与x轴有两个交点，方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根； ② 当时，抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上），方程有两个相等的实数根； ③ 当时，抛物线与x轴没有交点，方程没有实数根。 【知识点五】对称轴位置与2a±b的符号 1. 的符号判断 二次函数对称轴公式为 ，通过对称轴与直线 的位置关系，可判断 的符号： ① 当对称轴 时，，化简得：； ② 当 ，对称轴 时，，化简得：； ③ 当 ，对称轴 时，，化简得：。 特别注意：若 （开口向下），不等式两边同时乘负数，不等号方向全部反转。 2. 的符号判断 通过对称轴与直线 的位置关系，可判断 的符号： ① 当对称轴 时，，化简得：； ② 当 ，对称轴 时，化简得：； ③ 当 ，对称轴 时，化简得：。 特别注意：若 ，不等式不等号方向需要反转。 【知识点六】特殊点函数值的符号 1. 特殊点与函数值的对应关系 对于二次函数 （），当自变量 取特殊整数时，可得到固定的代数式函数值，对应规律如下： ① 当 时，； ② 当 时，； ③ 当 时，； ④ 当 时，； ⑤ 当 时，。 2. 符号判断方法 上述特殊代数式的符号，可通过二次函数图象上对应点的位置快速判断，核心依据：自变量 取对应数值时，图象上点的纵坐标正负即为函数值符号。 ① 对应点在 轴上方 ➜ ➜ 对应代数式的值为正； ② 对应点在 轴下方 ➜ ➜ 对应代数式的值为负； ③ 对应点在 轴上 ➜ ➜ 对应代数式的值为0。 【知识点七】综合判断系数与式子符号的方法 1. 判断顺序（六步核心流程） 结合二次函数图象，可按固定顺序判断系数及衍生代数式的符号，逻辑清晰、不易遗漏： ① 第一步：看开口方向 ➜ 确定 的符号； ② 第二步：看抛物线与 轴交点 ➜ 确定 的符号； ③ 第三步：看对称轴位置，依据“左同右异”法则 ➜ 确定 的符号； ④ 第四步：看抛物线与 轴交点个数 ➜ 确定判别式 的符号； ⑤ 第五步：看特殊点（ 等）位置 ➜ 确定 、 等式子的符号； ⑥ 第六步：看对称轴与 的大小关系 ➜ 确定 的符号。 2. 核心注意事项 ① 数形结合是本考点核心解题思想，需精准从二次函数图象中提取开口、交点、对称轴、特殊点位置等关键信息； ② 判断 的符号时，需重点关注 的正负， 的符号会直接影响不等式的不等号方向，避免符号出错； ③ 判断特殊点函数值符号时，需精准定位 取对应整数时，抛物线上对应点的位置，准确判别函数值正负。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】根据图象判断a、b、c的符号 【例题1】（25-26九年级下·河南周口·期中）二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象与性质，分别通过开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a、b、c的符号，从而得到正确选项． 解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴左侧，二次函数对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于负半轴，当时，， ∴， 综上，，，，故选项A符合题意． 【变式1】（25-26九年级上·吉林四平·期末）已知二次函数的图象如图所示，则点在第______象限． 【答案】二 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及判断点所在的象限，解题的关键在于熟练掌握开口方向，图象与y轴的交点情况与系数的关系． 先根据二次函数的图象及性质判断a与c的符号，从而即可得出点所在象限． 解：由图知，二次函数开口向下， ， 二次函数的图象与轴交于正半轴， ， 则点在第二象限； 故答案为：二． 【变式2】（25-26九年级上·浙江舟山·期末）若二次函数，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．利用排除法，由可以排除A选项；由得对称轴，可以排除B和C选项；即可得出结果． 解：对于二次函数， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵， ∴抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴可以排除A选项； ∵， ∴抛物线的对称轴， ∴可以排除B和C选项； 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·福建厦门·期中）二次函数的图象如图所示，那么______（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，此题运用了数形结合思想．首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，然后根据与轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，代入即可判断的正负． 解：∵图象开口方向向上， ∴， ∵图象的对称轴在x轴的正半轴上， ∴， ∵， ∴， ∵图象与y轴交点在y轴的负半轴上， ∴， ∴， 故答案为：． 【解题技巧】判断a、b、c符号的三步法：①看开口定a；②看y轴交点定c；③看对称轴位置用"左同右异"定b。这是最基础也是最重要的方法。 【题型2】根据图象判断判别式Δ的符号 【例题2】（24-25九年级上·北京密云·期中）写出一个开口向上且与x轴没有公共点的抛物线的表达式______ 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查求二次函数的解析式，掌握开口方向和与x轴的交点情况与解析式的关系是解题的关键．开口向上即为a大于0，与x轴没有交点即为根的判别式小于0，写出满足题意的抛物线解析式即可． 解：开口向上则， 与x轴没有公共点，则， 满足条件的抛物线的表达式为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．＞0， B．＜0， C．＞0， D．＜0， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键在于根据抛物线的对称轴位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点个数判断判别式的符号． 解：∵二次函数的图象的对称轴为直线，且对称轴在轴右侧，即， ∴； ∵二次函数的图象与轴有两个交点， ∴对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴； 综上，，，故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·北京·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则_____0，______0． 【答案】 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置可判断，由抛物线与x轴的交点个数可判断． 解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 故答案为：、． 【点拨】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象的性质．根据开口方向确定a的正负，根据与y轴交点确定c的正负，再根据对称轴位置确定b的正负，根据与x轴交点的情况确定的正负情况． 解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， 又∵对称轴， ∴， ∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴二次方程有两个不同的根，即， 故选：D． 【解题技巧】判别式Δ与x轴交点个数的关系：Δ>0对应两个交点，Δ=0对应一个交点（顶点在x轴上），Δ<0对应无交点。记住这个对应关系，此类题目可直接判断。 【题型3】根据对称轴位置判断2a+b的符号 【例题3】（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小；⑤ ．其中正确的结论有______．    【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，二次函数与坐标轴的交点等知识是解题的关键． 根据二次函数图象可得二次函数图象开口向下，与轴交于正半轴可得，，由此二次函数对称轴直线为，可得，再根据二次函数图象与坐标轴的交点等知识进行判定即可求解． 解：根据图示可得，二次函数图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数对称轴直线为， ∴，故①错误； ∴当时，二次函数有最大值，最大值为，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵二次函数对称轴直线为， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，故④正确； ∵二次函数与轴有两个交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，故⑤错误； 综上所述，正确的有②③④， 故答案为：②③④ ． 【变式1】（2024·四川成都·三模）抛物线（a，b，c为常数，且）的顶点坐标为，其部分图象如图所示，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与轴的交点可以对进行判断；根据抛物线与一元二次方程的关系，可对进行判断；根据抛物线的对称轴可对C进行判断；根据当时，可对D进行判断． 解：抛物线开口方向向上，对称轴为， ，， ，， 故选项C不符合题意； 抛物线轴的交点在轴负半轴， ， ， 故选项A不符合题意； 抛物线与x轴有两个交点， 一元二次方程有两个根， 即， 故选项B不符合题意； ∵抛物线（a，b，c为常数，且）的顶点坐标为， ∴当时，， 故选项D符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，是二次函数y=ax2+bx+c的大致图象，则下列结论：①a＜0；②b＞0；③c＜0；④b2﹣4ac＞0中，正确的有_____．（写上所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】利用抛物线开口方向对①进行判断；利用抛物线的对称轴的位置对②进行判断；利用抛物线与y轴的交点位置对③进行判断；利用抛物线与x轴的交点个数对④进行判断． 解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0；所以①正确； ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴b＞0，所以②正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0，所以③错误； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△=b2﹣4ac＞0，所以④正确． 故答案为①②④． 【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 【变式3】（20-21九年级上·辽宁铁岭·期中）二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 【答案】C 【分析】根据开口和与y轴的交点，以及对称轴为直线，确定a、b、c的符号，从而判断A；根据函数图象与x轴的交点情况，判断B；根据对称轴为直线x=2，判断C；根据图象即可判断D． 解：∵抛物线开口向下，与y轴的正半轴相交 ∴a＜0，c＞0，对称轴为直线，则 ∴，故A错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故B错误； ，故C正确； 根据图象可知当时，，故D错误； 故选：C． 【点拨】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）． 【解题技巧】判断2a+b的符号，可利用对称轴公式x=-b/（2a），将b用a表示后代入2a+b。也可直接比较对称轴与1的大小：当a>0时，对称轴x>1则2a+b>0，x<1则2a+b<0，x=1则2a+b=0。 【题型4】根据图象判断a+b+c的符号 【例题4】（25-26九年级上·吉林四平·期中）二次函数 的图象如图所示，给出以下四个结论：（1）（2），（3），（4），其中正确的是______（填序号）．    【答案】（1）（3）（4） 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与y轴的交点问题，根据二次函数的图象判断式子符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察函数图象，得函数图象开口向下，得，故，函数与轴的交点在坐标原点，把代入，得，把代入，得，运用数形结合思想，即可作答． 解：观察二次函数 的图象，得函数图象开口向下，即， 则对称轴为直线，即， 整理得， ∵， ∴， 函数与轴的交点在坐标原点， ∴， ∴ 故（1）符合题意； 把代入，得， 观察函数图象，得， 故（2）不符合题意； ∵，且，， ∴， 故（3）符合题意； 把代入，得， ∵， ∴观察函数图象，得， 故（4）符合题意； 故答案为：（1）（3）（4） 【变式1】（25-26九年级上·重庆黔江·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于点，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，掌握好相关知识是关键． 根据二次函数的图象，判断系数、、的符号，并判断选项即可． 解：∵二次函数的图象开口向下， ∴，故A错误； ∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B错误，C正确； ∵抛物线过点， ∴，故D错误． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·北京海淀·期中）抛物线如图所示，现有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论有_____． 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系．根据二次函数的开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标得出，再观察函数，得出，整理得，故，观察函数图象，当时，则，得，又因为，，故，即可作答． 解：观察函数图象，得出函数的开口向上， 故， 函数与轴交于负半轴， ∴， 函数的对称轴位于轴的正半轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故①是正确的； 图象对称轴为直线，观察函数，得出 ∵， ∴， ∴， 故③是正确的； 观察函数图象，当时，则， 即， ∴， 故④是错误的； ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故②是正确的； 故答案为：①②③ 【变式3】（2026·湖北襄阳·二模）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据对称轴公式得到，即可判断④；根据二次函数的图象即可判断，即可判断①；根据抛物线与x轴的交点个数即可判断②；由图象可得，当时，，即可代入求解判断③． 解：∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，故④正确； 由图象可得，， ∴由得，， ∵抛物线与轴负半轴相交， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴有个交点， ∴，故②正确； 由图象可得，当时，， ∴把代入，则，故③错误， ∴正确的有个， 故选：C． 【解题技巧】 判断a+b+c的符号，只需看x=1时对应点在x轴的上方还是下方。上方则a+b+c>0，下方则a+b+c<0，在x轴上则a+b+c=0。同理，a-b+c看x=-1时的点，4a+2b+c看x=2时的点。 三.题型精析（综合提升） 【题型5】综合判断多个式子的符号 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，；④当或时，．其中错误的是________．（填序号） 【答案】③ 解：函数图象与轴有两个交点， ，故①正确； 二次函数与轴的交点为，， 是方程的一个根，故②正确； 由图可知，当时，，当或时，，故③错误，④正确． 【变式1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据抛物线与x轴的交点可判断①；由对称轴可判断②；根据及时的函数值可判断③和④． 解：由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点， 即方程有两个不相等的实数根， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故②错误； 由图象知当时，， 即，故③错误； 由图象知当时，， 即，故④正确． 故正确的有①④． 【变式2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点在，两点之间，下列结论：①；②；③；④方程必有两个不相等的实数根．其中正确的结论有_____．（填正确的序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得，抛物线开口向下，与轴交于正半轴，且对称轴为，从而可得，，，求出，即可判断①③；由图象可得，当时，，由抛物线的对称性可得，当时，，即可判断②；方程，即，则，结合，的值无法确定大小，从而无法保证，即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 解：由图象可得，抛物线开口向下，与轴交于正半轴，且对称轴为， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； 由图象可得，当时，， ∴由抛物线的对称性可得，当时，， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 方程，即，则， ∵，的值无法确定大小， ∴无法保证，故④错误； 综上所述，正确的有①②③； 故答案为：①②③． 【变式3】（2025·山东枣庄·模拟预测）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊值点等方面逐项判断即可． 解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个． 【解题技巧】综合判断多个式子符号时，要逐一分析，不能想当然。特别是a+b+c这类需要看特殊点的式子，如果题目没有给出对应点的位置，就不能随意判断。要严格根据已知条件推导。 【题型6】系数与式子符号的综合应用 【例题6】（2026·陕西·中考真题）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … （1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）下列关于该二次函数的说法中，正确的是_________（填序号）； ①；②；③当时，有最小值为；④当时，的值随值的增大而增大 （3）若将该二次函数的图象沿轴向下平移6个单位长度，交轴于，两点，求的长． 【答案】（1）如图，二次函数图象即为所求： （2）①②③；（3） 【分析】（1）先描点，再连线即可作图象； （2）根据函数图象分析即可； （3）先求出原抛物线的表达式，然后求出平移后的抛物线表达式，再令，求出其与轴的两个交点坐标，即可求解． 解：（1）略 （2）解：由函数图象可得，抛物线开口向上，故，①正确； 抛物线与轴有两个交点，故，②正确； 由图象可得，当时，有最小值为，③正确； 由图象可得，当时，的值随值的增大而增大，④错误， ∴正确的有①②③； （3）解：根据函数图象可得，顶点坐标为，故设表达式为 将点代入得，， 解得 ∴抛物线表达式为 ∴沿轴向下平移6个单位长度后的抛物线表达式为，即为， 令，则 解得 ∴抛物线与轴的交点为， ∴． 【变式1】（2025年九年级中考数学二次函数压轴题专题练习02多结论问题）已知二次函数的图象如图所示，回答下列问题： （1）填空（填“”“ ”或“”）： ①a 0；②b 0；③c 0；④ 0；⑤ 0； ⑥ 0；⑦ 0；⑧ 0； ⑨若点，均在该二次函数图象上，则 ； （2）若点，均在该二次函数图象上，则n的值为 ； （3）关于x的一元二次方程的实数根的情况为 ； （4）若图象与x轴的交点为，，，当时，x的取值范围为 ． 【答案】（1），，，，，，，，；（2）；（3）两个不相等的实数根；（4） 【分析】此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，以及二次函数图象上点的特征． （1）由抛物线开口方向，对称轴以及，坐标轴的交点以及由、、、时的函数值即可得到结论； （2）由两点关于对称轴对称即可求得； （3）由抛物线与直线有两个交点即可得出结论； （4）根据图象可得当时函数图象位于轴上方，即可求得结果． （1）解：由函数图象可知：抛物线开口向下， ∴①； ∵对称轴在y轴左边，即， 又∵， ∴②； ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴③； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴④； ∵当时，， ∴⑤； ∵当时，， ∴⑥； ∵当时，， ∴⑦； ∵， ∴， ∵当时，， ∴， ∴⑧； ∵对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∴； 故答案为：，，，，，，，，； （2）解：∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴， 故答案为：； （3）解：由图象可知，抛物线与直线有两个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故答案为：两个不相等的实数根； （4）解：若图象与x轴的交点为，，， 当时，x的取值范围为， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·山西朔州·期末）阅读与理解 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 二次函数图象与系数a，b，c的关系我们知道，二次函数a，b，c与抛物线有着密切的关系， 如图1，①抛物线开口向上，． ②抛物线的对称轴在直线的右侧，． ，，． ③抛物线与y轴交于正半轴，． ④抛物线与x轴有两个交点，． ⑤当时，， 当时，， 即． 任务： （1）如图2，方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根    B．有两个相等的实数根 C．没有实数根        D．无法确定 （2）判断图2中与的大小关系． （3）在图2中，下列结论正确的是__________．（直接填序号即可） ①；②；③；④． 【答案】（1）A；（2）；（3）②③ 【分析】（1）根据二次函数图象与轴有两个交点，再根据方程的根相当于二次函数图象与轴的交点，据此即可得出答案； （2）根据（1）的结论，得出，据此计算，即可得出答案； （3）根据二次函数的图象与性质，分析即可得出答案． （1）解：根据题意，可得图象与轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：A （2）解：由（1）可知：方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴； （3）解：由图象可得：抛物线与轴交于负半轴， ∴，故①错误； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴在轴左侧， ∴， ∴，故②正确； 当时，， ∴当时，， 即，故③正确； ∵抛物线对称轴在直线的左侧， ∴， ∵， ∴， ∴，故④错误， 综上可得：结论正确的是②③． 故答案为：②③ 【点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、二次函数图象与各项系数符号，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答问题． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知抛物线，其顶点坐标为，抛物线与轴的一个交点为，直线与抛物线交于、两点． （1）______；（填、或） （2）______；（填、或） （3）______； （4）抛物线与轴的另一个交点坐标是______； （5）抛物线的解析式为______； （6）直线的解析式为______； （7）______； （8）方程的根为______； （9）写出时的取值范围为______． 【答案】（1）；（2）；（3）0；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9） 【分析】本题考查一元二次函数的图象与性质，一元一次函数的图象与性质： （1）由抛物线图象开口方向确定a的正负，与轴交点确定c的正负，由对称轴确定b的正负，从而可以得到答案； （2）根据一元二次函数与x轴交点情况即可判断； （3）根据一元二次函数对称轴即可求解； （4）根据一元二次函数图象的对称性即可求解； （5）设一元二次函数的解析式为顶点式，代入求出a即可； （6）将A、B坐标代入一元一次函数的解析式联立方程组求解即可； （7）将代入抛物线解析式即可求解； （8）方程的根为一元二次函数值为3时自变量的值，数形结合即可求解； （9）表示二次函数图象在一次函数的图象上方，数形结合即可求解． （1）解：由抛物线图象可得：抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ， 抛物线对称轴为直线，则， ∴， 故答案为：； （2）解：∵抛物线图象与x轴有两个不同的交点， ∴一元二次方程有两个不同的根， ∴， 故答案为：； （3）解：抛物线对称轴，则， 故答案为：0； （4）解：关于对称点为1， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标是， 故答案为：； （5）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：； （6）解：将和代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 故答案为：； （7）解：由抛物线图象可得，当时，， 故答案为：； （8）解：即，由图可知抛物线函数值为3时，自变量x为， ∴该方程的两根为， 故答案为：； （9）解：表示二次函数图象在一次函数图象的上方， 由图可知此时， 故答案为：． 【解题技巧】综合应用题要充分利用已知条件，特别是对称轴信息可以建立a与b的关系（如x=1则b=-2a），从而将含b的式子转化为只含a和c的式子。但要注意：没有给出位置信息的特殊点函数值，不能随意判断符号。 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·贵州遵义·一模）二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据函数图象可得各系数的关系：，，则点所在的象限即可判定． 解：观察图象得：开口向下，与y轴交于正半轴， ∴，， ∴点位于第二象限． 2．（2026·河南周口·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据二次函数开口方向、与轴交点，对称轴位置、与轴交点确定①②③，再根据顶点坐标确定④． 解：由二次函数图象可知，开口向上，与轴交于负半轴， ，， 二次函数的对称轴为， ，即， ，，结论①、③正确； 二次函数图象与轴有两个交点， 有两个不等实数根， ，结论②正确； 由图象可知，当时，， 即，结论④正确． 综上，结论正确的个数是个，选项符合题意． 3．（2026·广东·一模）二次函数的图象如图，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】开口方向判断的符号，左同右异判断的符号，与轴的交点位置判断的符号，与轴的交点个数判断判别式的符号. 解：由图象可知，抛物线的开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴交于正半轴，与轴有2个交点， ∴，，，， 故选项B不正确，符合题意. 4．（2026·广东佛山·一模）若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由二次函数图像开口向下得出，再根据对称轴在轴右侧推出，最后结合一次函数的特征，判断图像即可． 解：∵开口方向：抛物线开口向下， ∴， ∵从图中可知对称轴在轴右侧， ∴根据对称轴公式，得， ∵， ∴ ， 分析一次函数的图像： ，说明直线从左上到右下； ，说明直线与轴交于正半轴； 故符合这两个特征的是选项C． 5．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④，其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】首先根据开口方向，对称轴和与y轴的交点位置判断出a，b，c的正负，然后结合图象逐项判断即可． 解：①∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵二次函数的对称轴在y轴左边 ∴ ∴ ∵二次函数图象与y轴交于正半轴 ∴ ∴，故①错误； ②由图象可得，当时，，故②错误； ③由图象可得，当时，y随x的增大而增大，故③正确； 由二次函数图象的对称性可得，当时，，故④正确； 综上所述：正确的有2个． 6．（25-26九年级上·湖北随州·期末）已知二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（   ）． A． B． C． D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，能从图象中获取有效信息是解答的关键． A选项考查的取值范围，相乘即可求解，B选项考查当时，的取值范围即可求解，C选项考查图像与轴的交点个数即可求解，D选项考查二次函数的增减性，观察图像即可求解． 解：选项A：由图可知开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，即，，，那么，故不符合题意； 选项B：当时，，由图可知，当时，，即，故不符合题意； 选项C：由图可知，抛物线与轴有两个交点，即，故不符合题意； 选项D：由图可知，当时，随的增大而减小，故符合题意． 故选：D． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象性质逐一判断即可． 解：由图象可知：函数的图象开口向上、对称轴在y轴右侧， ，对称轴、且， 对称轴， ， ， 故①错误； 函数的对称轴为，函数和x轴的一个交点是， 另外一个交点为， 当时，， 故②错误； 函数的对称轴为， ， 故③正确； 由②③得，，， ， ，即， ， 故④正确， 综上所述，正确的有③④，共2个． 8．（24-25九年级下·全国·期末）如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】函数图象开口向下，则在对称轴处函数有最大值，结合对称轴为直线可判断①；根据点B的坐标可判断②；根据二次函数与x轴有两个交点可判断③；根据对称性求出点A的坐标，结合函数图象可判断④． 解：∵二次函数的图象开口向下， ∴在对称轴处函数有最大值， ∵对称轴为直线， ∴把代入得， ∴函数的最大值为，故①正确； ∵二次函数与交于点， ∴当时，，故②错误； ∵二次函数与x轴交于点A、点， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，故③正确； 由对称性可知，点A的坐标为， ∴由函数图象可知，当时，，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个． 9．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】开口向下，则，与轴正半轴相交，则，再根据对称轴为直线，得到，则可得到，通过时y大于0得到含有a、b、c的不等式，再替换掉b，得到a、c之间的关系，由对称轴为直线可知，当时，y取得最大值，则可判断D选项的正误． 解：根据题意可得，， ， ， ，， A选项错误； ∵对称轴为直线， ∴当和时，函数值相等， 当时，， ∴当时，，即，故选项B错误； ∴即，故选项C错误； 对称轴为直线， ， D选项正确． 10．（2026·内蒙古通辽·三模）二次函数的图象如图所示．下列结论： ① ② ③ ④ ⑤若，，，则． 其中正确结论的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y轴的交点可判断a，b，c的符号，即可判断①；根据抛物线与x轴交点的位置即可判断②，根据抛物线的对称轴即可判断③，根据①②的结论结合平方差公式即可判断④，根据抛物线的增减性即可判断⑤． 解：∵抛物线的开口向下，对称轴为，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①正确． ∵抛物线与x轴的一个交点的横坐标小于3，又对称轴为直线 ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标大于， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴当时，，即，故②正确． ∵， ∴，故③正确； ∵当时，， 又， ∴， ∴， ∴，故④错误． ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上离对称轴越近的点的纵坐标越大， ∵，，， ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①②③⑤，共4个． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）若函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】四 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质．熟悉二次函数的性质求出a与b的正负是解题的关键． 通过观察二次函数图象的开口方向和对称轴位置来确定a、b的正负，再根据一次函数中a、b的正负判断其图象经过的象限即可． 解：观察二次函数的图象， 可知图象开口向上．即． 由图象可知对称轴，即， 又因为已经得出，且， 则． 对于一次函数，其中，， 一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故答案为：四． 12．（24-25九年级上·河南南阳·期末）二次函数的图像如图所示，下列式子：①，②，③，④，⑤，其中正确的有______．（填编号）． 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线的对称轴位置确定b的范围，然后根据抛物线与x轴交点的个数及时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解：①由图象可知，对称轴为直线， ∴， ∴， 故①错误，②正确， ②∵时，， ∴， 故③错误， ③∵抛物线与x轴有交点， ∴， ∴， 故④正确， ⑤∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故⑤正确， 故答案为：②④⑤． 13．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③当时，；④其中正确结论的本数为______（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 根据二次函数开口向上，与轴交于轴负半轴，，根据对称轴为直线可得，由此即可判断①；求出二次函数与轴的另一个交点坐标为，进而得到当时，，由此即可判断②；根据时，，即可判断④；利用图象法即可判断③． 解：∵二次函数开口向上，与轴交于轴负半轴， ， ∵二次函数的对称轴为直线， ， ， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为， ∴二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， ∴，故②正确； 时，， ， ∴，即，故④正确； 由函数图象可知，当时，，故③正确； 综上所述，其中正确的结论有①②③④， 故答案为：①②③④． 14．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）抛物线如图，有下列四个结论：①；②；③．其中，错误的结论是________（只填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查根据二次函数的图象判断二次函数系数的符号，以及式子的符号，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．①根据开口方向，对称轴，以及与轴的交点位置，判断出的符号，即可得到的符号；②根据抛物线与轴的交点个数，进行判断即可；③求出二次函数的最值，进行判断即可． 解：∵由图可知抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴故①正确，不符合题意； ∵由图可知抛物线与轴有两个交点， ∴，即， ∴故②正确，不符合题意； ∵由图可知，当时，有最大值， 可以将看成，即当时，有最大值， 将看成，即当时，其值不是最大值， ∴， ， 即． ∴故③错误，符合题意． 故答案为：③． 15．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）二次函数图象的一部分如图所示，给出下列命题：①；②；③；④（m为任意实数）；⑤．其中正确的命题有______． 【答案】①③④ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴的交点情况以及二次函数的性质判断即可． 解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∵抛物线交于y轴的负半轴， ∴， ∴，①说法正确； ∵ ∴，②说法不正确； ∵抛物线与x轴交于， ∴，即，③说法正确； ∵抛物线的对称轴是直线，且开口向上， ∴函数最小值为， ∴， ∴，④说法正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，⑤说法不正确； 故答案为①③④． 16．（2025·山东枣庄·模拟预测）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有__________． 【答案】①③④ 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可得a、b、c的取值范围，由此可判断①；根据结合c的取值范围可对②进行判断；由可得A的坐标，代入解析式可判断③；由点A坐标结合对称轴可得点B坐标，据此可判断④． 解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴上方， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， 把代入得， ∴，故③正确； ∵，对称轴为直线， ∴， ∴是关于x的一元二次方程的一个根，故④正确； 综上可知，正确的有①③④． 17．（2026·湖南长沙·二模）已知抛物线的对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如上图所示，下列结论：①y的最大值为3；②；③当时，y随x的增大而减小；④．其中正确的序号为__________． 【答案】①②③④ 【分析】根据图象得到抛物线开口向下，顶点纵坐标为3，对称轴是直线，抛物线与x轴的另一个交点在点和点之间，然后逐项判断即可． 解：由图象可得，抛物线开口向下，顶点纵坐标为3 ∴y的最大值为3，故①正确； ∵对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和点之间， ∴当时，，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小，故③正确； ∵对称轴是直线， ∴ ∴，故④正确． 综上所述，正确的序号为①②③④． 18．（2026九年级下·吉林·专题练习）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为，且图象经过点，下列结论：①；②；③若且，则；④若，两点都在抛物线的图象上，则．正确的有______．（填正确的序号） 【答案】①②③ 【分析】根据抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，可得，再根据对称轴为直线，可得，即可判断①②；然后说明，可得和关于对称轴对称，进而得出，说明③即可；最后根据抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小解答④． 解：由图象可知抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴， ∴． ∵对称轴为直线， ∴， 则可知①②正确； ∵，且， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴， 则，可知③正确； ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小． 若两点都在抛物线的图象上， ∵， ∴，可知④不正确． 则正确的有． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·广西河池·期中）已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． （1）确定b，的符号； （2）求证：； （3）当x取何值时，，当x取何值时． 【答案】（1），；（2）证明：∵抛物线的顶点在轴上方，对称轴为， ∴当时，； （3）当时，；当或时，． 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数和x轴交点问题，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系． （1）根据开口方向确定a的符号，根据对称轴的位置确定b的符号，根据抛物线与x轴交点的个数确定的符号； （2）根据图象和的函数值确定与0的关系； （3）根据抛物线在x轴上方时；抛物线在x轴下方时求解即可． 解：（1）∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴； （2）略 （3）根据图象可知， 当时，；当或时，． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）． （1）求该抛物线的顶点坐标（用含代数式表示）； （2）如果点都在该抛物线上，比较与大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． （1）把一般式化为顶点式，即可作答． （2）分别代入，整理与的式子，即可作答． （1）解： ， 抛物线顶点坐标为； （2）解：， ∵点都在该抛物线上 ， 21．（本小题满分10分）（2025九年级上·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点在第四象限，且开口向上，判断 与的符号． 【答案】， 【分析】考查二次函数图象性质，利用顶点纵坐标公式和开口方向判断符号．关键是掌握与a的符号关系，易错点是符号判断失误． 设二次函数，开口向上则，顶点在第四象限则顶点纵坐标．因，故，进而． 解：对于二次函数，开口向上则；顶点在第四象限，说明顶点的横坐标，纵坐标． 由且，可得，因此． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知的图像如图，则：a______0；b______0；c______0；______0；______0；______0；______0；______0 【答案】，，，，，，， 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、二次函数的图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答此题的关键．根据抛物线开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点情况及特殊值的情况即可解答． 解：根据函数的图像得：图像开口向下，对称轴为，函数图像与y轴的交点在y轴的正半轴，与x轴有两个交点， ∴，，，， ∴，， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：，，，，，，，． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知抛物线的图象如图所示． （1）判断、、及的符号； （2）求的值； （3）给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】（1），，，；（2）；（3）①③ 【分析】（1）根据二次函数图象与系数的关系求解，即可得到答案； （2）由函数的图象可知，当时，，代入即可得到答案； （3）根据二次函数的图象和性质以及不等式的性质求解，即可得到答案． （1）解：抛物线开口向上， ， 对称轴在y轴右侧， 、异号， ， 抛物线与y轴负半轴相交， ， 当时，， ； （2）解：由函数的图象可知，当时，， ； （3）解：由（1）可知，， ， ，①结论正确； ， ， ， ， ， ，②结论错误； 当时，， 当时，， ， ， ，③结论正确； 故答案为：①③． 【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键． 24．（本小题满分12分）（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为（2，0）． （1）抛物线与轴的另一个交点坐标为 ； （2）双曲线分居在第 象限，直线不经过第 象限； （3）有以下的说法：①；②；③；④若（0，），（1，）是抛物线上的两点，则．上述说法中，正确的有 ．（填序号） 【答案】（1）（－1，0）；（2）二、四；四；（3）①②④ 【分析】（1）根据抛物线的对称性求解即可； （2）根据抛物线的开口方向、与y轴的交点、对称轴的位置判断出a、b、c的符号，再根据反比例函数和一次函数的性质判断函数图象分布的象限即可； （3）根据抛物线的开口方向、与y轴的交点、对称轴的位置判断①；根据对称轴为直线可判断②；根据x=2时的函数值可判断③；根据抛物线的对称性可判断④，进而可作出选择． （1）解：∵该抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为（2，0）． ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为（－1，0）， 故答案为：（－1，0）； （2）解：∵该抛物线的开口向下，与y轴的正半轴相交，对称轴为直线在y轴右侧， ∴a＜0，b＞0，c＞0， ∴双曲线分居在第 二、四象限，直线经过第 一、二、三象限，不经过第四象限， 故答案为：二、四；四； （3）解：①∵a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②∵对称轴为直线， ∴a=－b，即a+b=0，故②正确； ③∵图象经过点（2，0）， ∴当x=2时，y=4a+2b+c=0，故③错误； ④∵对称轴为直线， ∴（0，）关于直线对称的点的坐标为（1，）， ∴，故④正确， 综上，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点拨】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握各函数的图象与对应系数的关系是解答的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.11 二次函数复习专题——二次函数系数与式子符号（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】系数a的符号与图象开口方向 1 【知识点二】系数c的符号与图象和y轴交点 2 【知识点三】系数b的符号与对称轴位置 2 【知识点四】判别式的符号与x轴交点个数 2 【知识点五】对称轴位置与2a±b的符号 3 【知识点六】特殊点函数值的符号 3 【知识点七】综合判断系数与式子符号的方法 4 二.题型精析（夯实基础） 4 【题型1】根据图象判断a、b、c的符号 4 【题型2】根据图象判断判别式Δ的符号 5 【题型3】根据对称轴位置判断2a+b的符号 6 【题型4】根据图象判断a+b+c的符号 8 三.题型精析（综合提升） 9 【题型5】综合判断多个式子的符号 9 【题型6】系数与式子符号的综合应用 10 四.同步检测 13 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 13 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 17 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19 一.知识梳理与解读 【知识点一】系数a的符号与图象开口方向 1. a的符号决定开口方向 ① 当时，抛物线开口向上；② 当时，抛物线开口向下。 2. |a|决定开口大小 ① ||越大，抛物线的开口越窄；② ||越小，抛物线的开口越宽。 注意：a不能等于0，否则不是二次函数。 【知识点二】系数c的符号与图象和y轴交点 1. c的几何意义 是抛物线与轴交点的纵坐标，即抛物线与轴交于点。 2. c的符号判断 ① 当时，抛物线与轴交于正半轴； ② 当时，抛物线与轴交于负半轴； ③ 当时，抛物线经过原点。 【知识点三】系数b的符号与对称轴位置 1. 对称轴公式 二次函数的对称轴为直线 2. b的符号判断（左同右异） ① 当对称轴在轴左侧时，a、b同号（即则，则）； ② 当对称轴在轴右侧时，a、b异号（即则，则）； ③ 当对称轴为轴时，。 口诀：左同右异（对称轴在轴左侧，a、b同号；在右侧，a、b异号）。 【知识点四】判别式的符号与x轴交点个数 1. 判别式公式 判别式 2. Δ的符号与交点个数的关系 ① 当时，抛物线与x轴有两个交点，方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根； ② 当时，抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上），方程有两个相等的实数根； ③ 当时，抛物线与x轴没有交点，方程没有实数根。 【知识点五】对称轴位置与2a±b的符号 1. 的符号判断 二次函数对称轴公式为 ，通过对称轴与直线 的位置关系，可判断 的符号： ① 当对称轴 时，，化简得：； ② 当 ，对称轴 时，，化简得：； ③ 当 ，对称轴 时，，化简得：。 特别注意：若 （开口向下），不等式两边同时乘负数，不等号方向全部反转。 2. 的符号判断 通过对称轴与直线 的位置关系，可判断 的符号： ① 当对称轴 时，，化简得：； ② 当 ，对称轴 时，化简得：； ③ 当 ，对称轴 时，化简得：。 特别注意：若 ，不等式不等号方向需要反转。 【知识点六】特殊点函数值的符号 1. 特殊点与函数值的对应关系 对于二次函数 （），当自变量 取特殊整数时，可得到固定的代数式函数值，对应规律如下： ① 当 时，； ② 当 时，； ③ 当 时，； ④ 当 时，； ⑤ 当 时，。 2. 符号判断方法 上述特殊代数式的符号，可通过二次函数图象上对应点的位置快速判断，核心依据：自变量 取对应数值时，图象上点的纵坐标正负即为函数值符号。 ① 对应点在 轴上方 ➜ ➜ 对应代数式的值为正； ② 对应点在 轴下方 ➜ ➜ 对应代数式的值为负； ③ 对应点在 轴上 ➜ ➜ 对应代数式的值为0。 【知识点七】综合判断系数与式子符号的方法 1. 判断顺序（六步核心流程） 结合二次函数图象，可按固定顺序判断系数及衍生代数式的符号，逻辑清晰、不易遗漏： ① 第一步：看开口方向 ➜ 确定 的符号； ② 第二步：看抛物线与 轴交点 ➜ 确定 的符号； ③ 第三步：看对称轴位置，依据“左同右异”法则 ➜ 确定 的符号； ④ 第四步：看抛物线与 轴交点个数 ➜ 确定判别式 的符号； ⑤ 第五步：看特殊点（ 等）位置 ➜ 确定 、 等式子的符号； ⑥ 第六步：看对称轴与 的大小关系 ➜ 确定 的符号。 2. 核心注意事项 ① 数形结合是本考点核心解题思想，需精准从二次函数图象中提取开口、交点、对称轴、特殊点位置等关键信息； ② 判断 的符号时，需重点关注 的正负， 的符号会直接影响不等式的不等号方向，避免符号出错； ③ 判断特殊点函数值符号时，需精准定位 取对应整数时，抛物线上对应点的位置，准确判别函数值正负。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】根据图象判断a、b、c的符号 【例题1】（25-26九年级下·河南周口·期中）二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1】（25-26九年级上·吉林四平·期末）已知二次函数的图象如图所示，则点在第______象限． 【变式2】（25-26九年级上·浙江舟山·期末）若二次函数，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·福建厦门·期中）二次函数的图象如图所示，那么______（填“>”“<”或“=”）． 【解题技巧】判断a、b、c符号的三步法：①看开口定a；②看y轴交点定c；③看对称轴位置用"左同右异"定b。这是最基础也是最重要的方法。 【题型2】根据图象判断判别式Δ的符号 【例题2】（24-25九年级上·北京密云·期中）写出一个开口向上且与x轴没有公共点的抛物线的表达式______ 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．＞0， B．＜0， C．＞0， D．＜0， 【变式2】（24-25九年级上·北京·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则_____0，______0． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【解题技巧】判别式Δ与x轴交点个数的关系：Δ>0对应两个交点，Δ=0对应一个交点（顶点在x轴上），Δ<0对应无交点。记住这个对应关系，此类题目可直接判断。 【题型3】根据对称轴位置判断2a+b的符号 【例题3】（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小；⑤ ．其中正确的结论有______．    【变式1】（2024·四川成都·三模）抛物线（a，b，c为常数，且）的顶点坐标为，其部分图象如图所示，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D．若，则 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，是二次函数y=ax2+bx+c的大致图象，则下列结论：①a＜0；②b＞0；③c＜0；④b2﹣4ac＞0中，正确的有_____．（写上所有正确结论的序号） 【变式3】（20-21九年级上·辽宁铁岭·期中）二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 【解题技巧】判断2a+b的符号，可利用对称轴公式x=-b/（2a），将b用a表示后代入2a+b。也可直接比较对称轴与1的大小：当a>0时，对称轴x>1则2a+b>0，x<1则2a+b<0，x=1则2a+b=0。 【题型4】根据图象判断a+b+c的符号 【例题4】（25-26九年级上·吉林四平·期中）二次函数 的图象如图所示，给出以下四个结论：（1）（2），（3），（4），其中正确的是______（填序号）．    【变式1】（25-26九年级上·重庆黔江·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于点，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·北京海淀·期中）抛物线如图所示，现有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论有_____． 【变式3】（2026·湖北襄阳·二模）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解题技巧】 判断a+b+c的符号，只需看x=1时对应点在x轴的上方还是下方。上方则a+b+c>0，下方则a+b+c<0，在x轴上则a+b+c=0。同理，a-b+c看x=-1时的点，4a+2b+c看x=2时的点。 三.题型精析（综合提升） 【题型5】综合判断多个式子的符号 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，；④当或时，．其中错误的是________．（填序号） 【变式1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点在，两点之间，下列结论：①；②；③；④方程必有两个不相等的实数根．其中正确的结论有_____．（填正确的序号） 【变式3】（2025·山东枣庄·模拟预测）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解题技巧】综合判断多个式子符号时，要逐一分析，不能想当然。特别是a+b+c这类需要看特殊点的式子，如果题目没有给出对应点的位置，就不能随意判断。要严格根据已知条件推导。 【题型6】系数与式子符号的综合应用 【例题6】（2026·陕西·中考真题）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … （1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）下列关于该二次函数的说法中，正确的是_________（填序号）； ①；②；③当时，有最小值为；④当时，的值随值的增大而增大 （3）若将该二次函数的图象沿轴向下平移6个单位长度，交轴于，两点，求的长． 【变式1】（2025年九年级中考数学二次函数压轴题专题练习02多结论问题）已知二次函数的图象如图所示，回答下列问题： （1）填空（填“”“ ”或“”）： ①a 0；②b 0；③c 0；④ 0；⑤ 0； ⑥ 0；⑦ 0；⑧ 0； ⑨若点，均在该二次函数图象上，则 ； （2）若点，均在该二次函数图象上，则n的值为 ； （3）关于x的一元二次方程的实数根的情况为 ； （4）若图象与x轴的交点为，，，当时，x的取值范围为 ． 【变式2】（24-25九年级上·山西朔州·期末）阅读与理解 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 二次函数图象与系数a，b，c的关系我们知道，二次函数a，b，c与抛物线有着密切的关系， 如图1，①抛物线开口向上，． ②抛物线的对称轴在直线的右侧，． ，，． ③抛物线与y轴交于正半轴，． ④抛物线与x轴有两个交点，． ⑤当时，， 当时，， 即． 任务： （1）如图2，方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根    B．有两个相等的实数根 C．没有实数根        D．无法确定 （2）判断图2中与的大小关系． （3）在图2中，下列结论正确的是__________．（直接填序号即可） ①；②；③；④． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知抛物线，其顶点坐标为，抛物线与轴的一个交点为，直线与抛物线交于、两点． （1）______；（填、或） （2）______；（填、或） （3）______； （4）抛物线与轴的另一个交点坐标是______； （5）抛物线的解析式为______； （6）直线的解析式为______； （7）______； （8）方程的根为______； （9）写出时的取值范围为______． 【解题技巧】综合应用题要充分利用已知条件，特别是对称轴信息可以建立a与b的关系（如x=1则b=-2a），从而将含b的式子转化为只含a和c的式子。但要注意：没有给出位置信息的特殊点函数值，不能随意判断符号。 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·贵州遵义·一模）二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2026·河南周口·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2026·广东·一模）二次函数的图象如图，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广东佛山·一模）若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④，其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（25-26九年级上·湖北随州·期末）已知二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（   ）． A． B． C． D．当时，随的增大而减小 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25九年级下·全国·期末）如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 10．（2026·内蒙古通辽·三模）二次函数的图象如图所示．下列结论： ① ② ③ ④ ⑤若，，，则． 其中正确结论的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）若函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过第______象限． 12．（24-25九年级上·河南南阳·期末）二次函数的图像如图所示，下列式子：①，②，③，④，⑤，其中正确的有______．（填编号）． 13．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③当时，；④其中正确结论的本数为______（填序号） 14．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）抛物线如图，有下列四个结论：①；②；③．其中，错误的结论是________（只填序号）． 15．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）二次函数图象的一部分如图所示，给出下列命题：①；②；③；④（m为任意实数）；⑤．其中正确的命题有______． 16．（2025·山东枣庄·模拟预测）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有__________． 17．（2026·湖南长沙·二模）已知抛物线的对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如上图所示，下列结论：①y的最大值为3；②；③当时，y随x的增大而减小；④．其中正确的序号为__________． 18．（2026九年级下·吉林·专题练习）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为，且图象经过点，下列结论：①；②；③若且，则；④若，两点都在抛物线的图象上，则．正确的有______．（填正确的序号） （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·广西河池·期中）已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． （1）确定b，的符号； （2）求证：； （3）当x取何值时，，当x取何值时． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）． （1）求该抛物线的顶点坐标（用含代数式表示）； （2）如果点都在该抛物线上，比较与大小． 21．（本小题满分10分）（2025九年级上·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点在第四象限，且开口向上，判断 与的符号． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知的图像如图，则：a______0；b______0；c______0；______0；______0；______0；______0；______0 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知抛物线的图象如图所示． （1）判断、、及的符号； （2）求的值； （3）给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 24．（本小题满分12分）（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为（2，0）． （1）抛物线与轴的另一个交点坐标为 ； （2）双曲线分居在第 象限，直线不经过第 象限； （3）有以下的说法：①；②；③；④若（0，），（1，）是抛物线上的两点，则．上述说法中，正确的有 ．（填序号） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $